Báo cáo bài tập lớn automata về biến đổi tương đương của các DFA

MỤC LỤC
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Chương I.
AUTOMAT ĐƠN ĐỊNH
(Deterministic Finite Automat – DFA)
I.1. Mô tả không hình thức
Automat hữu hạn là một cái máy đoán nhận xâu. Nó bao gồm các bộ phận
sau:
- Một băng vào được chia thành ô, dùng để ghi xâu vào, mỗi kí hiệu của
xâu vào thuộc bảng chữ Σ được ghi trên một ô
- Một đầu đọc, mỗi thời điểm đọc (trỏ) đến một ô trên băng vào
- Một bộ điều khiển Q, gồm một số hữu hạn các trạng thái, tại mỗi thời
điểm nó có một trạng thái
Hoạt động của Automat được thực hiện như sau: Automat hoạt động theo
từng bước. Mỗi bước như sau: tùy theo trạng thái hiện thời của bộ điều khiển
và kí hiệu mà đầu đọc đang đọc, mà Automat chuyển sang một trạng thái mới,
đồng thời đầu đọc dịch chuyển sang phải một ô.
Quy luật chuyển trạng thái của Automat hữu hạn đơn định được mô tả bởi
một hàm, được gọi là hàm dich chuyển như sau:
Trang 2
2
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Trong Q, có một trạng thái đầu, thường kí hiệu qo và một tập hợp các
trạng thái cuối / thừa nhận, thường kí hiệu F (F ⊆ Q).
Ta nói Automat thừa nhận xâu vào w nếu sau khi xuất phát từ trạng thái
đầu qo và đầu đọc chỉ vào kí hiệu bên trái nhất của xâu w, sau một số bước
dịch chuyển hữu hạn, Automat đọc xong xâu w và rơi vào một trong các trạng
thái cuối thuộc F.
Tập hợp tất cả các xâu đoán nhận bởi Automat hợp thành ngôn ngữ được
nhận bởi Automat đó.
I.2. Mô tả hình thức

Định nghĩa: Một Automat hữu hạn đơn định DFA được định nghĩa như là
một bộ năm: (Q, Σ, δ, q
0
, F), trong đó:
. Q là tập hợp hữu hạn các trạng thái.
. Σ là bộ chữ cái nhập hữu hạn.
. δ là hàm chuyển ánh xạ từ Q × Σ → Q, tức là δ(q, a) là một trạng thái
được cho bởi phép chuyển từ trạng thái q trên ký hiệu nhập a thì nó chuyển
sang trạng thái q’.
. q
0
∈ Q là trạng thái bắt đầu
. F ⊆ Q là tập các trạng thái kết thúc.
I.3. DFA xử lý xâu như thế nào
Giả sử w = a
0
a
1
a
n
là xâu vào. DFA sẽ bắt đầu với trạng thái q
0
, nó sẽ thực
hiện dịch chuyển δ(q
0
, a
1
) giả sử cho q
1
. DFA bây giờ ở trạng thái q

1
và kí hiệu
tiếp theo sẽ đọc a
2
, nó thưc hiện dịch chuyển δ(q
1
, a
2
) giả sử cho q
2
. Nó cứ tiếp
tục như thế, cho đến khi đọc an thì sẽ chuyển sang trạng thái qn nào đó, nếu q
n
thuộc tập F thì DFA thừa nhận xâu vào w, ngược lại thì xâu vào sẽ không được
thừa nhận.
Trang 3
3
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Ví dụ: Xây dựng DFA thừa nhận các xâu gồm các kí hiệu 0, 1 và chứa ít
nhất một lần xâu 01, nghĩa là chúng ta có thể mô tả ngôn ngữ L này như sau:
L = { x01y / x và y gồm các kí tự 0 và 1 bất kì }
Để xây dựng DFA thừa nhận L, DFA M cần phải ghi nhớ các khả năng
sau:
DFA đã đọc xâu 01, như thế sau đó nó có thể thừa nhận xâu vào.
DFA chưa bao giờ đọc kí tự 0, nhưng nó đã đọc ít nhất kí tự 1, trong
trường hợp này nó có thể tiếp tục đọc các kí tự 1 cho đến khi nào đó một kí tự 0
đầu tiên, thì nó có thể sau đó đọc một kí tự 1 đi liền sau.
DFA chưa đọc xâu 01, nhưng ngay trước đó ít nhất một kí tự 0, như thế nó
có thể tiếp tục đọc kí tự 0 cho đến khi gặp một kí tự 1 thì có thể chuyển sang
thừa nhận xâu vào.

Với nhận xét trên chúng ta dễ dàng thấy mỗi trường hợp trên sẽ ứng với
một trạng thái ghi nhớ của DFA. Trường hợp (1) sẽ tương ứng với trạng thái
thừa nhận, kí hiệu trạng thái q
2
, ở trạng thái này, DFA có thể tiếp tục đọc bất kì
kí hiệu nào. Như thế δ(q
2
, 0) = δ(q
2
, 1) = q
2
.
Trường hơp (2) sẽ tương ứng với trạng thái đầu q0, khi ở trạng thái này
DFA có thể tiếp tục đọc kí tự cho đến khi gặp kí tự 0 thì chuyển sang trạng thái
khác. Như thế δ(q
0
, 1) = q
0
, δ(q
0
, 0) = q
1
.
Trường hợp (3) sẽ tương ứng với trạng thái q
1
, khi đã đọc trước đó ít nhất
một kí tự 0, nhưng chưa bao giờ đọc xâu 01.Ở trạng thái q
1
thì DFA có thể tiếp
tục đọc kí tự 0 cho đến khi gặp kí tự 1, thì chuyển sang trạng thái thừa nhận q

2
.
Như thế δ(q
1
, 0) = δ(q
1
, 1) =q
2
.
Vậy cuối cùng chúng ta có DFA như sau:
M=({q
0
, q
1
, q
2
}, {0, 1}, δ, q
0
, {q
2
})
Với δ được định nghĩa như trên.
Trang 4
4
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Giải thuật mô phỏng hoạt động của một DFA
Mục đích: kiểm tra một chuỗi nhập x có thuộc ngôn ngữ L(M) đoán
nhận bởi automata M.
Input: chuỗi nhập x$
Output: câu trả lời ‘YES’ hoặc ‘NO’

Giải thuật:
I.4. Các cách biểu diễn đơn giản hơn của DFA
Cách mô tả DFA bằng bộ năm như trên là tương đối khó hiểu và ít trực
quan. Có hai cách mô tả đơn giản hơn một DFA là: biểu đồ dịch chuyển và bản
dịch chuyển
a. Biểu đồ dịch chuyển
Mỗi trạng thái trong Q là một nút.
Với mỗi trạng thái q ∈ Q và mỗi kí hiệu a ∈ Σ, có δ(q, a) = p ∈ Q. Như
thế, biểu đồ dịch chuyển có một cung đi từ nút p đến q mang nhãn a, nếu có
nhiều kí hiệu tạo ta dịch chuyển từ q đến p thì chỉ cần biểu diễn một cung mang
nhãn là danh sách các kí hiệu đó.
Có một mũi tên đi vào nút q0 để kí hiệu trạng thaí đầu.
Các trạng thái kết thúc F là các nút được biểu diễn bởi hai vòng tròn.
Trang 5
q := q
0
;
c := nextchar ; {c là ký hiệu nhập được đọc tiếp theo}
While c <> $ do
begin
q := δ(q, c);
c := nextchar ;
end
If (q in F) then write("YES") else write("NO");
5
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Các trạng thái không thuộc F là các nút được biểu diễn bởi chỉ một vòng
tròn
Ví dụ:
DFA biểu diễn ngôn ngữ trong Ví dụ

b. Bảng dịch chuyển
Bảng dịch chuyển cho một DFA là một quy ước biểu diễn dạng bảng của
hàm, mà ở đây là dịch chuyển với hai tham số: các trạng thái và các kí hiệu
vào. Trạng thái đầu được đánh dấu bởi dấu , các trạng thái cuối sẽ được đánh
các dấu
*
.
Bảng dịch chuyển của DFA xây dựng trong Ví dụ
I.5. Hàm dịch chuyển mở rộng
Một cách không hình thức chúng ta có thể nhận thấy rằng, một DFA định
nghĩa ngôn ngữ gồm các xâu là kết quả của quá trình dịch chuyển từ trạng thái
đầu đến một trong các trạng thái thừa nhận. Để xác định ngôn ngữ được thừa
nhận bởi một DFA, chúng ta sẽ định nghĩa hàm dịch chuyển mở rộng. Hàm
dịch chuyển mở rộng, kí hiệu là δ
*
, sẽ nhận tham số là trạng thái q và xâu w và
trả về trạng thái p. Nghĩa là DFA đang ở trạng thái q, sau khi xử lý xâu w thì
DFA đạt đến trạng thái p.
Trang 6
6
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Định nghĩa: Hàm dịch chuyển mở rộng được định nghĩa đệ quy trên độ dài
của xâu như sau:
δ
*
(q, ε) =q, với mọi trạng thái q, nếu DFA không đọc kí hiệu vào nào sẽ ở
lại trạng thái đó.
δ
*
(q, w)= δ (δ

*
(q, x), a), với w = x a, x ∈ Σ
*


và a ∈ Σ.
Ví dụ: Xây dựng DFA thừa nhận ngôn ngữ
L = {w / w chỉ chứa các kí hiệu 0, 1 và luôn kết thúc bởi kí hiệu 1}
DFA phải phân biệt hai khả năng:
Khi nó đọc kí hiệu 1, thì ngay sau đó có thể kết thúc.
Khi nó đọc kí hiệu 0 thì ngay sau đó không được kết thúc, mà phải đọc
tiếp các kí hiệu khác cho đến khi gặp kí hiệu 1. Như thế, DFA sẽ có ít nhất hai
trạng thái tương ứng với hai khả năng trên.
Ta xây dựng DFA như sau:
M = ({q
0
, q
1
}, {0, 1}, δ, q
0
, {q
1
})
Trong đó, hàm δ như sau:
DFA cho Ví dụ
Hay chúng ta có thể biểu diễn hàm δ bởi bảng dịch chuyển như sau:
Trang 7
7
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
δ 0 1

q
0
q
0
q
1

*
q
1
q
0
q
1
Sử dụng hàm dịch chuyển mở rộng để đoán nhận xâu w = 101101 của
ngôn ngữ L.
δ
*
(q
0
, ε) = q
0
δ
*
(q
0
, 1) = δ

(δ
*

(q
0
, ε), 1) = δ
*
(q, 1) = q
1
δ
*
(q
0
, 10) = δ(δ
*
(q
0
, 1), 0) = δ

(q
1
, 0) = q
0
δ
*
(q
0
, 101) = δ(δ
*
(q
0
, 10), 1) = δ

(q
0
, 1) = q
1
δ
*
(q
0
, 1011) = δ(δ
*
(q
0
, 101), 1) = δ

(q
1
, 1) = q
1
δ
*
(q
0
, 10110) = δ(δ
*
(q
0
, 1011), 0) = δ

(q
1

, 0) = q
0
δ
*
(q
0
, 101101) = δ(δ
*
(q
0
, 10110), 1) = δ

(q
0
, 1) = q
1
Như vậy, xâu vào w = 101101 được thừa nhận bởi DFA
Chúng ta có thể biểu diễn quá trình đoán nhận đơn giản hơn như sau:
q
0
- 101101  q
1
- 01101  q
0
-1101  q
1
-101  q
1
-01 q
0

-1 q
1
∈ F
I.6. Ngôn ngữ được thừa nhận bởi DFA
Định nghĩa: Cho DFA M = (Q, Σ, δ, q
0
, F), ngôn ngữ được thừa nhận
bởi M, được kí hiệu là L(M), được định nghĩa như sau:
L(M) = { w ∈ Σ
*
/ δ
*
(q
0
, w) = q
f
, q
f
∈ F}
Nghĩa là, ngôn ngữ L(M) gồm các xâu w sao cho M xuất phát từ trạng thái
đầu q0, sau khi đọc hết xâu w thì đạt đến một trong các trạng thái q
f
thuộc F.
Trang 8
8
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Định nghĩa: Cho DFA M, một ngôn ngữ L = L(M) được gọi là ngôn ngữ
chính quy (regular language). Hay nói cách khác, ngôn ngữ được thừa nhận bởi
một Automat hữu hạn đơn định là ngôn ngữ chính quy.
Ví dụ: Xây dựng Automat thừa nhận ngôn ngữ L gồm các xâu trên bảng

chữ Σ= {a, b} được bắt đầu bởi xâu aa.
Ví dụ: Chứng minh rằng ngôn ngữ L = {aba
n
b
m
/ n, m > 0} là ngôn ngữ
chính quy.
Để chứng minh một ngôn ngữ là chính quy, ta chỉ ra rằng tồn tại DFA
thừa nhận ngôn ngữ đó. Thật vậy L được thừa nhận bởi DFA sau:
Trang 9
9
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Chương II.
SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC AUTOMAT DFA
II.1. Sự tương đương của các trạng thái
Mục đích của chúng ta là xác định xem hai trạng thái khác nhau p và q có
thể thay thế bởi một trạng thái duy nhất mà có chức năng như p và q.
Chúng ta nói rằng, hai trạng thái p và q là tương đương nếu: với mọi xâu
w, δ
*
(p, w) cho kết quả là trạng thái kết thúc và δ
*
(q, w) cho kết quả cũng là
trạng thái kết thúc hoặc δ
*
(p, w) cho kết quả là trạng thái không kết thúc và
δ
*
(q, w) cho kết quả cũng là trạng thái không kết thúc.
Lưu ý, chúng ta không yêu cầu δ

*
(p, w) và δ
*
(q, w) cho cùng trạng thái mà
chỉ cho kết quả cùng trạng thái kết thúc hoặc không kết thúc.
Ngược lại, hai trạng thái không tương đương được gọi là phân biệt. Nghĩa
là trạng thái p phân biệt với trạng thái q, nếu tồn tại ít nhất một xâu w sao cho
một trong hai dịch chuyển δ
*
(p, w) và δ
*
(q, w) cho trạng thái kết thúc và dịch
chuyển còn lại cho trạng thái không kết thúc.
Để xác định sự tương đương của các trạng thái, chúng ta sử dụng thuật
toán xây dựng bảng đánh dấu như sau:
Nếu p là trạng thái không kết thúc và q là trạng thái kết thúc thì {p, q} là
cặp trạng thái phân biệt.
Cho p và q là các trạng thái sao cho với kí hiệu vào a, r = δ (p, a) và
s= δ (q, a) là cặp trạng thái phân biệt. Khi đó {p, q} cũng là cặp trạng thái
phân biệt. Thật vậy, bởi vì {r, s} là cặp trạng thái phân biệt, nên tồn tại xâu w
phân biệt r và s, nghĩa là chỉ có một trong hai dịch chuyển δ
*
(r, w) và δ
*
(s, w)
cho kết quả là trang thái kết thúc, còn một dịch chuyển cho kết quả là trạng thái
Trang 10
10
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
không kết thúc. Khi đó, δ

*
(p, aw) và δ
*
(q, aw) cho cùng kết quả với δ
*
(r, w) và
δ
*
(s, w), nghĩa là {p, q} cũng là cặp trạng thái phân biệt bởi xâu aw.
Ví dụ: Xây dựng bảng đánh dấu của DFA trong hình vẽ
Trong bảng đánh dấu các trạng thái phân biệt, các cặp trạng thái phân biệt
được đánh dấu X, các cặp trạng thái tương đương được để trống, các ô bôi đen
không được sử dụng. Ban đầu, không có cặp nào bị đánh dấu. Chúng ta thực
hiện việc đánh dấu theo thuật toán đã trình bày ở trên.
Trước hết, các cặp trạng thái gồm có một trạng kết thúc và một trạng thái
không kết thúc được đánh dấu. Thực hiện bước 2 của thuật toán, chúng ta
không tìm thấy thêm cặp trạng thái phân biệt nào nữa
Bảng đánh dấu các cặp trạng thái phân biệt cho
Ví dụ
Trang 11
11
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
II.2. Sự tương đương của các DFA
Ví dụ: Xét hai DFA, hai DFA này cùng đoán nhận ngôn ngữ gồm các xâu
trên bảng chữ {0, 1} kết thúc bởi kí hiệu 0.
a. Dự vào bảng đánh dấu sự tương đương các trạng thái
Chúng ta dễ dàng xác định được sự tương đương của hai DFA. Thật vậy,
giả sử có hai DFA M
1
và M

2
. Xét DFA mới là hợp của hai DFA M
1
và M
2
.
Khi đó, DFA này có hai trạng thái đầu. Tuy nhiên, nếu DFA M
1
và M
2
là
tương đương thì cặp trạng thái đầu phải là cặp trạng thái tương đương. Ngược
lại, nếu cặp trạng thái đầu là cặp trạng thái phân biêt thì M
1
và M
2
là không
tương đương.
Áp dụng thuật toán
Trang 12
12
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Chúng ta coi hai DFA như là một DFA với các trạng thái là A, B, C, D và
E. Bây giờ xây dựng bảng đánh dấu các trạng thái phân biệt của DFA này.
A và C là cặp trạng thái tương đương, vậy hai DFA là tương đương. Tức
là cùng thừa nhận một ngôn ngữ.
b. Dựa vào tính đóng dưới phép giao
Định lý: Nếu L
1
và L

2
là các ngôn ngữ chính quy thì L
1
∩ L
2
cũng là ngôn
ngữ chính quy
Chứng minh: Chúng ta xây dựng trực tiếp DFA thừa nhận ngôn ngữ
L
1
∩ L
2
từ các DFA thừa nhận L
1
và L
2
.
Giả sử M
1
= (Q
1
, Σ
1
, δ
1
, q
01
, F
1
) và M

2
= (Q
2
, Σ
2
, δ
2
, q
02
, F
2
) là các DFA
thừa nhận tương ứng L
1
và L
2
. Chúng ta sẽ xây dựng DFA M bắt chước thực
hiện đồng thời M
1
và M
2
. Mỗi trạng thái của M sẽ là một cặp trạng thái: một
trạng thái của M
1
và một trạng thái của M
2
. Bảng chữ của M sẽ là hợp của các
bảng chữ của M
1
và M

2
. Một dịch chuyển trong M được xây dựng tương ứng
một dịch chuyển đồng thời trên M
1
và M
2
khi đọc cùng một kí hiệu. M sẽ đoán
nhận xâu vào khi đồng thời cả hai DFA M
1
và M
2
cùng đoán nhận xâu vào.
Như vậy, M được xây dựng như sau:
M=(Q
1
× Q
2
, Σ
1
∪ Σ
2
, δ, (q
01
, q
02
), F
1
× F
2
)

Trong đó, δ((p, q), a) = (δ1(p, a), δ2(q, a)), với p ∈ Q1, q∈ Q2, a ∈ Σ1∪
Σ2.
Trang 13
13
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Dễ dàng nhận thấy rằng L(M) = L(M1) ∩ L(M2).
Thật vậy, δ
*
((q
01
, q
02
), w) = (δ
1

*
(q
01
, w), δ
2

*
(q
02
, w)), như thế M chỉ chấp
nhận w khi δ
1

*
(q

01
, w) ∈ F
1
và δ
2

*
(q
02
, w) ∈ F
2
, nghĩa là M chỉ chấp nhận w
khi M
1
chấp nhận w và M
2
chấp nhận w. Vậy chấp nhận L(M
1
) ∪ L(M
2
)
Ví dụ: Cho L
1
là ngôn ngữ chính quy có chứa ít nhất một kí hiệu 0 được
thừa nhận bởi DFA M
1
(a) và L
2
là ngôn ngữ chính quy có ít nhất một kí hiệu 1
được thừa nhận bởi DFA M

2
(b). Chúng ta chỉ ra DFA M (c) thừa nhận ngôn
ngữ giao của L
1
và L
2
.
Trang 14
14
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
DFA giao của hai DFA
Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng, DFA thừa nhận ngôn ngữ gồm it nhất
một kí hiệu 0 và ít nhất một kí hiệu 1.

*
Áp dụng thuật toán
Trang 15
15
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Để chứng minh hai DFA
1
L
và
2
L
tương đương thì ta chứng minh như
sau:
1
L
=

2
L
thì
1
L
∩
2
L
=
1
L
∩
2
L
= L(M) = ∅.
Automat DFA rỗng: Nếu không tồn tại một đương đi từ trạng thái đầu đến
một trong các trạng thái cuối thì là rỗng, ngược lại thì không rỗng.
Áp dụng cho Ví dụ
Trang 16
16
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
DFA biểu diễn
1
L
DFA biểu diễn
2
L
Trang 17
17
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương

DFA biểu diễn
2
L
Trang 18
18
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
DFA biểu diễn
1
L
∩
2
L
= L(M)
Ta thấy L(M) là một Automat rỗng vì không tồn tại đương đi nào từ (A,
C) đến (A, E).
Tương tự ta có L(M)=
1
L
∩
2
L
cũng rỗng.
Suy ra hai DFA
1
L
,
2
L
tương đương.
II.3. Cài đặt

Chú ý:
Trang 19
19
Môn học Automata Đề tài: Hai DFA tương đương
Dùng ma trận để mã hóa 2DFA
+ Ma trận có 3 cột, số hàng là số các trạng thái: cột 1 là trạng thái Q, cột 2
thể hiện hàm δ (Q, 0), cột 3 thể hiện hàm δ(Q, 1).
+ Các trạng thái không kết thúc được mã hóa là số 1, trạng thái kết thúc
được mã hóa là số 0.
Dùng cho các DFA không có trạng thái mồ côi, trạng thái kết thúc vẫn có
hàm δ.
Cài đặt dựa theo trạng thái tương đương :
Trang 20
20