Các dạng bài tập toán lớp 7 full

DẠNG 1: CÁC DẠNG TOÁN VỀ TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ.
I. LÝ THUYẾT:

a
( a,b  ,b  0 ).
b
- Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là (x là số hữu tỉ thì ghi là x  )
- Ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số. Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu
tỉ được gọi là điểm x.
- Số hữu tỉ là các số có thể biểu diễn được dưới dạng phân số

+ Các số nguyên ta đã biết biểu diễn trên trục số.

+ Tương tự cách biểu diễn số nguyên ta biểu diễn số hữu tỉ

a
( a,b 
b

+

,b  0 ) như

sau:
Chia đoạn có độ dài 1 đơn vị thành b phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị
mới thì điểm biểu diễn số hữu tỉ
+ Với số hữu tỉ

a
cách gốc 0 là a đơn vị mới.
b

a
có tử số và mẫu số trái dấu ta biểu diễn tương tự nhưng chia
b

đoạn 1 đơn vị bên trái gốc 0.
Ví dụ: Để biểu diễn số hữu tỉ
số

3
ta chia đoạn 1 đơn vị thành 5 phần, điểm biểu diễn
5

3
như hình vẽ:
5

- Với hai số hữu tỉ bất kỳ x, y ta luôn có hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y. Ta có
thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai
phân số đó.
+ Nếu x < y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y;


+ Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
+ Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm;
+ Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 1.1: Sử dụng các ký hiệu  ,  ,  , , , .
1. Phương pháp giải:
Nắm vững ý nghĩa của từng ký hiệu:

- Kí hiệu  đọc là “phần tử của” hoặc “thuộc”.
- Kí hiệu  đọc là “khơng phải là phần tử của” hoặc “khơng thuộc”.
- Kí hiệu  đọc là “là tập hợp con của”.
- Kí hiệu chỉ tập hợp các số tự nhiên.
- Kí hiệu chỉ tập hợp các số nguyên.
- Kí hiệu chỉ tập hợp các số hữu tỉ.
- Các kí hiệu  ;  dùng để so sánh giữa phần tử với tập hợp.
- Các kí hiệu  dùng để so sánh giữa các tập hợp với nhau.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Điền kí hiệu (, , ) thích hợp vào ô trống:
5

–4

−3
5

−3
5

–2

Giải:
Các kí hiệu  ;  dùng để so sánh giữa phần tử với tập hợp.
Các kí hiệu  dùng để so sánh giữa các tập hợp với nhau.
Vì 5 là số tự nhiên nên 5
Vì – 4 là số nguyên nên – 4 
−2
nên – 2 có thể biểu diễn được dưới dạng số hữu tỉ.
1

Do đó – 2 .

Vì −2 =


Vì −3 5 nên

Vì

−3
−3
khơng phải là số ngun. Do đó
 .
5
5

−3
−3
a
−3
 .
biểu diễn dưới dạng ( a,b  , b  0 ) nên
là số hữu tỉ. Do đó
5
5
b
5

Vì mọi số nguyên đều biểu diễn được dưới dạng số hữu tỉ nên
nên   .



, mà



Từ đó, ta điền ký hiệu thích hợp vào ơ trống như sau:
5



−3

5

–4



−3
5



–2






Dạng 1.2: Biểu diễn số hữu tỉ.
1. Phương pháp giải:
- Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản.
- Khi biểu diễn số hữu tỉ trên trục số, ta thường viết số đó dưới dạng phân số tối
giản có mẫu dương. Khi đó mẫu của phân số cho biết đoạn thẳng đơn vị cần được
chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
a
là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn
b
1
vị làm b phần bằng nhau, ta được đơn vị mới bằng đơn vị cũ, tiếp theo lấy về
b
a
phía chiều dương trục Ox a phần, ta được vị trí của số .
b
a
+ Trường hợp 2: a < 0, khi đó là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị
b
1
làm b phần bằng nhau, ta được đơn vị mới bằng đơn vị cũ, tiếp theo lấy về phía
b
a
chiều âm trục Ox a phần, ta được vị trí của số .
b

+ Trường hợp 1: a > 0, khi đó

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2:
a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ

2
:
−5

−6 −3 12 6 −10
; ;
; ;
?
15 15 −30 20 35
2
b) Biểu diễn số hữu tỉ
trên trục số.
−5
Giải:
2 −2
=
a) Ta có
. Rút gọn các phân số đã cho ta được:
−5 5
−6 −2 −3 −1 12 −2 6
3 −10 −2
= ;
= ;
= ;
= ;

= .
15 5 15 5 −30 5 20 10 35
7
2
−6 12
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ
;
.
là
−5
15 −30
2
2
b) Vì −1 
nằm giữa -1 và 0 trên trục số, ta chia đoạn này thành 5
 0 nên
−5
−5
2
phần. Phân số
được biểu diễn trên trục số như sau:
−5
2
−5

-2

–1

0

1

2

Dạng 1.3: So sánh các số hữu tỉ.
1. Phương pháp giải:
Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh
hai phân số đó bằng một trong các cách sau:
- Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số.
- So sánh với số 0, so sánh với số 1, với –1,…
- Dựa vào phần bù của 1: So sánh các phần bù rồi suy ra kết quả.
- So sánh với phân số trung gian.
- Có thể sử dụng tính chất sau: Nếu a, b, c 

và a < b thì a + c < b + c


2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 3: So sánh các số hữu tỉ:
4
−3
a) x = và y = .
11
7
−213
18
b) x =
và y =
.

300
−15
−3
c) x = – 0,75 và y = .
2
Giải:
4
−3
4 −3
a) x =  0; y =
hay x > y.
 0 nên 
7
11
7 11
b)

18 −360 −213 −213 18
hay x > y.
=



−15 300
300
300 −15

c) −0,75 =

−3 −3 −6

−3 −6
, mà
;
=

 x  y.
4 2
4
4
4

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Điền kí hiệu (, , ) thích hợp vào ơ trống:
–3

–8

3
4
Bài 2:

−2
7

–15

a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ

10 −20 40 −25 −45
;

;
;
;
?
−8 16 −28 20 35
5
b) Biểu diễn số hữu tỉ
trên trục số.
−4
Bài 3: So sánh các số hữu tỉ:

5
:
−4


2
2
và y = .
3
5
2
−221
b) x =
và y = .
115
7
−1
c) x = – 0,75 và y = .
4

Bài 4: Điền kí hiệu ( , ,
a) x =

) thích hợp vào ơ trống:

–6 
–4 
–9
−7



3
Bài 5: Viết ba số hữu tỉ xen giữa các số hữu tỉ sau:
1
1
−1
−1
a)
và
b)
và
.
4
3
10
100
Bài 6: Trên giá sách có 40 quyển sách Tốn, 20 quyển sách Văn. Lập tỉ số của các
loại sách với số sách đang có trên giá.

a
a+n
và
.
b
b+n
Bài 8: So sánh các phân số sau bằng cách nhanh nhất (không quy đồng):
1
1
a) −
và
.
25
1225
216
104
b)
và
.
217
103
12
14
c) −
và − .
19
17
13
131313
d) −

và −
.
27
272727
a −3
. Với giá trị nào của a thì:
Bài 9: Cho số hữu tỉ x =
2
a) x là số dương;
b) x là số âm;
c) x không là số dương và cũng không là số âm.
2a − 1
Bài 10: Cho số hữu tỉ y =
. Với giá trị nào của a thì:
−3
Bài 7: Cho a , b , b > 0, n  *. Hãy so sánh hai số hữu tỉ


a) y là số dương;
b) y là số âm;
c) y không là số dương và cũng không là số âm.
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Đáp số:
–3 

–8



3 

4
Bài 2:

−2
7



–15




5 −5
= . Rút gọn các phân số đã cho, ta được:
−4 4
10 −5 −20 −5 40 −10 −25 −5 −45 −9
= ;
= ;
=
;
= ;
=
−8 4 16
4 −28
7 20
4 35
7
10 −20 −25
5

Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ
là
;
;
.
−4
−8 16 20
a) Ta có

5
5
nằm giữa –2 và –1 trên trục số và chia khoảng này thành
 −1 nên
−4
−4
5
4 phần để lấy biểu diễn số hữu tỉ
.
−4
Bài 3: So sánh các số hữu tỉ:
2
2
a) Hai phân số và có cùng tử số, mẫu số của phân số nào lớn hơn thì bé hơn.
3
5
−221
2
−221 2
b) Vì
 0 và  0 nên

 .
115
7
115 7
−3 −1
c) Ta có: – 0,75 =
 .
4
4
Bài 4:
–6 
–4 
–9
−7



3
Bài 5: Viết ba số hữu tỉ xen giữa các số hữu tỉ sau:
b) −2 


a) Quy đồng hai phân số trên, mẫu số chung của hai phân số
tìm ba phân số xen giữa
b)

1
1
và là B(48). Ta
4

3

16
12
và
.
48
48

−1
−1
= −0,1 ,
= −0,01
10
100

Bài 6: Tổng số sách là 40 + 20 = 60 quyển.
Tỉ lệ sách Toán và Văn so với tổng số sách trên giá lần lượt là:
Bài 7:
Ta có: a(b + n) = ab + an
b(a + n) = ab + bn
Vì b > 0, n  * nên b + n > 0
+) Nếu a > b thì ab + an > ab + bn

 a(b + n) > b(a + n)
a a+n
 
.
b b+n
+) Nếu a < b thì ab + an < ab + bn

 a(b + n) < b(a + n)
a a+n
 
.
b b+n
a a+n
+) Nếu a = b thì =
.
b b+n
Bài 8:
a) Vì

−1
1
1
1
.
 0;
0 − 
25
1225
25 1225

b) Do

216
104
216 104
.
 1;

1 

217
103
217 103

c) Do −

12
14 14
14
12
14
− ; − − − − .
19
19 19
17
19
17

40 2 20 1
= ;
= .
60 3 60 3


d) −

131313
13.10101 −13

.
=−
=
272727
27.10101 27

a −3
.
2
a) x là số dương khi tử số và mẫu số cùng dấu.
Bài 9: Cho số hữu tỉ x =

Mà mẫu số là 2 > 0 nên tử số là a – 3 > 0. Vậy a > 3.
b) x là số âm khi tử số và mẫu số khác dấu.
Mà mẫu số là 2 > 0 nên tử là số a – 3 < 0. Vậy a < 3.
c) x không là số dương và cũng không là số âm, nghĩa là x = 0.
Mà mẫu số là 2 ≠ 0 nên tử số a – 3 = 0 hay a = 3.
2a − 1
Bài 10: Cho số hữu tỉ y =
. Với giá trị nào của a thì:
−3
a) y là số dương khi tử số và mẫu số cùng dấu, mà mẫu số là –3 < 0 nên tử số bé
−1
hơn 0. Vậy a  .
2
b) y là số âm khi tử số và mẫu số khác dấu, mà mẫu số là –3 < 0 nên tử số lớn hơn
−1
0. Vậy a  .
2
c) y không là số dương và cũng không là số âm, nghĩa là x = 0, có mẫu số là -3 ≠ 0

−1
nên tử số bằng 0. Vậy a = .
2


DẠNG 2: PHÉP TOÁN CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA TRONG TẬP HỢP SỐ
HỮU TỈ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
I. LÝ THUYẾT:
1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ:
- Mỗi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số

a
(a,b  ; b  0). Ta cộng trừ số
b

hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số có mẫu số dương rồi áp dụng quy tắc
cộng, trừ phân số.
- Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: Giao hoán, kết hợp,
cộng với số 0. Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối.
2. Quy tắc chuyển vế:
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số
hạng đó.

x, y,z  : x  y  z  x  z  y.
3. Quy tắc nhân, chia số hữu tỉ:
a
c
Với hai số hữu tỉ x  ; y 
b
d

a c ac
- Nhân hai số hữu tỉ: x.y  . 
.
b d bd
a c a d ad
- Chia hai số hữu tỉ: x : y  :  . 
( y  0 ).
b d b c bc
4. Chú ý:
- Phép cộng trong , ta cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số
hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong
.
- Phép nhân trong
có các tính chất cơ bản: giao hốn, kết hợp, nhân với 1, tính
chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
- Thương của phép chia x cho y gọi là tỉ số của x và y, kí hiệu là

x
.
y


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 2.1: Cộng, trừ hai số hữu tỉ.
1. Phương pháp giải:
- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương (bằng cách quy
đồng mẫu của chúng);
- Cộng, trừ hai tử số, mẫu chung giữ nguyên;
- Rút gọn kết quả (nếu có thể).
2. Ví dụ minh họa:

3 1
Ví dụ 1: Tính: 
5 3
3 1 9 5 9  5 4
 


Giải: 
5 3 15 15
15 15
Dạng 2.2: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ.
1. Phương pháp giải:
Một trong các phương pháp giải có thể là:
- Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.
- Viết tử của phân số thành tổng hoặc hiệu của hai số nguyên.
- Tách ra hai phân số có tử là các số nguyên vừa tìm được.
- Rút gọn phân số (nếu có thể).
2. Ví dụ minh họa:
7
Ví dụ 2: Viết số hữu tỉ
dưới các dạng sau đây:
12
7
a)
là tổng của hai số hữu tỉ âm.
12
7
b)
là hiệu của hai số hữu tỉ dương.
12

Giải:
7 1 5
2 5 1 5 7
7





 .
a)
là tổng của hai số hữu tỉ âm là:
vì
12 6 12
12 12 6 12 12
12
7
7
19
19 12 19 7
b)
là hiệu của hai số hữu tỉ dương là:
vì 1     .
1
12
12
12
12 12 12 12
Dạng 2.3: Tìm số hạng chưa biết trong một tổng hoặc một hiệu.
1. Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của
một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 3: Tìm x biết:

2 4

3 5
1 1
b) x  
15 10
Giải:
2 4
a) x  
3 5
4 2
x 
5 3
2
x
15
2
Vậy x 
là giá trị cần tìm.
15
1 1
b) x  
15 10

1 1
x 
10 15
1
x
6
1
Vậy x  là giá trị cần tìm.
6
Dạng 2.4: Nhân, chia hai số hữu tỉ.
a) x 

1. Phương pháp giải:
- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.
- Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;
- Rút gọn kết quả (nếu có thể).
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 4: Tính:


 1
a) 3,5. 1  .
 4
Giải:
 1  7 5 7.(5) 35

 4,375.
a) 3,5. 1   . 
2.4
8

 4 2 4
b)

b)

5
: (2).
17

5
5 1
(5).1
5
: (2)  . 
 .
17
17 2 17.(2) 34

Dạng 2.5: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ.
1. Phương pháp giải:
- Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số;
- Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên;
- “Tách” ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên tìm được;
- Lập tích hoặc thương của các phân số đó.
2. Ví dụ minh họa:
5
Ví dụ 5: Viết số hữu tỉ
dưới các dạng sau đây:
12
5

a)
là tích của hai số hữu tỉ.
12
5
b)
là thương của hai số hữu tỉ.
12
Giải:
5 1 5
1 5 1.5 5
5
 . vì
. 
 .
a)
là tích của hai số hữu tỉ là:
6 2 6.2 12
12 6 2
12
5
5 5
5
5 1 5.1 5
b)
là thương của hai số hữu tỉ là:
:2  . 
 .
 : 2 vì
6
6 2 6.2 12

12
12 12
Dạng 2.6: Thực hiện các phép tính với nhiều số hữu tỉ.
1. Phương pháp giải:
- Thứ tự thực hiện phép tính: Trong một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia ta
thực hiện nhân, chia trước cộng, trừ sau.
- Đối với phép tính có dấu ngoặc, ta áp dụng quy tắc dấu ngoặc đối với các số hữu
tỉ:
+ Nếu có các dấu ngoặc trịn, ngoặc vng, ngoặc nhọn thì làm theo thứ tự trước
hết tính trong ngoặc trịn rồi đến ngoặc vng, cuối cùng là ngoặc nhọn.


+ Nếu có các dấu ngoặc trịn, ngoặc vng, ngoặc nhọn thì làm theo thứ tự trước
hết tính trong ngoặc trịn rồi đến ngoặc vng, cuối cùng là ngoặc nhọn.
+ Có thể bỏ dấu ngoặc rồi tính hoặc nhóm các số hạng một cách thích hợp:
a,b  :  (a  b)  a  b.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 6: Tính:
2  4  1
a)        
5  3  2

5 12  21 
. .

6 7  15 
Giải:
2  4   1  2 4 1 12 40 15 43

 



.
a)          
5  3  2 5 3
2 30 30
30
30
b)

b)

5 12  21  5.12.21 5.6.2.7.3
. .

 2.

6 7  15 
6.7.15
6.7.5.3

Dạng 2.7: Tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất.
1. Phương pháp giải:
Đối với những bài tính nhanh, với mọi a, b, c  ta có thể áp dụng các tính chất
sau:
- Tính chất giao hốn:
+ Phép cộng: a + b = b + a;
+ Phép nhân: a.b = b.a.
- Tính chất kết hợp:
+ Phép cộng: (a + b) + c = a + (b + c);

+ Phép nhân: (a.b).c = a.(b.c).
- Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng: a(b + c) = ab + ac.
- Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép trừ: a(b - c) = ab - ac.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 7: Tính nhanh:
1 5 1 1 2 11
  
a)  
3 7 3 6 7 6


b)

3 4 3 10
.  .
5 7 5 7

Giải:
1 5 1 1 2 11  1 1   5 2   1 11 
a)                 
3 7 3 6 7 6 3 3  7 7 6 6 

0

1

2


b)

3

3 4 3 10
3  4 10  3
6
.  .
     .2 
5 7 5 7
5 7 7  5
5

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tính:
2 11

a)
13 26
Bài 2: Tính:
2 3

a)
5 11

b) 2 

b)

Bài 3: Tìm ba cách viết số hữu tỉ

5
8

13 1

30 5

8
dưới dạng:
15

a) Tổng của hai số hữu tỉ âm.
b) Hiệu của một số hữu tỉ âm và một số hữu tỉ dương.
Bài 4: Tìm x biết:
3 1
a) x  
8 12
1 2  1
b) x      
3 5  3

2
1
x   2
5
3
2
3 1
x


d)
15
10 5
Bài 5: Tính:
c)

c)

13
5

15 18

 4
c)  4     
 5


a)

9 17
.
34 4

b)

Bài 6: Tìm ba cách viết số hữu tỉ

17 4
:

15 3

8
dưới dạng:
15

a) Tích của hai số hữu tỉ.
b) Thương của hai số hữu tỉ.
Bài 7: Tính:
3  4  3
a)        
5  3  4
b)

5  2 3
  
8  5  10

c)

1 9  12 
. .

6 8  11 

 17 51  3
d)  :  .
 18 36  5
Bài 8: Tính nhanh:
25 46 18 5 126 37

A

  
 .
3
5 7 3 5
2
 5  3  13  3
B    .    . .
 9  11  28  11
Bài 9: Bỏ ngoặc rồi thực hiện phép tính:
1  1 1
  
a)
12  6 4 
b)

1  5   1 3  
     
3  4   4 8  

c)

3  5   1 2  
     
4  3   12 9  

3 3 3 3
  
4

5 7 11 .
Bài 10: Tính giá trị biểu thức M 
13 13 13 13
  
4 5 7 11

1  4
c) 4 :  2 
5  5


Hướng dẫn giải:
Bài 1: Tính:
2 11 4 11 15




.
a)
13 26 26 26
26
5 16 5 21



.
b) 2 
8
8

8
8
13
5
78 25 103




.
c)
15 18 90
90
90
Bài 2: Tính:
2 3 22 15 7



 .
a)
5 11 55
55 55
13 1 13 6
7
 

 .
b)
30 5 30 30 30

 4  20 4 16
 
.
c)  4      
5
5
5
 5
Bài 3:
a) Ba cách viết tổng của hai số hữu tỉ âm:
8 1 7 8 2 6 8 1 1

 ;

 ;

 .
15 15 15 15 15 15 15 3
5
b) Ba cách viết hiệu của một số hữu tỉ âm và một số hữu tỉ dương.
8 2 2 8 7 1 8 1 1

 ;

 ;

 .
15 5 15 15 15 15 15 5 3
Bài 4: Áp dụng quy tắc chuyển vế và cộng, trừ các số hữu tỉ để tìm x.
2

7
a) x 
b) x 
5
24
25
1
c) x 
d) x 
6
30
Bài 5:
9 17 9.17 153 9
. 

 .
a)
34 4
34.4
136
8
17 4 17 3 17.3 17
:  . 
 .
b)
15 3 15 4 15.4 20


1  4  21 14 21 5 3
 .  .

c) 4 :  2   :
5  5 5 5
5 14 2
Bài 6:
a) Ba cách tích của hai số hữu tỉ:
8 2 4 8 1 8 8
4
 . ;
 . ;
 2. .
15 3 5 15 5 3 15
15
b) Ba cách thương của hai số hữu tỉ.
8
15 8 1 5 8 1 5
 4:
;
 : ;
 : .
15
2 15 3 8 15 6 16
Bài 7:
3  4   3  36 80 45 89



.
a)         
5  3   4  60 60
60

60
b)

5  2  3 25 16 12 29
   


 .
8  5  10 40 40 40 40

c)

1 9  12  9.12
9
. .


.

6 8  11  6.8.11 44

 17 51  3 17 36 3 17.36.3 2
 .
d)  :  .  . . 
 18 36  5 18 51 5 18.51.5 5
Bài 8:
25 46 18 5 126 37
A

  


3
5
7 3
5
2
 25 5   46 126   18 37 
     
  
5  7
2 
 3 3  5
295 69
 .
14 14
3 6
 5  3  13  3  5 13  3
B     .     .      .  2. 
11 11
 9  11  9  11  9 9  11

 10  16 

Bài 9: (Áp dụng quy tắc bỏ ngoặc)
1  1 1 1 1 1 1
      
a)
12  6 4  12 6 4 2

b)

1  5   1 3   1  5 1 3  1 5 1 3 53
    
       
 
3  4   4 8   3  4 4 8  3 4 4 8 24

c)

3  5   1 2   3  5 1 2  3 5 1 2 23
    
        
 
4  3   12 9   4  3 12 9  4 3 12 9 9

Bài 10:
1 1 1 1 
3 3 3 3
3    
  
3
4 5 7 11 
M  4 5 7 11  
 .
13 13 13 13
 1 1 1 1  13
  
13     
4 5 7 11

 4 5 7 11 


DẠNG 3: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
I. LÝ THUYẾT:
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm
0 trên trục số.

 x khi x  0
x 
 x khi x  0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 3.1: Tính tốn các số hữu tỉ có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1. Phương pháp giải:
- Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:

 x khi x  0
x 
 x khi x  0
- Tính chất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:

x  : x  0; x  x ; x  x.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính:
2 5 3
 :
.
5
4 4
Giải:

2 5 3 2 5 3 2 5 4
 :   :   .
5 4 4 5 4 4 5 4 3
2 5 6 25 19
   

.
5 3 15 15 15
Dạng 3.2: Tìm một số chưa biết trong biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1. Phương pháp giải:
- Áp dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
- Quy tắc chuyển vế.
- Tính chất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:

x  : x  0; x  x ; x  x.
2. Ví dụ minh họa:


Ví dụ 2: Tìm x, biết:
2
a) x 
5
2 6
b) x  
7 7

2
13 3
 x


5
10 2
Giải:
2
2
2
a) x   x  hoặc x 
5
5
5
c)

Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài toán là x 

2
2
hoặc x  .
5
5

2 6

7 7
Cách 1: (Căn cứ vào định nghĩa của giá trị tuyệt đối)
2
2
2
2
- Nếu x   0 , tức là x  thì x   x 
7

7
7
7
b) x 

2 6

7 7
6 2
x 
7 7
8
2
x  (thỏa mãn điều kiện x  )
7
7
2
2 2
2
2

- Nếu x   0 , tức là x  thì x     x     x
7
7
7
7 7

Khi đó, ta có: x 

Khi đó, ta có:

2
6
x
7
7
2 6
x 
7 7
4
2
x
(thỏa mãn điều kiện x  )
7
7


Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài tốn là x 

8
4
hoặc x  .
7
7

Cách 2: (Căn cứ vào tính chất |x| = |–x|).
2 6
2 6
2 6
(1) hoặc x  

(2)
x 
suy ra: x  
7 7
7 7
7 7

2 6 2 8
   .
7 7 7 7
6 2 4
  .
Từ (2) ta có: x 
7 7 7
Từ (1) ta có: x 

Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài toán là x 
c)

8
4
hoặc x  .
7
7

2
13 3
 x

5

10 2
x

13 3 2
 
10 2 5

x

13 11

10 10

13 11
13 11

(1) hoặc x  
(2)
10 10
10 10
11 13 12
Từ (1) ta có: x    .
10 10 5
13 11 13 1
  .
Từ (2) ta có: x  
10 10 10 5
12
1
Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài tốn là x 

hoặc x  .
5
5
Dạng 3.3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có chứa giá trị
tuyệt đối.
1. Phương pháp giải:
Cho biểu thức A thì |A|  0, với m là hằng số, ta có:
+ Giá trị nhỏ nhất của |A| + m ≥ m.
+ Giá trị lớn nhất của –|A| + m ≤ m.
2. Ví dụ minh họa:
Suy ra: x 


Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
A x 4
3
Giải:
Vì x 

1
≥ 0 x
3

1
 4 ≥ 0 + 4 x
3
Do đó A ≥ 4 x
Suy ra x 

1
1
= 0, nghĩa là x = .
3
3
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = 5,5 – |2x – 1,5|
Giải:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi x 

Vì |2x – 1,5| ≥ 0 x
 –|2x – 1,5| ≤ 0 x
 –|2x – 1,5| + 5,5 ≤ 5,5 x

 5,5 – |2x – 1,5| ≤ 5,5 x

Suy ra B ≤ 5,5 x
Vậy giá trị lớn nhất của B là 5,5 khi |2x – 1,5|= 0, nghĩa là 2x – 1,5 = 0 hay x = 0,75.
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng:
a) |–10,5| = 10,5;
b) –0,75| = –0,75;
c) |–15,25| = – (–15,25).
Bài 2: Tính:
5 3 6
  ;
a)
14 7 5

2

1 3
;
b)   1 
5
6 10


3 1 16
 : .
8
4 3
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau với: |a| = 1,5; b = –0,5.
a) A = a + b;
b) B = 2a – |3b|.
Bài 4: Tìm x, biết:
5
6
3
a)   x :   ;
14
11
7
c) 

1
b) x  ;
5
4
c) x 
5

Bài 5: Tìm x, biết:
2 1
a) x  
5 4
b) x 

2 1 1
 
5 3 3

c) 2. x  3,5 

1
2

Bài 6: Tính giá trị biểu thức: A = 2x2 – 5x + 1 biết |x| =
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = |3,7 – x| + 2,5
b) B = |x + 1,5| – 4,5
Bài 8: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
a) M  2  x 
3

2
 2021
5
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức:
b) N   x 


3,2 6,63 
P   2,4  5,2  4,5 . 9,3 

4
2 

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

1
3


A = |x – 100| + |x – 400|
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
a) Đúng (Vì –10,5 < 0 nên |–10,5| = –(–10,5) = 10,5).
b) Sai (vì |–0,75| = – (–0,75) = 0,75);
c) Đúng (vì |–15,25| = 15,25 = – (–15,25)).
Bài 2: (Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi tính tốn như bình thường).
5 3 6 5 3 6 79
      ;
a)
14 7 5 14 7 5 70

2
1 3
2 7 3 7
    ;
b)   1 

5
6 10
5 6 10 15

3 1 16
3 1 3 21
 :   . 
.
8
4 3
8 4 16 64
Bài 3:
a) Với a = 1,5; b = –0,5  A = a + b = 1
c) 

Với a = –1,5; b = –0,5  A = a + b = –2
b) Với a = 1,5; b = –0,5  B = 2a – |3b| = 1,5
Với a = –1,5; b = –0,5  B = 2a – |3b| = – 4,5
Bài 4:
5
6
3
a)   x :  
14
11
7

5
11
3

 x.  
14
6
7
11 11
x. 
6 14
3
x
7
1
1
b) x   x   .
5
5