Phương pháp giải toán đại số 7

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 91 trang )

Phương pháp giải toán Đại số 7

CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ
I. ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP
- Số tự nhiên:
- Số nguyên:
- Số hữu tỉ:
- Số vô tỉ:
- Số thực: I+Q=R
II. Số hữu tỉ:
1. Kiến thức cần nhớ:
a
a
- Số hữu tỉ có dạng
trong đó b≠0;
là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái
b
b
dấu. Số 0 không phải là số hữu tỉ dương, khơng phải là số hữu tỉ âm.
- Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách:
1
1
Cách 1:Số thập phân vô hạn tuần hồn (Ví dụ: =0.3333 ) và số thập phân hữu hạn (Ví dụ: =0.5)
3
2
Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và số 0
- Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực hiện như phân số:
Cộng trừ số hữu tỉ

Nhân, chia số hữu tỉ
1. Qui tắc

-

Đưa về cùng mẫu, rồi cộng trừ tử số giữ
nguyên mẫu.

-

Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
Phép chia là phép nhân nghịch đảo.
Nghịch đảo của x là 1/x

Tính chất
a) Tính chất giao hốn: x + y = y +x; x . y =
y. z
b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z)
(x.y)z = x(y.z)
c) Tính chất cộng với số 0:
x + 0 = x;

x.y=y.x ( t/c giao hoán)
(x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp )
x.1=1.x=x
x. 0 =0
x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối
của phép nhân đối với phép cộng

Bổ sung
Ta cũng có tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ, nghĩa là:

Phương pháp giải toán Đại số 7

x+ y x y
= + ;
z
z z

x− y x y
= − ; x.y=0 suy ra x=0 hoặc y=0
z
z z

-(x.y) = (-x).y = x.(-y)
- Các kí hiệu: : thuộc , : khơng thuộc , : là tập con
2. Các dạng toán:
Dạng 1: Thực hiện phép tính
- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.
- áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính.
- Rút gọn kết quả (nếu có thể).
Chỉ được áp dụng tính chất:
a.b + a.c = a(b+c)
a : c + b: c = (a+b):c
Không được áp dụng:
a : b + a : c = a: (b+c)
Ví dụ:

1 2 1 5 1 2 5 1
. + . =
+ =

5 7 5 7 5 7 7 5

( )

Bài 1:

−2 −1
11 1
+
−
a) 3 26 b) 30 5

−9 17
1 1
−5 3
.
1 .1
:
c) 34 4 d) 17 24 e) 2 4 ;

1
4
4 : −2
5
f) 5

( )

Bài số 2: Thực hiện phép tính:

2
1 3
−4 . +
2 4
a) 3

( )

b)

c)
Bài số 3:Tính hợp lí:

(

−1 5
+ . 11−7
3 6

)

d)

a)
b)
c)
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:
a
-PP: Nếu
là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía

b
chiều dương trục Ox a phần , ta được vị trí của số

a
b

Phương pháp giải tốn Đại số 7
Ví dụ: biểu diễn số
phân số biểu diễn số

5
: ta chia các khoảng có độ dài 1 đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 5 phần ta được
4
5
4

Hình vẽ:
Nếu

a
là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều âm
b

trục Ox a phần , ta được vị trí của số

a
b

BÀI TẬP

Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: a.

1 3 5
−3 2
; ; ;b.
;
2 8 4
5 −7

Dạng 3: So sánh số hữu tỉ.
PP:
* Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số.
* So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1…
* Dựa vào phần bù của 1.
* So sánh với phân số trung gian( là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia)
BÀI TẬP
Bài 1. So sánh các số hữu tỉ sau:
a)
và
; b)
Bài 2. So sánh các số hữu tỉ sau:
a)

và

2
5

;

3
và 4

b)

và

và

;

2000 2001
và
f) 2001 2002 ;

c)

c)

2001
g) 2000

và y = 0,75

và

1
d) 2

2002

3
và 2001 ; h) 5

1
và 3
4
và 9

19
; k) 60

và

e)

31
90
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số hữu tỉ dương, âm, là số 0 (không dương không âm).
a
PP: Dựa vào t/c là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu, bằng 0 nếu a=0.
b
Ví dụ: Cho số hữu tỉ
a) x là số dương.

. Với giá trị nào của m thì :
b) x là số âm.
c) x không là số dương cũng không là số âm

Phương pháp giải toán Đại số 7

HD:
m−2011
>0, suy ra m-2011>0 ( vì 2013>0), suy ra m>2011
2013
m−2011
<0, suy ra m-2011<0 ( vì 2013>0), suy ra m<2011
b. Để x<0 thì
2013
m−2011
=0 , suy ra m-2011=0 suy ra m=2011
c.Để x=0 thì
2013

a. Để x>0 thì

BÀI TẬP:
Bài 1. Cho số hữu tỉ
a) x là số dương.

. Với giá trị nào của m thì:
b) x là số âm

Bài 2. Hãy viết số hữu tỉ
dưới dạng sau:
a) Tổng của hai số hữu tỉ âm.
b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương.
Bài 3. Viết số hữu tỉ

dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.

Bài 4. Hãy viết số hưu tỉ
a) Tích của hai số hữu tỉ.

dưới các dạng sau:
b) Thương của hai số hữu tỉ.

Bài 5. Hãy viết số hữu tỉ dưới các dạng sau:
a) Tích của hai số hữu tỉ âm.
b) Thương của hai số hữu tỉ âm.
Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng:
PP:
- Đưa về các số hữu tỉ có cùng tử số hoặc mẫu số
1 12 3
Ví dụ: Tìm a sao cho < < ;
9 a 2
12 12 12
< < ; suy ra 8HD: Từ bài rata có:
108 a 8
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm năm phân số lớn hơn
Bài 2: Tìm số nguyên a sao cho:
−3 a 3
< <
a)
8 10 5

1
3
và nhỏ hơn .

5
8
1 12 4
c) < <
2 a 3

Phương pháp giải toán Đại số 7
−5 a 1
< <
12 5 4

b)

d)

14 a
< <4
5 5

Dạng 6:Tìm x để biểu thức nguyên.
PP:
- Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết.
- Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số.
- Với các bài tốn tìm đồng thời x,y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức.
5
Ví dụ: Tìm x để A=
là số nguyên
x−1
Giải: Điều kiện: x-1 ≠ 0 hay x≠ 1

Để A nguyên thì 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1)∈ Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1

-5

-1

1

5

X

-4

0

2

6

Ví dụ:

Tìm x để B=

2 x +3
là số nguyên
x−1

Cách 1:Dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số ( Khi hệ số của x trên tử số là bội hệ số của x dưới

mẫu số):
- Tách tử số theo biểu thức dưới mẫu số, thêm bớt để được tử số ban đầu.

2 x +3 2 ( x −1 )+5
5
=
=2+
, ( điều kiện: x≠ 1).
x−1
x−1
x−1
5
Để B nguyên thì
là số nguyên hay 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) ∈Ư(5)={-5;-1;1;5}
x−1
B=

x-1

-5

-1

1

5

X

-4

0

2

6

Cách 2:Dùng dấu hiệu chia hết:
- Các bước làm:
- Tìm điều kiện.
-

tử mẫu
, nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu
{mẫumẫu

Điều kiện: x ≠ 1.
Ta có:
x-1 ⋮ x-1 nên 2(x-1)⋮ x-1 hay 2x-2 ⋮ x-1 (1)
Để B nguyên thì 2x+3 ⋮ x-1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2x+3-(2x-2) ⋮ x-1 hay 5⋮ x-1. Suy ra (x-1)∈Ư(5)={-5;-1;1;5}

Phương pháp giải tốn Đại số 7
x-1

-5

-1

1

5

x

-4

0

2

6

Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên

Giải: Ta có

3 x +2
2 x +1

6 x+ 4 ⋮ 2 x+ 1
2(3 x+2) ⋮ 2 x +1
3 x +2 ⋮ 2 x+1
⋮ 2 x+ 1 ¿
suy ra
suy ra.
6 x +3
2 x +1 ⋮ 2 x +1
3(2 x+1) ⋮ 2 x +1

¿

{

{

{

Hay (6x+4)-(6x+3)⋮ 2 x+ 1 => 1⋮ 2x+1=> 2x+1∈Ư(1)={-1;1}
suy ra x=0, -1
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên:
a. A=

x2 + 4 x+ 7
x+ 4

b. B=

x2 +7
x+ 4

HD:
a. Ta có : x+4 ⋮ x+4, suy ra x(x+4)⋮ x +4 , hay x2+4x ⋮ x+4 (1)
Để A nguyên thì x2+4x+7 ⋮ x+4 (2) . Từ (1) (2) suy ra 7 ⋮ x+4 .
x+4

-1

1

-7

7

X

-5

-3

-11

3

b. x+4 ⋮ x+4, suy ra x(x+4)⋮ x +4 , hay x2+4x ⋮ x+4 (1)
Để B nguyên thì x2+7 ⋮ x+4 (2)
Từ (1) (2) suy ra (x2+4x)- (x2+7) ⋮ x+4
4x-7 ⋮ x+4 => 4(x+4)-23⋮ x+4 => 23⋮ x+4
x+4

-1

1

-23

23

x

-5

-3

-27

19

Với các biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm như sau:
- Nhóm các hạng tử chứa xy với x (hoặc y).
- Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử cịn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích.
Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy+3y-3x=-1
Giải:
y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y )
y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 )
(x+3)(y-3)=-10

Phương pháp giải toán Đại số 7
Lập bảng:
x+3

1

10

-1

-10

5

2

-5

-2

y+3

10

1

-10

-1

2

5

-2

-5

X

-2

7

-4

-13

2

-1

-8

-5

Y

7

-2

-13

-4

-1

2

-5

-8

Với các biểu thức có dạng:

a b
+ =c ta nhân quy đồng đưa về dạng Ax+By+Cxy+D=0
x y

1 1 1
+ = (nhân quy đồng với mẫu số chung là 3xy)
x y 3
3 y 3x
xy
+
=
 3x+3y-xy=0 ( bài toán quay về dạng ax+by+cxy+d=0)
3 xy 3 xy 3 xy

Ví dụ:

 x(3-y)-3(3-y)+9=0  (x-3)(3-y)=-9
Lập bảng:
x-3

1

-9

-3

3

3-y

-9

1

3

-3

x

4

-6

0

6

y

12

2

0

6

BÀI TẬP
Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x =
Bài 2: Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t =

là một số nguyên.
là một số nguyên.

Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ
là phân số tối giản, với mọi m
Bài 4: Tìm x để các biểu thức sau nguyên

N

4−3 x
x2 −3 x +7
x2 +1
; D=
; E=
2 x +5
x−3
x−1
Bài 5: Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn:
a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9

A=

2 x−1
3x+4

; B=
;
x−1
x +1

C=

Dạng 7: Các bài tốn tìm x.
PP
- Quy đồng khử mẫu số
- Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế ( chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x
Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không.

Phương pháp giải toán Đại số 7
- Chú ý các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các
bài tốn tìm x có quy luật.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm x, biết:
a) x.
;
Bài 2. Tìm x, biết:

b)

a)
;
Bài 3. Tìm x, biết:

;

c)

;

d)

b)

;

b)

;

c)

a)
Bài 4: a)
c)

b)
d)

e)

HD:
x+2010 x+2010 x+ 2010
x+ 5
x +6

x +7
+
+
=0 => x= -2010
+ 1) + (
+1 )+(
+1 )=0 =>
( 2005
2005
2004
2003
2004
2003

Bài 5:Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
a)

(HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử)

b)

(HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)

c)

Phương pháp giải toán Đại số 7

(HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
d)

(Chú ý:

)

e)

(HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử)

Dạng 8: Các bài tốn tìm x trong bất phương trình:
PP:
- Nếu a.b>0 thì

{a>0
b>0

hoặc

;
{a<0
b<0

- Nếu a.b≥0 thì

{ab ≥≥ 00

hoặc

{ab ≤≤ 00;

- Nếu a.b<0 thì

{a>0
b<0

hoặc

;
{a<0
b>0

- Nếu a.b≤0 thì

{ab ≥≤ 00

hoặc

{ab ≤≥ 00

- Nếu

a
a
a>0
a<0
a≤0
a≥0
>0 thì
hoặc
;- Nếu ≥ 0

hoặc
;
b
b >0
b
b>0
b<0
b <0

- Nếu

a
a
<0 a>0 hoặc a<0 ; - Nếu ≤ 0 a ≥ 0 hoặc a ≤ 0
b
b
b<0
b <0
b>0
b >0

{

{

{

{

{

{

{

{

Chú ý: Dạng tốn a.b<0 có cách giải nhanh bằng việc đánh giá. Hãy xem Ví dụ c.
Ví dụ:
x+5
<0
a. (2x+4)(x-3)>0
b.
c. (x-2)(x+5)<0
x−1
HD:
x +4 >0
2 x +4 <0
hoặc {
{2x−3>0
x−3<0
2 x >−4
2 x <−4
x>−2
x<−2
=>{
hoặc {
=>{
hoặc {
=>x>3 hoặc x<-2

x >3
x <3
x>3
x<3
x+5
x+5> 0
x+5< 0
x>−5
x<−5
<0 suy ra {
b.
hoặc {
=>{
hoặc {
(không tồn tại x)
x−1
x−1<0
x−1>0
x< 1
x> 1

a. (2x+4)(x-3)>0

suy ra

=> -5c. (x-2)(x+5)<0. Vì x+5>x-2 nên (x-2)(x+5)<0 khi
BÀI TẬP:
Tìm x biết:
a. (x-1)(x+4)>0

b. (3x-1)(2x+4)≥0

x+5 >0
x>−5
=>{
{x−2<0
x< 2

=> -5
c. (3-x)(x+1)<0

Phương pháp giải toán Đại số 7
d. (x-7)(3x+4)≤0

e.

x−1
2 x−1
>0 f .
≤0
x+5
2 x +4

Dạng 9: các bài tốn tính tổng theo quy luật:
Tính tổng dãy số có các số hạng cách nhau một số khơng đổi:
PP:
sốcuối−sốđầu

+1
- Tính số các số hạng:
khoảngcách

( sốcuối+ sốđầu ) . sốsốhạng
2
Ví dụ: 1+2+3+……..+99 (khoảng cách bằng 2)
99−1
+1=50 số hạng
số các số hạng:
2
( 99+1 ) .50
Tổng =
2
Chú ý:
A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ]
1
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.…+ (n – 1) n = .n. (n – 1 ).(n + 1)
3
A = 1+2+3+…+(n-1)+n = n (n+1):2
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1)
A = 12 +22 +32+...+992 +1002 = n(n+1)(2n+1):6
Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số khơng đổi n:
PP:
- Tính A.n
- Tính A.n-A rồi suy ra tổng A
Ví dụ: A= 2+22+23….+2100 (ở đây n=2: số đứng sau gấp số đứng trước 2 đơn vị)
Ta có : 2.A=22+23 +24….+2101 (nhân 2 vế với n=2)
2A-A=22+23 +24….+2101 -(2+22+23….+2100) (chú ý: 2A-A=A)
A=2101-2

Tính tổng các phân số có tử số khơng đổi, mẫu số là tích của 2 số có hiệu khơng đổi.
PP: Phân tích tử số thành hiều 2 số dưới mẫu
2
2
2
2
3−1 5−3 7−5
99−97
+
+… …
=
+
+
+… …
Ví dụ: A= +
1.3 3.5 5.7
97.99 1.3
3.5
5.7
97.99
1 1 1 1
1
1
1 98
= − + − … … .+ − =1− =
1 3 3 5
97 99
99 99
BÀI TẬP:
- Tổng =

A=

.

Phương pháp giải tốn Đại số 7

B=

.

Tìm x, biết:
Tính tổng các phân số có tử số khơng đổi, mẫu số là tích của 3 số có hiệu số cuối trừ số đầu khơng
đơi:
PP: Phân tích tử số thành hiệu của hai số ( số cuối – số đầu ) ở dưới mẫu

2
2
2
+
+. . ...+
98 . 99. 100
Sn = 1 . 2.3 2.3 . 4
3−1 4−2
100−98
3
1
100
98

=
+
+.. ...+
=
−
+.....+
−
1.2. 3 2 .3 .4
98 . 99.100 1 .2.3 1 .2 . 3
98.99 .100 98. 99.100
1
1 1
1
1
1
1
= − + −.. .. .+
−
= −
1.2 2 .3 2.3
98. 99. 99 .100 1. 2 99. 100
BÀI TẬP
Bài 1:
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 (Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6.....102 bắng (2+2), (3+2), (4+2)....(100 +2)
A = 4+12+24+40+...+19404+19800 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2)
A = 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950 (Nhân 2 vế với 2)
A = 6+16+30+48+...+19600+19998 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2)
Bài 2:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:
(x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655

Bài 3:
a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + …+ (x+2009) = 2009.2010
b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ …+ 2009. 2010
Bài 4: Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Bài 5: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
a. M có chia hết cho 4, cho 12 khơng ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
Bài 6: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33+…+ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 khơng? Vì sao?
Bài 7:

1
1
1
1
+
+
+.. .. ...+
10 .11 11.12 12 .13
99 .100 S = 1+2+22 +....... + 2100
S=
1 1
1
1
4
4
4
+ + +.. .. ... .+
+
+... .+
99. 100 S = 5 .7 7 . 9

59 .61
S = 1 . 2 2. 3 3 .4

Phương pháp giải toán Đại số 7

5
5
5
5
+
+
+. .. . ..+
61 .66
A = 11.16 16 .21 21. 26

1 1 1
1
+ 1 + 2 +. .. . .+ 2005
0
3
M= 3 3 3

1
1
1
2
2
2
+

+.....+
+
+. . ...+
n(n+1)(n+2 ) Sn = 1 . 2.3 2.3 . 4
98 . 99. 100
Sn = 1 .2.3. 2.3.4
1
1
1
+
+......+
n(n+1)(n+2)(n+3)
Sn = 1 .2.3 .4 2.3. 4.5
Bài 8:
a)

A=

3
3
3
3
+
+
+.. .+
5 . 8 8 . 11 11. 14
2006.2009

C=

10
10
10
10
+
+
+.. .+
7 . 12 12 . 17 17 . 22
502. 507

A=

1
1
1
1
+
+
+. ..+
2 . 9 9 .7 7 .19
252 .509

C=

2
3
2
3
2
3

−
+
−
+. ..+
−
4 . 7 5. 9 7 . 10 9 .13
301 .304 401. 405

c)
Bài 9:
a)
c)

b)
d)

b)

B=

B=

1
1
1
1
+
+
+. ..+
6 .10 10 .14 14 . 18

402. 406

D=

4
4
4
4
+
+
+.. .+
8 .13 13 .18 18 .23
253 .258

1
1
1
1
+
+
+.. .+
10 . 9 18 .13 26 .17
802 . 405

d)
Bài 10: Tìm x

x
1 1 1
1 5

− − − −.. .−
=
120 8
a) 2008 10 15 21
1
1
1
1
15
+
+
+.. .+
=
(2 x +1)(2 x+3) 93
c) 3 . 5 5 . 7 7 . 9

7 4
4
4
4
29
+
+
+
+. . .+
=
41 . 45 45
b) x 5 . 9 9 . 13 13. 17

Bài 11: Chứng minh

1
1
1
1
n
+
+
+. ..+
=
(3 n−1)(3 n+2 ) 6 n+4
a) 2 . 5 5 . 8 8 .11
5
5
5
5
5n
+
+
+.. .+
=
(4 n−1)( 4 n+3 ) 4 n+3
b) 3 . 7 7 . 11 11.15
c)

3
3
3
3
1

+
+
+. ..+
<
9. 14 14 . 19 19 .24
(5 n−1)(5 n+ 4 ) 15
:Cho

Bài 12

A=

4
4
4
16
16
+
+.. .+
< A<
15 . 19 19 .23
399 . 403 Chứng minh: 81
80

Phương pháp giải toán Đại số 7
1 2 3
1992
+ 1 + 2 … ..+ 1991 Chứng minh S<4
0

2 2 2
2
2 3
1992
1992 1 1
1
HD: 2S=2+ 0 + 1 … ..+ 1990 Suy ra 2S-S=2− 1991 +( 0 + 1 … ..+ 1990 )
2 2
2
2
2 2
2
Bài 14: Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau .
n(n+1)
=111 a=3. 37 . a
2
HD:
(vì aaa =111.a) nên n=37 hoặc n+1=37 ta tìm được n=36.

Bài 13: Cho S=

CHUYÊN ĐỀ II: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Kiến thức cần nhớ
Nếu

a≥0⇒|a|=a
Nếu

a<0⇒|a|=−a

Nếu x-a  0=> = x-a
Nếu x-a  0=> = a-x
Chú ý: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm

|a|≥0

với mọi a  R

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối
bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

|a|=|b|⇔¿ [ a=b [¿
[ a=−b
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị
tuyệt đối của nó.

−|a|≤a≤|a|

và

−|a|=a⇔a≤0; a=|a|⇔a≥0

* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

a
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.

0

|a.b|=|a|.|b|

a |a|
| |=
b |b|
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
2

2

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. |a| =a
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi hai số cùng dấu.

|a|+|b|≥|a+b|

và

|a|+|b|=|a+b|⇔a.b≥0
CÁC DẠNG TOÁN

Phương pháp giải tốn Đại số 7
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức và rút gọn biểu thức
Bài 1: Tính x , biết:
a) x =

.

b) x =

.

Bài 2. Tính: a)
.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

b)

a) M = a + 2ab – b với |a|=1,5;b=−0,75
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:

|x|=2,5 ; y =

A=2 x +2 xy − y với
5a 3
1
C= −
|a|= ;|b|=0 ,25
3 b với
3
c)
a)

c) x = - 15,08

−3
4

a 2
−
b) N = 2 b

với

|a|=1,5;b=−0,75

1
|a|= ;|b|=0 ,25
3
b) B=3 a−3 ab−b với
1
|x|=
2
2
d) D=3 x −2 x +1 với

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức:

1
x= ; y=−3
B=2|x|−3|y| với
2
a) A=6 x −3 x +2|x|+4 với
2
1
5 x −7 x +1
|x|=
D=

2
3 x−1
c) C=2|x−2|−3|1−x| với x = 4 d)
với
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau với 3,5≤x≤4,1
3

x=

2

−2
3 b)

a) A=|x−3,5|+|4,1−x|
b) B=|−x+3,5|+|x−4,1|
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) A=|x+1,3|−|x−2,5|
Bài 8: Rút gọn biểu thức:
a)

A=|x−2,5|+|x−1,7|

b)

B=|−x−1,3|+|x−2,5|

b)

1

2
B=|x+ |−|x− |
5
5

c)

C=|x+1|+|x−3|

−3
1
7
Bài 9: Rút gọn biểu thức khi 5

1
3 4
A=|x− |−|x+ |+
7
5 5

a)
Bài 10: Rút gọn biểu thức:
a)

A=|x+0,8|−|x−2,5|+1,9

b)

1

3 2
B=|−x+ |+|−x− |−
7
5 6

với x < - 0,8b)

2
B=|x−4,1|+|x− |−9
3

2
≤x≤4,1
với 3

Phương pháp giải toán Đại số 7

c)

1
1 1
C=|2 −x|+|x− |+8
5
5 5

1
1
≤ x≤2
5

với 5

d)

1
1
D=|x+3 |+|x|−3
2
2

với x > 0

Dạng 2: |A(x)|=k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
PP:
- Nếu k < 0 thì khơng có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều khơng
âm )
- Nếu k = 0 thì ta có

|A( x)|=0⇒ A(x )=0

|A( x)|=k ⇒¿ [ A(x )=k [ ¿
[ A (x )=−k
- Nếu k > 0 thì ta có:
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:
a) |2 x−5|=−4
Bài 2: Tìm x, biết:

2|2 x−3|=

1
2

a)
Bài 3: Tìm x, biết:
a) 2|3x−1|+1=5
Bài 4: Tìm x, biết:
a)

1 3
|x+ |− =5%
4 4

b)

1 5
1
−| −2 x|=
3 4
4

c)

b)

7,5−3|5−2 x|=−4,5

b)

x

| −1|=3
2

b)

3 1 −5
2−| x− |=| |
2 4 4

c)

1
1 1
−|x+ |=
2
5 3

c)

3
7
−|2 x +1|=
8
d) 4

4
|x+ |−|−3,75|=−|−2,15|
15

2 1

|−x+ |+ =3,5
5 2

c)

d)

1 1
|x− |=2
3 5

3 4 3 7
+ |x− |=
2 5 4 4

d)

31 5 5
4,5− | x+ |=
4 2 3 6
Bài 5: Tìm x, biết:
a)

9
1
6,5− :|x+ |=2
4
3

b)

11 3
1 7
+ :|4 x− |=
4 2
5 2

c)

15
3 1
−2,5:| x + |=3
4
4 2

21
x 2
+3 :| − |=6
5
4 3
Dạng 3:
PP:

|A(x)|=|B(x)|

( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

d)

Phương pháp giải tốn Đại số 7

Vận dụng tính chất:
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:

|a|=|b|⇔¿ [ a=b [¿
[ a=−b

a) |5 x−4|=|x+2|
Bài 2: Tìm x, biết:
a)

|A( x)|=|B( x)|⇒¿ [ A (x )=B( x) [¿
[ A( x )=−B( x)
ta có:

|2 x−3|−|3 x+2|=0

b)

3 1
| x+ |=|4 x−1|
2 2

c)

|2+3 x|=|4 x−3|

5 7 5 3

| x− |−| x+ |=0
4 2 8 5

b)

d)

|7 x+1|−|5 x+6|=0
7 2 4 1
| x+ |=| x− |
5 3 3 4

c)

d)

7 5 1
| x+ |−| x+5|=0
8 6 2
Dạng 4:

|A(x)|=B(x)

( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

Cách 1: Điều kiện: B(x) ¿ 0

(*)

|A( x)|=|B( x)|⇒¿ [ A(x )=B( x) [¿

[ A( x )=−B( x)
(1) Trở thành

( tìm x rồi đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )

sau đó kết luận.
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

|A( x)|=B( x)

(1)



Nếu A(x) ¿ 0



Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:

1
| x|=3−2x
2

a)

Bài 2: Tìm x, biết:

b)

a) |9+x|=2x
Bài 3: Tìm x, biết:

|x−1|=3x+2
b)

c)

|5 x|−3 x=2

|5 x|=x−12
c)

d)

|x+6|−9=2x

|7−x|=5 x+1
d)

|2 x−3|+x=21

a) |3 x−1|+2=x
Bài 4: Tìm x, biết:

b)

|3 x−1|+2=x

c)

|x+15|+1=3 x

d)

|2 x−5|+x=2

a) |2 x−5|=x+1
Bài 5: Tìm x, biết:

b)

|3 x−2|−1=x

c)

|3 x−7|=2x+1

d)

|2 x−1|+1=x

b)

|x+7|−x=7

c)

|3 x−4|+4=3x

d)

|7−2x|+7=2 x

a)

|x−5|+5=x

Phương pháp giải toán Đại số 7
Dạng 5: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* PP: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

|A( x)|+|B(x )|+|C( x)|=m

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương

ứng )
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:
a)

4|3x−1|+|x|−2|x−5|+7|x−3|=12

b)

1
1 1
|2 −x|+|x− |+8 =1,2
5
5 5

c)
Bài 2: Tìm x, biết:

3|x+4|−|2 x+1|−5|x+3|+|x−9|=5
d)

1
1 1
2|x+3 |+|x|−3 =|2 −x|
2
2 5

a)

|2 x−6|+|x+3|=8

c)

|x+5|+|x−3=9|

d)

|x+1|+|x−2|+|x+3|=6

f)

a)

|x−2|+|x−3|+|2 x−8|=9

b)

c)

|x−1|+3|x−3|−2|x−2|=4

d)

3 x|x+1|−2x|x+2|=12
|x+5|−|1−2 x|=x

f)

|x|+|1−x|=x+|x−3|

e)
Bài 3: Tìm x, biết:

e) |x|−|2x+3|=x−1
Bài 4: Tìm x, biết:
a)

|x−2|+|x−5|=3

|x−2|+|x−3|+|x−4|=2
2|x+2|+|4−x|=11

b)

|x−3|+|x+5|=8

c) |2 x−1|+|2 x−5|=4
d) |x−3|+|3 x+4|=|2 x+1|
Dạng 6:: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:

|A( x)|+|B(x )|+|C( x)|=D(x)

(1)

Điều kiện: D(x) ¿ 0 kéo theo A ( x )≥0 ;B( x )≥0 ;C( x )≥0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Ví dụ: |x+1|+|x+2|+|x+3|=4 x
Điều kiện: 4x≥0, suy ra x≥0.
Với x≥0 thì x+1>0; x+2>0; x+3>0
Nên |x+1|+|x+2|+|x+3|=4 x
BÀI TẬP

khi (x+1)+(x+2)+(x+3)=4x, suy ra x=6 (thỏa mãn đk) .Vậy x=6.

Phương pháp giải tốn Đại số 7
Bài 1: Tìm x, biết:
a)

|x+1|+|x+2|+|x+3|=4 x

b)

3
1
|x+2|+|x+ |+|x+ |=4 x
5
2

c)
Bài 2: Tìm x, biết:

d)

|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|=5 x−1

|x+1,1|+|x+1,2|+|x+1,3|+|x+1,4|=5 x

|x+

1
2
3
100
|+|x+ |+|x+ |+. ..+|x+ |=101 x
101
101
101
101

|x+

1
1
1
1
|+|x+ |+|x+ |+.. .+|x+
|=100 x
1. 2
2. 3
3. 4
99.100

|x+

1
1
1
1
|+|x+ |+|x+ |+...+|x+
|=50 x
1.3
3.5
5.7
97.99

|x+

1

1
1
1
|+|x+ |+|x+
|+...+|x+
|=101 x
1 .5
5 .9
9.13
397. 401

a)
b)
c)

d)
Dạng 7: Dạng hỗn hợp:
Bài 1: Tìm x, biết:

1 4
||2 x−1|+ |=
2 5

a)
Bài 2: Tìm x, biết:

b)

1 1
||2 x−1|− |=

2 5

a)
Bài 3: Tìm x, biết:
a)

b)

1
|x 2 +2|x− ||=x 2 +2
2

1
3 2
|| x+1|− |=
2
4 5

3
|x|x2 − ||=x
4

c)

c)

1
3
3
| x+ |2 x− ||=2 x −

2
4
4
b)

( )

3
|x 2|x+ ||=x 2
4

3
|x|x2 + ||=x
4

c)

1
3
3
||x− ||2x− ||=2 x−
2
4
4
Bài 4: Tìm x, biết:
a)

||2 x−3|−x+1|=4 x−1

Dạng 8:

b)

||x−1|−1|=2

|A|+|B|=0

PP: Cách giải chung:

|A|+|B|=0

c)

||3 x+1|−5|=2

Phương pháp giải toán Đại số 7

B1: đánh giá:

|A|≥0 ¿} ¿ ¿⇒|A|+|B|≥0¿
|A|+|B|=0 ⇔¿ { A =0¿¿¿

B2: Khẳng định:
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn:
a) |3 x−4|+|3 y+5|=0
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn:
a)

3
2
|5− x|+| y−3|=0
4
7

b)

9
|x− y|+|y+ |=0
25

b)

2 1 3
11 23
| − + x|+|1,5− + y|=0
3 2 4
17 13

* Chú ý1: Bài tốn có thể cho dưới dạng
* Cách giải:

|A|+|B|≤0

|A|≥0 ¿} ¿ ¿⇒|A|+|B|≥0¿

c)

|A|+|B|≤0

|3−2x|+|4 y+5|=0

c)

|x−2007|+|y−2008|=0

nhưng kết quả không thay đổi

(1)

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ |A|+|B|=0
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a) |5 x+1|+|6 y−8|≤0
Bài 4: Tìm x, y thoả mãn:

b)

⇔¿ { A=0¿¿¿
|x+2 y|+|4 y−3|≤0

c)

|x−y+2|+|2 y+1|≤0

a) |12x+8|+|11 y−5|≤0
b) |3 x+2 y|+|4 y−1|≤0
c) |x+ y−7|+|xy−10|≤0

* Chú ý 2: Do tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất khơng âm của luỹ thừa
bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Bài 5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a)

|x−y−2|+|y+3|=0

b)

2006

c) ( x+ y ) +2007|y−1|=0
Bài 6: Tìm x, y thoả mãn :
a)

( x−1 )2 + ( y +3 )2=0
3 ( x−2 y )

c)

2004

1
+4|y+ |=0
2

2007

d)

b)

2008

|x−3 y| +|y+4| =0
2008

|x− y−5|+2007 ( y−3 ) =0
4

2 ( x−5 ) +5|2 y−7|5 =0
1
|x +3 y−1|+ 2 y−
2
d)

(

2000

)

=0

Phương pháp giải tốn Đại số 7
Bài 7: Tìm x, y thoả mãn:
a)

|x−2007|+|y−2008|≤0

1 3 1
x−
2
4
2
c)

(

Dạng 9:

2006

)

+

2007 4
6
| y+ |≤0
2008 5 25

|a|+|b|≥|a+b|

|x+5|+|3−x|=8

b)

d) 2|x−3|+|2 x+5|=11

Bài 2: Tìm x, biết:
a)

d)

2008

2007

2007|2 x− y| +2008|y−4| ≤0

|A|+|B|=|A+B|

* PP: Sử dụng tính chất:
Bài 1: Tìm x, biết:
a)

7

2
3|x− y| +10|y+ | ≤0
3
b)
5

|x−4|+|x−6|=2

|3 x+7|+3|2−x|=13
d) |5 x+1|+|3−2x|=|4+3 x|

e)

Từ đó ta có:

|a|+|b|=|a+b|⇔a.b≥0

|x−2|+|x−5|=3

|x+1|+|2 x−3|=|3 x−2|

f)

|x+1|+|x+5|=4

e)

|x+2|+|3 x−1|+|x−1|=3

2

a) ( x−1 ) + ( y +3 ) =0
Bài 4: Tìm x, y thoả mãn:
a) |x-2007|+|y-2008|≤0
b) |x+5|+|3-x|=8
Dạng 10: |f(x)|>a (1)
PP:
- Nếu a<0: (1) luôn đúng với mọi x
- Nếu a>0: (1) suy ra f(x)>a hoặc f(x)<-a.
- Nếu a=0(1) suy ra f(x)=0
Ví dụ: