Báo cáo bài tập lớn về 2 DFA tương đương trong automata

Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
MỤC LỤC
I.ÔTÔMAT HỮU HẠN VÀ AUTOMATA HỮU HẠN ĐƠN ĐỊNH
1.1. Mở đầu…………………………………………………………………………………2
1.2. Định nghĩa……………………………………………………………………………3
1.3. Phương pháp biểu diễn ôtômat hữu hạn đơn định……………4
1.4. Định nghĩa ngôn ngữ đoán nhận bởi FA……………………………7
II.HAI DFA TƯƠNG ĐƯƠNG
2.1. Định nghĩa………………………………………………………………………………….9
2.2.Các cách xác định 2 DFA tương đương …………………………………….10
2.2.1.Cùng sinh ra một ngôn ngữ …………………………………………….10
2.2.2.Dựa vào bảng đánh dấu các trạng thai tương đương……15
a.Sự tương đương của các trạng thái………………………… 15
b.Sự tương đương của 2 DFA Dựa vào bảng đánh dấu sự
tương đương của các trạng thái………………………………………17
1
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
I.ÔTÔMAT HỮU HẠN VÀ AUTOMATA HỮU HẠN ĐƠN ĐỊNH
1.1. Mở đầu:
Một ôtômat hữu hạn là một mô hình tính toán thực sự hữu
hạn. Mọi cái liên quan đến nó đều có kích thước hữu hạn cố định và
không thể mở rộng trong suốt quá trình tính toán. Các loại ôtômat
khác được nghiên cứu sau này có ít nhất một bộ nhớ vô hạn về tiềm
năng. Sự phân biệt giữa các loại ôtômat khác nhau chủ yếu dựa trên
việc thông tin có thể được đưa vào bộ nhớ như thế nào.
Một ôtômat hữu hạn làm việc theo thời gian rời rạc như tất cả
các mô hình tính toán chủ yếu. Như vậy, ta có thể nói về thời điểm “kế
tiếp” khi “đặc tả” hoạtđộng của một ôtômat hữu hạn.
Trường hợp đơn giản nhất là thiết bị không có bộ nhớ mà ở mỗi
thời điểm, thông tin ra chỉ phụ thuộc vào thông tin vào lúc đó. Các
thiết bị như vậy là mô hình của các mạch tổ hợp.

Tuy nhiên, nói chung, thông tin ra sản sinh bởi một ôtômat hữu
hạn phụ thuộc vào cả thông tin vào hiện tại lẫn các thông tin vào trước
đó. Như vậy ôtômat có khả năng (với một phạm vi nào đó) ghi nhớ các
thông tin vào trong quá khứ của nó. Một cách chi tiết hơn, điều đó có
nghĩa như sau.
Ôtômat có một số hữu hạn trạng thái bộ nhớ trong. Tại mỗi thời
điểm i, nó ở một trong các trạng thái đó, chẳng hạn q
i
Trạng thái q
i+1
ở
thời điểm sau được xác định bởi q
i
và thông tin vào a
i
cho ở thời điểm
i. Thông tin ra ở thời điểm i được xác định bởi trạng thái q
i
(hay bởi cả
a
i
và q
i
).
2
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
1.2. Định nghĩa:
Một ôtômat hữu hạn đơn định hay một DFA (Deteministic
Finite Automata) là một bộ năm A = <Q, Σ, δ, q0, F>, trong đó:
− Q là một tập hữu hạn khác rỗng, được gọi là tập các trạng thái;

− Σ là một bảng chữ, được gọi là bảng chữ vào;
− Σ là một bảng chữ, được gọi là bảng chữ vào;
− δ: D → Q, trong đó D ⊂ Q x Σ, được gọi là ánh xạ chuyển;
− q
0
∈ Q, được gọi là trạng thái đầu;
− F ⊂ Q, được gọi là tập các trạng thái kết thúc.
Trong trường hợp D = Q x Σ, ta nói A là đầy đủ. Về sau ta sẽ thấy
rằng mọi ôtômat hữu hạn đều đưa về được ôtômat hữu hạn đầy đủ
tương đương.
Hoạt động của ôtômat hữu hạn đơn định A = <Q, Σ, δ, q0, F> khi
cho xâu vào ω=a
1
a
2
… a
n
có thể được mô tả như sau:
Khi bắt đầu làm việc, máy ở trạng thái đầu q
0
và đầu đọc đang
nhìn vào ô có ký hiệu a
1
. Tiếp theo máy chuyển từ trạng thái q
0
dưới tác
động của ký hiệu vào a
1
về trạng thái mới δ(q
0

, a
1
) = q
1
∈ Q và đầu đọc
chuyển sang phải một ô, tức là nhìn vào ô có ký hiệu a
2
. Sau đó ôtômat
A có thể lại tiếp tục chuyển từ trạng thái q
1
nhờ ánh xạ chuyển δ về
trạng thái mới q
2
=δ(q
1
, a
2
) ∈ Q. Quá trình đó sẽ tiếp tục cho tới khi
gặp một trong các tình huống sau:
− Trong trường hợp ôtômat A đọc hết xâu vào ω và δ(q
n-1
,a
n
)=q
n
∈
F, ta nói rằng A đoán nhận ω.
3
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
− Trong trường hợp ôtômat A đọc hết xâu vào ω và δ(q

n-1
,a
n
)=q
n
∉
F hoặc tồn tại chỉ số j (j≤n) sao cho δ(q
j-1
,a
j
) không xác định, ta nói rằng
A không đoán nhận ω.
1.3. Phương pháp biểu diễn ôtômat hữu hạn đơn định:
Ánh xạ chuyển là một bộ phận quan trọng của một ôtômat hữu
hạn đơn định.Nó có thể cho dưới dạng bảng chuyển hoặc cho dưới
dạng đồ thị.
1) Phương pháp cho bảng chuyển:

trong đó dòng i cột j của bảng là ô trống nếu ( q
i
,a
j
) ∉ D, tức là
δ(q
i
,a
j
) không xác định.
4
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương

2) Phương pháp cho bằng đồ thị chuyển:
Cho ôtômat A = <Q, Σ, δ, q0, F>. Ánh xạ chuyển δ có thể cho bằng
một đa đồ thị có hướng, có khuyên G sau đây, được gọi là đồ thị
chuyển của ôtômat A. Tập đỉnh của G là Q. Nếu a ∈ Σ và từ trạng thái
q chuyển sang trạng thái p do đẳng thức δ(q, a)=p thì sẽ có một cung
từ q tới p được gán nhãn a.
Đỉnh vào của đồ thị chuyển là đỉnh ứng với trạng thái ban đầu q
0
.
Các đỉnh sẽ được khoanh bởi các vòng tròn, tại đỉnh q
0
có mũi tên đi
vào, riêng đỉnh với trạng thái kết thúc được khoanh bởi vòng tròn
đậm.
Thí dụ 1: Cho hai ôtômat hữu hạn đơn định
A1 = <{q0, q1, q2}, {a, b}, δ, q0, {q2}>,
trong đó δ(q0, a)=q0, δ(q0, b)=q1, δ(q1, a)=q0, δ(q1, b)=q2, δ(q2, a)=q2,
δ(q2, b)=q2 và
A2 = <{q0, q1, q2, q3}, {0, 1}, δ, q0, {q0}>,
trong đó δ(q0, 0)=q2, δ(q0, 1)=q1, δ(q1, 0)=q3, δ(q1, 1)=q0, δ(q2, 0)=q0,
δ(q2, 1)=q3, δ(q3, 0)=q1, δ(q3, 1)=q2.
Khi đó các bảng chuyển của A1 và A2 là:
5
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
Dãy trạng thái của ôtômat A1 khi cho xâu α=ababbab vào là:
Dãy trạng thái của ôtômat A2 khi cho xâu β=1010100 vào là:
Đồ thị chuyển của ôtômat A1:
Đồ thị chuyển của ôtômat A2:
6
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương

Ta có thể mô tả quá trình đoán nhận xâu vào của ôtômat hữu hạn
đơn định đầy đủ A bằng thuật toán mô phỏng sau:
Đầu vào:
− Một xâu ω
− Một ôtômat hữu hạn đơn định đầy đủ A với trạng thái đầu q
0
và tập
trạng thái kết thúc là F.
Đầu ra:
− “True” nếu A đoán nhận xâu ω.
− “False” nếu A không đoán nhận xâu ω.
Thuật toán:
Begin
S:=q
0
;
C:=ký hiệu tiếp theo;
While ( C < > Ø ) do
begin
S:=δ(S, C);
C:=ký hiệu tiếp theo;
end;
if ( S ∈ F ) return True
else return False;
7
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
End.
1.4. Định nghĩa ngôn ngữ đoán nhận bởi DFA:
Cho ôtômat hữu hạn đơn định A = <Q, Σ, δ, q0, F>, ω ∈ Σ và L là
một ngôn ngữ trên Σ. Ta nói:

− ω được đoán nhận bởi A nếu δ(q
0
, ω) ∈ F;
− L được đoán nhận bởi A nếu L={ ω ∈ Σ* | δ(q
0
, ω) ∈ F} và
ký hiệu L là L(A).
Lưu ý rằng trong đồ thị chuyển của A, ω∈Σ* được đoán nhận
bởi A khi và chỉ khi ω ứng với một đường đi từ đỉnh q
0
đến một trong
các đỉnh kết thúc.
Cụ thể là nếu ω=a
1
a
2
…a
n
thì đường đi là (q
0
, q
1
, …, q
n
) với cung
(q
i-1
, q
i
) có nhãn a

i
( 1≤ i ≤n ) và q
n
∈ F. Như vậy, L(A) là tập hợp tất cả
các đường đi từ q
0
đến các đỉnh kết thúc.
8
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương

II.HAI DFA TƯƠNG ĐƯƠNG :
2.1. Định nghĩa: Hai ôtômat hữu hạn đơn định A và A’ được gọi là
tương đương nếu L( A )=L( A’ ).
Ví dụ: Cho ôtômat hữu hạn đơn định:
A = <{q0, q1, q2, q3, q4}, {0, 1}, δ, q0, {q1, q2, q4}>,
trong đó δ(q0,0)=q0, δ(q0,1)=q1, δ(q1,0)=q3, δ(q1,1)=q2, δ(q2,0)=q2,
δ(q2,1)=q2, δ(q3,1)=q3, δ(q4,0)=q2, δ(q4,1)=q3.
Đồ thị chuyển của A là:
Trước hết, ta nhận thấy rằng không có đường đi từ q0 đến đỉnh
kết thúc q4, do đó ôtômat A tương đương với ôtômat A’ sau:
A’ = <{q0, q1, q2}, {0, 1}, δ, q0, {q1, q2}>,
trong đó δ(q0,0)=q0, δ(q0,1)=q1, δ(q1,1)=q2, δ(q2,0)=q2, δ(q2,1)=q2.
Đồ thị chuyển của A’ là:
9
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
Các đường đi từ q0 đến đỉnh kết thúc q
1
ứng với các xâu 0
n
1, n≥0.

Các đường đi từ q
0
đến đỉnh kết thúc q
2
ứng với các xâu 0
n
11ω,
n≥0, ω∈{0, 1}*. Vậy L( A )=L( A’ )={0
n
1, 0
n
11ω | n≥0, ω∈{0, 1}*}.
2.2.Các cách xác định 2 DFA tương đương :
2.2.1.Cùng sinh ra một ngôn ngữ :
Dựa vào định nghĩa trên ta có : 2 DFA A
1
và A
2
tương đương
với nhau nếu L( A
1
) = L( A
2
). Do đó để chứng minh hai DFA A
1
và
A
2
tương đương thì ta cần chứng minh:

1
L

=
2
L

1
L
∩
2
L

=
1
L
∩
2
L
= L(M) = ∅.
DFA rỗng: Nếu không tồn tại một đường đi từ trạng thái đầu
đến một trong các trạng thái cuối thì là rỗng, ngược lại thì không
rỗng.
* T ính đóng của lớp ngôn ngữ dưới phép giao:
Định lý: Nếu L
1
và L
2
là các ngôn ngữ chính quy thì L
1

∩ L
2
cũng
là ngôn ngữ chính quy
Chứng minh: Chúng ta xây dựng trực tiếp DFA thừa nhận
ngôn ngữ L
1
∩ L
2
từ các DFA thừa nhận L
1
và L
2
.
10
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
Giả sử A
1
= (Q
1
, Σ
1
, δ
1
, q
01
, F
1
) và A
2

= (Q
2
, Σ
2
, δ
2
, q
02
, F
2
) là các
DFA thừa nhận tương ứng L
1
và L
2
. Chúng ta sẽ xây dựng DFA M
bắt chước thực hiện đồng thời A
1
và A
2
. Mỗi trạng thái của M sẽ là
một cặp trạng thái: một trạng thái của A
1
và một trạng thái của A
2
.
Bảng chữ của M sẽ là hợp của các bảng chữ của A
1
và A
2

. Một dịch
chuyển trong M được xây dựng tương ứng một dịch chuyển đồng
thời trên A
1
và A
2
khi đọc cùng một kí hiệu. M sẽ đoán nhận xâu
vào khi đồng thời cả hai DFA A
1
và A
2
cùng đoán nhận xâu vào.
Như vậy, M được xây dựng như sau:
M=(Q
1
× Q
2
, Σ
1
∪ Σ
2
, δ, (q
01
, q
02
), F
1
× F
2
)

Trong đó, δ((p, q), a) = (δ1(p, a), δ2(q, a)), với p ∈ Q1, q∈ Q2, a
∈ Σ1 ∪ Σ2.
Dễ dàng nhận thấy rằng L(M) = L(A1) ∩ L(A2).
Thật vậy, δ
*
((q
01
, q
02
), w) = (δ
1
*
(q
01
, w), δ
2
*
(q
02
, w)), như thế M
chỉ chấp nhận w khi δ
1
*
(q
01
, w) ∈ F
1
và δ
2
*

(q
02
, w) ∈ F
2
, nghĩa là M
chỉ chấp nhận w khi M
1
chấp nhận w và M
2
chấp nhận w. Vậy chấp
nhận L(A
1
) ∪ L(A
2
)
Ví dụ: Cho L
1
là ngôn ngữ chính quy có chứa ít nhất một kí
hiệu 0 được thừa nhận bởi DFA A
1
(a) và L
2
là ngôn ngữ chính quy
có ít nhất một kí hiệu 1 được thừa nhận bởi DFA A
2
(b). Chúng ta
chỉ ra DFA M (c) thừa nhận ngôn ngữ giao của L
1
và L
2

.
11
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
DFA giao của hai DFA
Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng, DFA thừa nhận ngôn ngữ
gồm it nhất một kí hiệu 0 và ít nhất một kí hiệu 1.
DFA biểu diễn
1
L
A
12

B
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
DFA biểu diễn
2
L
C D
DFA biểu diễn
2
L

E

13

E

D

C
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
DFA biểu diễn
1
L
∩
2
L
= L(M)

A,E
Ta thấy L(M) là một Automat rỗng vì không tồn tại đương đi nào từ (A,
C) đến (A, E).
Tương tự ta có L(M)=
1
L
∩
2
L
cũng rỗng.
Suy ra hai DFA
1
L
,
2
L
tương đương.
14

A,D

B,E

B,C

B,D

A,C
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
2.2.2.Dựa vào bảng đánh dấu các trạng thai tương đương:
a.Sự tương đương của các trạng thái :
Mục đích của chúng ta là xác định xem hai trạng thái khác
nhau p và q có thể thay thế bởi một trạng thái duy nhất mà có chức
năng như p và q.
Chúng ta nói rằng, hai trạng thái p và q là tương đương nếu:
với mọi xâu w, δ
*
(p, w) cho kết quả là trạng thái kết thúc và δ
*
(q,
w) cho kết quả cũng là trạng thái kết thúc hoặc δ
*
(p, w) cho kết
quả là trạng thái không kết thúc và δ
*
(q, w) cho kết quả cũng là
trạng thái không kết thúc.
Lưu ý, chúng ta không yêu cầu δ
*
(p, w) và δ

*
(q, w) cho cùng
trạng thái mà chỉ cho kết quả cùng trạng thái kết thúc hoặc không
kết thúc.
Ngược lại, hai trạng thái không tương đương được gọi là
phân biệt. Nghĩa là trạng thái p phân biệt với trạng thái q, nếu tồn
tại ít nhất một xâu w sao cho một trong hai dịch chuyển δ
*
(p, w) và
δ
*
(q, w) cho trạng thái kết thúc và dịch chuyển còn lại cho trạng
thái không kết thúc.
15
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
Để xác định sự tương đương của các trạng thái, chúng ta sử
dụng thuật toán xây dựng bảng đánh dấu như sau:
Nếu p là trạng thái không kết thúc và q là trạng thái kết thúc
thì {p, q} là cặp trạng thái phân biệt.
Cho p và q là các trạng thái sao cho với kí hiệu vào a, r = δ (p, a)
và s= δ (q, a) là cặp trạng thái phân biệt. Khi đó {p, q} cũng là cặp
trạng thái phân biệt. Thật vậy, bởi vì {r, s} là cặp trạng thái phân
biệt, nên tồn tại xâu w phân biệt r và s, nghĩa là chỉ có một trong
hai dịch chuyển δ
*
(r, w) và δ
*
(s, w) cho kết quả là trang thái kết
thúc, còn một dịch chuyển cho kết quả là trạng thái không kết
thúc. Khi đó, δ

*
(p, aw) và δ
*
(q, aw) cho cùng kết quả với δ
*
(r, w) và
δ
*
(s, w), nghĩa là {p, q} cũng là cặp trạng thái phân biệt bởi xâu aw.
Ví dụ: Xây dựng bảng đánh dấu của DFA trong hình vẽ
Trong bảng đánh dấu các trạng thái phân biệt, các cặp trạng
thái phân biệt được đánh dấu X, các cặp trạng thái tương đương
được để trống, các ô bôi đen không được sử dụng. Ban đầu, không
16
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
có cặp nào bị đánh dấu. Chúng ta thực hiện việc đánh dấu theo
thuật toán đã trình bày ở trên.
Trước hết, các cặp trạng thái gồm có một trạng kết thúc và một
trạngthái không kết thúc được đánh dấu. Thực hiện bước 2 của
thuật toán,chúng ta không tìm thấy thêm cặp trạng thái phân biệt
nào nữa :
b.Sự tương đương của 2 DFA Dựa vào bảng đánh dấu sự
tương đương của các trạng thái:
Ví dụ: Xét hai DFA, hai DFA này cùng đoán nhận ngôn ngữ
gồm các xâu trên bảng chữ {0, 1} kết thúc bởi kí hiệu 0.
17
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
Chúng ta dễ dàng xác định được sự tương đương của hai DFA.
Thật vậy, giả sử có hai DFA A
1

và A
2
. Xét DFA mới là hợp của hai
DFA A
1
và A
2
. Khi đó, DFA này có hai trạng thái đầu. Tuy nhiên,
nếu DFA A
1
và A
2
là tương đương thì cặp trạng thái đầu phải là cặp
trạng thái tương đương. Ngược lại, nếu cặp trạng thái đầu là cặp
trạng thái phân biêt thì A
1
và A
2
là không tương đương.
Áp dụng thuật toán:Chúng ta coi hai DFA như là một DFA
với các trạng thái là A, B, C, D và E. Bây giờ xây dựng bảng đánh
dấu các trạng thái phân biệt của DFA này.
18
Báo cáo bài tập lớn Automata Đề bài : 2 DFA tương đương
A và C là cặp trạng thi tương đương, vậy hai DFA là tương
đương. Tức là chúng cùng thừa nhận một ngôn ngữ.
19