Skkn giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối

MỤC LỤC
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Lời giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Tên sáng kiến: giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối . . . . . . . 1
Tác giả sáng kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chủ đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mô tả bản chất sáng kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Nội dung sáng kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dạng 1. GTLN-GTNN thỏa mãn điều kiện cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Dạng 3. Bài toán max đạt min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Dạng 4. Bài toán min đạt min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
C. CÁC BÀI TẬP VD-VDC TRONG CÁC ĐỀ THI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8. Những thông tin cần được bảo mật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến . . . .30

0

skkn


1

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1 Lời giới thiệu:

Sau khi học xong các kiến thức về đạo hàm, đầu chương trình tốn lớp 12 học sinh
được học lại đầy đủ hơn và hệ thống hơn về hàm số. Bằng việc sử dụng các kiến
thưc về đạo hàm, học sinh nghiên cứu lần lượt về sự đồng biến của hàm số, cực trị,
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tiệm cận và cuối cùng là khảo sát hàm số. Đây
là những nội dung mới đối với học sinh lớp 12 và xuất hiện trong các đề thi trong
những năm gần đây ngày càng nhiều với đầy đủ bốn mức độ. Đặc biệt là các câu ở
mức độ VD-VDC trong các đề thi, nó khơng theo một khuân mẫu nào cả nhất là
các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trị tuyệt đối. Để chinh phục
được các câu ở dạng này, đòi hỏi học sinh phải có một kiến thức cơ bản thật vững
và có một con mắt tốn học thật tinh tế.
Với mong muốn giúp các em giải được các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số giá trị tuyệt đối, tôi đã sưu tầm các bài toán về giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối trong các đề thi THPTQG qua mấy
năm gần đây, đề thi TNTHPT và có chia dạng chúng nhằm giúp các em tiếp cận
các bài toán này đồng thời cũng giúp các em có cái nhìn tổng qt, đầy đủ hơn về

dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối.
Vì vậy tơi đã chọn đề tài: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt
đối.
Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân dạng có thể chưa được
triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp
góp ý kiến chỉnh sửa để tài liệu này được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cám ơn.
2 Tên sáng kiến: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt

đối.
3 Tác giả sáng kiến

Họ và tên: Nguyễn Thành Tiến
Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc 2, Yên Lạc, Vĩnh Phúc.
Số điện thoại: 0985.11.22.66 Email:
4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến.
5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học.
6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2020.
7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến:
Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết
một vấn đề là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của
một lớp bài tốn tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế và
điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với
những nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng đích, có kiến
thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành cơng. Do vậy việc trang bị
về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của giáo viên.
Sáng kiến trình bày các dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

skkn


2
giá trị tuyệt đối hay gặp trong các đề thi của BGD, các đề thi thử của SGD và của
các trường cùng với phương pháp giải của các dạng bài tốn đó. Sau mỗi dạng tốn,
đều có bài tập cho học sinh thực hành.
Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Dành cho học sinh có lực học từ trung bình
khá trở lên.

skkn


. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.3

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM
SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
A.

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Bài tốn
Cho hàm số y = |f (x)|. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên
[a; b].
Phương pháp chung:
Tìm max f (x) = M và min f (x) = m.
[a;b]

[a;b]

Xét các trường hợp
Ë Nếu M · m ≤ 0 thì

Ë Nếu m > 0 thì

Ë Nếu M < 0 thì


|f (x)| = 0
 min
[a;b]
 max |f (x)| = max {|M |; |m|}

.

[a;b]

|f (x)| = m
 min
[a;b]

.
 max |f (x)| = M
 [a;b]
 min |f (x)| = |M | = −M
[a;b]

 max |f (x)| = |m| = −m

.

[a;b]

B.

DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{ DẠNG 1. GTLN-GTNN thỏa mãn điều kiện cụ thể

min |f (x)| ≤ k, (≥ k)
[a;b]

Tìm tham số để
max |f (x)| ≤ k, (≥ k).
[a;b]

VÍ DỤ MINH HỌA
| Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
y = |x4 + 4x3 − m| trên đoạn [−4; −2] bằng 2020?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
$ Lời giải
4
Xét hàm số f (x) = x"
+4x3 −m, trên đoạn [−4; −2]. Ta có f 0 (x) = 4x3 +12x2 = 4x2 (x+3).
x=0∈
/ (−4; −2)
Khi đó f 0 (x) = 0 ⇔

x = −3 ∈ (−4; −2).

skkn


4
Ta có f (−4) = −m, f (−3) = −m − 27, f (−2) = −m − 16.
Do đó max f (x) = f (−4) = −m và min f (x) = f (−3) = −m − 27.
[−4;−2]

[−4;−2]

Nếu −m(−m − 27) ≤ 0 ⇔ −27 ≤ m ≤ 0, thì
max y = max {| − m − 27|; | − m|} = max{m + 27; −m}.
[−4;−2]
"
"
m = 1993
(loại)
m + 27 = 2020
⇔
Theo u cầu của bài tốn ta có
m = −2020. (loại)
− m = 2020
Nếu −m − 27 < 0 ⇔ m > −27, thì max y = | − m| = |m|.
[−4;−2]
"
m = −2020
(loại)
Theo yêu cầu của bài toán, ta có |m| = 2020 ⇔

m = 2020
(thỏa mãn).
Nếu −m > 0 ⇔ m < 0 thì max y = max{| − m − 27|; | − m|} = |m + 27|.
[−4;−2]

Theo u cầu của bài tốn, ta có
"
"
m = 1993
(loại)
m + 27 = 2020
⇔
|m + 27| = 2020 ⇔
m + 27 = −2020
m = −2047. (thỏa mãn)
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn đáp án B
| Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) = x3 − 3x. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của
tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |f (sin x + 1) + m| bằng 4. Tổng
các phần tử của S bằng
A. 4.
B. 2.
C. 0.
D. 6.
$ Lời giải
Đặt t = sin x + 1 ⇒ t ∈ [0; 2]. Khi đó, ta có

y = |f (sin x + 1) + m| = |f (t) + m| =
t3 − 3t + m
.
Xét hàm số g (t) = t3 − 3t + m hàm số liên tục trên [0; 2] và có g 0 (t) = 3t2 − 3.
"
t = 1 ∈ [0, 2]
g 0 (t) = 0 ⇔ 3t2 − 3 = 0 ⇔
.
t = −2 6∈ [0, 2]
Ta có g (0) = m, g (1) = m − 2, g (2) = m + 2.
Suy ra max g (t) = m + 2 và min g (t) = m − 2.
[0;2]

[0;2]

Nếu (m − 2) (m + 2) ≤ 0 ⇔ m ∈ [−2; 2]. Từ giả thiết, ta có
(


|m − 2| = 4
⇒ m = −2. thỏa mãn

 |m − 2| ≥ |m + 2|
(



 |m + 2| = 4
⇒ m = 2. thỏa mãn
|m + 2| ≥ |m − 2|

skkn




. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.5
Nếu m + 2 < 0 ⇔ m < −2.
Ta có max |g (t)| = |m − 2| = 4 ⇔ m = −2. (loại)
[0;2]

Nếu m − 2 > 0 ⇔ m > 2.
Ta có max |g (t)| = m + 2 = 4 ⇔ m = 2. (loại)
[0;2]

Vậy S ∈ {−2; 2}. Suy ra, tổng các phần tử của S bằng −2 + 2 = 0.



| Ví dụ 3. Gọi
S
là
tập
hợp
các
giá
trị
của
tham
số
m
để

giá
trị
lớn
nhất
của
hàm
số

x2 − mx + 2m


trên đoạn [−1; 1] bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử
y =




x−2
của S.
5
8
B. 5.
C. .
D. −1.
A. − .
3
3
$ Lời giải
2

x − mx + 2m
4
trên [−1; 1] có f 0 (x) = 1 −
.
(x − 2)2
" x−2
x = 0 ∈ (−1; 1)
Suy ra f 0 (x) = 0 ⇔
x=4∈
/ (−1; 1).
1
Ta có f (−1) = −m − , f (0) = −m, f (1) = −m − 1.
3
Suy ra max f (x) = −m và min f (x) = −m − 1.
Xét hàm số f (x) =

[−1;1]

[−1;1]

Nếu −m(−m − 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 thì
max y = max {| − m − 1|; | − m|} = max{m + 1; −m}
[−1;1]

"

"
−m=3
m = −3
Có hai khả năng là

⇔
, khơng thỏa mãn điều kiện.
m+1=3
m=2
Nếu f (0) = −m < 0 ⇔ m > 0. Khi đó max y = | − m − 1| = m + 1.
[−1;1]

Theo yêu cầu bài tốn, ta có m + 1 = 3 ⇔ m = 2. (thỏa mãn)
Nếu f (1) = −m − 1 > 0 ⇔ m < −1, thì max y = −m.
[−1;1]

Theo u cầu bài tốn ta có −m = 3 ⇔ m = −3. (thỏa mãn)
Vậy tập các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là S = {−3; 2}.
Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là −3 + 2 = −1.
Chọn đáp án D
| Ví dụ 4. Cho hàm số y = |x3 − x2 − x + m|, với m ∈ Z. Có tất cả bao nhiêu số
nguyên m để min y < 3?
[1;3]

A. 21.

B. 22.

C. 4.
$ Lời giải

skkn

D. 20.




6
Xét hàm số f (x) = x3 − x2 − x + m, trênđoạn [1; 3].
x=1∈
/ (1; 3)
0
2
0

Ta có f (x) = 3x − 2x − 1, f (x) = 0 ⇔
1
x=− ∈
/ (1; 3).
3
Ta có f (1) = m − 1 và f (3) = m + 15.
Nếu (m − 1)(m + 15) ≤ 0 ⇔ −15 ≤ m ≤ 1, thì min y = 0 < 3. Trường hợp này có
[1;3]

17 số nguyên m thỏa mãn.
Nếu m − 1 > 0 ⇔ m > 1, thì min y = m − 1.
[1;3]

Theo u cầu bài tốn ta có m − 1 < 3 ⇔ m < 4, kết hợp điều kiện ta được
1 < m < 4. Trường hợp này có 2 số nguyên m thỏa mãn.
Nếu m + 15 < 0 ⇔ m < −15, thì min y = |m + 15| = −m − 15.
[1;3]

Theo yêu cầu bài tốn ta có −m − 15 < 3 ⇔ m > −18, kết hợp điều kiện ta được

−18 < m < −15. Trường hợp này có 2 số nguyên m thỏa mãn.
Vậy có tất cả 17 + 2 + 2 = 21 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án A



BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = |x4 − 2x2 − m| trên đoạn [−1; 2] bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S
bằng
A. −2.
B. 7.
C. 14.
D. 3.
Lời giải.
Xét hàm số f (x) 
= x4 − 2x2 − m trên đoạn [−1; 2] có f 0 (x) = 4x3 − 4x.
x=1∈
/ (−1; 2)

0
Khi f (x) = 0 ⇔ x = 0 ∈ (−1; 2)
x = −1 ∈
/ (−1; 2).
Khi đó f (0) = −m; f (−1) = f (1) = −m − 1; f (2) = −m + 8. Suy ra max f (x) = −m + 8
[−1;2]

và min f (x) = −m − 1.
[−1;2]

Nếu (−1 − m)(8 − m) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 8 thì min |f (x)| = 0, không thỏa mãn điều
[−1;2]

kiện đề bài.
Nếu −m − 1 > 0 ⇔ m < −1 thì min |f (x)| = | − m − 1| = −m − 1.
[−1;2]

Khi đó, theo đề ta có −m − 1 = 2 ⇔ m = −3. (thỏa mãn)
Nếu −m + 8 < 0 ⇔ m > 8 thì min |f (x)| = | − m + 8| = m − 8.
[−1;2]

Khi đó, theo đề ta có m − 8 = 2 ⇔ m = 10. (thỏa mãn)
Vậy tập các giá trị thỏa mãn là S = {−3; 10}. Suy ra tổng tất cả các phần tử của S là
−3 + 10 = 7.
Chọn đáp án B


skkn


. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.7
BÀI
2. Gọi S là tập

hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

x2 + mx + 3m


trên đoạn [−2; 2] bằng 5. Gọi T là tổng tất cả các phần tử của S.

y =