TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuất bản Sư phạm

ThS Phùng Duy Quang (chủ biên)
ThS Nguyễn Dương Nguyễn
TOÁN CAO CẤP
ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Nhà xuất bản Sư phạm
LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sách Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế này được biên soạn tương
ứng chương trình Toán cơ sở trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chính
Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế của trường Đại
học Ngoại thương Hà nội. Ngoài ra cuốn sách còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh
viên các trường đại học có học Toán cơ sở cũng như các học viên chuẩn bị các kiến thức
Toán cao cấp cho việc ôn thi đầu vào hệ Sau đại học các trường Đại học Kinh tế quốc
dân Hà nội, Đại học Ngoại thương Hà nội.
Với mục đích là rèn luyện tư duy suy luận bằng các tri thức của toán học cao cấp
trang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ của toán học
cao cấp khi tiếp cận các bài tập. Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập toán
cao cấp của sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, bộ
sách này được biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốt
môn Toán cơ sở. Với mục đích đó ngoài các khái niệm toán học, chúng tôi cố gắng trình
bày các kết quả toán học, và ý nghĩa của các định lý để người đọc hiểu và vận dụng kết
quả đó vào trong giải bài tập toán cao cấp. Bên cạnh đó cuốn sách cũng mạnh dạn đưa
vào khối lượng tương đối lớn các ví dụ cùng với các phương pháp giải toán, kết với các
ví dụ áp dụng toán cơ sở trong các bài toán kinh tế để người đọc thấy được mạch ứng
dụng của toán học cao cấp trong lĩnh vực kinh tế.
Với mục đích trên, ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; cuốn sách được kết
cấu như sau:
Chương 1. Ma trận và định thức
Chương 2. Không gian véc tơ
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng
Chương 4. Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số và ứng dụng

Chương 5. Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng
Phân công biên soạn cuốn sách như sau:
- ThS Phùng Duy Quang chủ biên và biên soạn chương 1, chương 2, chương 3,
chương 5 và phần ứng dụng của chương 4.
- ThS Nguyễn Dương Nguyễn biên soạn chương 4
1
Cuối cùng cuốn sách lần đầu ra mắt bạn đọc nên không thể tránh được các sai sót. Các
tác giả mong nhận được những lời góp ý của bạn đọc để cuốn sách ngày càng hoàn thiện
hơn. Mọi góp ý xin gửi về Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
Hà nội, ngày 28 tháng 12 năm 2012
Chủ biên
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng bộ môn Toán, Trưởng khoa Cơ bản
Trường Đại học Ngoại thương
2
MỤC LỤC
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 4
§1. Ma trận và các phép toán trên ma trận 4
§2. Định thức của ma trận vuông 11
§3. Ma trận nghịch đảo 22
2. Định nghĩa ma trận nghịch đảo 22
Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo 22
3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo 22
Ví dụ 4. Tìm (A2)-1 với 24
4. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 24
§4. Hạng của ma trận 28
CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉCTƠ 33
§1. Khái niệm về không gian véc tơ 33
§2. Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ 36
2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 37

§3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ 41
§4. Không gian vectơ con 49
5. Toạ độ của vectơ đối với một cơ sở 51
§5. Không gian Euclide thực 53
Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 56
§1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 56
§2. Phương pháp giải hệ phương trình 60
3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 61
4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 65
Tập nghiệm của hệ 68
§3. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 69
Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 83
§1. Hàm một biến số 83
§ 2. Giới hạn của dãy số 88
§ 3. Giới hạn của hàm số 90
§4. Hàm số một biến số liên tục 93
§5. Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến số 95
§6. Ứng dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế 102
§7. Tích phân hàm một biến số 109
§8. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế 128
Chương 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 131
§ 1. Giới hạn và liên tục 131
§2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến 139
§4. Cực trị hàm nhiều biến 155
§ 5. Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong phân tích kinh tế 162
TÀI LIỆU THAM KHẢO 173
3
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
§1. Ma trận và các phép toán trên ma trận
1. Các khái niệm

Cho m, n là các số nguyên dương
Định nghĩa 1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m
dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m
×
n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên
trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông. Ma trận cấp m
×
n có dạng tổng quát như sau:














mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
hoặc













mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
Viết tắt là A = (a
ij
)
n xn
hoặc A = [a
ij
]
n xn
Ví dụ 1. Cho ma trận







−
=
176
752
A
. A là một ma trận cấp 2 x 3 với
a
11
= 2 ; a
12
= 5 ; a
13
= - 7 ; a
21
= 6 ; a
22
= 7 ; a
23
= 1
Định nghĩa 2.
• Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở
vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau.
• Ma trận chuyển vị của A là A
T
: A
T

= [a
ji
]
n xn
• Ma trận đối của ma trận A là ma trận – A = [- a
ij
]
n x n
Ví dụ 2. Cho ma trận










−
−
=
02
14
31
A
. Xác định A
T
, - A
Giải :

Ta có






−−
=
013
241
A
T
;










−
−
−
=−
02
14

31
A
• Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 :
nxm
]0[=θ
• Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận
A là ma trận dòng.
4
• Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma
trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần
từ a
11
, a
22
, … , a
nn
gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a
n1
,
n 12
a
−
,
… , a
1n
gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ.
• Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường
chéo chính bằng 0.
+) Ma trận A = [a
ij

]
n x n
được gọi là ma trận tam giác trên nếu a
ij
= 0 với i > j:
















=
−−−
−
−
nn
n1n1n1n
n21n222
n11n11211
a0 00

aa 00

aa a0
aa aa
A
+) Ma trận A = [a
ij
]
n x n
được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a
ij
= 0 với i < j:
















=
−

−−−−
nn1nn2n1n
1n1n21n11n
2221
11
aa aa
0a aa

00 aa
00 0a
A
Ví dụ 4. Cho một ví dụ về ma trận vuông cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp
3.
Giải:










−
−
=
611
412
521

A
;










−
=
600
410
521
B
;










−=

611
012
001
C
• Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính đều bằng 0
• Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi
là ma trận đơn vị cấp n:
















=
10 00
01 00

00 10
00 01

E
n
5
• Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat
m x n
(R)
• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat
n
(R)
Ví dụ 5. Cho ma trận






−
=
176
752
A
và











−
=
2
m7
75
62
B
a) Tìm A
T
và – A
b) Tìm m để A
T
= B
Giải:
a) Ta có










−
=
17

75
62
A
T
và






−−−
−−
=
176
752
A
b)
1m1m
m7
75
62
17
75
62
BA
2
2
T
±=⇔=⇔











−
=










−
⇔=
2. Phép toán trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số
Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m
×
n:
[ ] [ ]

nm
ij
nm
ij
bB;aA
××
==
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m
×
n, kí hiệu A + B và được xác định
như sau:
[ ]
nm
iiij
baBA
×
+=+
Tích của ma trận A với một số
α
là một ma trận cấp m
×
n, kí hiệu
α
A và được xác
định như sau:
[ ]
nm
ij
a.A
×

α=α
Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B)
Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính
Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m
×
n,
βα
;
là các số bất kì ta luôn
có:
1) A + B = B + A
2) (A + B) +C = A + (B + C)
3) A + 0 = A
4) A + (-A) = 0
5) 1.A = A
6)
α
(A + B) =
α
A +
α
B
6
7) (
α
+
β
)A =
α
A +

β
A
8) (
α
β
)A =
α
(
β
B)
Ví dụ 6. Cho các ma trận






−
=






−
−
=
312
212

B;
110
421
A
. Khi đó






−−−
−−
=






−
−+






−
−

=−
1116
1474
312
212
).3(
110
421
.2B3A2
Ví dụ 7. Cho ma trận






=
35
31
B
. Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E
Giải:
Phương trình đã cho






−

=






−






=−=⇔
2/12/5
2/32/1
10
01
35
31
.
2
1
EB
2
1
C
b) Phép nhân ma trận với ma trận
Cho hai ma trận :

A =












mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
; B =















np2n1n
p22221
p11211
b bb

b bb
b bb
Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B.
Định nghĩa 4.
Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m
×
p, kí hiệu là AB và được xác
định như sau:
AB =













mn2m1m
n22221
n11211
c cc

c cc
c cc
trong đó
( )
p, ,2,1j;m, ,2,1i;baba babac
n
1k
kjiknjinj22ij11iij
===+++=
∑
=
Chú ý 1.
• Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma
trận đứng sau.
• Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước
và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
7
• Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử
ij
c
là tích vô hướng của dòng
thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau.
Ví dụ 8. Cho hai ma trận







=
13
21
A
và






=
231
410
B
. Tính A.B và B.A
Giải :
Ta có






=







+++
+++
=












=
1461
872
2.14.33.11.31.10.3
2.24.13.21.11.20.1
231
410
.
13

21
B.A
Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA.
Ví dụ 9. Cho ma trận






−
−
=
023
012
A
;










−
−
=

1203
0112
1321
B
. Tính A.B, BA
Giải:
Ta có






−−
−
=










−
−







−
−
=
3781
1753
1203
0112
1321
.
023
012
B.A
Còn B.A không tồn tại
Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận
Tính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được.
1) (AB)C = A(BC)
2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD
3)
α
(AB) = (
α
A)B = A(
α
B)
4) AE = A; EB =B
Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A

5)
( )
T
T T
AB B A=
Chú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu
θ=
B.A
thì chưa chắc
θ=
A
hoặc
θ=
B
.
Ví dụ 10. Cho các ma trận






=






=

01
00
B;
00
10
A
.
Khi đó






=






=
10
00
A.B;
00
01
B.A
và
BAAB ≠

Ví dụ 11. Cho






=






=
10
00
B;
00
01
A
, ta có






=













=
00
00
10
00
.
00
01
B.A
8
c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định
A
0
= E; A
n
= A
n -1
. A ( n là số nguyên dương)
Ví dụ 12. Cho







=
dc
ba
A
. Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình
θ=−++− )bcad(X)da(X
2
Giải:
Ta có






−+






+−













=−++−
10
01
).bcad(
dc
ba
).da(
dc
ba
.
dc
ba
E)bcad(A)da(A
2
=
θ=







=






−
−
+






++
++
−






++
++

00
00
bcad0
0bcad
)da(d)da(c
)da(b)da(a
dbcc)da(
b)da(bca
2
2
. (đpcm)
Ví dụ 13. Cho ma trận






=
10
11
A
. Tính A
2
, A
3
, , A
n
(n là số tự nhiên)
Giải:

Ta có






=












=
10
21
10
11
10
11
A
2
;







=












=
10
31
10
11
10
21
A
3
; ; tương tự ta có thể dự
đoán







=
10
n1
A
n
. Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức A
n
.
Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [a
ij
]
m x n
là các phép biến đổi có dạng
i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau:
)cc(dd
jiji
↔↔
ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0:
)kc(kd
ii
iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác:
)chc(dhd
jiji
++

Ví dụ 14. Cho ma trận










−
−
−
=
4211
5212
6421
A
. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau:
(1) nhân dòng 2 với 2
(2) hoán vị dòng 1 cho dòng 2
(3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3
Giải:
Phép biến đổi (1):











−
−
−
→










−
−
−
=
4211
20424
6421
4211
5212
6421
A

9
Phép biến đổi (2):










−
−
−
→










−
−
−
=

4211
6421
5212
4211
5212
6421
A
Phép biến đổi (3):










−−−
−
−
→











−
−
−
=
6633
5212
6421
4211
5212
6421
A
Định nghĩa 6. Ma trận dạng bậc thang là ma trận có tính chất
i) Các dòng khác không (tức là có một phần tử khác 0) nếu có thì luôn ở trên các dòng
bằng không (tức là hàng có tất cả các phần tử bằng 0).
ii) Ở hai dòng khác 0 kề nhau thì phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở bên
phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng trên.
Ví dụ 15. Các ma trận sau là ma trận dạng bậc thang













−
−
=
00000
52000
53110
86511
A
;












−
−
−
=
10000
11200
18210
74311

B
;










−
=
000
120
211
C
.
10
§2. Định thức của ma trận vuông
1. Khái niệm định thức
Cho ma trận A =













nn2n1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
. Xét phần tử a
ij
của A, bỏ đi dòng i và cột j của A
ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu M
ij
: gọi là ma trận con con ứng với phần tử a
ij
(i,j
= 1, 2, 3, , n).
Ví dụ 1.











=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
. Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A
Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là






=






=







=
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
M;
aa
aa
M;
aa
aa
M






=







=






=
3231
1211
23
3331
1311
22
3332
1312
21
aa
aa
M;
aa
aa
M;
aa
aa
M







=






=






=
2221
1211
33
2321
1311
32
2322
1312
31

aa
aa
M;
aa
aa
M;
aa
aa
M
Định nghĩa 1. Cho một ma trận A vuông cấp n: A =












nn2n1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
.

Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc
A
được định nghĩa như sau:
* Định thức cấp 1: A = [a
11
] thì det(A) = a
11
* Định thức cấp 2:






=
2221
1211
aa
aa
A
thì
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
)Adet( −==
Ví dụ 2. Tính định thức
142

61
D =
Giải: Ta có
22.614.1
142
61
D =−==
.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
0
49
25x
2
=
11
Giải: Ta có
9.25x4
49
25x
2
2
−=
.
Do đó
2
15
x
4
9.25
x09.25x4PT

22
±
=⇔=⇔=−⇔
.
* Định thức cấp 3:
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
a.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.a
aaa
aaa
aaa
Adet −−−++==
Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà
mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất.
* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính
hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với
đường chéo chính.
* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc
các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường
chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus”
sau:
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp
3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứ
nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo
như quy tắc thể hiện trên hình:

12
Dấu + Dấu -
Dấu - Dấu +
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
Dấu -
Dấu +
Ví dụ 4.Tính định thức
122
102
321
3
−
−
=∆
Giải: Ta có
=∆
3
1.0.1 + 2.(-2).1 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – 1.(-2).2) – 1.1.(-2) = -10.
Ví dụ 5. Giải phương trình
0
124

111
1xx
2
=
Giải:
Ta có
2x3x
124
111
1xx
2
2
+−=
. Do đó



=
=
⇔=+−⇔
2x
1x
02x3xPT
2
.
• Định thức cấp n (n
3
≥
):
det(A) =

)Mdet()1(a
ij
ji
n
1j
ij
+
=
−
∑
(với i bất kỳ) (Khai triển định thức theo dòng i)
hoặc det(A) =
)Mdet()1(a
ij
ji
n
1i
ij
+
=
−
∑
(với j bất kỳ) (Khai triển định thức theo cột j)
Ví dụ 6. Giải phương trình :
0
1242008
1112009
1xx2010
0002011
2

=
Giải: Đặt
1242008
1112009
1xx2010
0002011
2
4
=∆
. Khai triển định thức theo dòng 1:
124
111
1xx
.2011
124
111
1xx
.)1.(2011
22
11
4
=−=∆
+
. Dùng định nghĩa định thức cấp ba, thu được
)2x3x(2011
2
4
+−=∆
. Khi đó




=
=
⇔=+−⇔
2x
1x
02x3xPT
2
.
2. Tính chất của định thức
A =[a
ij
]
n x n
với
)Adet(
n
=∆
Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:
( ) ( ) ( )
i1 i2 ij in i1 i2 ij in i1 i2 ij in ij ij ij
a a a a b b b b c c c c ;a b c ( j 1,n)= + = + ∀ =
13
Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếu
)n,1j(aa
kj
n
k
1k

kij
=∀α=
∑
≠
=
. Ký hiệu
∑
≠
=
α=
n
ik
1k
kki
dd
; d
k
= (a
k1
a
k2
a
kn
)
Tính chất 1. (Tính chất chuyển vị)
Định thức của ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó:
det(A
T
) = det(A)
Ví dụ 1. Cho







=
dc
ba
A
. CMR det(A
T
) =det(A)
Giải: Ta có det(A) =
dc
ba
= ad- bc và det(A
T
) =
bcad
db
ca
−=
. Suy ra đpcm.
Chú ý 1. Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng
đúng cho cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho các
dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột".
Tính chất 2. (Tính phản xứng).
Đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu.
Ví dụ 2. So sánh hai định thức:

dc
ba
D =
và
'
c d
D
a b
=
Giải: Ta có D = ad – bc và D’= bc- ad = -D
Hệ quả 1. Một định thức có hai dòng giống nhau thì bằng không.
Chứng minh
Gọi định thức có hai hàng như nhau là
n
∆
. Đổi chỗ hai hàng đó ta được, theo tính chất 2
ta có
n
∆
= -
n
∆
002
nn
=∆⇒=∆⇔
Tính chất 3. (Tính thuần nhất). Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số
k thì được định thức mới bằng k lần định thức cũ
nn2n1n
in2i1i
n11211

nn2n1n
in2i1i
n11211
a



a

a

a aa

a aa
.k
a



a

a

ka kaka

a aa
=
Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử chung thì đưa
nhân tử chung ra ngoài dấu định thức
14

Hệ quả 2. Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không.
Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức
có hai dòng giống nhau nên nó bằng không.
Ví dụ 3. Chứng minh định thức sau chia hết cho 17:
4
12 2 6 7
17 68 34 204
2 1 1 4
6 7 11 9
−
− −
∆ =
−

Giải:
Ta có
D.17
91176
4112
12241
76212
.17
91176
4112
)12.(172.17)4.(171.17
76212
4
=
−
−−

−
=
−
−−
−
=∆
.
Vì D là định thức tạo bởi các số nguyên nên D cũng là số nguyên. Do đó
17
4
∆
Tính chất 3. (Tính cộng tính). Nếu định thức có một dòng là tổng hai dòng thì định thức
bằng tổng của hai định thức.
11 12 1n 11 12 1n 11 12 1n
i1 i1 i2 i2 in in i1 i2 in i1 i2 in
n1 n2 nn n1 n2 nn n1 n2 nn
a a a a a a a a a
b c b c b c b b b c c c
a a a a a a a a a
= +
+ + +
L L L
L L L L L L L L L L L L
L L L
L L L L L L L L L L L L
L L L
Hệ quả 3. Nếu định thức có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định
thức ấy bằng không.
Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất.
Hệ quả 4. Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức

không đổi.
Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
trong quá trình tính định thức cấp n:
* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau:
)cc(dd
jiji
↔↔
, phép biến đổi này định thức đổi dấu
* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0:
)kc(kd
ii
, phép biến đổi này định thức tăng lên
k lần.
* Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác:
)chc(dhd
jiji
++
, phép biến
đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức.
15
Ví dụ 4. Tính định thức
y'ccxy'bbxy'aax
'c'b'a
cba
3
+++
=∆
Giải:
Nhân dòng 1 với (-x), dòng 2 với (-y) cộng vào dòng 3 ta được:
0

000
'c'b'a
cba
321
dydxd
3
==∆
+−−
Ví dụ 5. Tính định thức
2222
2222
2222
2222
4
)3d()3c()3b()3a(
)2d()2c()2b()2a(
)1d()1c()1b()1a(
dcba
++++
++++
++++
=∆
Giải:
Nhân dòng 1 với (-1), rồi cộng lần lượt vào dòng 2, dòng 3, dòng 4 được:
9d69c69b69a6
4d44c44b44a4
1d21c21b21a2
dcba
2222
dd

4,3,2i
4
i1
++++
++++
++++
=∆
+−
=
Sau đó nhân dòng 2 với (- 2) cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với (-3) cộng vào dòng 4
được:
6666
2222
1d21c21b21a2
dcba
2222
dd2
dd3
4
32
42
++++
=∆
+−
+−
= 0 (vì có 2 dòng tỷ lệ nhau)
Ví dụ 6. Tính định thức
1
2
ac

2
cb
2
ba
1bac
1acb
1cba
4
+++
=∆
Giải:
16
Cộng các cột vào cột 1 ta được:
1
2
ac
2
cb
1cba
1ba1cba
1ac1cba
1cb1cba
4
++
+++
+++
+++
+++
=∆
Đặt nhân tử chung của cột 1 ra ngoài:

0
1
2
ac
2
cb
1
1ba1
1ac1
1cb1
).1cba(
4
=
++
+++=∆
3.Các phương pháp tính định thức
Cho định thức cấp n:
nmnj1n
inij1i
n1j111
n
a a a

a a a

a a a
=∆
a) Phương pháp khai triển (Sử dụng định nghĩa)
• Phần bù đại số của
ij

a
Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử
ij
a
) của A ta được một ma
trận con (n - 1), kí hiệu là
ij
M
. Định thức của
ij
M
được gọi là định thức con cấp n -1
tương ứng với phần tử a
ij
của A và
)Mdet()1(A
ij
ji
ij
+
−=
được gọi là phần bù đại số của
phần tử
ij
a
của định thức d. Cho định thức cấp n là
n
∆
. Khi đó
n

∆
có thể tính theo hai
cách sau:
i) Công thức khai triển theo dòng thứ i :
∑∑
==
+
=−=∆
n
1j
ijij
n
1j
ij
ji
ijn
Aa)Mdet(.)1(a
(1)
ii) Công thức khai triển theo cột thứ j:
∑∑
==
+
=−=∆
n
1i
ijij
n
1i
ij
ji

ijn
Aa)Mdet(.)1(a
(2)
Hệ quả. Đối với định thức cấp n là
n
∆
, ta có
17
i)



≠
=∆
=
∑
=
kikhi0
kikhi
Aa
n
n
1j
kjij
(3)
ii)



≠

=∆
=
∑
=
kjkhi0
kjkhi
Aa
n
n
1i
ikij
(4)
Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức cấp n về
tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2.
Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dòng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0
nhất để khai triển. Nếu không có dòng hoặc cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về định
thức mới bằng định thức ban đầu nhưng có dòng hoặc cột như vậy.
Ví dụ 7. Tính định thức a)
054
213
112
3
−=∆
b)
421
213
121
3
−
−

=∆

Giải:
a) Khai triển định thức theo dòng 3 ta có:
75120
23
12
.)1.(5
21
11
.)1.(4
2313
3
=−=+−+
−
−=∆
++
b) Khai triển định thức theo cột 1 ta có:
355300
21
12
.)1)(1(
42
12
.)1.(3
42
21
.)1.(1
131211
3

−=−−=
−
−−+
−
−+−=∆
+++
Ví dụ 8. Tính định thức a)
1253
3142
3131
5011
4
−
−−−
−
=∆
b)
11432
4100
3010
2001
4
−
=∆
Giải:
a) Nhân cột 1 với (-1) cộng vào cột 2, nhân cột 1 với (-5) cộng vào cột 4; rồi khai triển
định thức theo cột 1, ta được
1428
1316
814

1428
1316
814
.)1.(1
14283
13162
8141
0001
11
cc
cc5
4
21
41
−−
−−−=
−−
−−−−=
−−
−−−
−
=∆
+
+−
+−
Cộng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 với (-2) cộng vào dòng 2, rồi khai triển định thức
theo cột 2 ta được:
18
20
3016

52
.)1.(1
30016
502
814
21
dd
dd2
4
21
31
=
−−
−−
−=
−−
−−=∆
+
+
+−
b) Nhân cột (-2) với cột 1 rồi cộng với cột 4
9432
4100
5010
0001
4
−
=∆
Khai triển định thức theo dòng 1 ta được
943

410
501
943
410
501
.)1.(1
9432
4100
5010
0001
11
4
−
=
−
−=
−
=∆
+
Nhân cột 1 với 5 cộng vào cột 3, khai triển định thức theo dòng 1 ta được
81624
244
41
.)1.(1
2443
410
001
11
4
=−=−==∆

+
Ví dụ 9. Tính định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới
a)
nn
n1n1n1n
n21n222
n11n11211
n
a0 00
aa 00

aa a0
aa aa
−−−
−
−
=∆
b)
nn1nn2n1n
1n1n21n11n
2221
11
n
aa aa
0a aa

00 aa
00 0a
−
−−−−

=∆
Giải:
Ta chỉ cần xét ý a) Lần lượt khai triển định thức theo cột 1 :
nn2211
nn
n1n1n1n
n21n222
11
11
nn
n1n1n1n
n21n222
n11n11211
n
a a.a
a0 0
aa 0

aa a
.)1.(a
a0 00
aa 00

aa a0
aa aa
==−==∆
−−−
−
+
−−−

−
−
19
Tương tự, ta có
nn2211
nn1nn2n1n
1n1n21n11n
2221
11
n
a aa
aa aa
0a aa

00 aa
00 0a
==∆
−
−−−−
b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:
Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về định thức của
ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:
nn332211
nn
n222
n11211
a a.a.a
a 00

a a0

a aa
=
hoặc
nn2211
nn2n1n
2221
11
a aa
a aa

0 aa
0 0a
=
Ví dụ 10. Tính các định thức
a)
04321
50321
54021
54301
54321
5
−−−−
−−−
−−
−
=∆
b)
44321
43321
43221

43211
4321
4
baaaa1
abaaa1
aabaa1
aaaba1
aaaa1
+
+
+
+
=∆
Ví dụ 11. Tính định thức
a)
0xxxx1
x0xxx1
xx0xx1
xxx0x1
xxxx01
111110
6
=∆
b)
axxxxx
xaxxxx
xxaxxx
xxxaxx
xxxxax
xxxxxa

6
=∆

Giải: a)
• Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra
0
6
=∆
• Nếu x
≠
0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân tử
chung (n -1) ra ngoài ta được:
0xxxxx
x0xxxx
xx0xxx
xxx0xx
xxxx0x
xxxxxx
.
x
5
0xxxxx
x0xxxx
xx0xxx
xxx0xx
xxxx0x
xxxxx0
.
x
1

22
6
==∆
20
Nhân dòng 1 với (-1) rồi cộng vào các dòng khác ta được:
35
22
6
x5)x(x.
x
5
x00000
0x0000
00x000
000x00
0000x0
xxxxxx
.
x
5
−=−=
−
−
−
−
−
=∆
b) Cộng các cột vào cột 1, rồi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu định thức ta được
[ ]
ax xx1

xa xx1

xx ax1
xx xa1
xx xx1
.x5a
ax xxx5a
xa xxx5a

xx axx5a
xx xax5a
xx xxx5a
6
+=
+
+
+
+
+
=∆
Nhân dòng 1 với (-1) và cộng vào các dòng 2, dòng 3, … , dòng n ta được
[ ] [ ]
6
n
)xa.(x5a
xa0 000
0xa 000

00 xa00
00 0xa0

xx xx1
.x5a −+=
−
−
−
−
+=∆
21
§3. Ma trận nghịch đảo
Trong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông
cấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo
1. Định thức của tích hai ma trận vuông
Cho hai ma trận vuông cấp n : A = [a
ij
]
n x n
; B = [b
ij
]
n x n
Định lý 1. Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của ma trận
thành phần: det(AB)= det(A)det(B)
Hệ quả: det(A
n
) = [det(A)]
n

Ví dụ 1. Cho A, B là ma trận vuông cấp 3 có det(A) = 2, det(B) = -2. Tính det(AB),
det(A
2

B); det(2AB); det(A
3
); det(2A).
Giải: det(AB)= det(A).det(B)= 2. (-2) = -4
det(A
2
B)= det(A
2
).det(B) = 2
2
. (-2) = -8
det(2AB) = 2
3
.det(AB) = 8. (-4) = -32
det(A
3
) = [det(A)]
3
= 2
3
= 8
det(2A) = 2
3
.det(A) = 16
2. Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Định nghĩa 1. Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu có ma
trận vuông B cấp n sao cho A.B = B.A = E
n
thì ta nói ma trận A là khả nghịch và B được
gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A (hay A có ma trận nghịch đảo là B), và ký hiệu

A
-1
= B.
Ví dụ 2. a) Ma trận A =






40
01
là khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là








=
−
4
1
0
01
A
1
.

Vì ta có






=














=















10
01
40
01
.
4
1
0
01
4
1
0
01
.
40
01
.
b) Ma trận







=θ
00
00
không khả nghịch vì mọi ma trận vuông B cấp 2 đều có
E.BB. ≠θ=θ=θ
.
Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo
Định lý 2. Ma trận nghịch đảo A
-1
của ma trận vuông A nếu tồn tại thì duy nhất
3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo
Định lý 3. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0.
22
và A
-1
=
1
det(A)
.
A
=
1
det(A)
.
11 21 n1
12 22 n2
1n 2n nn
A A A
A A A

A A A
 
 
 
 
 
 
L
L
  O 
L

Ví dụ 3. Tìm A
-1
của










−
−
=
425
130

312
A
Giải: Ta có
022
425
130
312
A ≠−=
−
−
=
nên A là ma trận khả nghịch.
Tiếp theo xác định ma trận phụ hợp
A
của A:
10
13
31
.)1(A;2
42
31
.)1(A;14
42
13
.)1(A
13
31
12
21
11

11
−=
−
−=−=
−
−
−==
−
−=
+++
2
10
32
.)1(A;7
45
32
.)1(A;5
45
10
.)1(A
23
32
22
22
12
12
−=−=−=−==−=
+++
6
30

12
.)1(A;1
25
12
.)1(A;15
25
30
.)1(A
33
33
32
23
31
13
=
−
−=−=
−
−
−=−=
−
−=
+++
Khi đó ma trận phụ hợp của A là











−−
−−
−−
=
6115
275
10214
A
Ma trận nghịch đảo của A là










−
−
=











−−
−−
−−
−
==
−
11/322/122/15
11/122/722/5
11/511/111/7
6115
275
10214
.
22
1
A
)Adet(
1
A
1
Từ khái niệm và điều kiện khả nghịch của ma trận, ta có một số tính chất sau:
Định lý 4. Giả sử A, B là các ma trận vuông cấp n.
i) Nếu A khả nghịch thì A
-1

, A
T
, kA (k
≠
0), A
m
(m nguyên dương) cũng khả nghịch và
(A
-1
)
-1
= A ; (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
;
11
A
k
1
)kA(
−−
=
; (A
m
)

- 1
= (A
-1
)
m
ii) Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)
-1
= B
-1
A
-1
iii) Nếu A khả nghịch thì các phương trình A.X = C, X.A = C có nghiệm duy nhất
CAXCX.A
1−
=⇔=
1
A.CXCXA
−
=⇔=
23
Ví dụ 4. Tìm (A
2
)
-1
với







=
72
31
A
Giải: Tìm ma trận nghịch đảo của A, ta được






−
−
=
−
12
37
A
1
Khi đó






−
−
=







−
−






−
−
=






−
−
==
−−
716
2454
12

37
.
12
37
12
37
)A()A(
2
2112
4. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
a) Phương pháp định thức
Dựa vào định lý 2.12, ta có các bước tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = [a
ij
]
n
×
n
như
sau:
Bước 1: Tính det(A)
Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch.
Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo.
Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp của A:
A
=
11 21 n1
12 22 n2
1n 2n nn
A A A
A A A

A A A
 
 
 
 
 
 
 
L
L
  O 
L
trong đó A
ij
là phần bù đại số của a
ij
.
Bước 3: Tính B =
1
A
det(A)
. Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận
A, tức là A
-1
= B
Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
a)
1 2
A
3 4

 
=
 
 
b)










=
801
352
321
A
Giải:
a)
Bước 1: Ta có det(A) = 1.4 – 2.3 = -2
0≠
.
Nên ma trận A khả nghịch và
A.
)Adet(
1
A

1
=
−

Bước 2: Ta lập ma trận phụ hợp
A
của ma trận A. Ta có
A
11
= (-1)
1+ 1
.4 = 4; A
12
= (- 1)
1+ 2
. 3 = - 3; A
21
= (- 1)
2 + 1
.2 = - 2; A
22
=(- 1)
2 + 2
.1 = 1
24