Trung học phổ thông Quảng Xương, đề thi học sinh giỏi khối A Bảng A môn toán có đáp án

THPT Quảng Xơng 3
Sở giáo dục và đào tạo
Thanh Hóa kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT

Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Bài 1 (4 điểm)
1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2

=
x
x
y
hai tiếp
tuyến tạo với nhau một góc 45
0
.
2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới
hạn bởi:
xy
2
log=
; x + y = 3; y = 0.
Bài 2 (4 điểm)
1. Tìm m để hệ
( )
( )

<+++
<++
077
022
2
2
mxmx
mxmx
có nghiệm.
2. Giải phơng trình
332
2
+= xxx
.
Bài 3 (4 điểm)
1. Giải phơng trình cos6x cos4x + 4cos3x + 4 = 0.
2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
6
13
coscoscos
1
coscoscos
++
+++
CBA
CBA

.
Bài 4 (4 điểm)
1. Giải phơng trình
( ) ( ) ( )
[ ]
23log5log3
53
+=+ xxxx
.
2. Tính
x
xx
x
13121
lim
3
0
++

.
Bài 5 (4 điểm)
1. Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đờng thẳng



=
=+
0122
0322
zyx

zyx
có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu.
2. Với a, b, c dơng và 1 R, chứng minh rằng:
11
1
11
1
11
1






+
+
+
+
+

+
+
+
+
+

ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh số báo danh
1
THPT Quảng Xơng 3
Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bà
i

ý
Nội dung Điể
m
I
1
TXĐ D = R\{1}
M Ox M(x
0
; 0), đờng thẳng qua M với hệ số góc k có phơng
trình: y = k(x x
0
) ()
() là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ:
( )
( )







=


=

k
x
xx

xxk
x
x
2
2
0
2
1
2
1
có nghiệm

( )
( )
0
2
22
1
2
1
xx
x
xx
x
x



=

( )
[ ]
021
00
=+ xxxx







+
=
=
1
1
2
0
0
0
0
xVoi
x
x
x
x
Với x
0

= 0 k = 0,
Với x
0
=
1
2
0
0
+x
x
k =
( )
2
0
0
1
4
+

x
x
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:
21
21
0
1
45
kk
kk
tg

+

=

( )
2
0
0
1
4
+x
x
=
1

223
0
=x
M
1
(
223 +
; 0), M
2
(
223
; 0).
0.5đ
0.5đ
0.5đ

0.5đ
2
Giao điểm của đồ thị hàm số
xy
2
log=
, và đờng thẳng x +y = - 3 là
A(2; 1) V =
( )








+

dxxdxx
3
2
2
2
1
2
3log
=V
1
+ V

2
V
1
=
dxx

2
1
2
log
=
dxxe

2
1
2
ln.log
=
=
( )
12ln2.log
2
e
.
V
2
=
( )
dxx

3
2
2
3
= =
3
1
V=[
3
1
+
( )
12ln2.log
2
e
] (đvtt)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
II
1
( )
( )

<+++
<++
)2(077
)1(022
2
2
mxmx
mxmx

1
= (m 2)
2
0 và
2
= (m 7)
2
0 m = 2 hoặc m = 7 thì
hệ phơng trình vô nghiệm.
Với





7
2
m
m
và
0

m
thì tập nghiệm của (1) là D
1
R
+
và tập
nghiệm của (2) là D
2
R
-
nên hệ phơng trình vô nghiệm.
Với m < 0 tập nghiệm D
1
= (m; 2) và tập nghiệm D
2
= (-7; -m)
hệ phơng trình luôn có nghiệm.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
y
O 1 2 3 x
1
THPT Quảng Xơng 3
Bà
i
ý
Nội dung Điể

m
Hệ phơng trình luôn có nghiệm với m < 0.
0.5đ
2

( )
( ) ( )( )
0133033
2
=+++=+++ xxxxxxxx

2
131
03
0
3
2

=



=

=+ x
xx
x
xx

2

173
023
1
13
2
+
=



=

=+ x
xx
x
xx
Kết luận:
2
131
=x
và
2
173 +
=x
là nghiệm.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
III

1

04cos33cos43cos2
2
=++ xsxx

( )
02sin213cos2
2
=++ xx





=
=
02sin
13cos
x
x

=
+=
2
3
2
3


lx
k
x
KL: Nghiệm x = + 2k
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
đặt
CBA coscoscos
++
= 1+
2
sin
2
sin
2
sin4
CBA
= t 1< t
2

3
Xét f(t) =
t
t
1
+
trên (1;
2
3
], có f(t) =
2
1
1
t

> 0 hàm số đồng
biến trên (1;
2
3
]
t (1;
2
3
] thì f(1) < f(t) f(
2
3
) =
6
13
Vậy

6
13
coscoscos
1
coscoscos
++
+++
CBA
CBA
Dấu bằng xảy ra khi:
CBA coscoscos
++
=
2
3
hay tam giác đều.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
IV
1
Pt
( ) ( )
3log5log
53
+ xx
=
3
2

+
x
x
với x > 5
Hàm số y =
( ) ( )
3log5log
53
+ xx
đồng biến trên (5; + )
Hàm số y =
3
2

+
x
x
có y=
( )
2
3
5


x
< 0 nghịch biến trên (5; + )
phơng trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ
2
L =
x
xxxx
x
131313121
lim
333
0
+++++

=
x
x
x
x
121
31lim
3
0
+
+

+
x
x
x
131

lim
3
0
+

= L
1
+ L
2
L
1
=
x
x
x
x
121
31lim
3
0
+
+

=
( )
121
2
31lim
3
0

++
+

xx
x
x
x
= 1
L
2
=
x
x
x
131
lim
3
0
+

=






++++

13131

3
lim
3
2
3
0
xxx
x
x
= 1
0.5đ
0.5đ
0.5đ
3
THPT Quảng Xơng 3
Bà
i
ý
Nội dung Điể
m
Vậy L = 2
0.5đ
V
1




=
=+

)(0122
)(
0322
Qzyx
P
zyx
ta nhận thấy





)(
)(
QI
PI
và (P) (Q)
hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng
phân giác 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là
hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phơng trình
2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
|2x + 4y z -3| = |x 2y -2z -1|



=
=++
04- 3z-x 3
0 2 - z 4y x

Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/) =
3
2141 +
=
3
4
Phơng trình mặt cầu cần lập là:
( ) ( ) ( )
9
16
111
222
=+++ zyx
0.5đ
0. 5đ
0.5đ
0.5đ
2
Giả sử a b c > 0
0
11
1
11
1
11
1

+

+
+








+

+
+








+

+



















ba
c
ba
c
ac
b
ac
b
cb

a
cb
a
0
1
11
11
1
11
1
11
1







+

+
+
+

+

+
+






+

+













baba
c
c
acac

b
b
cbcb
a
a
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
0
11
11
1
11
11
1
11
11
1

++
+
+
+
++
+
+
++

+



















bcac
acbaca
c
acac
abacbc
b
cbcb
cacbab
a

( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
0
11
11
11
1111
11
1111
11
1111
11









++

++
+
+

++

++
+
+








++

++

abcbbaba
acac
babaacac
cbcb
acaccbcb
baba
Điều này luôn đúng với mọi a b c > 0 và > 1, R
dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
4