Các dạng bài tập toán lớp 7 bài (38)

DẠNG 2: HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC TRƯỜNG HỢP CỦA
HAI TAM GIÁC THƯỜNG.
I. LÝ THUYẾT:
1. Hai tam giác bằng nhau:
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc
tương ứng bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau ta viết ABC = A'B'C'
AB = A 'B', BC = B'C', CA = C'A '.
ABC = A'B'C' nếu 
A = A ', B = B', C = C'.

2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác thường:
a. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của hai tam giác: cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)
Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó
bằng nhau.

AB = DE

Hai tam giác ABC và DEF có: BC = EF thì ABC = DEF (c.c.c)
CA = FD



b. Trường hợp bằng nhau thứ hai của hai tam giác: cạnh - góc - cạnh (c.g.c)
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của
tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và MNP có:

AB = MN


thì ABC = MNP (c.g.c)
A = M
AC = MP

*Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vng của hai tam giác vng này lần lượt bằng hai
cạnh góc vng của tam giác vng kia thi hai tam giác vng đó bằng nhau.

c. Trường hợp bằng nhau thứ ba của hai tam giác: cạnh - góc - cạnh (g.c.g)
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một góc và hai góc kề của tam
giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.


Hai tam giác ABC và A'B'C' có:

A = A'
AB = A 'B'
B = B'
Thì ABC = A'B'C' (g.c.g)
Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vng và góc nhọn kề với cạnh ấy của tam giác vng
này bằng cạnh góc vng và góc nhọn kề với cạnh ấy của tam giác vng kia thì hai
tam giác đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vng này bằng cạnh
huyền và một góc nhọn của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 2.1: Dựa vào hai tam giác bằng nhau để tính độ dài đoạn thẳng, tính số
đo góc, chứng minh hai cạnh, hai góc bằng nhau.
1. Phương pháp giải:

Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra các cạnh, các góc tương ứng bằng nhau.


Chú ý: Căn cứ vào quy ước viết các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
theo đúng thứ tự, ta viết được các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho ABC = MNP, A = 80o , P = 40o , BC = 5cm . Tính số đo các góc
cịn lại của tam giác MNP và độ dài cạnh NP.
Giải:

Ta có ABC = MNP
Theo định nghĩa hai tam giác bằng nhau:
BC = NP = 5cm

A = M = 80o
C = P = 40o
Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP có:

M + N + P = 180o  N = 180o − M − P
 N = 180o − 80o − 40o = 60o
Vậy M = 80o , N = 60o , NP = 5cm.
Dạng 2.2: Vẽ tam giác khi biết độ dài ba cạnh, biết hai cạnh và một góc xen
giữa hoặc một cạnh và hai góc kề.
1. Phương pháp giải:
*Vẽ tam giác ABC biết độ dài ba cạnh:


- Vẽ một trong ba đoạn thẳng cho trước, ta chọn đoạn thẳng AB.
- Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC
- Vẽ cung trịn tâm B bán kính BC.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại C.
- Nối CA, CB, ta được tam giác ABC cần vẽ.

*Vẽ tam giác ABC biết độ dài hai cạnh AB, AC và góc BAC xen giữa:
- Vẽ xAy = BAC .
- Xác định điểm B thuộc tia Ax có độ dài AB cho trước.
- Xác định điểm C thuộc tia Ay có độ dài AC cho trước.
- Vẽ đoạn thẳng BC, ta được tam giác ABC cần vẽ.

*Vẽ tam giác ABC biết độ dài cạnh AB và hai góc kề là góc BAC và ABC:


- Vẽ đoạn thẳng AB.
- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By sao cho
BAx = BAC, ABy = ABC

- Hai tia Ax và By cắt nhau tại C.
- Ta được tam giác ABC cần vẽ.

2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 2: Vẽ tam giác ABC biết AB = 5cm, BAC = 45o , ABC = 60o .
Giải:
- Vẽ đoạn thẳng AB = 5cm.
- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By sao cho
BAx = 45o , ABy = 60o .

- Hai tia Ax và By cắt nhau tại C.
- Ta được tam giác ABC cần vẽ.

Dạng 2.3: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp thứ nhất, thứ
hai, thứ ba.
1. Phương pháp giải:
- Xét hai tam giác.
- Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau: cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh hoặc góc cạnh - góc.
- Kết luận hai tam giác bằng nhau.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 3: Cho MNP có PM = PN . Chứng minh: PMN = PNM bằng hai cách.
Giải:
Cách 1:

Lấy I là trung điểm của MN, nối I với P.
* Xét hai tam giác MIP và NIP có:


MI = NI (I là trung điểm của MN)
cạnh IP chung
PM = PN (gt)
Do đó: MIP = NIP (c.c.c)

 PMI = PNI (2 góc tương ứng bằng nhau) hay PMN = PNM (đpcm).
Cách 2:

Kẻ tia phân giác PH của góc MPN cắt MN tại H.
* Xét hai tam giác MPH và NPH có:
PM = PN (gt)

MPH = HPN (PH là tia phân giác của góc MPN )
cạnh PH chung
Do đó: MPH = NPH (c.g.c)

 PMH = PNH (2 góc tương ứng bằng nhau) hay PMN = PNM (đpcm).
Ví dụ 4: Cho hình vẽ, biết OP = OQ và PE // FQ, hãy chứng minh EOP = FOQ.

Giải:


GT

Cho OPE, OQF
OP = OQ, PE // FQ

KL

EOP = FOQ

Vì PE // FQ nên OPE = OQF (hai góc so le trong)
Xét OPE và OQF có:
OPE = OQF (cmt)

OP = OQ (gt)
POE = QOF (hai góc đối đỉnh)

Nên OPE = OQF (g.c.g)
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho ABC = A'B'C' . Biết ABC = 60 . Số đo góc A’B’C’ là:
A. 60o
B. 70o
C. 80o
D. 90o
Bài 2: Cho hình vẽ sau, khoanh tròn vào các đáp án đúng:

DBC = ABC vì có:


A. Cạnh chung BD.
B. BD = CA.
C. Cạnh chung BC.
D. CD = CA.
E. BD = BA.
F. CD = BA.
Bài 3: Cho hình vẽ:
C
A
F
D

B

a) Cần có thêm điều kiện gì để AFC = BFD (c.c.c) ?
b) Cho AFC = BFD (c.c.c) . Biết ACF = 60 . Em có thể tính góc nào của tam
giác BFD?
Bài 4: Cho hình vẽ sau, tìm tất cả các cặp tam giác bằng nhau và chứng minh.


Bài 5: Cho tam giác ABC có AC = BC, D là trung điểm của AB. Biết CAD = 65 .
Tính số đo CBD .
Bài 6: Vẽ tam giác ABC biết AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 3cm.
Bài 7: Vẽ tam giác DEF biết DE = 6cm, DF = 5cm, EDF = 45o.
Bài 8: Cho tam giác ABC vng tại A có đường phân giác AI của tam giác (I nằm
trên BC), biết góc ngồi tại đỉnh C là 150o. Tính góc AIC, AIB.
Bài 9: Cho EFM = KPN và E = K = 90o . Tính tỉ số diện tích của tam giác EFM

và diện tích tam giác KPN.
Bài 10: Cho tam giác ABC có A = 90o , tia phân giác BD của góc B ( D  AC ) .
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a) Chứng minh rằng EDC = ABC ;
b) Chứng minh BD là trung trực của AE.
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Đáp án A.
Bài 2: Đáp án C, D, E.
Bài 3:
a) AC = BD
b) BDF = 60
Bài 4:


ABC = AED ( c.c.c )

ABD = AEC (c.c.c)

Bài 5:

Xét ACD và BCD có:
AC = BC (gt)
AD = BD (vì D là trung điểm của AB)
Cạnh CD chung
Nên ACD = BCD (c.c.c)

 CAD = CBD (hai góc tương ứng)
Do đó CBD = 65
Bài 6:
Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng AB = 7cm.
- Vẽ cung trịn tâm A bán kính 3cm.
- Vẽ cung trịn tâm B bán kính 5cm.
- Hai cung trịn này cắt nhau tại C.
- Nối CA, CB ta được tam giác ABC cần vẽ.


Bài 7:
Cách vẽ:
- Vẽ xDy = 45o.
- Trên tia Dx lấy điểm E sao cho DE = 6cm.
- Trên tia Dy lấy điểm F sao cho DF = 5cm.
- Nối E với F ta được tam giác DEF cần vẽ.

Bài 8:
A

150

B

I

o

C

Dễ có: ACB = 30 và IAC = 45

x

Nên AIC = 105°, AIB = 75°
Bài 9: Vì EFM = KPN nên EF = KP; EM = KN; FM = PN .

1
Tam giác EFM có E = 90o EFM vuông tại E  SEFM = EF.EM .
2

1
Tam giác KPN có K = 90o KPN vng tại K  SKPN = KP.KN .
2
Khi đó:

SEFM EF.EM KP.KN
=
=
= 1.
SKPN KP.KN KP.KN

Bài 10:

a) ABD = EBD ( c.g.c )

 BAC = DEB = 90o
Ta chứng minh được EDC = ABC (vì cùng phụ với góc ACB).
b) Gọi I là giao điểm của AE và BD.
+ Chứng minh
AIB = EIB ( c.g.c )

 AI = EI; AIB = EIB

AIB + EIB = 180o  AIB = EIB = 90o
 AE ⊥ BD

Từ đó chứng minh được BD là đường trung trực của AE.