Các dạng bài tập toán lớp 7 bài (41)

DẠNG 5: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC
VUÔNG.
I. LÝ THUYẾT:
1. Các trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vng:
- Hai cạnh góc vng (hay là trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vng
của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.

∆ABC vng tại A và ∆A’B’C’ vng tại A’ có AB = A’B’; AC = A’C’
Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’
- Cạnh góc vng và góc nhọn kề với cạnh đó (hay là trường hợp góc - cạnh góc).
Nếu một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này
bằng một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vng kia thì
hai tam giác vng đó bằng nhau.

∆ABC vng tại A và ∆A’B’C’ vng tại A’ có AC = A’C’; C = C'


Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’
- Cạnh huyền và góc nhọn.
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vng này bằng cạnh huyền và một
góc nhọn của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau (góc - cạnh
- góc)

∆ABC vng tại A và ∆A’B’C’ vng tại A’ có BC = B’C’; C = C'
Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’
2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vng:
Định lí: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng này bằng
cạnh huyền và một cạnh của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng
nhau.

Nếu hai tam giác vng ABC và DEF (A = D = 90o ) có BC = EF, AC = DF thì
 ABC =  DEF .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 5.1: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau.


1. Phương pháp giải:
- Xét hai tam giác vuông.
- Kiểm tra điều kiện bằng nhau của hai tam giác: cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh góc, cạnh huyền - góc nhọn hoặc cạnh huyền - cạnh góc vng.
- Kết luận hai tam giác bằng nhau.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho ABC , BE và CD là đường cao của ABC . Chứng minh rằng:
BCD = CBE , biết BD = EC.

Giải:
A

D

B

GT

KL

E

C

ABC, CD ⊥ AB, CE ⊥ AB
(D  AB, E  AC)
BD = EC
BCD = CBE

Xét BCD vng tại D và CBE vng tại E có:
BD = CE (gt)
Cạnh BC chung.
Nên BCD = CBE (cạnh huyền - cạnh góc vng) (đpcm)
Dạng 5.2: Vận dụng hai tam giác bằng nhau để chứng minh đoạn thẳng, góc
bằng nhau.
1. Phương pháp giải:
- Chọn hai tam giác vng có cạnh (góc) và hai đoạn (góc) cần chứng minh bằng
nhau.


- Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh để kết luận
hai tam giác bằng nhau.
- Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 2: Các tam giác ABC cân tại A ( A  90o ). Vẽ BH ⊥ AC ( H  AC ),
CK ⊥ AB ( K  AB ).
a) Chứng minh rằng AH = AK.
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng tia AI là tia phân giác của

BAC .
Giải:

GT

ABC (A  90o ), AB = AC
BH ⊥ AC, CK ⊥ AB ( H  AC , K  AB
)
BH CK = I

KL

a) Chứng minh rằng AH = AK.
b) Tia AI là tia phân giác của BAC .

a) Xét ABH vuông tại H và ACK vuông tại K có:
AB = AC ( ABC cân tại A)
A chung.

Nên ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền - góc nhọn)

 AH = AK (hai cạnh tương ứng)
b) Xét AIH vuông tại H và AIK vng tại K có:


AK = AH (cmt)
AI cạnh chung
Nên ∆AIK = ∆AIH (cạnh huyền - cạnh góc vng)

 IAK = IAH (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của BAC .
Dạng 5.3: Bổ sung thêm điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau.
1. Phương pháp giải:
- Xét xem hai tam giác vng đã có các yếu tố nào bằng nhau.
- Xét xem cần bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác bằng nhau (dựa vào các

trường hợp bằng nhau của hai tam giác).
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 3: Các tam giác ABC và MNP có A = M = 90o , B = N . Hãy bổ sung thêm
một điều kiện bằng nhau để ∆ABC = ∆MNP.
Giải:

* Trường hợp 1: ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh góc vng - góc nhọn kề.
Xét hai tam giác vng ABC và MNP có:
+) B = N (giả thiết)
Bổ sung AB = MN thì ΔABC = ΔMNP (cạnh góc vng - góc nhọn kề).
* Trường hợp 2: ΔABC = ΔMNP theo trường hợp hai cạnh huyền – góc nhọn.
Xét hai tam giác vng ABC và MNP có:
+) B = N (giả thiết)


Bổ sung BC = NP thì ΔABC = ΔMNP (cạnh huyền - góc nhọn).
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng điền “Đ”, khẳng định
nào là sai điền “S” vào ô trống dưới đây:
Các tam giác ABC và DEF có A = D = 90o .
a) Nếu BC = EF, AC = DE thì hai tam giác này bằng nhau.
b) Nếu BC = EF, B = F thì hai tam giác này bằng nhau.
c) Nếu AC = DE và B = E thì hai tam giác này bằng nhau.
Bài 2: Có mấy cặp tam giác vng bằng nhau trong hình vẽ sau đây:
F

L

G

J

H

I

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài 3: Nêu tên cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn
trong hình vẽ sau:


A

B

D

C

Bài 4: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’, biết AB =
A’B’. Để ABC = A'B'C' (cạnh góc vng – góc nhọn kề) thì cần thêm điều
kiện gì?
Bài 5: Cho hình vẽ:

Biết ABD = DCA . Chứng minh ABE = DCF.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Đường phân giác AD ( D  BC ) . Từ D kẻ DE ⊥ AB,
DF ⊥ AC ( E  AB, F  AC ) . Chứng minh rằng:

a) ADE = ADF.

b) Để BE = CF thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì ?
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vng góc với BC (H  BC). Chứng
minh rằng:
a) HB = HC
b) AH là tia phân giác của góc BAC.


Bài 8: Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy điểm A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy sao cho
OA = OB. Kẻ đường vng góc với Ox tại A, đường vng góc với Oy tại B, chúng
cắt nhau tại C.
a) Chứng minh: OC là tia phân giác của góc xOy.
b) Gọi I là điểm bất kì thuộc OC. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vng góc
kẻ từ I đến Ox, Oy. Chứng minh: IM = IN.
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho

BD = CE 

BC
. Đường thẳng kẻ từ D vng góc với BC cắt AB tại M, đường
2

thẳng kẻ từ E vuông góc với BC cắt AC tại N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) EM = DN
c) Tam giác ADE cân.
Bài 10: Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ
KA vng góc với Ox (A  Ox), KB vng góc với Oy ( B Oy)
a) Chứng minh: KA = KB.

b) Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?
c) Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E.
Chứng minh: KD = KE.
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
a), b) Đúng
c) Sai.
Bài 2: Đáp án C.
Bài 3: ACB = CAD , DBC = BDA
Bài 4: B = B'.
Bài 5: ABE = DCF (cạnh huyền - góc nhọn).
Bài 6:


a) ADE = ADF (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Tam giác ABC cân tại A.
Bài 7:

A

B

H

C

a)
ABH = ACH (cạnh huyền - góc nhọn)
 HB = HC

b) Từ câu a ta có: BAH = CAH
Từ đó suy ra đpcm.
Bài 8:


a) OAC = OBC (cạnh huyền - cạnh góc vng)

 AOC = BOC
nên OC là tia phân giác góc xOy.
b) OMI = ONI (cạnh huyền - góc nhọn)
 IM = IN

Bài 9:

A

M

B

D

N

E

C

a) MDB = NEC (cạnh góc vng - góc nhọn) suy ra MD = NE
b) MDE = NED (hai cạnh góc vng) suy ra ME = ND

c) ABD = ACE (c.g.c) suy ra AD = AE. Vậy ADE cân tại A.
Bài 10:


a) OKA = OKB (cạnh huyền – góc nhọn) nên KA = KB.
b) Từ câu a suy ra OA = OB nên OAB cân tại O.
c) KAD = KBE (cạnh góc vng - góc nhọn kề) vì AKD = BKE và KA = KB.
Suy ra KD = KE.