Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng môn Toán học: Phương pháp giải toán khảo sát hàm số lớp 12 và luyện thi đại học

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


1

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

NGUYỄN PHÚ KHÁNH
oOo







Phương pháp giải Toán 12


CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ

PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008


2

Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

LÖU HAØNH NOÄI BOÄ
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


3

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

I. GIỚI HẠN
1. Các đònh nghóa cơ bản
Đònh nghóa 1: Ta nói rằng dãy số (U
n
) có giới hạn L nếu mọi số dương

ε
cho trước, tồn tại
số tự nhiên N sao cho
n N
∀ >
ta có
n
U L
ε
− <
. Ta viết: lim
n
n
U L
→∞
=
, viết tắt là lim
n
U L
=

Đònh nghóa 2: Cho hàm số f(x) xác đònh trên một khoảng I, có thể loại trừ tại điểm
0
x I
∈
.
Ta nói rằng f(x) có giới hạn là L (hay tiến dần tới L), khi x tiến dần tới x
0
nếu mọi dãy số: (x
n

);
0
( , , )
n n
x I x x n N
+
∈ ≠ ∀ ∈ sao cho
0
lim
n
x x
=
thì lim ( )
n
f x L
=
. Ta viết lim ( )
x
f x L
→∞
=
hay
( )
f x L
→
khi
0
x x
→
Đònh nghóa 3: Ta nói rằng hàm số f(x) tiến dần tới vô cực khi khi x dần tới x

0
, nếu với mọi
dãy số (x
n
); (
0
n
x x
≠
) sao cho:
0
lim
n
x x
=
thì lim ( )
n
f x
= ∞
ta viết
0
lim ( )
n
x x
f x
→
= ∞
hoặc
( )f x
→ ∞

khi
0
x x
→
Đònh nghóa 4: Số L được gọi là giới hạn bên phải (hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x
dần tới x
0
, nếu với mọi dãy số (x
n
) với x
n
> x
0
hoặc (x
n
< x
0
) sao cho lim x
n
= x
0
thì lim f(x
n
) =
L. Ta viết:
0
lim ( )
n
x x
f x

+
→
= ∞
(hoặc
0
lim ( )
n
x x
f x
−
→
= ∞
)
 Chú ý:

Điều kiện cần và đủ để
0
lim ( )
n
x x
f x L
→
=
và giới hạn
0
lim ( )
n
x x
f x
+

→
và
0
lim ( )
n
x x
f x
→
đều tồn tại và
đều bằng L
Ví dụ 1: Tìm
2
4
lim
2
x
x
x
→∞
−

2
2
4 5 3
lim
9 2
x
x x x
x x
→∞

+ + +
+ −

*
2
2
2
2
4
1
1
4
lim
1
4
2 2
lim
2 2
4
1
1
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x x
x
x
x
→∞
→∞
→∞

−


=
−
−

= =


− −

=



*
2
2
2

2
2
2
1 5
4 3
4 5 3
lim lim
2
9 2
9
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
→∞ →∞
 
+ + +
 
+ + +
 
=
+ −
 
+ −
 
 

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


4

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

2 2
2 2
2 2
2 2
1 5 1 5
4 3 4 3
5
lim lim
2
2 2
9 9 1
1 5 1 5
4 3 4 3
1
lim lim
4
2 2
9 9 1
x x
x x
x x
x x x x
x x

x x
x x
x x x x
x x
x x
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞

+ + + + + +


= =

+ − + −


=


− + + + − + + +

= = −


+ − − + −




2. Các đònh lí cơ bản:

Đònh lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (với giới hạn của mẫu thức khác 0) của hai
hàm số khi x x
0
(hay x
∞
) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn khi x x
0
(hay
x
∞
)
Đònh lí 2: Cho 3 hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác đònh trên một khoảng I chứa điểm x
0
(có
thể trừ tại điểm x
0
). Nếu trong khoảng đó:
( ) ( ) ( )
g x f x h x
≤ ≤
và nếu
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
g x h x L
→ →
= =

thì
0

lim
x x
L
→
=

Nhờ đònh lí trên, ta chứng minh được:
0 0
sin
lim lim 1
sin
a a
a a
a a
→ →
= =

Ví dụ 2: Tính
2
2
0
sin 9
lim
3
x
x
x
→

2

2 2 2
2 2
0 0 0 0
2
sin 9 sin 9 sin 9 sin(3 )
lim lim 3lim 3lim 3
1
3 9 3
9
3
x x x x
x x x x
x x x
x
→ → → →
 
= = = =
 
 

Đònh lí 3: Hàm số đơn điệu tăng và bò chặn trên thì có giới hạn hàm số đơn điệu giảm và
bò chặn dưới thì có giới hạn
Nhờ đònh lí trên ta chứng minh được
( )
1
0
lim 1
a
a
a e

→
+ =
hoặc
1
lim 1
a
a
e
a
→∞
 
+ =
 
 

(
)
0
ln 1
lim 1
a
a
a
→
+
=
và
0
1
lim 1

a
a
e
a
→
−
=

Ví dụ 3: Tính
4
3
lim
2
x
x
x
x
+
→∞
+
 
 
−
 

( )
2
2
4
1

2
lim 1 cos
x
x
x
π
π
−
→
−

•
Ta có:
3 5
1
2 2
x
x x
+
= +
+ −

•
Đặt
5 5
4 6
2
a x
x a
= ⇒ + = +

−
. Khi x
∞
thì a  0
•
Do vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
5
6
5 5 1
6 6 6
5 5
0 0 0 0
3
lim lim 1 lim 1 . 1 lim 1 .lim 1 .1
2
a
a a a
x a a a a
x
a a a a a e e
x
+
+
→∞ → → → →
+
 
 
= + = + + = + + = =

 
 
−
 
 


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


5

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

•
Đặt
2
t x
π
= −
khi
2
x
π
→
thì t  0 và
( )
2
2
4

x t t
π
π
− = − −

( ) ( )
( )
( )
1
sin .
1
sin
( )
1
2
2
4
1 cos 1 sin
t
t t
t
U t
x
x t
π
π
−
− −
−
−

 
⇒ − = −
 
 


Theo công thức:
0
lim ( )
t
U t e
→
=
(vì
( )
0
1
lim 1
a
a
a e
→
+ =
)
Mặt khác:
( )
0 0
sin sin 1 1
lim lim .
t t

t t
t t t t
π π π
→ →
−
= =
− − −

Vậy
( )
1
2
2
4
2
1
lim 1 cos
x
x
x e
π
π
π
−
→
− =

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Dạng 1: Dạng vô đònh

0
0
. Tính các giới hạn sau:
Nguyn Phỳ Khỏnh Lt Bn tho xut bn sỏch tham kho ụn thi i hc nm 2008


6

Qu tng cho con trai : Trn Hong Vit Nng nhõn ngy sinh nht 27/10

2
3 2
2
5 6
lim
4
x
x x
x x

+



2
0
1 2 1
lim
1 cos
x

x
x

+


4 4
2
0
cos sin 1
lim
1 1
x
x x
x


+


3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x

+ +

3 3
3
0
2 1 1
lim
x
x x x
x

+ + +


( )
2
2 3 2
2
0
1
lim
ln 1
x
x
e x
x


+
+

Daùng 2: Daùng voõ ủũnh


. Tớnh caực giụựi haùn sau
2
2
3 7 8
lim
11 3 9
x
x x
x x

+
+


Daùng 3: Daùng voõ ủũnh

. Tớnh caực giụựi haùn sau
(
)
2
lim 16 7 4
x
x x x
+
+

(

)
2
lim 9 7 2 3
x
x x x
+
+ + +


Daùng 4: Daùng voõ ủũnh
0.

hay
.0

.
Tớnh caực giụựi haùn sau
( )
(
)
2
lim 2 5 2 4 3
x
x x x
+

+

(
)
4
lim 4 . 2
x
x tg x






Daùng 5: Daùng voõ ủũnh
1

. Tớnh caực giụựi haùn sau
( )
2 1
2
2
2 7 8
lim
2 2 5
x
x
x x
x x

+

+



Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


7

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

=> y = f(x) liên tục bên trái tại điểm x = 0 và không
liên tục bên phải tại điểm đó
=> y = f(x) liên tục bên phải tại điểm x = 0 và không
liên tục bên trái tại điểm đó
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC:
1. Một số đònh nghóa:
Đònh nghóa 1: Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại điểm x
0
, nếu x
0
là một điểm thuộc tập xác
đònh của hàm số và
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

→
=

 Chú ý:

- Nếu ta chỉ có:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
→
= thì hàm số y = f(x) gọi là liên tục bên trái điểm x
0

- Nếu ta chỉ có
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
+
→
=
thì hàm số y = f(x) gọi là liên tục bên phải điểm x
0

Ví dụ 1: Xét tính liên tục một bên của các hàm số sau đây tại điểm x = 0
2

2 0
( )
1 0
x x
y f x
x x
+ >

= =

− ≤

với
với

2 0
( )
3 0
x
x
y f x
x
x

+ ≠

= =


=


với
với


*
2
2 0
( )
1 0
x x
y f x
x x
+ >

= =

− ≤

với
với

Ta có:
f
(0) = -1
(
)
( )
0 0
2

0 0
lim ( ) lim 2 (0)
lim ( ) lim 1 1 (0)
x x
x x
f x x x f
f x x f
+ +
− −
→ →
→ →

= + = ≠


= − = − =




*
2 0
( )
3 0
x
x
y f x
x
x


+ ≠

= =


=

với
với

Ta có:
f
(0) = 3
0 0
0 0
lim ( ) lim 2 3 (0)
lim ( ) lim 2 1 (0)
x x
x x
x
f x f
x
x
f x f
x
+ +
− −
→ →
→ →


 
= + = =
 

  

−
 

= + = ≠
 

 



Ví dụ 2:
Cho hàm số
2
1 1
0
( )
0
x
x
y f x
x
A x

− −


≠
= =


=

với
với

Tìm A để hàm số y =
f(x) liên tục tại điểm x = 0
Điều kiện:
2
1 0
1 0
0 1
0
x
x
x
x
− ≤ <

− ≥ 
⇔


< ≤
≠




Ta có:
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


8

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10


(
)
(
)
( )
2 2
2
0 0 0
2
1 1 1 1
1 1
lim ( ) lim lim
1 1
x x x
x x
x
f x
x

x x
→ → →
− − + +
− −
= =
− +
( )
2
2
0 0
2
1 1
lim lim 0
1 1
1 1
x x
x x
x
x x
→ →
− − −
= = =
− +
− +

Để hàm số liên tục tại
0
0 lim ( ) 0
x
x A f x

→
= ⇔ = =

Vậy nếu A = 0 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0

Đònh nghóa 2:
- Hàm số y =
f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
- Hàm số y =
f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó và:
+ liên tục về bên phải điểm a
+ liên tục về bên trái điểm b

2. Các đònh lí quan trọng về hàm số liên tục:
•
Hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x
0
thì tổng, hiệu, tích, thương (
0
( ) 0
g x
≠
) là
những hàm số liên tục tại x
0

•
Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và có
1 2 1 2
( , ) ( ) ( )

x x a b f x f x
< ∈ ≠
. Khi đó, với mỗi
số A nằm trong khoảng (f(x
1
), f(x
2
)) thì đều tồn tại điểm
(
)
,
c a b
∈ sao cho f(c) = A
Đònh lí này khẳng đònh sự tồn tại, nhưng không khẳng đònh sự duy nhất của điểm c, nghóa là có
thể có nhiều điểm khác nhau và khác c thuộc khoảng (a, b) nghiệm đúng
f(x) = A
* Hệ quả: Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) có giá trò âm và có cả giá trò dương trên
khoảng đó, thì phương trình
f(x) = 0 tồn tại ít nhất một nghiệm x = c mà
(
)
,
c a b
∈


Ví dụ 3: Chứng minh rằng các phương trình sau có ít nhất một nghiệm
a)
x
3

– 5x
2
+ 6x – 1 = 0
b)
x
4
– 2x
3
– 3x
2
– 5 = 0
c)
2
x
+ 3
x
– 6
x
= 0
d)
ln x + x = 0
a) Đặt
f(x) = x
3
– 5x
2
+ 6x – 1 có
(0) 1 0
(0). (1) 0
(1) 1 0

f
f f
f
= − <

⇒ <

= >


=> Hàm số
f(x) liên tục trên R nên nó liên tục trên [0, 1] => tồn tại ít nhất một số thực
[
]
0,1
c ∈
sao cho: f(c) = 0 => c là một nghiệm thực của phương trình đã cho
b) Đặt
f(x) = x
4
– 2x
3
– 3x
2
– 5 có
(0) 5 0
( 2). (0) 0
( 2) 15 0
f
f f

f
= − <

⇒ − <

− = >


=> Hàm số
f(x) liên tục trên R nên nó liên tục trên [-2, 0] => tồn tại ít nhất số thực
[
]
2,0
c ∈ −
sao
cho
f(c) = 0 => c là một nghiệm thực của phương trình đã cho
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


9

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

c) Đặt
f(x) = 2
x
+ 3
x
– 6

x
có
(0) 1 0
(0). (1) 0
(1) 1 0
f
f f
f
= >

⇒ <

= − <


=> Hàm số
f(x) liên tục trên R nên nó liên tục trên [0, 1] => tồn tại ít nhất số thực
[
]
0,1
c ∈ sao
cho f(c) = 0 => c là 1 nghiệm thực của phương trình đã cho
d) Đặt
f(x) = ln x + x có
(1) 1 0
1
. (1) 0
1 1
1 0
f

f f
f
e
e e
= >


 
⇒ <

 
 
= − + <
 
 

 


=> Hàm số
f(x) liên tục trên
(
)
0,
+∞
nên nó liên tục trên đoạn
1
,1
e
 

 
 
=> tồn tại ít nhất số thực
1
,1
c
e
 
∈
 
 
sao cho f(c) = 0 => c là một nghiệm thực của phương trình đã cho
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


10

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

ĐẠO HÀM

I. ĐẠO HÀM
1. Đònh nghóa:
Hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a, b) và lấy
(
)
0
,
x a b
∈

. Nếu tồn tại giới hạn
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
→
−
−
hoặc
(
)
0 0
0 0
( )
lim lim
x x
f x x f x
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
thì ta gọi giới hạn đó là đạo hàm của hàm số
y =

f(x) tại điểm x
0
, kí hiệu
0
0
'( ) lim
x
y
f x
x
∆ →
∆
=
∆

 Chú ý:
1/ Dùng khái niệm số gia của hàm số (
y
∆
) thì tính đặc trưng của hàm số liên tục y = f(x) tại điểm
x
0
được nêu: Hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a, b) và liên tục tại điểm
(
)
0
,
x a b
∈
khi và chỉ

khi
0
lim 0
x
y
∆ →
∆ =

2/ Nếu hàm số y =
f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì nó liên tục tại điểm đó. Đảo lại: Nếu một hàm
số liên tục tại điểm x
0
có thể không có đạo hàm tại điểm đó

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số y = |x| liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại
điểm đó
Thật vậy, ta có:
(
)
0 (0) ( )
y f x f f x x
∆ = + ∆ − = ∆ = ∆

0 0
lim lim 0
x x
y x
∆ → ∆ →

∆ = ∆ =
=> hàm số liên tục tại điểm x = 0
Nhưng:
0 0 0
0 0 0
'(0 ) lim lim lim 1
'(0 ) lim lim lim 1
x x x
x x x
x
y x
f
x x x
x
y x
f
x x x
− − −
+ + +
−
∆ → ∆ → ∆ →
+
∆ → ∆ → ∆ →
∆
∆ −∆
= = = = −
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
= = = =

∆ ∆ ∆

=>
'(0 ) '(0 )
f f
− +
≠
nên hàm số cho không có đạo hàm tại điểm x = 0
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
0
0
( )
x x x
y f x
ax b x x

≤

= =

+ >


với
với

Tìm a và b để hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = x
0

* Muốn hàm số liên tục tại điểm x = x
0
, ta có:
0 0
0
lim ( ) lim ( ) ( )
x x x x
f x f x f x
− +
→ →
= =

Ta có:
( )
0 0
0 0
2
0 0
2
0 0
2 2
0
( )
lim ( ) lim
lim ( ) lim
x x x x
x x x x
f x x
f x ax b ax b ax b x
f x x x

+ +
− −
→ →
→ →


=

= + = + ⇒ + =



= =

(1)
* Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = x
0
, ta có
0 0
'( ) '( )
f x f x
+ −
=

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


11

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

Ta có:
(
)
(
)
( )
0 0
0
0 0 0 0
0
2
2
0 0
0 0
( )
'( ) lim lim
'( ) lim 2
x x x x
x x
f x x f x a x x ax
f x a
x x
x x x
f x x
x
+ +
−
+
∆ → ∆ →

−
∆ →

+ ∆ − + ∆ −
= = =

∆ ∆


+ ∆ −

= =

∆


=> a = 2x
0
(2)
Từ (1), (2) ta có:
2
0
0 0
2
0 0
2
2
a x
ax b x
a x b x

=
 
+ =
 
⇔
 
= = −
 
 


2. Bảng công thức đạo hàm
(u + v –w)' = u' + v' – w'
(u.v)' = u'v + uv' => (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'
2
' '
′
−
 
=
 
 
u u v uv
v v
=>
2
'
′
 
= −

 
 
c cv
v v
(c: hằng số)

Đạo hàm các hàm số cơ bản Đạo hàm các hàm số hợp U = U(x)
(a)' = 0 (aU)' = a.U'
(ax)' = a
(x
m
)' = m.x
m-1
;
x R
∀ ∈
(U
m
)' = m.U
m-1
(U')
( )
1
;
2
x x R
x
+
′
= ∀ ∈

( )
'
2
U
U
U
′
=

(sin x)' = cos x (Sin U)' = cos U. (U)'
(cos x)' = - sin x (cos U)' = -sin U. (U)'
( )
2
1
;
cos 2
tgx x k
x
π
π
′
= ≠ +

( )
2
'
;
cos 2
U

tgU U k
U
π
π
′
= ≠ +

( )
2
1
;
sin
cotgx x k
x
π
′
= − ≠

( )
2
'
cot ;
sin
U
gU U k
U
π
′
= − ≠

(a
x
)' = a
x
ln a; (
0 1
a
< ≠
) (a
U
)' = a
U
ln a. (U)'; (
0 1
a
< ≠
)
(e
x
)' = e
x
(e
U
)' = e
U
. U'
(log
a
x)' =
1

;( 1)
ln
o a
x a
< ≠
(log
a
U)' =
'
;( 1)
ln
U
o a
U a
< ≠

(ln x)' =
1
;
x R
x
∀ ∈
(ln U)' =
'
U
U


Ví dụ 3:
a.

Cho
(
)
(
)
(
)
( ) 1 2 2003
y f x x x x x= = − − − Tính
'(0)
f

b.

Cho
2 1
x
y e
+
= . Tính
'(0)
f

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008


12

Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

c.

Cho
1 cos 5
5
y x
π
 
= + +
 
 
. Tính y’
d.

Cho
ln ln 2003
y x x x
= −
. Tính y’

a.
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
'( ) 1 2 2003 2 3 2003 1 2 2003
f x x x x x x x x x x x x= − − − + − − − + + − − −
'(0) ( 1)( 2) ( 2003) 2003!
f
= − − − = −

b.
( )
2 1 2 1
2 1 2 ; '(0) 2
x x
y e x e y e
+ +
′
′
= + = =

c.
sin 5 5 5sin 5
5 5 5

y x x x
π π π
′
    
′
= − + + = − +
    
    

d.
( ) ( )
' ln ln ln 2003 1 ln ln 2003 ln 0
2003
ex
y x x x x x
′
= + − = + − = >

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


13

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

3. Đạo hàm cấp n của hàm số y =
f(x)

•

Đạo hàm cấp 1:
( )
y f x
′ ′
=

•

Đạo hàm cấp 2:
( )
y f x
′′ ′′
=

•

Đạo hàm cấp 3:
( )
y f x
′′′ ′′′
=
viết
(
)
(
)
3 3
( )
y f x
=

•

Đạo hàm cấp 4:
(
)
(
)
4 4
( )
y f x
=

•

Đạo hàm cấp n:
(
)
(
)
( ); 2
n n
y f x n
= ≥

Ví dụ 4:
Tính đạo hàm cấp n của
x
y xe
=

(
)
' 1
x
y e x
= +

(
)
" 2
x
y e x
= +
…
(
)
( )n x
y e n x
= +


II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
•

Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
•

Chứng minh bất đẳng thức
•

Giải và biện luận bất phương trình, phương trình, hệ và hệ bất phương trình
•

Giá trò lớn nhất, nhỏ nhất
•

Tính giới hạn bằng quy tắc L’Hopitale (Lôpitan)
Phần này tác giả có hai chuyên đề riêng: (học sinh tìm đọc)
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm
Chuyên đề: Giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
** Chú ý quy tắc L’Hopitale:
1.

Quy tắc thứ nhất của L’Hopitale: Khử giới hạn dạng
0
0
.
Nếu
lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x x
ϕ
→ →
= =
thì
( ) '( )
lim lim
( ) '( )
x a x a
f x f x

x x
ϕ ϕ
→ →
=

2.

Quy tắc thứ hai của L’Hopitale: Khử giới hạn dạng
∞
∞

Nếu
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x x
ϕ
→ →
= = ∞
thì
( ) '( )
lim lim
( ) '( )
x a x a
f x f x
x x
ϕ ϕ
→ →
=
3.

Các giới hạn dạng
0
0. ; ,1 ,0
∞
∞ ∞ − ∞ sẽ đưa về giới hạn trên
4.

Quy tắc L’Hopitale chỉ là điều kiện đủ để tồn tại giới hạn
( )
lim
( )
x a
f x
x
ϕ
→
, do vậy nó không thể thay
thế toàn bộ phương pháp thông thường
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


14

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

Vấn đề:
DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH ĐẠO HÀM

Cho hàm số
( )

y f x
=
xác đònh trong lân cận x
0

•

Đạo hàm tại điểm x
0
:
(
)
0 0
0
0 0
( )
'( ) lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆

•

Hàm số
f(x)
có đạo hàm trong khoảng (a, b) nếu và chỉ nếu hàm số có đạo hàm tại mọi
(
)
,
x a b
∈ :
(
)
( )
0
0
( )
'( ) lim ; ,
x
f x x f x
f x x a b
x
∆ →
+ ∆ −
= ∈
∆

0 0
0
0 0 0
0 0
0
: '( ) lim

'( ) '( )
: '( ) lim
x
x
y
x f x
x
x f x f x
y
x f x
x
+
−
+
∆ →
+ −
−
∆ →
∆

=


∆
⇒ ⇔ =

∆

=


∆

Đạo hàm bên phải
Hàm số co ùđạo hàm tại
Đạo hàm bên trái

Khi đó:
0
0 0
'( ) '( ) '( )
f x f x f x
+ −
= =

Cơ sở phương pháp giải toán
1. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cách 1:
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=

−

Cách 2:
0 0
0 0
0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim lim
x x x x
f x f x f x f x
f x
x x x x
+ −
→ →
− −
= =
− −

2.
Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại x
0

* Nếu f có đạo hàm tại x
0
thì f liên tục tại x
0
:
0 0
0

lim ( ) lim ( ) ( )
x x x x
f x f x f x
− +
→ →
= =
(1)
* Nếu f có đạo hàm tại x
0
thì
0 0
'( ) '( )
f x f x
− +
= (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều kiện cần tìm

Dùng đònh nghóa để tính đạo hàm các hàm số sau tại x
0

1.
0
( ) sin
3
f x x x
π
= =
tại

2.

0
( ) 2
f x x x
= =
tại
3.

0
( )
4
f x tgx x
π
= =
tại

4.

0
( ) sin 3cos
f x x x x x
= +
tại x =

Học sinh có thể giải theo 3 bước sau:
Bước 1: Tính
(
)
0 0
( )

y f x x f x
∆ = + ∆ −

Bước 2: Lập tỉ số:
y
x
∆
∆

Bước 3: Tìm
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008


15

Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

1.
3 3 3
( ) sin sin 2 cos

3 3 2 6
lim lim lim
3 3 3
x x x
x
f x f x
x x x
π π π
π π π
π π π
→ → →
     
− − +
     
     
= =
− − −

3 3
sin
1 1
2 6
lim . lim cos cos '
2 6 3 2 3 2
2 6
x x
x
x
f
x

π π
π
π π π
π
→ →
 
−
 
   
 
= + = = ⇒ =
   
   
−

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


16

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10


2.
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
( ) (2) 2 1 1 2
lim lim lim ' 2

2 4
2 2 2
2
x x x
f x f x
f
x
x
x
→ → →
− −
= = = ⇒ =
−
+
−


3.
4 4 4
( ) sin
1
4 4
4
lim lim lim . 2 ' 2
4
cos .cos
4 4 4 4
x x x
f x f x
tgx tg

f
x x x x
π π π
π π
π
π
π π π π
→ → →
   
− −
−
   
 
   
= = = ⇒ =
 
 
− − −


4.
(
)
(
)
0 0
0 0 0 0
0 0
( ) sin 3cos sin 3cos
lim lim

x x x x
f x f x x x x x x x
x x x x
→ →
− + − +
=
− −

(
)
(
)
0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
sin sin sin
cos cos
lim lim 3 lim
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
→ → →
− −
−
= + +
− − −

0 0

0 0
0 0
0
0 0
sin sin
2 2
lim .cos . sin 3 lim( 2).sin .
2 2
2 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
→ →
− −
   
   
+ +
   
   
= + + −
   
− −
   

0 0 0 0 0 0 0
cos sin 3sin cos 2sin
x x x x x x x
= + − = −

(
)
0 0 0 0
' cos 2sin
f x x x x
= −


1. Dùng đònh nghóa, tính đạo hàm các hàm số sau tại x
0
= 0
a.
1 cos
0
( )
0 0
x
x
f x
x
x
−

≠

=


=


nếu
nếu
b.
2
1
sin 0
( )
0 0
x x
f x
x
x

≠

=


=

nếu
nếu

c.
( )
1
x
f x
x
=

+
d.
( )
1
x
f x
x
=
+


a.

Ta có:
( )
( )
2
2
2
0 0 0
2
sin
( ) (0) 1 cos 1 1 1
'(0) lim lim lim '(0)
0 2 2 2
x
x
x x x
f x f x
f f

x x
→ → →
 
− −
= = = = ⇒ =
 
 
−
 

b.

Ta có:
0 0
( ) (0) 1
'(0) lim lim sin 0
0
x x
f x f
f x
x x
→ →
−
 
= = =
 
−
 

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008

17

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

Vì
( )
0 0
1
sin lim lim 0
x x
x x x x x
x
→ →
 
− ≤ ≤ − = =
 
 
và

c.

(
)
( )
0 0 0
0 (0)
1
'(0) lim lim lim 1

1
1
x x x
f x f
x
f
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= = = =
∆ + ∆
∆ + ∆

d.

0
1
( ) ; (0) 0
1
1
x
x
x
f x f
x
x
x


≥


+
= =

−

<

+

nếu
nếu

1
0 0 0
( ) (0) 1
'(0 ) lim lim lim 1
0 1
x
x
x x x
f x f
f
x x x
+ + +
+
+
→ → →

−
= = = =
− +

1
0 0 0
( ) (0) 1
'(0 ) lim lim lim 1
0 1
x
x
x x x
f x f
f
x x x
− − −
−
−
+
→ → →
− −
= = = = −
− +

Vì
'(0 ) '(0 )
f f
+ −
≠
Vậy

f
không có đạo hàm tại x
0
= 2
2. Tính đạo hàm các hàm số sau
a.
2
0
2
1
( ) 1
4 2 1
x x
f x x
x x x

≥

= =

− + − <


nếu
tại
nếu

b.
2
0

sin
1
( ) 1
1
0 1
nếu
tại
nếu
π

≠

= =
−


=

x
x
f x x
x
x


a.

Ta có:
f
(1) = 0

( )
2
1 1 1
( ) (1) 1
'(1 ) lim lim lim 1 2
1 1
x x x
f x f x
f x
x x
+ + +
+
→ → →
− −
= = = + =
− −

(
)
( )
2
1 1 1
4 2 1
( ) (1)
'(1 ) lim lim lim 3 2
1 1
x x x
x x
f x f
f x

x x
− − −
−
→ → →
− + − −
−
= = = − =
− −

Vì
'(1 ) '(1 ) 2
f f
+ −
= =
Vậy
f
'(1) = 2
Nguyn Phỳ Khỏnh Lt Bn tho xut bn sỏch tham kho ụn thi i hc nm 2008


18

Qu tng cho con trai : Trn Hong Vit Nng nhõn ngy sinh nht 27/10

b.

Ta coự:
f
(1) = 0
( )

2
2
sin
1
2
1 1 1
( ) (1) sin
lim lim lim
1 1
1
x
x
x x x
f x f x
x x
x





= =



ẹaởt t = x 1 => x = t + 1 khi x

1 thỡ t

0

Vaọy
( )
(
)
2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
1 0 0 0
sin 1
sin sin sin
lim lim lim lim . '(1)
1
x t t t
t
x t t
f
t t t
x





+

= = = = =

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


19

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

1.

Cho
4 2
nếu x 1
( )
1
1 nếu 1
x
f x
x
x

−
≠

=
 −

=



CMR: hàm số liên tục tại x = 1. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1
2.

Cho
2
2
x -1
( )
1
x a với
f x
x bx với x

− + ≥

=

+ < −



Xác đònh a, b để hàm số có đạo hàm tại điểm x = -1
3.

CM hàm số
− +
=
−

2
2 3
( )
3 1
x x
f x
x
liên tục tại x = -3 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy
4.

Cho hàm số f(x) xác đònh bởi:
1
sin 0
( )
0 0
x nếu x
f x
x
nếu x
α

 
≠

 
=
 


=



Xác đònh số thực
α
để hàm số:
a.

Liên tục tại x = 0
b.

Có đạo hàm tại x = 0
c.

Đạo hàm f ' (x) liên tục tại x = 0

1.
* f (1) = 1;
(
)
( )
( )
1 1 1
4 1
4 2
lim ( ) lim lim 1
1
1 4 2
x x x
x
x

f x
x
x x
→ → →
−
−
= = =
−
− +

1
(1) lim ( ) 1
x
Vậy f f x
→
= =

Do đó, f(x) liên tục tại x = 1
* Cho biến số 1 số gia
0
x
∆ ≠
tại x = 1
Ta có:
( )
( )
2 1 2 2
( ) 1 1
1 1
1 1

x
y x x f x
x
x
+ ∆ −
∆ = + ∆ − = − = −
+ ∆ −
+ ∆ +

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008


20

Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

( )
( )
2
0 0 1
1 1 1 1
lim lim lim
4
1 1
1 1
x x x
y x
x
x x
x

∆ → ∆ → ∆ →
∆ − + ∆ −
= = = −
∆
∆ + + ∆
+ + ∆

Vaäy
1
'(1)
4
f
= −

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


21

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

2.

1 1
( 1) 1; lim ( ) 1; lim ( ) 1
x x
f a f x a f x b
+ −
→− →−
− = − = − = −

Hàm số có đạo hàm tại x = -1 thì liên tục tại –1
1 1
( 1) lim ( ) lim ( ) 1 1 2
x x
f f x f x a b a b
+ −
→− →−
⇒ − = = ⇔ − = − ⇔ + =

( ) ( ) ( )
2
0 0
1 ( 1) 1 1
'( 1 ) lim lim 2
x x
f x f x a a
f
x x
+ +
+
∆ → ∆ →
− + ∆ − − − − + ∆ + − −
− = = =
∆ ∆

( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
1 ( 1) 1 1 1

'( 1 ) lim lim 2
x x
f x f x b x a
f b
x x
− −
−
∆ → ∆ →
− + ∆ − − − + ∆ + − + ∆ − −
− = = = −
∆ ∆

f(x) có đạo hàm tại x = -1
'( 1 ) '( 1 ) 2 2 4
f f b b
+ −
⇔ − = − ⇔ = − ⇒ =

Ta có:
2 2
4 4
a b x
b b
+ = = −
 
⇒
 
= =
 
thì hàm số có đạo hàm tại x= -1 và

f ' (-1) = 2
3.
Ta có:
9
( 3)
10
f
− = −

2
3 3
2
3 3
3 3
2 6 9
lim ( ) lim
9
3 1 10
( 3) lim ( ) lim ( )
10
2 6 9
lim ( ) lim
3 1 10
x x
x x
x x
x x
f x
x
f f x f x

x x
f x
x
+ +
− +
− −
→− →−
→− →−
→− →−

− −
= = −


−
⇒ − = = = −

+ +

= = −

−


Vậy hàm số liên tục tại x = -3
* Cho biến số 1 số gia
0
x
∆ ≠
tại –3 và

3
x x
∆ = +

( )
( )
0 3 3
0 3 3
( ) ( 3) 10 23 53
0: lim lim lim
3 10 3 1 100
'( 3 ) '( 3 )
( ) ( 3) 10 17 13
0: lim lim lim
3 10 3 1 100
x x x
x x x
y f x f x
x
x x x
f f
y f x f x
x
x x x
+ + +
− − −
→ →− →−
− +
→ →− →−
∆ − − −


∆ > = = =

∆ + −

⇒ − ≠ −

∆ − − +

∆ < = = =

∆ + −


Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = -3
1. * Với
0 0
1 1 1 1
0: lim .sin lim .sin
x x
x x
x x x x
α α
α α
α
− −
→ →
≤ = ⇒ =
không tồn tại
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008

22

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

* Với
0
1
0 : lim .sin 0 (0)
x
x f
x
α
α
→
> = =
Vậy f(x) liên tục tại x = 0 khi
0
α
>

2.
(
)
1
1
0 0 0
sin
( ) (0) 1

lim lim lim .sin
0
x
x x x
x
f x f
x
x x x
α
α
−
→ → →
−
 
= =
 
−
 

Nếu
1
0
1
1 0 1 lim .sin 0 '(0) 0 1
x
thì x f với
x
α
α α α
−

→
 
− > ⇔ > = ⇒ = >
 
 

3. Với
1
2
1 1 1
0 : '( ) . .sin .cosx ta có f x x x
x x x
α α
α
−
    
≠ = + −
    
    

1 2
1 1
.sin .cosx x
x x
α α
α
− −
   
= −
   

   

Nếu
0
2 lim '( ) 0 '( )
x
thì f x f x
α
→
> = ⇒ liên tục tại x = 0 với
2
α
>


1.
Cho hàm số f(x) xác đònh bởi:
2
1
( )
1
x nếu x
y f x
x bx c nếu x
≤

= =

− + + >


Tìm b, c để
f(x)
có đạo hàm tại x = 1
2. Cho hàm số:
(
)
2
. 0
( )
1 0
bx
x a e với x
y f x
ax bx với x
−

+ <

= =

+ + ≥



Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0
3. Cho hàm số
2
0
( )

sin
0
x B với x
y f x
A x
với x
x
+ ≤


= =

>



Tìm A, B để hàm số có đạo hàm với mọi x

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


23

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

1. Nếu f(x) có đạo hàm tại x = 1 thì f(x) liên tục tại x = 1 nên
(
)
2
1

1 1
lim ( ) (1) lim ( ) 1 lim 1 2 2
x
x x
f x f f x x bx c b c b c
+ +
→
→ →
= ⇒ = ⇔ − + + = ⇒ + = ⇒ = −

Ta có:
( )
(
)
(
)
2
2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 1
( ) (1) 1
lim lim lim lim
1 1 1 1
x x x x
x x c x
x c x c
f x f x bx c
c

x x x x
+ + + +
→ → → →
− − + − −
− + − + −
− − + + −
= = = = −
− − − −

( )
2
1 1 1
( ) (1) 1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x
f x f x
x
x x
− − −
→ → →
− −
= = + =
− −

Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì:
1 1
( ) (1) ( ) (1)
lim lim 2
1 1

x x
f x f f x f
c
x x
+ −
→ →
− −
= ⇔ = −
− −

Vậy
2 4
2 2
b c b
c c
+ = =
 
⇒
 
= − = −
 
=> f(x) có đạo hàm tại x = 1 khi b = 4, c = -2

2. Nếu f(x) có đạo hàm tại x = 0 thì f(x) liên tục tại x = 0 nên
0
lim ( ) (0)
x
f x f
→
=

Ta có:
( )
( )
2
0
0 0
0 0
(0) 1
lim ( ) lim 1 1 lim (0) (0) 1
lim ( ) lim
x
x x
bx
x x
f
f x ax bx f f a
f x x a e a
+ +
− −
→
→ →
−
→ →

=


= + + = ⇒ = ⇔ =



= + =



Ta lại có:
(
)
0
'( )
2 0
bx bx
e b x a e với x
f x
ax b với x
− −

− + <

=

+ ≥



( )
0 0 0
lim lim '( ) lim 1
bx bx
x x x

y
f x e b x a e ab
x
− − −
− −
∆ → ∆ → ∆ →
∆
 
= = − + = −
 
∆

( )
0 0 0
lim lim '( ) lim 2
x x x
y
f x ax b b
x
+ + +
∆ → ∆ → ∆ →
∆
= = + =
∆

0 0
1
1
lim lim
1

2
x x
ab b
y y
b
Mà a
x x
+ −
∆ → ∆ →
− =

∆ ∆
= ⇔ ⇒ =

=
∆ ∆


3. Nếu f(x) có đạo hàm tại x = 0 thì f(x) liên tục tại x = 0, nên
0
lim ( ) (0)
x
f x f
→
=

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008


24

Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

Ta coù:
( )
0 0
0 0
(0)
sin
lim ( ) lim . .sin .0 0 0
lim ( ) lim
x x
x x
f B
x
f x A x A B
x
f x x B B
+ +
− −
→ →
→ →

=


= = = ⇒ =




= + =


Ta laïi coù:
2
2
1 0
'( )
sin2 sin
. 0
vôùi x
f x
x x x
A vôùi x
x
≤


=

−
>



2
0 0
sin
0 0
0 0

0
lim lim 1
lim lim 1
.
lim lim
x x
x
x x
x
x x
y x
y y
x x
A
x x
A
y
A
x x
− −
+ −
+ +
∆ → ∆ →
∆
∆ → ∆ →
∆
∆ → ∆ →
∆ ∆ −

= =


∆ ∆
∆ ∆

⇒ = ⇔ =

∆ ∆
∆

= =

∆ ∆


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


25

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

Tính đạo hàm
1.
( )
1
( ) 1 1
f x x
x
 
= + −

 
 

2.
( )
3
2
1
( )
1
x
f x
x x
+
=
− +

3.
2
4 1
( )
2
x
f x
x
+
=
+

1.
( )
1
( ) 1 1
f x x
x
 
= + −
 
 
Dạng
. ' ' '
y u v y u v v u
= ⇒ = +
và
( )
1
2
x
x
′
=

( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
'( ) 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
f x x x x
x
x x x x x x x

′
       
′
 
= + − + + − = − + + − = − +
 
       
 
       


2.
( )
3
2
1
( )
1
x
f x
x x
+
=
− +
Dạng
2
' '
'
u u v v u
y y

v v
−
= ⇒ =

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
3 3
2 3
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
3 1 1 2 1 1
'( )
1 1
x x x x x x
x x x x x
f x
x x x x
′
′
 
+ − + − − + +

+ − + − − +
 
= =
− + − +

(
)
(
)
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
1 4 4
1 2
1 1
x x x
x x
x x x x
+ − +
+ −
= =
− + − +

3.
2

4 1
( )
1
x
f x
x
+
=
+
Dạng
2
' '
'
u u v v u
y y
v v
−
= ⇒ =
và
( )
1
2 2
x
x
x
x x
α
α
α
α α

α
−
′
= =
( )
(
)
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2 2
2 2
4 1 2 2 4 1
4 2 4 1
8
'( )
2 2
2 2
x
x
x x x x
x x
x
f x
x x
x x

+
′
′
+ + − + +
+ − +
−
= = =
+ +
+ +

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.
(
)
2
sin 4
y x
= +