Dang bai tap bien doi logarit 1s7iq

BIẾN ĐỔI LƠGARIT
I. Phương pháp giải
- Lơgarit cơ số a:   loga b  a  b( 0  a  1 và b  0 )
- Lôgarit cơ số 10: log10 b  lg b hay log b
- Lôgarit cơ số e: loge b  ln b  e  2,7183 
- Tính chất: log a 1  0 và loga ab  b với a  0,a  1.
aloga b  b với a  0,b  0,a  1.

- Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:
log a  b.c   log a b  log a c

log a

b
1
 log a b  log a c,log a     log a c
c
c

1
loga b   loga b (với mọi  ), loga n b  loga b  n  N * 
n

- Đổi cơ số trong điều kiện xác định:
logb x 

log a x
hay log a b.logb x  log a x
log a b

logb a 

1
1
hay loga b.logb a  1;loga b  loga b
log a b


- Quan hệ so sánh với a  0,a  1,b  0,c  0 .
Nếu a  1 thì: loga b  log a c  b  c.
Nếu 0  a  1 thì: log a b  log a c  b  c.
Nếu a  1 thì: loga b  0  b  1.
Nếu 0  a  1 thì: loga b  0  b  1.
log a b  log a c  b  c.

II. Ví dụ minh họa
Bài tốn 1: Tính:
1
2

a) log 1 125; log0 ,5 ; log 1
5

b) 3

log3 18

;3

5 log 3 2

1
;  
8

4
log 2 5

1
; log 1 36
64
6

 1 
;  
 32 

log0 ,5 2

.

Giải


3

1
1
a) log 1 125  log 1    3; log0 ,5  log0 ,5 0,5  1
2
5

5 5
2

3

log 1
4

1
1
1
 log 1    3; log 1 36  log 1    2
64
4 4
6
6 6 

b) 3log 18  18; 35log 2  3log
3

3

1
 
8

log2 5

 1 
 

 32 

  23 

log0 ,5 2

log2 5

32

5

 25  32

 2 3 log2 5  2log2 5  53 

  1 5 
   
 2  



3

1
125

log 1 25
2

 2 5  32.

Bài tốn 2: Tính:
a)

log 5 36  log 5 12
log 5 9

36 log6 5  101log 2  8log2 3.

b)
Giải

a)

log 5 36  log 5 12 log 5 3 1


log 5 9
2 log 5 3 2

b) 36 log 5  101log 2  8log 3  6 log
6

2

6

52

 10log10 5  2log2 3  5 2  5  33  3.
3

Bài tốn 3: Tính gọn
 a 2 .3 a.5 a 4
4

a


a) loga 






1
8

b) log  log 0,375  2log 0,5625
Giải

a)

1 4 1
173
 a 2 .3 a.5 a 4
2  
a 2 .3 a.5 a 4

3 5 4
60

a

a

log
a
4
4

a
a


 173

 60


1
8

b) log  log 0,375  2log 0,5625
 log 23  log 0,53.3   2log 0,54.32

 log 23  log 23  log 3  2log 2 2  2log 3  log 2 4  log 3  log

3

.
16

Bài toán 4: Tính gọn:
B  log3 2.log 4 3.log 5 4.log6 5.log7 6.log 8 7

A  log3 6.log 8 9.log6 2

Giải
1
1
2
A  log3 6.log6 2.log8 9  log3 2. log 2 9  log 3 9 
3
3
3
B  log3 2.log 4 3.log 5 4.log6 5.log7 6.log 8 7




log 2 log 3 log 4 log 5 log 6 log7 log 2
1
1
.
.
.
.
.


 log8 2  log 2 2 
log 3 log 4 log 5 log 6 log7 log 8 log 8
3
3

Bài tốn 5: Tìm x biết:
2
3

1
5

b) log 1 x  log 1 a  log 1 b

a) log5 x  2log5 a  3log5 b

2

2

2

Giải
a2
a2
a) log5 x  log5 a  log5 b  log5 3  x  3
b
b
2

3

2



1

2

1



2

1

b) log 1 x  log 1 a 3  log 1 b 5  log 1  a 3 .b 5   x  a 3 .b 5 .
2

2

2

2





Bài tốn 6:
a) Tính log 25 15 theo a  log15 3.

b) Tính log4 1250 theo b  log 2 5.
Giải

a) log25 15 

1
log15 25



1
1
1


2log15 5 2  log15 15  log15 3  2 1  a 

b) log4 1250  log2  54 .2   2log2 5   2b 
1
2

1
2

1
2

Bài tốn 7:
a) Tính log 3 50 theo log3 15  a,log3 10  b.
b) Tính log25 24 theo log6 15  x,log12 18  y.
Giải
a) log 3 50  log 50  2log 3 50  2log 3 10  2log 3 5
1

32

 2log3 10  2log3

15
 2log3 10  2  log3 15  1
3

 2b  2  a  1  2a  2b  2.

b) Ta có x 

log 2 3.5 log 2 3  log 2 5
log 2.32 1  2 log 2 3

và y  2 2 
log 2 2 .3 2  log 2 3
log 2 2.3
1  log 2 3

Suy ra log2 3 

2y 1
x  1  2 y  xy
;log2 5 
2 y
2 y

log 2 23.3
5 y

.
Do đó log25 24 
2
log 2 5
2  x  1  2 y  xy 

Bài toán 8: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:


alogc b  blogc a

a)
c)

b)

log a x
 1  log a b
log ab x

n  n  1

1
1
1
1


 ... 

log a b log a2 b log a3 b
log an b 2 log a b

Giải
a) alog b  blog a
c

b)

b

logc b

 blogc b.logb a  blogc a

log a x
log a x

 log a ab  log a a  log a b  1  log a b
log ab x log a x
log a ab

c) VT 

1
2
3
n


 ... 
log a b log a b log a b
log a b

  1  2  3  ...  n  .

n  n  1
1

.
log a b 2 log a b

Bài tốn 9: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu a2  b2  7ab thì log7

ab 1
  log7 a  log7 b 
3
2

b) Nếu a 2  c2  b2 thì logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a.
Giải

a) a2  b2  7ab   a  b   9ab 
2

ab
 ab  đpcm.
3

b) Theo giả thiết: a 2   b  c  b  c  . Xét a  1 : đúng.
Xét a  1 thì log a  b  c   log a  b  c   2 

1
1

2
logb c a logb c a

nên logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a.
6

1


Bài toán 10: Trong khai triển nhị thức  x lg x 1  12 x  , biết số hạng thứ tư bằng 200. Tìm




x?

Giải

ĐK: x  0,x 

1
.
10
6

1
6 k
1
1 
k

 
6
2 lg x 1
k 2 lg x 1
lg x 1
12
12
12


Ta có: x
 x x
 x    C6 x
.x
 k 0

 




6

Số hạng thứ 4 ứng với k = 3, theo giả thiết bằng 200 nên:


3
6

C x

3
1

2 lg x 1 4

7 lgx

 200  x 4lg x 4  10 

7  lgx
lg x  1
4 lg x  4

 x  10
lg x  1
 lg 2 x  3lg x  4  0  


(Chọn).
4
lg x  4
 x  10