Xây dựng chương trình bình sai lưới độ cao

1
Mục lục
2
MỞ ĐẦU
Công tác xử lý tính toán bình sai các mạng lưới trắc địa là một công việc
phức tạp và đòi hỏi phải có tính khoa học cao. Đây là một công việc có khối lượng
tính toán rất lớn. Ngày nay, với sự phổ biến của máy tính và sự phát triển vượt bậc
của các phần mềm tin học, công việc này đã và đang được tự động hóa hoàn toàn.
Nhưng để xây dựng một chương trình mạnh mà vẫn bảo đảm được tính chặt chẽ
vẫn còn là một vấn đề đang được nhiều người quan tâm.
Các bài toán về bình sai lưới trong trắc địa là tổng hợp của rất nhiều các phép
toán nhỏ lẻ và khá phức tạp. Để làm nó mà ta chỉ sử dụng các biện pháp thủ công
thì sẽ rất mất thời gian và đôi khi khó có thể tránh khỏi sai sót. Có rất nhiều các bài
toán bình sai và một trong số đó là “Bình sai lưới độ cao”.
Xuất phát từ thực tế đó, trong đồ án tốt nghiệp em đã chọn và nghiên cứu đề
tài: “Xây dựng chương trình bình sai lưới độ cao”. Để có thể xây dựng được một
chương trình hoàn thiện, cần rất nhiều thời gian và công sức cũng như phương tiện
tính toán. Trong thời gian làm đồ án, em đã tìm hiểu cơ sở lý thuyết của các
phương pháp bình sai lưới độ cao, đồng thời xây dựng chương trình ứng dụng để
thuận tiện trong quá trình bình sai.
Nội dung chính của đồ án được chia thành 4 chương:
Chương 1: Khái quát về lý thuyết bình sai lưới trắc địa.
Chương 2: Các phương pháp bình sai lưới độ cao .
Chương 3: Xây dựng chương trình Bình sai lưới độ cao.
Chương 4: Tính toán thực nghiệm.
Do thời gian làm đồ án và năng lực bản thân có hạn nên trong nội dung của
đồ án cũng như trong chương trình không tránh khỏi còn thiếu sót, em mong nhận
được sự chỉ dẫn của các thầy cô giáo cũng như những ý kiến đóng góp của các bạn
sinh viên để đồ án được hoàn thiện hơn.
3
Em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo trong

thời gian qua để em có thể hoàn thành đồ án của mình.
4
CHƯƠNG 1. KHÁI QUÁT VỀ LÝ THUYẾT BÌNH SAI LƯỚI TRẮC ĐỊA
1.1. Nguyên lý số bình phương nhỏ nhất
Dựa trên cơ sở lý thuyết xác suất, người ta đã chứng minh được rằng trong
trường hợp đo cùng độ chính xác, để nhận được các trị sau bình sai
( )
ii
vL
+
có độ
tin cậy lớn nhất nghĩa là xấp xỉ với trị thật nhất thì tổng bình phương của số hiệu
chỉnh
i
v
phải nhỏ nhất.
[ ]
min=vv
(1.1)
Trong đó
i
v
= - là số hiệu chỉnh của trị đo.
và lần lượt là trị đo và trị bình sai của của trị đo.
Trong trường hợp đo không cùng độ chính xác:
[ ]
minpvv
=
(1.2)
Trong đó:

2
i
2
m
p
µ
=
.
Với là sai số trung phương trọng số đơn vị;
là sai số trung phương của trị đo thứ i.
Các điều kiện (1.1) và (1.2) gọi là nguyên lý bình phương nhỏ nhất. Để giải
bài toán này có hai phương pháp:
- Tìm cực trị
[ ]
minpvv
==Φ
không điều kiện được sử dụng trong bài toán
bình sai gián tiếp và một số bài toán suy ra từ bài toán này.
- Tìm cực trị có điều kiện:
[ ]
minpvv
==Φ

kèm theo điều kiện: BV+ = 0.
Để giải bài toán dạng này người ta sử dụng hàm phụ Lagrăng dạng:
Trong đó:
k
hệ số phụ Lagrăng (còn gọi là hệ số liên hệ).
5
Phương pháp này được gọi là phương pháp bình sai điều kiện và một số bài toán

suy ra từ dạng này.
Ví dụ: Từ phương trình (1.2) để tìm
i
v
ta giải theo phương pháp tìm cực trị có
điều kiện.
[ ]
( )
( )
( )
minwvvvk2vvvBVk2vv
321
2
3
2
2
2
1
=+++−++=∆+−=Φ

Hàm điều kiện trên đạt min khi đạo hàm bậc nhất của
Φ
theo
i
v
bằng 0.
Tức là:
kv0v2v2
v
0

v
1k1
1
=⇒=−=
∂
Φ∂
⇒=
∂
Φ∂
Tương tự:
kv0v2v2
v
kv0v2v2
v
3k3
3
2k2
2
=⇒=−=
∂
Φ∂
=⇒=−=
∂
Φ∂
Thay
321
,, vvv
vào phương trình (1.2) ta có:
3
w

vvv
3
w
k0wk3
321
−===⇒
−=⇒=+
Kết luận:
a. Bài toán bình sai chỉ tiến hành khi có trị đo thừa
r
.
b. Bài toán bình sai dựa trên nguyên lý số bình phương nhỏ nhất
[ ]
min
==Φ
Pvv
với các nội dung cơ bản:
- Tìm trị đáng tin cậy nhất của trị đo và các đại lượng cần tìm.
- Xác định sai số trung phương của các trị đo và các đại lượng cần tìm.
6
1.2. Phương pháp bình sai điều kiện
1.2.1. Khái niệm về bình sai điều kiện
Như chúng ta đã biết, để có điều kiện kiểm tra kết quả đo và nâng cao độ chính
xác của các yếu tố cần xác định, người ta tiến hành đo thừa.
Ví dụ: Muốn xây dựng hình dạng của một tam giác ABC như hình vẽ 1 ngoài
một yếu tố về chiều dài cạnh đã biết, chỉ cần đo 2 góc. Nhưng trong thực tế người
ta thường đo cả 3 góc. Như vậy là có một trị đo thừa. Do một đại lượng đo thừa ấy
nên có một điều kiện hình học cần phải thoả mãn là tổng 3 góc trong một tam giác
phẳng bằng 180
0

.
L
1
2
L
L
3
A
B
C
Hình 1.1
Gọi A, B, C là trị thực của 3 góc trong một tam giác thì phương trình điều
kiện là: A + B + C = 180°.
Như vậy những điều kiện hình học được biểu diễn dưới dạng các phương
trình toán học gọi là phương trình điều kiện. Nếu có một trị đo thừa thì có một
phương trình điều kiện, có r trị đo thừa thì có r phương trình điều kiện.
Thực tế chúng ta không biết được trị thực của mỗi đại lượng đo mà người ta
dùng phương pháp bình sai, chỉnh lý kết quả đo để tìm trị xác suất nhất. Phương
pháp bình sai để tìm trị xác suất nhất thoả mãn tất cả các phương trình điều kiện gọi
là phương pháp bình sai điều kiện.
1.2.2. Hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng tổng quát
Giả sử trong một mạng lưới chúng ta có dãy trị đo L
1
, L
2
, L
n
, nhằm xác định
t đại lượng cần thiết. Lúc đó ta có trị đo thừa:
7

tnr
−=
Ứng với 1 trị đo thừa có một phương trình điều kiện. Khi có
r
trị đo thừa có
r
phương trình điều kiện ràng buộc trị bình sai của các trị đo với nhau:
( ) ( )
r1jCL, ,L,Lf
jn21j
÷==
′′′
Trong đó:
n
LLL
′′′
, ,,
21
: là trị bình sai của các đại lượng đo.
j
C
: trị thực của điều kiện.
j
f
: quan hệ hàm số.
Thay
iii
vLL
+=
′

ta có:
( )
j 1 1 2 2 n n j
f L v ,L v , ,L v C
+ + + =
(1.3)
Khai triển hàm số (1.3) theo chuỗi Taylor và chỉ giữ lại số hạng bậc nhất ta
được:
( )
( )
0 0 0
j 1 1 2 2 n n j 1 2 n
j j j
1 2 n j
1 2 n
0 0 0
f L v ,L v , ,L v f L ,L , ,L
f f f
v v v C
L L L
+ + + = +
∂ ∂ ∂
     
+ + + + =
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂
     
Lấy trị gần đúng là trị đo ta có:
( )
{ }

j j j
1 2 n j 1 2 n j
1 2 n
f f f
v v v f L ,L , ,L C 0
L L L
∂ ∂ ∂
+ + + + − =
∂ ∂ ∂
Đặt:
( )
1 2 r
i i i
i i i
f f f
a , b , , r , i 1 n
L L L
∂ ∂ ∂
= = = = ÷
∂ ∂ ∂
: gọi là các hệ số
và
( )
jnjj
CLLLfw
−=
, ,,
21
: gọi là sai số khép của điều kiện.
Như vậy ta có hệ sau:

8
[ ]
[ ]
[ ]
1 1 2 2 n n 1 1
1 1 2 2 n n 2 2
1 1 2 2 n n n n
a v a v a v w av w 0
b v b v b v w bv w 0

r v r v r v w r v w 0
 + + + + = + =

+ + + + = + =





+ + + + = + =


(1.4)
Hệ phương trình (1.4) được gọi là hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh
dạng tuyến tính.
Để viết dưới dạng ma trận chúng ta ký hiệu:
Với:
B là ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh
W là ma trận sai số khép
V là ma trận sai số khép dạng tổng quát

Với ký hiệu này ta có phương trình điều kiện số hiệu chỉnh viết dưới dạng
ma trận:

0WBV
=+
(1.5)
1.2.3. Tìm trị đáng tin cậy nhất
Chúng ta đã biết hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là:
r n n 1 r 1
B V W 0
× × ×
+ =
Hệ phương trình này có
r
phương trình chứa
n
ẩn số là các số hiệu chỉnh
i
v
.
Vì
r
<
n
cho nên hệ có vô số nghiệm. Để có hệ nghiệm đáng tin cậy nhất thì chúng
ta phải sử dụng nguyên lý số bình phương nhỏ nhất:
9
min
==Φ
PVV

T
Trong đó: P là ma trận trọng số và:
P=
Pi à trọng số của trị đo thứ i.
Tuy nhiên mỗi số hiệu chỉnh đều kèm theo phương trình điều kiện nên còn
gọi là biểu thức cực trị có điều kiện. Để giải bài toán này có nhiều cách giải nhưng
trong trắc địa thông thường người ta sử dụng hàm phụ Lagrăng.
( )
T T
1
V PV 2K BV W minΦ = − + =
Trong đó:
K
là ma trận số liên hệ có dạng:
KT = (k1,k2, …, kr)
Hàm
1
Φ
đạt min khi đạo hàm hoặc vi phân bằng 0 tức:
0BK2PV2
V
TT
1
=−=
∂
Φ∂
Hay
0BKPV
TT
=−

Lấy chuyển vị hai vế ta có:
KBPV
T
=
(*)
Nhân hai vế của (*) với
1−
P
về phía trái:
1 T
V P B K
−
=
(1.6)
Hệ phương trình (1.6) được gọi là hệ phương trình số liên hệ.
Dựa vào hệ này nếu biết ma trận
K
sẽ tìm được ma trận số hiệu chỉnh
V
Ta có:
10
1 1
2 2
1
n n
1 1 1 1
2 2 2 2
T
n n n r
v 1/ p 0 0

v 0 1/ p 0
V ; P ;

v 0 0 1/ p
a b r k
a b r k
B ; K

a b r k
−
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
M
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2

2 2 2
n n n n r
n n n
n n n
a b r

p p p
v a b r k
a b r

v a b r k
p p p


v a b r k
a b r

p p p
 
 ÷
 ÷
    
 ÷
 ÷  ÷ ÷
 ÷
 ÷  ÷ ÷
⇒ = =
 ÷
 ÷  ÷ ÷
 ÷

 ÷  ÷ ÷
 ÷
    
 ÷
 ÷
 
1 1 1
1 2 r
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
1 2 r
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
n n n n n n r
n
1
n
a b r
k k k
p p p
a / p b / p r / p k
a b r
k k k
a / p b /p r / p k
p p p


a /p b / p r / p k
a a

k
p
+ + +
  
 ÷ ÷
+ + +
 ÷ ÷
= =
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
+
L
n n
2 r
n n
r
k k
p p
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
 ÷

 
Hay:
r
i
i
2
i
i
1
i
i
i
k
p
r
k
p
b
k
p
a
v
+++=
(1.7)
Trong trường hợp đo cùng độ chính xác:
ri2i1ii
kr kbkav
+++=
Muốn xác định ma trận
K

ta thay biểu thức (1.6) vào hệ phương trình số
hiệu chỉnh
0
=+
WBV
, ta có:
11
( )
0
1
=+=+
−
WKBBPWBV
T
(1.8)
Đặt:
1 2 n 1 1 1 1
1 2 n 2 2 2 2
1 T
b
i 2 n n n n n
a a a 1/ p 0 0 a b r
b b b 0 1/ p 0 a b r
N B.P .B

r r r 0 0 1/ p a b r
aa ab ar

p p p
ab

p
−
    
 ÷ ÷ ÷
 ÷ ÷ ÷
= = =
 ÷ ÷ ÷
 ÷ ÷ ÷
    
     
     
     
=
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
r r
r r
qaa qab qar
bb br
qab qbb qbr
p p


qar qbr qrr
ar br rr

p p p
×
×

 
 ÷
 ÷
 
 ÷
     
 ÷
 ÷
     
 ÷
=
 ÷
     
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 ÷
     
 ÷
     
 ÷
     
 
Trong đó:

i
i

1
q
p
=
Trong trường hợp các trị đo cùng độ chính xác ta có.
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
T
b
r r
aa ab ar
ab bb br
N B.B

ar br rr
×
 
 ÷
 ÷
= =
 ÷
 ÷
 ÷
 
Khi đó (1.8) có dạng:

0.
=+
WKN

b

(1.9)
12
Hệ phương trình (1.9) được gọi là hệ phương trình chuẩn số liên hệ dạng
tổng quát.
Dạng khai triển của hệ (1.9) là:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1 2 r 1
1 2 r 2
1 2 r r
qaa k qab k qar k w 0
qab k qbb k qbr k w 0

qar k qbr k qrr k w 0

+ + + + =

+ + + + =





+ + + + =


(1.9a)

Đây là hệ phương trình tuyến tính đối xứng nên có thể sử dụng một trong các
phương pháp Gauss, khai căn hoặc ma trận để giải ra
K
.
Nếu dùng phương pháp ma trận nghịch đảo thì:
Từ:
b
N .K W 0
+ =


1 1
b b
K N W 0 K N W
− −
⇒ + = ⇒ = −
(1.10)
Biểu thức (1.10) là ma trận nghiệm của hệ phương trình chuẩn. Thay vào
(1.6) ta tính được
V
.
KNBPKBPV
1
b
T1T1
−−−
−==
Và ma trận trị đo sau bình sai.
= L + v
Dựa vào trị đo sau bình sai và các đại lượng cho trước để tim ra được các đại lượng

khác trong lưới như tọa độ điểm (lưới mặt bằng) hoặc độ cao điểm (lưới độ cao).
1.2.4. Đánh giá độ chính xác
Việc đánh giá độ chính xác trong bình sai điều kiện nhằm giải quyết 2 nội
dung:
- Đánh giá độ chính xác của dãy trị đo mà đại lượng đặc trưng là sai số trung
phương trọng số đơn vị.
- Đánh giá độ chính xác của các đại lượng đặc trưng cho mạng lưới.
13
Ví dụ: với lưới độ cao có thể là độ cao điểm yếu nhất, chênh cao yếu nhất, với lưới
mặt bằng có thể là toạ độ điểm yếu nhất, cạnh yếu nhất hoặc phương vị yếu nhất.
Các đại lượng này trong bình sai điều kiện thường viết dưới dạng hàm trị
bình sai của các trị đo còn gọi là hàm trọng số.
1. Đánh giá độ chính xác của dãy trị đo:
Để đánh giá độ chính xác của dãy trị đo người ta dùng sai số trung phương
trọng số đơn vị tính theo công thức:
[ ]
r
pvv
r
PVV
T
==µ
Trong đó
PVV
T
tính theo các công thức sau:
a. Theo thuật toán ma trận
+ Tính từ
i
v

và
i
p
:
r
i
i
2
i
i
1
i
i
i
k
p
r
k
p
b
k
p
a
v
+++=
sau đó tính
PVV
T
+ Tính theo công thức:

KWPVV
TT
−=
(1.11)
Chứng minh công thức (1.11):
Từ: V=P
-1
B
T
K
Nhân cả hai vế với V
T
P ta có:
V
T
PV = V
T
PP
-1
B
T
K = V
T
B
T
K = (BV)
T
K
mà: BV + W = 0 ⇒ BV = − W
Do đó:

KWPVV
TT
−=
b. Thuật toán Gauss
Khi chúng ta giải trên sơ đồ Gauss có 2 công thức để tính và kiểm tra như
sau:
+ Công thức 1:
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
1r.qrr
1rw
1.w.
1.qbb
1.w
w.
qaa
w
0r.pvv
r
2
2
1
1

w
−
−
−−−−=θ=−
(1.12)
14
Đặt
[ ]
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
rw
r
w2
2
w1
1
E
1r.qrr
1rw
; ;E
1.qbb
1.w
;E
qaa
w
=

−
−
==
Khi đó công thức (1.12) có dạng:
[ ] [ ] [ ]
( )
[ ]
1r.wE 1.wEwEr.0pvv
rrw2w21w1w
−+++==−
Chứng minh công thức (1.12):
Ta có:
[ ]
( )
rr2211
r
2
1
r21
TT
kw kwkw
k

k
k
w, ,w,wKWPVVpvv
+++=















==−=−
Mặt khác, ta có hệ phương trình chuẩn trong bình sai điều kiện là:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]







=++++
=++++
=++++
0wkqrr kqbrkqar

0wkqbr kqbbkqab
0wkqar kqabkqaa

rr21
2r21
1r21
Áp dụng đặc tính 1 của hệ phương trình tuyến tính với N
0
= 0, N
1
= w
1
,
N
2
=w
2
, , N
r
= w
r
ta có công thức cần chứng minh.
+ Công thức 2:
Ký hiệu:
),1( nirbas
iiii
=+++=
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
rrr
112
111

wrrq rqbrqawsrqS

wqar qabqaawqasS
wqar qabqaawqasS
++++=+=
++++=+=
++++=+=
(**)
15
thì ta có công thức 2 tính [pvv] trên sơ đồ Gauss như sau:
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
[ ]
[ ]
( )
[ ]
1r.S.E 1.S.ES.Ew
1r.S
1r.qrr
1r.w
1.S

qbb
1.w
S.
qaa
w
wpvv
rrwbw2aw1
r
r
b
2
a
1
−++++=
−
−
−
−−−=−
(1.13)
Chứng minh công thức (1.13):
Từ hệ (**) ta suy ra:
[ ]
[ ]
[ ]
rr
22
11
wSqrs

wSqbs

wSqas
−=
−=
−=
(***)
Nhân lần lượt cả hai vế của từng phương trình trong hệ (**) với k
1
, k
2
, , k
r
và lấy tổng lại rồi đổi dấu hai vế, ta có:
[ ] [ ] [ ]
( )
∑
=
−−=−−−−
r
1j
jjjr21
kwSkqrs kqbskqas
(****)
+ Khai triển vế phải của đẳng thức (****):
Do :
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
qrr qbrqarqrs

qbr qbbqabqbs

qar qabqaaqas
+++=
+++=
+++=
Nhân 2 vế của từng phương trình trong hệ trên với k
1
, k
2
, , k
r
và lấy tổng lại
kết hợp với hệ phương trình (5.3.4a), ta có:
[ ] [ ] [ ] [ ]
wkqrs kqbskqasS
r21w
=−−−−=
+ Khai triển vế trái của đẳng thức (****):
Ta có:
( )
∑∑∑
===
−−=−−=
r
1j
jj
r
1j
jj
r
1j

jjjw
kwkSkwSS
16
Do:
[ ]
∑
=
=−
r
1j
jj
kwpvv
nên:

[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
rr2211
r
1j
jj
r
1j
jjw
r
1j
jjw
kS kSkSwpvv
kSwkSSpvv
pvvkSS

++++=−⇒
+=−=−⇒
−−=
∑∑
∑
==
=
Áp dụng đặc tính 1 của hệ phương trình tuyến tính đối xứng trong đó
[ ]
rr22110
SN; ;SN;SN;wN
====
ta có công thức cần chứng minh
2. Đánh giá độ chính xác của các đại lượng đặc trưng cho lưới (hàm trọng số)
Mục đích của việc đánh giá các đại lượng đặc trưng cho lưới chính là để đánh
giá chất lượng của việc xây dựng lưới so với các chuẩn mực đã được quy định
trong quy phạm.
Giả sử hàm các trị đo sau bình sai:
( )
n
LLLfF
′′′
=
, ,,
21
(1.14)
Trong đó:
n
LLL
′′′

, ,,
21
là trị bình sai của các trị đo.
Để đưa hàm về dạng tuyến tính ta thay:
nivLL
iii
,1
=+=
′
( )
nn
vLvLvLfF
+++=⇒
, ,,
2211
Khai triển Taylor lấy trị gần đúng bằng trị đo và bỏ qua các số hạng bậc cao,
ta có:
( )
n
n
n
v
L
f
v
L
f
v
L
f

LLLF








∂
∂
++








∂
∂
+









∂
∂
+= , ,,
2
2
1
1
21
Ký hiệu: ( ) là hệ số hàm trọng số.
17
và :














=
n
2
1

f
f
f
f

Ta có:
( )
nn2211n21
vf vfvfL, ,L,LfF
+++=−
Vfvf vfvfF
T
nn2211
=+++=∆⇒
(*)
Biểu thức (*) được gọi là hàm trọng số.
Khi đó ta có công thức tính sai số trung phương của hàm trị đo sau bình sai:
FFFF
Qmm
µ==
∆
Để xác định
FF
Q
chúng ta có các cách tính như sau:
a. Thuật toán ma trận
( ) ( )
fBPNfBPfPfQ
b
T

T
FF
1111 −−−−
−=
(1.15)
)(
1 T
b
BBPN
−
=
Trường hợp khác độ chính xác:
)1(
1
=
−
P
.

( ) ( )
BfNBfffQ
b
T
T
FF
1
−
−=
(1.15a)
Khi đó:

FFF
Qmm
0
=
(1.16)
b. Thuật toán Gauss
Khi giải trên sơ đồ Gauss
FF
Q
được tính bằng một trong 2 công thức sau:
*Công thức 1:
+Các trị đo cùng độ chính xác:
18
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2.
2.
2.
1.
1.
1.

−−−−== cf
cc
cf
bf
bb
bf
af
aa
af
ffrffQ
FF
+ Các trị đo khác độ chính xác:
( )
( )






−






−
−−













−












−







=






=
1.
1

1.
1.
.
222
r
p
rr
r
p
rf
p
bb
p
bf
p
aa
p
af

p
ff
r
p
ff
Q
FF
Chứng minh:
Xuất phát từ công thức tính trọng số đảo theo phương pháp ma trận ta có:

( ) ( )
BfNBfffQ
1
b
T
T
FF
−
−=
(*)
Đặt:
( )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )
1
1
1

2
2
1
21
21
21
1
2
1
21





−−
==















=





























==
=














==
b
T
b
T
nn
n
n
n
n
T
NBNBfB
rf
bf

af
f
f
f
rrr
bbb
aaa
BfB
ff
f
f
f
fffffA



Ký hiệu:















==
−
rrrr
r
r
kb
QQQ
QQQ
QQQ
QN




21
22221
11211
1
Q
k
là ma trận trọng số đảo của các số liên hệ k.
Từ các kí hiệu trên ta có:
19
[ ] [ ] [ ]
( )
T
11 12 1r 1
21 22 2r 2
T 1

2 1 b
1r 2r rr r
Q Q Q H
Q Q Q H
B B .N af bf rf

Q Q Q H
−
−
   
 ÷  ÷
−
 ÷  ÷
= = =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
   
M
Trong đó:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1 11 12 rr
r 1r 2r rr
H af Q bf Q rf Q

H af Q bf Q rf Q
− = + + +
− = + + +
Nhân lần lượt các ký hiệu trên với cột 1 của ma trận

b
N
rồi lấy tổng đại số
với lưu ý:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
11 12 1r
21 22 2r
1
b b
1r 2r rr
aa ab ar Q Q Q
1 0 0
ab bb br
Q Q Q
0 1 0
N .N E
ar br rr
Q Q Q
0 0 1
−
 
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷

 ÷
= = =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
L L
L
L
L
L
L L L L L L L L
L L L L
L
L
L
và lấy tổng lại thì ta có:
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 r
aa H ab H ar H af 0
+ + + + =
Tương tự nhân với cột 2 đến cột r rồi lấy tổng ta được hệ sau:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]

1 2 r
1 2 r
aa H ab H ar H af 0

ar H br H rr H rf 0
 + + + + =




+ + + + =


(**)
Hệ (**) là 1 dạng của hệ phương trình tuyến tính đối xứng, ma trận hệ số
giống như ma trận hệ số của hệ phương trình chuẩn số liên hệ nhưng biến số là
r
HHH , ,,
21
và các số hạng tự do lần lượt là
[ ] [ ] [ ]
rf, ,bf,af
.
20
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
r21
r

2
1
12
Hrf HbfHaf
rf
bf
af
H
H
H
B.BB −−−−=





























−
−
−
==


[ ] [ ] [ ]
r1FF
Hrf HafffBAQ
+++=−=
Áp dụng đặc tính 1 đối với hệ phương trình (**) chúng ta sẽ có công thức 1
tính
FF
Q
trên sơ đồ Gauss với:
[ ] [ ] [ ]
; bfN;afN;ffN
ba0
===
ta sẽ có công thức
cần chứng minh.

*Công thức 2:
Ký hiệu:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
i i i i i i i
a a 1
r r r
s a b r f s f
S as as af S af

S rs rs rf S rf
′
= + + + + = +
′ ′
= = + = −ω +
′ ′
= = + = − ω +
),1( ni
=
Lúc đó chúng ta sẽ có công thức thứ 2 tính
FF
Q
trên sơ đồ Gauss:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]

[ ]
FF a b 1f a 2f b
af bf.1
Q fs .S . S .1 fs E .S E . S .1
aa bb.1
′ ′ ′ ′ ′ ′
= − − − = + + +
*Chứng minh:
Từ :
( )
nifrbafss
iiiiiii
,1
=++++=+=
′
Nhân hai vế với a
i
,lấy tổng:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
afaracabaaafaasaS
a
+++++=+=
′
=
′

Tương tự, nhân hai vế với
iiii
frcb ,, ,,
rồi lấy tổng:

21
( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
ffrf bfafsfS1r
rfrr brarsrSr

afar abaasaS1
f
r
a
++++=
′
=
′
+
++++=
′
=
′
++++=
′
=
′
Nhân đẳng thức (1) đến (r) với H
1
, H

r
, sau đó lấy tổng đại số rồi cộng với
đẳng thức (r+1) ta có:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
ffHrf Haf
rfHrr Har

bfHbr Hab
afHar H.aaSH.S H.SH.S
r1
r1
r1
r1frr2b1a
++++
++++
+
++++
+++=
′
+
′
++
′
+
′
Theo phương trình (**) ta có:
[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]
1 r
1 r
aa H ar H af 0

ar H rr H rf 0
 + + + =




+ + + =


Và ta có:
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 r FF
af H bf H rf H ff Q
+ + + + =
Do đó cuối cùng ta có:
[ ]
FF a 1 b 2 r r
Q fs S .H S .H S .H
′ ′ ′ ′
= + + + +
Áp dụng đặc tính một của hệ phương trình (**) với vế trái của đẳng thức trên
ta sẽ được công thức 2 của
FF
Q
.

Phương pháp bình sai gián tiếp
1.3.1. Khái niệm về bình sai gián tiếp
Trong thực tế chúng ta thường gặp những đại lượng cần tìm không phải là
những trị đo trực tiếp mà là hàm của một số trị đo trực tiếp. Những đại lượng được
xác định như vậy gọi là trị đo gián tiếp.
22
C
CP
l
AP
l
BP
l
B
A
P
Hình 1.2
Ví dụ: Trong mặt phẳng chúng ta biết toạ độ 3 điểm A, B, C lần lượt là:
A(x
A
,y
A
), B(x
B
,y
B
); C(x
c
,y
C

) (hình vẽ 1.2). Yêu cầu xác định toạ độ điểm P(x
P
,y
P
).
Muốn vậy chỉ cần đo 2 cạnh
AP
l
và
BP
l
. Các trị đo trực tiếp liên hệ với toạ độ cần
tìm bằng những hàm số được xác định như sau:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
AP P A P A
2 2
BP P B P B
l x x y y
l x x y y

= − + −



= − + −

(a)
Giải hệ (a) ta sẽ nhận được toạ độ của điểm P, tức là 2 ẩn x

P
, y
P
. Vì không có
trị đo thừa nên chỉ xác định được toạ độ cần thiết của điểm P.
Nếu chúng ta tiến hành đo thêm
CP
l
thì sẽ thành lập được một phương trình
nữa là:
( ) ( )
2 2
CP P C P C
l x x y y
= − + −
(b)
Như vậy sẽ có 3 phương trình với 2 ẩn số. Nếu kết hợp giải từng cặp phương
trình thì sẽ nhận được 3 giá trị toạ độ điểm P. Chúng ta biết rằng các trị đo
AP
l
,
BP
l
,
CP
l
luôn tồn tại sai số nên các cặp toạ độ tìm được cũng sẽ khác nhau. Để giải quyết
mâu thuẫn ấy thì cần thiết phải tiến hành bình sai để tìm ra toạ độ xác suất nhất của
điểm P. Phương pháp bình sai để tìm ra một số các ẩn số như thế người ta gọi là
bình sai gián tiếp.

23
1.3.2. Chọn ẩn số và tính trị gần đúng của ẩn số
Trong phương pháp bình sai gián tiếp, các ẩn số phải được chọn theo nguyên tắc:
- Ẩn số phải đủ, độc lập.
- Số lượng ẩn số bằng số trị đo cần thiết t.
- Ẩn số được chọn phụ thuộc vào mục tiêu xây dựng lưới.
Chúng ta sẽ tìm hiểu cách chọn ẩn số đối với lưới độ cao và lưới mặt bằng.
1. Lưới độ cao
Có 2 dạng lưới độ cao.
a. Trong lưới chưa có điểm nào biết độ cao (lưới tụ do):
Ví dụ: Cho lưới như hình vẽ :
A
Q
P
3
h
2
h
h
1
Hình 1.3
- Mục tiêu: xác định chênh cao giữa 2 cặp điểm (A và P, P và Q, A và Q)
- Trị đo cần thiết:
21
=−=
pt
- Chọn ẩn số: Chỉ có duy nhất một cánh chọn ẩn số là một cặp chênh cao sau
bình sai.
Phương án 1:




′
=
′
=
22
11
hx
hx
Phương án 2:



′
=
′
=
32
11
hx
hx
Phương án 3:



′
=
′
=

32
21
hx
hx
24
b. Trong lưới có điểm đã biết độ cao (lưới độc lập hoặc phụ thuộc).
Ví dụ: Cho lưới như hình vẽ (1.4)
3
h
h
2
1
h
Q
P
A
Hình 1.4
- Mục tiêu: xác định độ cao của điểm P và Q.
- Trị đo cần thiết:
21
=−=
pt
- Chọn ẩn số: có 2 cách.
+ Cách 1: chọn chênh cao sau bình sai vừa đủ làm ẩn số (theo phần a)
+ Cách 2: chọn độ cao điểm cần xác định là ẩn.
Q
P
Hx
Hx
=

=
2
1
Đây là phương án tối ưu.
2. Tính trị gần đúng của ẩn
Trị gần đúng của ẩn số trong bình sai gián tiếp được xác định dựa vào hình
dạng của lưới, số liệu gốc và số liệu đo.
1.3.3. Hệ phương trình số hiệu chỉnh
Giả sử ta có dãy trị đo:
n
LLL , ,,
21
.Gọi
n
LLL
′′′
, ,,
21
là trị bình sai của đại
lượng đo nhằm xác định t ẩn số là
t
xxx , ,,
21
. Gọi:
t
vvv , ,
21
là số hiệu chỉnh của trị
đo.
Ta có phương trình trị đo:

nivLL
iii
÷=+=
′
1
(1.17)
25
Với
n
: là tổng số trị đo
Dựa vào quan hệ hình học trong lưới bao giờ cũng biểu diễn được trị bình sai
của đại lượng đo là hàm của trị bình sai của ẩn số.
Ta có hàm tổng quát:
( )
ti
xxxfL , ,,
21
=
′
Do đó:
( ) ( )
nixxxfvL
tiii
÷==+
1, ,,
21

( )
inii
Lxxxfv

−=⇒
, ,,
21
(1.18)
Phương trình (1.18) gọi là hệ phương trình số hiệu chỉnh dạng nguyên mẫu
và
i
f
là quan hệ hàm số.
Trong bình sai cần chuyển (1.18) về dạng tuyến tính. Muốn vậy, đặt:
( )
t1jdxxx
j
0
jj
÷=+=
Trong đó:
j
x
: là trị bình sai của ẩn số.
0
j
x
: giá trị gần đúng của ẩn số.
j
dx
: số hiệu chỉnh của ẩn số.
Thay
j
x

vào phương trình (1.18) ta có:
( )
ittii
Ldxxdxxdxxfv
−++=
0
2
0
21
0
1
, ,,
(1.19)
Ta chọn trị gần đúng
0
j
x
phải khá sát với trị bình sai sao cho
j
dx
là đại lượng
nhỏ. Khai triển số hạng đầu của vế phải theo Taylor và bỏ qua số hạng từ bậc hai
trở lên, ta được:
( )
it
t
iii
nii
Ldx
x

f
dx
x
f
dx
x
f
xxxfv
−
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+=
0
2
0
2
1
0
1
00
2
0
1
, ,,

(1.20)
Đặt:
i
t
i
i
i
i
i
t
x
f
b
x
f
a
x
f
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
00
2
0

1
;; ;