Skkn một số phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số

Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Một số phơng pháp giải BàI TOáN
CựC TRị TRONG ĐạI Số ở trờng thcs
A - lời nói đầu

C
ác bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS có một ý nghĩa rất quan
trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. ở cấp 3 (THPT), để giải
quyết các bài toán về cực trị đại số, tìm giá trị cực đại, cực tiểu,
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biẻu thức đại số, ngời ta thờng phải
dùng đến công cụ cao cấp của toán học: đạo hàm của hàm số.
ở cấp THCS, vì không có (hay nói chính xác hơn là không đợc
phép dùng ) công cụ cao cấp của toán học nói trên, nên ngời ta phải
bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu
và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở cấp THCS để giải quyết
bài toán loại này. Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS góp phần
không nhỏ vào việc rèn luỵên trí thông minh cho học sinh ở cấp học
này.
Để giải các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS, học sinh phải
biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số, phải biến đổi và sử dụng
khá nhiều các dạng hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến
dạng phức tạp. Bởi thế, có thể nói, các bài toán cực trị đại số ở cấp
THCS tạo ra các khả năng giúp học sinh có điều kiện để "rèn luyện
kỹ năng biến đổi đồng nhất " các biểu thức đại số.
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS còn có sự liên quan mật
thiết đến các kiến thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phơng trình và hệ phơng trình, trong chừng mực nào ®ã ®Õn giíi
GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

1


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

hạn tuy còn ẩn tàng và nhiều lỉnh vực khác về tập hợp, về kiến thức
hàm số và đồ thị, v.v
Về mặt t tởng các bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần
gũi với kiến thức thùc tÕ cđa ®êi sèng x· héi, rÌn lun nÕp nghĩ khoa
học, luôn mong muốn làm những công việc đạt đợc hiệu quả cao
nhất, tốt nhất.
Tóm lại, các bài toán cực trị đại số ở cấp THCS là các bài toán
tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, kỹ năng t duy ở cấp học
này, nó rất cần thiÕt cho viƯc båi dìng häc sinh giái to¸n ë cÊp THCS
vµ cịng lµ tµi liƯu tù båi dìng cđa đội ngũ giáo viên ở cấp THCS .
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong Đại số còn gọi
là bài toán cực trị Đại số. Các em không thờng gặp bài toán dạng này
trong các sách giáo khoa môn Toán, bởi chúng là các bài toán khó. Các
bài toán cực trị thờng yêu cầu các em vận dụng nhiều kiến thức, linh
hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả
năng phán đoán. Nó lại thờng có nhiều con đờng đi ®Õn ®Ých b»ng
c¸ch vËn dơng nhiỊu kiÕn thøc kh¸c nhau. Trong đó có những cách
giải ngắn gọn hợp lí. Viêc giải toán cực trị giúp học sinh có thói quen
đi tìm phơng án tối u khi giải quyết các công việc trong đời sống,
kỷ thuật.
Trong phần trình bày tôi giới thiệu môt số phơng pháp thờng dùng
khi giải bài toán cực trị và một số bài bài tập áp dụng các kiến thức
đó. Tôi hy vọng với phần trình bày này sẽ giúp các em bớt khó khăn,
tiến tới tự mình giải đợc các bài toán dạng này và khi đó chắc chắn
các em sẽ thấy là những bài toán thú vị.

B - Nội dung nghiên cứu
GV: Vừ Quang Nht – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

2


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

I- Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất
Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của
f(x) trên D, kí hiƯu : M = maxf(x), nÕu hai ®iỊu kiƯn sau đợc thoÃ
mÃn :
- Với mọi x thuộc D thì f(x) M, với M là hằng số .
- Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M.
2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất
Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của
f(x) trên D, kí hiệu :

m = minf(x), nếu hai điều kiện sau

đợc thoà mÃn :
- Với mọi x thuộc D thì f(x) m, với m là hằng số.
- Tồn t¹i x0 thc D sao cho f(x0) = m.
Ta cịng định nghĩa giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y,...); giá trị
nhỏ nhất của biểu thức f(x,y,...) bằng cách tơng tự.

II. Các phơng pháp
Phơng pháp 1 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất,
giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng A(x)
0 ( hoặc A(x)

0)

a) Cơ sở lí luận
- Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không dơng
thì số 0 có giá trị lớn nhất.
-

Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không âm
thì số 0 có giá trị nhỏ nhất.
Từ đó, cã thĨ suy ra r»ng trong tËp hỵp M ={A(x) A(x)

0}

thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) = 0, và trong tập hợp N = {B(x)
B(x)

0 } thì B(x) đạt giá trị lớn nhất khi B(x) = 0 .
GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

3

Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

b) Các thí dụ
Thí dụ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc : A(x) = 2x 2 - 8x + 1, trong đó x
là biến số lấy các giá trị thực bất kì.
Giải : A(x) = 2x2 - 8x + 1 = 2x2 - 2.4x + 1 = 2( x2 - 2.2x + 4 - 4 ) + 1
= 2 ( x - 2 )2 - 7
Víi mäi gí trị của x, ( x-2)2

0 nên ta có A(x) = 2( x - 2)2 - 7

-7

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7, khi đó x = 2
Đáp sè : A(x)(nhá nhÊt) = -7, víi x = 2.
ThÝ dụ 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M(x) = -5x 2 - 4x + 1, trong ®ã x là
biến số lấy giá trị thực bất kì .
Giải: Ta cã : M(x) = -5x2 - 4x + 1 = -5( x2 +
= -5( x2 + 2.

)2

-

)+1

)2 +

= -5( x +
Ta thÊy ( x+

x+

x ) +1

0, víi mäi gi¸ trị x nên -5(x +

Từ đó suy ra rằng M(x) = -5( x +

nhất )

=

0.

)2 +

Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) =
Đáp số : M(x)(lớn

)2

, lúc đó x =

, khi x =

.

.

Phơng pháp 2 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng
( hoặc

0

0 ).

Thí dụ 3 .
GV: Vừ Quang Nht THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

4


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số sau:

A(x) =

, với

x thuộc miền số thực dơng.
Giải : Ta có :

A(x) =

=

=

Vì x > 0, nên ta có : A(x) =
> 0, th× ( x - 4 )2 0, do đó A(x) =

Với

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) =
Đáp số : A(x)

(nhỏ nhất )

=



, lóc ®ã x = 4.

víi x = 4.

ThÝ dơ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số M(x) =
với

x

R.

Giải:
Ta có:
M(x) =

=
(vì x2 + 2x + 3 = ( x + 1 )

Mặt khác, vì ( x + 1 )2 0,
do đó

x

2

+ 2 > 0)

R nên ( x+1 )2 + 2 ≥ 2,

. Tõ ®ã ta cã M(x) = 3 +

Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) = 3

x

R, và

3
, lúc đó (x+1)2 = 0, hay

x=-1.

Đáp số : M(x)(lớn nhất )= 3

, với x=-1.

Thí dụ 5.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : F(x,y) =
x,y

, víi

R.
GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

5


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Giải : Ta có F(x) =
y4+ 1 0,

y

=

( vì

R)

Mặt khác x2 0,

x

R nên x2 + 2 2,

x

R do đó F(x,y) =

.
Vậy F(x,y) đạt giá trị lớn nhất khi F(x,y) =
Đáp số : F(x,y)

( lớn nhất )

=

, lúc đó x = 0.

; với x = 0,

y

R.

Phơng pháp 3 - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
a) Cơ sở lí luận :

Bất đẳng thức Côsi đợc viết dới các dạng khác nhau dới đây ( chỉ
áp dụng với các số không âm ).
1. Dới dạng căn thức :
1)
2)
3) Một cách tổng quát:
2. Dới dạng luỹ thừa :
1)
2)
3)
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
Chứng minh rằng nếu hai đại lợng dơng x và y có tích luôn luôn
không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
giá trị của chóng b»ng nhau.
GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

6


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Giải .
Từ bài toán trên, ta phải chứng minh r»ng víi x > 0, y > 0, vµ xy =
k2 (không đổi) thì x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y.
Thật vậy
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta có :
( x+y)2

hay

4xy
ha

y x+y

4

Theo giả thiết : Ta có xy = k2 (không ®ỉi), nªn ta cã :
x+y

(*)

VËy tỉng M = x + y lấy giá trị nhỏ nhất khi x + y = 2k.
Theo bất đẳng thức Côsi, x + y = 2k = 2

khi vµ chØ khi x = y.

VËy x + y = 2k khi vµ chØ khi x = y.
Tóm lại :
Với x > 0, y > 0 và xy = k2 (không đổi ), thì x + y nhỏ nhất
khi và chỉ khi x = y
Bài toán tìm giá trị lớn nhất
Chứng minh rằng, nếu hai đại lợng dơng có tổng không đổi thì
tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi giá trị của chúng
bằng nhau.
Giải : (áp dụng bất đẳng thức Côsi và chứng minh tơng tự ở trên)
Tóm lại
Với x > 0, y > 0 và

x + y = k 2 (không đổi ) thì xy lớn nhất khi và

chỉ khi x = y

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

7


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Chúng ta sẽ sử dụng kết quả của hai bài toán trên để giải các bài toán
về cực trị đại số.
Thí dụ 6
Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức đại số sau: A(x) =

, với x >

0.
Giải : Ta cã : A(x) =

= 8x +

Ta thÊy 8x vµ

lµ hai đại lợng lấy giá trị dơng không đổi, nhng tích

của chúng 8x.

= 16 luôn luôn không thay đổi.

Vậy A(x) = 8x +

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 8x =

hay

8x2 = 2
Từ đây, ta tính đợc x2 =

, suy ra x =

®iỊu kiƯn x > 0, ta chỉ lấy giá trị x =
Với x =

; A(x)( nhỏ nhất ) = 8.

+

hoặc x =

. Kết hợp với

.

= 4 + 4 = 8.

Đáp số : A(x)( nhỏ nhất ) = 8; với x =

.

Thí dụ 7:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số B(x) =16x3- x6, với x thuộc
tập hợp số thực dơng.
Giải:
Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc các bài toán áp
dụng bất đẳng thức Côsi.
Từ B(x) = 16x3 - x6 , ta cã : B(x) = x3(16 -x3 ). Râ ràng x3 > 0; còn 16
- x3 > 0
khi 16 > x3 hay x <

(*)

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

8


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Đến đây ta nhận thấy rằng x3 và 16 - x3 là hai đại lợng biến đổi nhng tổng cđa chóng x3+ (16-x3) = 16 lu«n lu«n kh«ng thay đổi, vậy
tích của chúng B(x) = x 3(16-x3) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x 3
= 16 - x3. Từ đây ta có : 2x3 = 16 hay x3 = 8. Ta tính đợc
x = 2. Giá trị x = 2 thoả mÃn điều kiện (*).
Vậy B(x) đạt giá trị lớn nhất tại giá trị x = 2.

B(x)( lín nhÊt ) = 16 . 23-26 =(16-23).23 = 8 . 8 = 64.
Đáp số: B(x)( lớn nhất ) = 64, với x = 2
Phơng pháp 4 - Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp
đặt ẩn phụ.
Thí dụ 8.

Với giá trị nào của x thì biểu thức
P(x) =

, đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải
Đây là một bài toán rất khó giải đối với học sinh. Bởi vì trong bài toán
còn ẩn tàng cả phép giải phơng trình, xét các dấu hiệu có thể áp
dụng đợc bất đảng thức Côsi hay không, ngoài ra việc biến đổi
đồng nhất để rút gọn đợc biểu thức không phải không có khó khăn
1)Trớc hết ta biến đổi biểu thức về dạng để có thể áp dụng đợc các
bài toán về bất đẳng thức Côsi.
Bằng cách biến đổi đồng nhất, ta cũng có thể biến đổi tử thức
thành tích các nhân tử và sau đó rút gọn. Cách này khá dài dòng và
gặp không ít khó khăn
Để đơn giản hơn, ta dùng phơng pháp chia đa thức cho đa thức
4x4 + 16x3 + 56x2 + 80x + 356
x2+ 2x +5
4x4 + 8x3 + 20x2
4x2 + 8x + 20
0 + 8x3 + 36x2 + 80x +356
8x3 + 16x2 + 40x
0 + 20x
20x22 ++ 40x

40x ++ 100
356
0 + 0 + 256

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

9


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Kết quả ta đợc :
P(x) = 4x2 + 8x + 20 +
V× x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x+1)

2

+ 4 > 0 (*), nên P(x)

luôn luôn xác đinh với mọi giá trị x.
2) Đặt ẩn phụ để đa về xét biểu thúc có dạng đơn giản hơn
Từ P(x) = 4x2 + 8x + 20 +

, ta cã : P(x) = 4 ( x 2 + 2x +

5)+
Đặt y = x2 + 2x + 5, ta cã :
P(x) = 4y +

4y vµ

, vµ y = x2 + 2x + 5 > 0 với mọi x.

là các đại lợng luôn lấy giá trị dơng và có tích bằng 1024 (

không đổi ). Vậy tổng 4y +
4y =

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

.

Từ đây ta đợc y2 = 64.
Giải phơng trình y2 = 64, ta đợc y = 8 hoặc y = -8.
Từ trên , vì y > 0 nên ta chỉ lấy giá trị y = 8.
Với y = x2 + 2x + 5 = 8, giải phơng trình bậc hai này ta đợc x = -3 ,
x = 1.
Vậy P(x) lấy giá trị nhỏ nhất khi x = -3 hc x = 1 ( øng víi y = 8 ), ta
tính đợc :
P(x) = 4.8 +

= 64.
Đáp số : P(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 64 khi x =

-3 hay x = 1.
Thí dụ 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số sau :
Q(x) = ( x2 - 2x + 2 ) ( 4x - 2x2 + 2 ), víi

x

R.

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

10


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Giải: Nhận xét về các hệ số của ẩn x, ta thÊy r»ng 4x - 2x 2 = 2 ( 2x x2 ) = -2( x2 - 2x).
Do ®ã đặt x2 - 2x + 2 = y thì ta cã : 4x - 2x 2 + 2 = -2( x2- 2x + 2) +
6 = -2y + 6
VËy Q(x) = ( x2 - 2x + 2 ) ( 4x - 2x2 + 2 ) = y ( 6 - 2y )
Ta liên tởng đến vấn đề tích 2 số lớn nhất khi tổng của chúng không
đổi. ở đây y và
6 - 2y thoả mÃn điều kiện trên vì thế để tìm giá trị lớn nhất của
Q(x) ta chuyển sang tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x) = 2.Q(x)
Ta cã P(x) = 2.Q(x) = 2.y( 6 - 2y)
Ta thÊy y = x2 - 2x + 2 = ( x - 1 ) 2 + 1 > 0, 6 - 2y > 0 khi 6 > 2y hay
y<3
Ta l¹i cã 2y + ( 6 - 2y ) = 6 không đổi .
Vậy P(x) = 2.Q(x) đạt giá trị lớn nhÊt khi 2y = 6 - 2y, lóc ®ã y =
( thoả mÃn ĐK ).
Vậy P(x)

Lớn nhất

Q(x)
Lúc đó y =
x=1

= 2.

Lín nhÊt

( 6 - 2.
=

) = 3.3 = 9.

= 4,5.

, hay x2 - 2x + 2 =

. Giải phơng trình bậc hai ta đợc :

.
Đáp số : Q(x)

Lớn nhất

= 4,5 ; với x = 1

.

Phơng pháp 5 - Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các biểu thức
chứa nhiều đại lợng.

Thí dụ 10 .
Tìm giá trị của m vµ p sao cho : A = m 2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p +
28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải : Ta cã A = ( m2 - 4mp + 4p2 ) + ( p2 - 2p + 1 ) + 27 + 10m - 20p
11
GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong §¹i sè

= ( m - 2p )2 + ( p - 1 )2 + 27 + 10( m - 2p )
Đặt X = m - 2p, ta có :
A = X2 + 10X + ( p - 1 )2 + 27 = ( X + 5 )2 + ( p - 1 )2 + 2.
Đến đây, ta thấy rằng ( X + 5 ) 2  0,

m, p

R; ( p -1 )2 0 ,

p

R, do đó A đạt giá trị nhỏ nhất khi X + 5 = 0 và p - 1 = 0.
Lóc ®ã ,
VËy A



, hay

( Nhá nhÊt )

.

= 2 ; víi p = 1; m = -3.

Thí dụ 11. Với giá trị nào của x và y, biểu thức sau đây đạt giá trị
nhỏ nhất ?
F(x,y) = x2 + 26y2 - 10xy + 14x - 76y + 59.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải: Ta có F(x,y) = x2 + 26y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 = ( x2 - 10xy +
25y2 ) + ( y2 - 6y + 9 ) + ( 14x - 70y ) + 50 = ( x - 5y ) 2 + ( y - 3 )2 +
14( x - 5y ) + 50.
Đặt Z = x - 5y, ta cã :
F(x,y) = Z2 + ( y - 3 )2 + 14Z + 50 = ( Z + 7 )2 + ( y - 3 )2 + 1.
V× ( Z + 7 )2  0 vµ ( y - 3 ) 2 0 với mọi giá trị x, y nên F(x,y) đạt giá
trị nhỏ nhất khi
( Z + 7 )2 = 0 vµ ( y - 3 ) 2 = 0. Tõ ®ã suy ra Z = -7, y = 3 hay

Đáp số : F(x,y)

nhỏ nhất

= 1, với x = 8, y = 3.

Phơng pháp 6- Phơng pháp giải các bài toán cực trị đại số có hệ
ràng buộc ( thoả mÃn một hệ các điều kiện nào đó ).
Thí dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(x,y) = 6x + 4y thoả
mản điều kiện :
Giải: Vấn đề quan trọng và then chốt là ta phải tìm ra từ biểu thức

đà cho P(x,y) = 6x + 4y ta làm xuất hiện đợc các yếu tố ràng buộc đÃ
cho.
Từ P(x, y) = 6x + 4y, với x > 0, y > 0 nªn 6x > 0, 4y > 0 và do đó
GV: Vừ Quang Nht THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

12


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

( áp dụng bất đẳng thức Côsi )
Từ đó

Đến đây ta làm xuất hiện tích xy.

Theo giả thiết ( rµng buéc ), ta cã xy = 216, suy ra P(x,y) đạt giá trị
nhỏ nhất là:
P(x,y) =

= 144

Đáp số : P(x,y)

nhỏ nhất

= 144.

Thí dụ 13 . Tìm giá trị của x, y, z ®Ĩ biĨu thøc sau : F(x,y,z) = 2x +

3y - 4z đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng x, y, z thoả mÃn hệ ràng buộc
sau đây :
Giải: Từ điều kiện

, trớc hết ta tính x, y theo z, ta đợc

Để x 0 thì 4 - 3z  0, suy ra z 
§Ĩ y  0 thì 3z - 2 0, suy ra z
Để x 0 và y 0, phải có điều kiện :

z

(***)

Thay các giá trị của x,y từ (*) và (**) vào biểu thức đà cho ta đợc
F(x,y,z) = 2(4 -3z) + 3(3z - 2) - 4z = 2 - z.
Nh vậy F(x,y,z) chỉ còn phụ thuộc vào giá trị của z . F(x,y,z) đạt giá
trị nhỏ nhất khi z đạt giá trị lớn nhất. Nhng từ ràng buộc, z chỉ có thể
lấy các giá trị trong khoảng xác định

2
3

z

mà thôi .

Từ đó suy ra : F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất với hệ ràng buộc ®· cho
khi z =

.

Tõ ®ã ta tÝnh ®ỵc x = 4 - 3z = 4 - 3.
Và F(x,y,z)

nhỏ nhất

Đáp số : F(x,y,z)

=2nhá nhÊt

4
= 0; y = 3z - 2 = 3.
3

-2=2

4
2
= .
3
3

=

; víi x = 0, y = 2, z =

.

GV: Võ Quang Nhật – THCS

Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

13


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Thí dụ 14 . Cho biểu thức đại số sau : P = x 1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 ;
với x1, x2, x3, x4, x5 là các đại lợng lấy giá trị không âm.
HÃy tìm giá trị lín nhÊt cđa P, biÕt r»ng : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1.
Gi¶i: Tõ P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 , vµ v× x1x4 + x2x5  0, ta cã :
P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5  x1x2 + x2x3 + ( x1x4 + x2x5 )
+ x3x4 + x4x5
BiÕn tổng thành tích ta đợc :
P x2 (x1 + x3 + x5 ) + x4(x1 + x3 + x5) hay P  (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 )
Đến đây ta nhận thấy rằng :
Do giả thiết các xi ( i = 1,2,,5) 0 nên các tỉng (x1 + x3 + x5) vµ
tỉng (x2 + x4) là đại lợng không âm.
Đặt U = x1 + x3 + x5 ; V = x2 + x4
Ta cã : U  0, V  0 vµ U + V = 1
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

hay
(1)

Ta l¹i cã : (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 ) = x1x2 + x2x3 +

x1x4 + x2x5 + x3x4 +

x4 x5
Suy ra (x1 + x3 + x5 )(x2 + x4)  x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
Theo giả thiết, ta cã x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1, nªn ta cã

x1x2 +

x2x3 + x3x4 + x4x5.
P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 đạt giá trị lớn nhất bằng

khi và chỉ khi

Từ trên ta suy ra x1 = x2 = x5 = 0, x3 = x4 =

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

14


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Đáp số : P

( lớn nhất )

=

, với x1 = x2 = x5 = 0 vµ x3 = x4 =

.

Phơng pháp 7 - Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp sử
dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski.

1.Bất đẳng thức Bunhiacốpski
a) Viết dới dạng luỹ thừa :
( ax + by )2  ( a2 + b2 ) ( x2 + y2 )
DÊu b»ng xÈy ra khi
 ( ax + by + cz )2  ( a2 + b2 + c2 ) ( x2 + y2 + z2 )
DÊu b»ng xÈy ra khi

.

 Tỉng qu¸t ta cã :
( a1b1 + a2b2 +…+ anbn )2  ( a12 + a22 +…+ an2 )( b12 + b22 +
…+ bn2 )
DÊu bằng xẩy ra khi

.

b) Viết dới dạng căn thức:
ax + by 
DÊu b»ng xÈy ra khi
 ax + by + cz 
DÊu b»ng xÈy ra khi

.

* Tỉng qu¸t ta cã :
a1b1 + a2b2 +…+ anbn 
DÊu b»ng xÈy ra khi

.

2.C¸c thÝ dơ
ThÝ dơ15

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

15


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Tìm các giá trị của x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt
giá trị nhỏ nhất :
P = x2 + y2 + z2. Tìm giá trị nhá nhÊt ®ã. BiÕt r»ng x + y + z
= 1995.
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho các bộ số 1, 1, 1 vµ
x, y, z ta cã :
( x.1 + y.1 + z.1 )2  ( 12 + 12 + 12 )( x2 + y2 + z2 )
hay ( x + y + z )2  3 . ( x2 + y2 + z2 )
Tõ ®ã ta cã : P = x2 + y2 + z2 
Theo gi¶ thiÕt : x + y + z = 1995, nªn ta cã P = x 2 + y2 + z2 
víi

.

P đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xẩy ra, tøc P =
chØ khi
Tõ

( hay x = y = z ).
ta tính đợc x = y = z =

Đáp sè : P

( nhá nhÊt )

=

= 665.

, víi x = y = z = 665.

ThÝ dơ 16
Cho biĨu thøc Q(x,y,z) =

, trong đó x, y, z là các

đại lợng
thoả mÃn điều kiện x2 + y2 + z2 = 169.
Tìm các giá trị của x, y, z để sao cho Q(x,y,z) đạt giá trị lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó.
Giải

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

16


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho các bộ sè 2, 4,
ta cã :

vµ x, y, z

,

hay Q2(x,y,z) = ( 2x + 4y +

z )2 

.

Theo gi¶ thiÕt ta cã : x2 + y2 + z2 = 169, víi
Q2(x,y,z) 25.169 và lúc đó
Từ (*) ta có z =

,y=

, do đó ta có :

(*).
= 2x thay vào phơng trình x2 + y2 + z2

= 169, ta cã :
x2 + ( 2x )2 + (

)2 = 169

 x2 + 4x2 +

= 169

 25x2 = 4.169  x2 =
x=

.

* Víi x =

, y=

* Với x = -

, y=-

Q(x,y,z)

=

( lớn nhất )

Đáp sè : Q(x,y,z)
=

, z=
, z=-

.

= 5.13 = 65.
( lín nhÊt )

= 65 øng víi c¸c bé sè ( x =

;y=

;z

).

Phơng pháp 8 - Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị.
Thí dụ17 : Tìm giá trị lớn nhất của A = x2 ( 3 - x ), víi x  0 .
Gi¶i : a) XÐt 0  x  3. Ta cã : A = 4.

( 3 - x ).

áp dụng bất đằng thức Côsi cho 3 số không âm

, 3 - x ta đợc

GV: Vừ Quang Nht THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

17


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

(3-x)

.

Do đó A 4.1 = 4

(1)

b)Xét x > 3, khi đó A < 0 (2)
So sánh (1) và (2) ta ®i ®Õn kÕt luËn : MaxA = 4



x = 2.
Thí dụ18 : Tìm giá trị lớn nhất cđa B = x
Gi¶i :

.

a) XÐt -1  x  0 th× B  0 (1)

b) XÐt 0 < x 1 thì B = x

Do đó Max B =




x=

Phơng pháp 9 : Phơng pháp áp dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai.
Chúng ta biết rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 (a  0) cã nghiÖm là = b2 - 4ac 0 hoặc , = b,2 ac ( víi b = 2b,); ®iỊu kiƯn này đợc sử dụng để giải khá nhiều dạng
toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
một biểu thức. Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Thí dụ 19. Tìm GTLN và GTNN cđa biĨu thøc Q =
Gi¶i:

.

Do x2 - x + 1 > 0 với mọi x nên Q xác định với mọi x. Giả sử tồn

tại x để Q đạt GTLN và GTNN, khi đó phơng trình

Q.( x2 - x + 1) =

x2 - 2x + 2
 (Q - 1) x2 + (2 - Q) x + Q - 2 = 0 (*)

phải có nghiệm đối với ẩn

x.
Nếu Q = 1 th× (*)  x = 1.
NÕu Q  1 th× (*) là một phơng trình bậc hai đối với ẩn x, cã nghiÖm
 x  0
GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

18


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong §¹i sè

 (2 - Q)2 - 4(Q - 1)(Q - 2)  0  (Q - 2)(-3Q + 2)  0 

 Q  2.

< 1 < 2 suy ra : Q đạt GTLN là 2 x = 0 ( thay vào (*) );

Vì

Q đạt GTNN là

x = 2.

NhËn xÐt : VÝ dơ 1 cã thĨ më réng cho biểu thức tổng quát có dạng
với b22 - 4a2c2 < 0.

Q(x) =

Thí dụ 20 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q =

.

Giải: Ta có Q xác định với mọi x, y.
Ta tìm Q để tồn tại x, y tháa m·n Q =

hay Q.x2 - x + Q.y2 +

7Q - 2y - 1 = 0 (*)
Víi Q = 0 thì (*) trở thành x + 2y + 1 = 0 hiển nhiên tồn tại x và y,
chẳng hạn x = 0,

y =-

.

Với Q 0 thì tồn tại x, y tháa m·n (*)  tån t¹i y tháa m·n :
4Q2y2 - 8Qy + 28Q2 - 4Q -1  0


0 

 0  28Q2 - 4Q - 5  0  -

Víi x = 1, y = 2 th× Q =
Với x =

,y=

nên Q đạt GTLN là

thì Q = -

Q

.

.

nên Q đạt GTNN là -

.

Phơng pháp 10 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá
trị tuyệt đối.
a) Cơ sở lý luận : Khi tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay giá trị lớn
nhất (GTLN) của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta thờng xét các trờng hợp để khử dấu giá trị tuyệt đối để vẽ đồ thị
GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

19


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

hoặc sử dụng các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối nh :
..., sau đó xét khả năng trở thành đẳng thức. Vấn đề
này đề cập đến một phơng pháp tìm GTNN, GTLN khá hiệu quả

cho một lớp bài toán.
Giả sử tồn tại m là GTNN của hàm số f(x) trên miền D khi đó f(x)
m với mọi x

D

Với môt số
f(x)

f(

D thì m sẽ đat tại các giá trị x thoả mÃn điều kiện
). Từ đó xác định đợc x

K, trong đó K

D đợc gọi là

phạm vi tìm kiếm .
Để tìm giá trị m của hàm số f(x) trên miền D, khi đó ta chỉ cần tìm
giá trị m trên miền K(tơng tự đối với GTLN). Nếu chọn đợc số
mà f(

) < f(

khác

) thì ta sẽ xác định đợc phạm vi tìm kiếm hẹp

hơn.

Phơng pháp này cần có kĩ năng giải bất phơng trình để tìm đợc K.
Công việc trên đợc ví giống nh ta đi tìm chiếc chìa khoá bị đánh
rơi, nếu ta chắc chắn nó bị rơi trong nhà thì không lẽ ta lại tìm nó
ở ngoài đờng?
b) Một số thí dụ:
Thí dụ 21. Tìm GTNN của hàm số : y = f(x) =

+

Giải: Hàm số y = f(x) có tập xác định là R
Cách 1. Vì f(

)=

nên ta chỉ cần tìm x thoả mÃn f(x)

, suy ra

:
;
Giải hệ phơng trình trên, ta nhận đợc phạm vi tìm kiếm K =
Chỉ cần xét x

K, ta có x + 1 > 0; 1 - 2x
Đẳng thức xảy ra

x=

0 suy ra f(x) = 2 - x
K

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

20


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Vậy GTNN của f(x) là
Cách 2. Ta có

, suy ra

f(x) =

=

Mặt khác, f(

) =

nên GTNN f(x) là

Bình lụân : Mặc dù cách 2 đơn giản hơn cách 1 nhng không phát
huy đợc cho các
bài toán dới đây.
Thí dụ 22. Tìm GTNN của các hàm số sau :
a) y = f(x) =

b) y = g(x) = 3

;
;

c) y = h(x) = 2

;

Giải. 1, Lời giải cho cả câu a) và câu b)
Vì f(1) = 2 = g(1) nên ta chỉ cần tìm x thoả mÃn :
2;

;

Do f(-1) > 2 và g(-1) > 2 nên ta chỉ cần xét x thuộc miền K =

,

ta có
f(x) = (x - 1) +
Đẳng thức xÈy ra

=x+
x=

VËy GTNN cđa f(x) lµ 2
g(x) = 3(x - 1) +
Đẳng thức xẩy ra

-1 2

=
x=1

- 1.

K.
-1
+ x - 3  2.2 + 1 - 3 = 2.
K.

VËy GTNN của g(x) là 2.
2) câu c)
GV: Vừ Quang Nht THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

21


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Vì h(-1) = 2 nên ta chỉ cần tìm x tháa m·n h(x)  2 suy ra 2
2;



 2,

Gi¶i hệ hai bất phơng trình này ta thu đợc miền K =

. Víi x

K ta cã .
h(x) = -2(x + 1) +
Đẳng thức xẩy ra

- x - 1 2 - (-1) -1 = 2.

=x = -1

K.

VËy GTNN cña h(x) là 2.

III . Bài tập áp dụng
1. Cho biểu thức M(x) = x2 - 10x + 40 . Víi gi¸ trị nào của x
thì M(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
2. Cho biểu thức Q(x) =

. Với giá trị nào của x thì

Q(x) đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
3. Cho biểu thức A(x) =

, với x -1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A(x) và giá trị tơng ứng của x.
4. Cho biểu thức F(x) =

.

Tìm giá trị của x để F(x) đạt giá trị lớn nhất.
5. Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A(x) víi A(x) =
6. T×m giá trị nhỏ nhất của y, biết rằng y =

, với x >

0.
7. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đây đạt giá trị lớn
nhất :
A(x) =

, víi x > 0.

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

22


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

8. Tìm giá trị cuả x để hàm số y =
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc
P(x, y) =
BiÕt r»ng x > 0, y > 0 và x + y = 100

10. Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc
M (x, y, z) = xyz
Víi hƯ ràng buộc sau đây :
11. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc :
B (x,y) = x2 + 26 y2 - 10xy + 14x - 76y + 59
12. Cho hÖ phơng trình :
Tìm các giá trị của x, y, z ®Ĩ biĨu thøc A( x, y, z) = x +
y+z
®¹t giá trị lớn nhất.
13. Cho biểu thức F(x,y,z,t) = 2x + y + z + t.
HÃy tìm giá trị lớn nhÊt cđa F(x, y, z, t) biÕt r»ng:
vµ x, y, z, t là các số không âm
14. Tìm giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè sau :
F (x) = x ( x +1 )( x + 2 )( x + 3 )
15. Tìm giá trị của các đại lợng x, y để sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất :
Q(x,y) = x3 + y3 +xy. BiÕt r»ng : x + y = 1.
16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc
P( x, y, z) =

GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

23


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

Biết rằng x, y, z thoà mÃn điều kiện sau :

17. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A(x)=

, với x > 0

18. Tìm giá trị của x, y, z để sao cho biểu thức sau đây
đạt giá trị nhá nhÊt :
F ( x, y, z ) = x4 + y4 + z4
BiÕt r»ng x, y, z tho· m·n phơng trình sau : xy + yz +
zx = 1
19. cho biÓu thøc M = x2 + y2 + 2z2 + t2, với x, y, z, t là các
số nguyên âm.
HÃy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng
của x, y, z, t.
Biết rằng :
20. Cho hàm số :
y=

+

+

Tìm khoảng xác định của hàm số y. Tính giá trị lớn
nhất của hàm số trong
khoảng xác định đó và các giá trị tơng ứng
của x .
21. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) y =
b) y =

;
;

22. Cho phơng trình bậc hai Èn sè x vµ y :
x2 + 3y2 + 2xy - 10x - 14y + 18 = 0.
HÃy tìm các nghiệm số của phơng trình để sao cho
biểu thức A = x + y
a) Đạt giá trị lớn nhất ?
GV: Võ Quang Nhật – THCS
Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

24


Một số phơng pháp giảI bài toán cực trị trong Đại số

b) Đạt giá trị nhỏ nhất ?

c- Kết luận chung
Trong phần trình bày trên tôi đà cố gắng su tầm, phân dạng các
bài toán cực trị Đại số theo các kiến thức thờng dùng khi giải. Tuy nhiên
một bài toán cực trị thờng có nhiều cách giải trong đó có nhiều cách
giải ngắn gọn hợp lí đôi khi có cả những phơng án độc đáo và sáng
tạo.
Tôi đà áp dụng đề tài này trong một thời gian tơng đối dài để bồi dỡng học sinh khá, giỏi tôi thấy lúc đầu học sinh còn mơ hồ về bài
toán dạng này nhng sau khi học thì học sinh đà tích cực học và đạt
hiệu quả tơng đối cao. ở trên tôi chỉ trình bày cách giải cho một
bài toán; chắc chắn còn rất nhiều phơng pháp, cách giải bài toán
hay và khó tôi cha su tầm, tìm tòi đợc.

Tôi hy vọng sau khi đọc bạn đọc có ý kiến góp ý, bổ sung để
phần trình bày của tôi hoàn chỉnh hơn, để nó có ích hơn trong
quá trình dạy học nhất là trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi.
Xin trân trọng cảm ơn!

GV: Vừ Quang Nht THCS
Thy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
skkn

25