GIÁO TRÌNH TĨNH HỌC VÀ ĐỘNG HỌC

Học viện kỹ thuật quân sự
Bộ môn cơ học vật rắn khoa cơ khí



Đỗ Anh Cờng (
Chủ biên
)
Vũ Quốc Trụ Lê Nho Thiết
Tạ Hữu Vinh Lê Hải Châu


Bài tập
Cơ học lý thuyết
Tập 1
Tĩnh học và động học

Đối tợng sử dụng : Đại học và Cao đẳng



Hà Nội - 2005

3
Mục lục
Lời nói đầu
5
Chơng 1 : Bài toán phẳng 7
1.1- Cơ sở lý thuyết 7
1.2- Hớng dẫn áp dụng 14
1.3- Bài giải mẫu 16

1.4- Bài tập 29
Chơng 2 : Bài toán không gian
45
2.1- Cơ sở lý thuyết 45
2.2- Hớng dẫn áp dụng 50
2.3- Bài giải mẫu 51
2.4- Bài tập 61
Chơng 3 : Bài toán ma sát 69
3.1- Cơ sở lý thuyết 69
3.2- Hớng dẫn áp dụng 73
3.3- Bài giải mẫu 75
3.4- Bài tập 84
Chơng 4 : Bài toán trọng tâm
91
4.1- Cơ sở lý thuyết 91
4.2- Hớng dẫn áp dụng - bài toán giải mẫu 94
4.3- Bài tập 100
Chơng 5 : Chuyển động của điểm
104
5.1- Cơ sở lý thuyết 104
5.2- Phơng pháp giải 105
5.3- Bài giải mẫu 106
5.4- Bài tập 116
Chơng 6 : Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định
127
6.1- Cơ sở lý thuyết 127

4
6.2- Phơng pháp giải 130
6.3- Bài giải mẫu 131

6.4- Bài tập 137
Chơng 7 : Hợp chuyển động của điểm
143
7.1- Cơ sở lý thuyết 143
7.2- Phơng pháp giải 144
7.3- Bài giải mẫu 146
7.4- Bài tập 160
Chơng 8 : Chuyển động song phẳng của vật rắn
173
8.1- Cơ sở lý thuyết 173
8.2- Phơng pháp giải 178
8.3- Bài giải mẫu 181
8.4- Bài tập 195
Chơng 9 : Chuyển động của vật rắn quanh một điểm cố định
208
9.1- Cơ sở lý thuyết 108
9.2- Phơng pháp giải 212
9.3- Bài giải mẫu 213
9.4- Bài tập 219
Chơng 10 : Hợp chuyển động của vật rắn
224
10.1- Cơ sở lý thuyết 224
10.2- Phơng pháp giải 227
10.3- Bài giải mẫu 228
10.4- Bài tập 235
Tài liệu tham khảo
241

5

Lời nói đầu

Cơ học lý thuyết là khoa học về các quy luật cân bằng và chuyển động của
các vật thể dới tác dụng của lực, là một trong những môn học trọng điểm cho
sinh viên các trờng Đại học kỹ thuật.
Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập cơ học lý thuyết là
yêu cầu hàng đầu đối với sinh viên, qua đó giúp họ hiểu sâu thêm về lý thuyết,
đồng thời nâng cao khả năng t duy và rèn luyện kỹ năng trong học tập.
Giáo trình Bài tập cơ học lý thuyết đợc biên soạn theo chơng trình giảng
dạy môn Cơ học lý thuyết cho sinh viên của hầu hết các ngành đuợc đào tạo tại
Học viện kỹ thuật quân sự, nó cũng phù hợp với chơng trình môn học của Bộ
Giáo dục & đào tạo.
Giáo trình Bài tập cơ học lý thuyết đợc phân thành hai tập. Tập 1 gồm 2
phần: Tĩnh học (từ chơng 1 đến chơng 4) và Động học (từ chơng 5 đến
chơng 10). Trong mỗi chơng đều có phần tóm tắt lý thuyết, phân loại bài tập và
phơng pháp giải, các ví dụ mẫu và phần bài tập. Cuối mỗi bài tập có trả lời hoặc
đáp số để sinh viên tham khảo và tự kiểm tra lời giải của mình. Cần lu ý trong
phần trả lời, đối với các đại lợng véctơ (lực, vận tốc, gia tốc ), kết quả đợc
cho ở dạng trị đại số.
Giáo trình Bài tập Cơ học lý thuyết Tập 1 do Nhóm môn học Cơ học lý
thuyết thuộc Bộ môn Cơ học vật rắn Khoa Cơ khí Học viện Kỹ thuật quân sự
biên soạn : Vũ Quốc Trụ, Tạ Hữu Vinh (phần Tĩnh học), Lê Nho Thiết, Lê Hải
Châu (phần Động học), Đỗ Anh Cờng chủ biên.


6
Trong sách chắc chắn còn có thiếu sót, chúng tôi mong nhận đợc ý kiến của
bạn đọc, xin trân trọng cảm ơn và tiếp thu để bổ sung, sửa chữa cho giáo trình

đợc tốt hơn. Các nhận xét, góp ý xin gửi về : Bộ môn Cơ học vật rắn, Khoa Cơ
khí, Học viện KTQS.


Các tác giả

7
Chơng 1. Bài toán phẳng
1.1. Cơ sở lý thuyết
1.1.1. Thu gọn hệ lực phẳng:
Hệ lực phẳng khi thu gọn về một tâm (
O
), nhận đợc một véc tơ chính
R'
r

và một mô men chính
O
M
r
, véc tơ mô men chính luôn vuông góc với mặt phẳng
tác dụng của lực, xảy ra các trờng hợp sau:

O
R' 0;M 0=
rr
, Hệ lực tơng đơng với một lực
k
k
RF=

rr
.

O
R' 0;M 0=
rr
, Hệ lực tơng đơng với một ngẫu
()
OOk
k
MmF=

rr
r
.

O
R' 0;M 0
rr
, Hệ lực tơng đơng với một lực
k
k
RF=

rr
với tâm thu
gọn đặt tại điểm
O
cách

O
một đoạn
O
M
d
R'
=
r
r
.
Chú ý: Véc tơ chính là một bất biến, nó có giá trị và phơng chiều không thay đổi
và không phụ thuộc vào tâm thu gọn.
1.1.2. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng:
Từ các kết quả thu gọn hệ lực nêu trên, ta có định lí về điều kiện cân bằng
của hệ lực phẳng nh sau:
Định lí
(về điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng): Điều kiện cần và đủ để hệ
lực phẳng cân bằng là vectơ chính và mômen chính của hệ lực đối với điểm O nào
đó triệt tiêu.

()
nn
kOOk
k1 k1
R' F 0; M m F 0
==
== = =

rr r
. (1.1)

Từ định lí trên có thể suy ra rằng, hệ lực phẳng có ba hệ phơng trình cân
bằng viết theo ba dạng sau:
Dạng 1
:
()
nnn
kx ky O k
k1 k1 k1
F 0; F 0; m F 0;
===
== =

r
Ox Oy

; (1.2)

8
Dạng 2
:
() ()
nn n
kAk Bk
k1 k1 k1
F0;mF0;mF0;

== =
== =

rr

(1.3)
Điều kiện: Đờng nối
AB
không vuông góc với

.
Dạng 3
:
() () ()
nnn
Ak Bk Ck
k1 k1 k1
m F 0; m F 0; m F 0;
===
===

rrr
(1.4)
Điều kiện: Các điểm
A, B, C
không thẳng hàng.
Trờng hợp các hệ lực đặc biệt:
- Hệ đồng quy:
có hai phơng trình cân bằng:

nn
kx ky
k1 k1
F0;F0;
==

=
=

(1.5)
Đối với hệ lực đồng quy, chúng ta còn sử dụng điều kiện cân bằng dới
dạng hình học: Điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là đa giác lực tự
khép kín.
- Hệ lực song song

(giả thiết với trục y):
có hai hệ phơng trình cân bằng:

()
nn
ky O k
k1 k1
F0;mF0;
==
=
=

r
(1.6)
hoặc:
() ()
nn
Ak Bk
k1 k1
m F 0; m F 0;
==

=
=

rr
(1.7)
Điều kiện: Đờng nối
AB
không song song với trục
y

Chú ý: Đối với hệ vật, có hai loại điều kiện cân bằng:
Điều kiện cân bằng của từng vật tách riêng.
Điều kiện cân bằng của toàn hệ hoá rắn (xem toàn hệ nh một vật rắn duy
nhất) hay còn gọi là điều kiện cân bằng của các ngoại lực (vì khi hoá rắn, hệ
các nội lực xem nh cân bằng).
Những điều kiện cân bằng của toàn hệ hoá rắn là hệ quả của các điều kiện
cân bằng của từng vật. Chúng ta cũng có thể xét riêng một phần hệ, hoá rắn và lập
các điều kiện cân bằng tơng ứng.

9
Nh thế đối với hệ vật, khả năng lập các điều kiện cân bằng là rất rộng rãi,
vấn đề đặt ra là lập điều kiện cân bằng thích hợp để có thể giải quyết bài toán đặt
ra một cách thuận lợi nhất.
Hệ quả:
Hệ ba lực phẳng cân bằng, không song song là hệ đồng quy phẳng;

Hệ
n
lực cân bằng, trong đó có
(n-1)

lực song song là hệ lực song song (lực
thứ n song song với n-1 lực đầu);
Hai lực cân bằng với một ngẫu lực phải tạo thành một ngẫu lực ngợc chiều
quay và cùng trị số mômen.

Kết quả thu gọn hệ lực phẳng đợc tổng kết trong bảng 1.1.
Bảng 1.1
Hệ lực
Kết quả thu gọn hệ lực
Điều kiện
cân bằng
Phơng trình
cân bằng
Bất kỳ
()
(
)
12 n
F ,F , ,F R,M
rr r r

n
j
j1
RR' F
=
==

rr r

()
n
OOk
k1
MM mF
=
==

r

k
OO
RF0
Mm0
==
=
=


rr
O
X0
Y0
m0
=
=
=

Đồng quy
(
)
(
)
12 n
F ,F , ,F R
rr r r

n
k
k1
RR' F
=
==

rr r

k
RF0
=
=

rr

X0
Y0
=
=

Ngẫu
()
(
)
12 n
F ,F , ,F M
rr r

()
n
OOk
k1
MM mF
=
==

r

Ok
MM0
=
=

k
M0=

10
Song song
()
(
)
12 n
F ,F , ,F R,M
rr r r

k
OO
RF0
Mm0
==
=
=


O
Y0
m0
=
=




1.1.3. Các phép biến đổi và xác định lực
a. Lực hoạt động và phản lực liên kết:

1. Lực hoạt động
:
là lực có quy luật xác định, hoặc tập trung, hoặc phân bố.
Lực phân bố xác định bởi biểu đồ và cờng độ phân bố và thờng đợc thu gọn.
Với hệ lực song song cùng chiều phân bố đều hoặc theo tam giác, kết quả thu gọn
trên hình 1.1(a), (b). Trờng hợp phân bố theo hình thang, có thể quy về phân bố
đều và tam giác. Kết quả thu gọn hệ lực song song cùng chiều phân bố tổng quát
trên chiều dài ta đợc lực thu gọn song song cùng chiều với hệ phân bố, đặt tại
trọng tâm và có cờng độ bằng số đo diện tích S (theo đơn vị thích hợp) của biểu
đồ phân bố.





(a) (b)
Hình 1.1
2. Phản lực liên kết
:
Phản lực liên kết từ vật gây liên kết (vật có gạch chéo)
đặt vào vật khảo sát (vẽ trắng) đợc biểu diễn dới dạng lực và ngẫu lực tập
trung.
Khi gặp các liên kết phức tạp, chúng ta phải phân tích cấu tạo của liên kết,
trạng thái chịu lực của vật rắn, điều kiện làm việc của liên kết, các di chuyển bị
liên kết cản trở để quy về các liên kết đơn giản đã giới thiệu ở trên nhờ quy tắc
sau: Tơng ứng một di chuyển ( thẳng, quay) bị cản trở, liên kết tạo đợc một
phản lực (lực, ngẫu lực) ngợc chiều di chuyển.
q
G
Q=ql

l/2
l/2
l/2
q
G
l/2
Q=
q
l/2

11
Bảng 1.2 nêu đặc điểm của các liên kết và các phản lực liên kết thờng gặp.
Bảng 1.2
Liên kết Cấu tạo và cách biểu diễn Đặc điểm phản lực
1 2 3

Tựa trơn


Thẳng góc với mặt tựa,
hớng vào vật khảo sát, kí
hiệu: N

Dây


Nằm dọc theo dây, hớng ra
ngoài vật khảo sát, kí hiệu: T

Thanh

Nằm dọc theo thanh (đờng
nối hai đầu thanh), kí hiệu: S
.
Bản lề,
gối cố
định

Phản lực R đặt tại bản lề,
đợc chia thành hai thành
phần X, Y theo hai trục x, y.

Ngàm


Phản lực gồm: hai thành
phần lực X, Y và một ngẫu
lực M.

N
2
N
1
T
2
T
1
T

BA
S
A
S
B
S
x
R
Y
X
y
A
X
M
A
Y

12
1 2 3
ổ
trụ
ngắn

Phản lực vuông góc với trục
(trong mp tác dụng của hệ
lực).

ổ
cối

Phản lực gồm 2 thành phần:
dọc trục và vuông góc với
trục (trong mp tác dụng của
hệ lực).

ổ
trụ
dài

Phản lực bao gồm: thành
phần lực vuông góc với trục
và một ngẫu lực nh ngàm
(trong mp tác dụng của hệ
lực).

Gối di
động

Phản lực vuông góc với nền,
có một thành phần X (trong
mp tác dụng của hệ lực).

b. Nội lực và ngoại lực:
Khi xét hệ vật, cần phân biệt ngoại và nội lực. Ngoại lực là những lực từ bên
ngoài tác dụng vào hệ. Nội lực là những lực tác dụng tơng hỗ giữa các vật trong
hệ. Đặc điểm của nội lực là xuất hiện từng đôi, cùng đờng tác dụng, ngợc chiều
và cùng trị số (nhng không cân bằng vì đặt vào hai vật khác nhau). Chú ý rằng
ngoại lực cũng nh nội lực đều có thể là lực hoạt động hoặc lực liên kết.
c. Phơng pháp xác định lực và véc tơ chính:
Xác định lực:

Cho lực
F
r
nghiêng với trục
x
một góc


(nhọn).
Y
X
o
Y
X
x
X
y
o
1
X
o
X
X
o
o
1
M
M
X

13
Hình chiếu của lực lên các trục (H.1.2) cho bởi
công thức:
xy
FFcos,FFsin= = ,
trong đó:
F
- trị số của lực ;
dấu
+(-)
khi lực thuận (ngợc) với chiều trục.
Xác định véc tơ chính:
Cho hệ lực
k
F(k1,2, ,n)=
r
. Véctơ chính, kí hiệu
R'
r
, là tổng hình học các
vectơ lực:
n
k
k1
R' F
=
=

rr
.

Để xác định vectơ chính, có thể áp dụng hai phơng pháp:
1. Phơng pháp giải tích
: Hình chiếu của vectơ chính lên một trục toạ độ
bằng tổng hình chiếu các lực lên trục đó.
nn
xkxyky
k1 k1
R' F;R' F;
==
==



Trị số của vectơ chính:
()()
22
''
xy
R' R R=+
Các cô sin chỉ phơng của vectơ chính:
() ()
'
'
y
x
R
R
cos x,R ' ; cos y,R'
R' R'
==

rr

2. Phơng pháp hình học
:
Vectơ chính
'
R
r
là vectơ khép kín đa giác lực, đó
là vectơ nối điểm cuối của một đờng gẫy khúc có các cạnh tơng ứng (song
song, cùng chiều, cùng độ dài) với các vectơ lực. Trờng hợp hai điểm đầu và
cuối của đa giác lực trùng nhau, vectơ chính
R' 0
=
r
, chúng ta nói đa giác lực tự
khép kín.
d. Phơng pháp xác định mômen lực và mômen chính:
Mô men lực: Cho lực
F
r
và điểm
O
(H.1.2).
Mômen lực
F
r
đối với
O
là lợng đại số:

(
)
O
mF Fh
=

r

Trong đó :
F
trị số lực ;
Hình 1.2
O
y
x

F
H

14
h = OH
trị số của cánh tay đòn.
Ngoài cách áp dụng trực tiếp định nghĩa, có thể dùng hai phơng pháp sau:
1. Phơng pháp phân lực
: Phân tích lực F
r
ra hai thành phần
1x
FF=
rr

và
2y
FF=
rr

song song với hai trục tơng ứng, sau đó ta tính tổng mômen các thành
phần:
(
)
(
)
(
)
OO1O2
mF mF mF=+
rrr

2. Phơng pháp giải tích
:
Gọi
x, y
là toạ độ điểm đặt A của lực,
xy
F,F
là các
hình chiếu của lực lên các trục toạ độ tơng ứng, khi đó mô men lực đối với tâm
O là:
(
)
Oyx

mF xFyF=
r

Mô men chính:
Mômen của hệ lực phẳng đối với tâm
O
(mômen chính của hệ
lực) kí hiệu
O
M là tổng mômen các lực đối với điểm
O
:
()
n
OOk
k1
MmF
=
=

r

Đối với ngẫu lực, mômen chính không phụ thuộc tâm
O
nên đợc gọi là
mômen ngẫu lực và bằng:
(
)
*
MmF,F Fd

=
=
rr
. Với hệ ngẫu lực, mômen chính
bằng tổng mômen các ngẫu lực.
1.2. Hớng dẫn áp dụng
Để giải bài toán phẳng, ta tiến hành theo các bớc sau:
Bớc 1:
C
họn vật khảo sát:
(vật khảo sát có thể là: một vật; hệ vật; một vật
do nhiều vật ghép lại; một phần tách ra từ một vật - phần không khảo sát đặt
vào phần khảo sát những lực giữ vai trò của phản lực liên kết; một nút, điểm
tập trung các dây, các thanh ).
Đặt lực:
Trớc tiên, biểu diễn tất cả các lực đã
cho, tiếp theo biểu diễn các phản lực liên kết (phản lực liên kết tựa và liên kết
dây có phơng chiều đã xác định; phản lực các liên kết thanh, bản lề, ngàm có
chiều cha biết trớc đợc vẽ theo giả định - đáp số dơng, chiều gỉa định

15
đúng; đáp số âm - chiều ngợc lại). Trong biểu diễn lực, cần chú ý điểm đặt,
phơng chiều, số thành phần và cách phân tích các phản lực. Cần phân biệt
lực hoạt động và lực liên kết, lực tác dụng vào từng vật và vào toàn hệ hoá rắn,
nội lực và ngoại lực.
Bớc 2: Phân tích đặc điểm hệ lực khảo sát:
(đồng quy, song song hay bất
kỳ), từ đó xác định số phơng trình cân bằng độc lập có thể lập đợc (2 hoặc
3) theo các điều kiện trong mục 1.1.2, sau đó tiến hành giải các phơng trình
nhận đợc.

Chú ý:

1. Nếu hệ lực khảo sát là đồng quy phẳng, có thể dùng điều kiện cân bằng
dạng hình học (đa giác lực tự khép kín). Trong trờng hợp số lực ít, có thể dùng
phơng pháp biến đổi lực. ở bài toán đòn, vật lật, phơng trình cân bằng lập đợc
chỉ chứa các lực hoạt động
2. Đối với bài toán hệ vật, vì có hai loại điều kiện cân bằng nên tơng ứng
có hai cách thành lập các phơng trình cân bằng: phơng pháp tách vật và phơng
pháp hoá rắn.
Phơng pháp tách vật
:
lần lợt xem xét riêng và lập phơng trình cân bằng
của từng vật. Phơng pháp này đặc biệt thuận lợi nếu chọn đợc thứ tự tách
vật sao cho số phơng trình cân bằng độc lập của vật đợc tách bằng số lực
là ẩn số.
Phơng pháp hoá rắn
: trớc hết lập phơng trình cân bằng của các ngoại
lực và sau đó mới tách vật. Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi tách
vật không thuận lợi; khi đó phơng trình cân bằng các ngoại lực có thể cho
ngay một số ngoại lực ẩn, nhờ đó quá trình tách vật trở nên dễ dàng.
3. Cần chú ý rằng, mỗi cặp nội lực dù đợc vẽ ngợc chiều, cùng ký hiệu
nhng vẫn cùng giá trị (cùng dơng hay âm tuỳ theo chiều giả định là đúng hay
sai).

16
1.3. Bài giải mẫu
1.3.1. Bài toán tìm điều kiện cân bằng
Bài toán đợc đặt ra nh sau: Cho một vật rắn (hay hệ vật rắn phẳng) chịu
tác dụng của hệ lực đã cho
F

1
, F
2
, , F
n
,
tìm vị trí cân bằng của vật (hệ vật) hoặc
tìm điều kiện ràng buộc giữa các lực đã cho để vật (hệ vật) cân bằng ở một vị trí
nào đó.
Khi giải các bài toán dạng này, ta cần chú ý chọn phơng trình cân bằng
sao cho không chứa phản lực liên kết, lập đợc phơng trình cân bằng cho phép
tìm ngay ra điều kiện cân bằng.
Các bài toán đòn và vật lật là các dạng bài toán đặc biệt của phần này.

Ví dụ 1-1:
Thanh đồng chất AB nặng
P
, dài
2l
đợc
đặt tựa hai đầu A và B vào hai cạnh nhẵn của
một góc vuông OCD. Trên thanh AB tại E
treo một vật nặng trọng lợng
Q
. Cho biết
AE=l/2
, cạnh OC nghiêng với đờng ngang
một góc

, tìm góc nghiêng

của thanh AB
với đờng ngang khi thanh AB cân bằng?
Bài giải:
Khảo sát sự cân bằng của thanh AB (H. 1-3): thanh chịu tác dụng của các
lực
P, Q
và các phản lực
N
A
, N
B
, ta có hệ lực cân bằng:
(
)
AB
P,Q,N ,N 0

rr
rrr
.
Ta thấy rằng, đờng tác dụng của các phản lực liên kết cắt nhau tại I, vậy để
chúng không có mặt trong phơng trình cân bằng ta lập phơng trình mô men đối
với điểm này:

(
)
(
)
(

)
Ik I I
mF mP mQ 0
=
+=

r
rr
. (a)
Sau khi tính các giá trị mô men và thay vào (a), ta nhận đợc phơng trình:
Hình 1-3
P

Q
E
I
N
N
A

O
A
C
B
D

17

() ()
l

P 2lcos lcos Q 2lsin sin cos 0
2

=



. (b)
Giải phơng trình (b) theo

, ta có kết quả:
(
)
()
Q2PQcos2
tg
2P Qsin2

+
=
+

.
Ví dụ 1-2:
Thanh đồng chất AB, dài
2l
, trọng lợng P có đầu A tựa trên tờng nhẵn, đầu
B dợc giữ bởi dây BC nghiêng với tờng một góc
30
0

. Tìm góc nghiêng

của
thanh với tờng để thanh nằm ở trạng thái cân bằng?
Bài giải:

Khảo sát sự cân bằng của thanh AB: giải phóng các liên kết, thanh chịu tác
dụng của các lực
P, N, T
. Do bài toán chỉ yêu cầu tìm góc nghiêng


của thanh,
nên ta sẽ xây dựng phơng trình cân bằng không chứa các thành phần phản lực
cha biết. Lấy mô men với giao điểm của các đờng tác dụng của các lực
T
và
N
(điểm E, H. 1-4), ta có phơng trình sau:

()
Ek
mF P.HE0==

r
.
Từ phơng trình trên ta có:
HE = 0
, hay:

0
23
HE lsin BFtg30 lsin 2lcos
3
23
lsin cos .
3
= =

=



Từ đó ta xác định đợc:
23
tg
3
=
.
Bài toán đòn:

Định nghĩa: Đòn là vật rắn quay đợc quanh một trục cố định O và chịu
tác dụng của một hệ lực đã cho nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục
quay của vật.
Hình 1-4
P

H
F
E

3
0
0
C
N

T

B
A

18
Điều kiện cân bằng của đòn: Để đòn cân bằng, các lực chủ động tác dụng
lên đòn phải thoả mãn phơng trình cân bằng các mô men đối với trục quay:
()
Ok
mF 0=

r
.
Ví dụ 1-3:
Đòn OA có thể quay đợc quanh trục nằm ngang đi qua O. Điểm B của
đòn đợc nối với van nồi hơi D, chịu áp suất
p
, đầu A của đòn phải treo vật có
trọng lợng
Q
bằng bao nhiêu để khi áp suất hơi vợt quá một giá trị
p

nào đó thì
van sẽ bị mở ra? Cho biết OA
=a,
OB
=b
, diện tích của van là
S
. Bỏ qua trọng
lợng của đòn và ma sát.
Bài giải:
Khảo sát đòn OAB (H. 1-5), các lực chủ động tác dụng lên đòn gồm có lực
Q
và lực đẩy
P
của hơi nớc.
Viết điều kiện cân bằng cho mô men đối với điểm O, ta có:
(
)
Ok
mF PbQa0
=
=

r
.
Từ đó ta có:
Pb Qa= , thay giá trị
P = pS
, ta nhận đợc:
b

QpS
a
=
.







Bài toán vật lật:
Vật lật là vật rắn có thể bị mất cân bằng do bị lật quay quanh một đờng
tựa nào đó, gọi trục quay khi vật lật là O, ta thấy có hai nhóm lực tạo nên hai
chiều mô men khác nhau. Gọi tổng mô men thuận chiều quay của vật khi bị lật là
P
1
D
C
Q
P
2

B
A
Hình 1-6
Hình 1-5
p

Q

P

R

O
B
A
D

19
mô men lật M
L
và tổng mô men ngợc lại là mô men chống lật M
CL
, ta có điều
kiện để vật không bị lật là:
CL L
MM , hay:
(
)
(
)
OkCL OkL
mF mF


rr
.
Tỷ số:
CL

L
M
k
M
=
, đợc gọi là hệ số ổn định chống lật, khi đó điều kiện để
vật không bị lật là k

1.
Ví dụ 1-4:

Cho cần trục nằm trên đờng ray. Trọng lợng của cần cẩu là
P
1
nằm giữa
khoảng cách hai bánh. Vật cẩu ở vị trí xa nhất là
CD=l
, trọng lợng là
P
2
. Tìm
trọng lợng của đối trọng Q để cần trục không bị lật? Cho khoảng cách từ đối
trọng đến tâm cần trục là
2a
, khoảng cách giữa hai bánh xe là
2b
.
Bài giải:

Khảo sát cần trục ở trạng thái làm việc bình thờng, cần trục chịu các lực

hoạt động là P
1
, P
2
, Q và hai phản lực tại A và B. Có thể xảy ra hai khả năng lật:
lật quanh A hoặc quanh B (H. 1-6).
Xét khả năng lật quanh A: trờng hợp này sẽ nguy hiểm nhất khi P
2
= 0,
lúc đó lực Q là lực gây mô men lật. Thiết lập phơng trình mô men quanh trục lật
đi qua A, ta có:
(
)
(
)
Ak 1
mF Q2ab Pb=

.
Để không bị lật ta phải có điều kiện:
(
)
1
Pb Q 2a b
hay
1
b
PQ
2a b

.
Xét khả năng lật quanh B, lập phơng trình mô men đối với điểm B, ta có:
(
)
(
)
Bk 1 2
mF Q2ab PbPl
=
++

.
Để không bị lật ta phải có điều kiện:
()
12
Pb Q 2a b Pl++
hay
21
Pl Pb
Q
2a b


+
.
Nh vậy, đối trọng
Q
phải có giá trị:
21

1
b
Pl Pb
PQ
2a b 2a b



+
.

20
Ví dụ 1-5 (Bài toán hệ vật):

Treo một đĩa tròn đồng chất và một vật nặng vào cùng một điểm O cố định
bằng hai sợi dây mềm, mảnh, không dãn và có trọng lợng không đáng kể. Hệ
cân bằng ở vị trí nh hình vẽ, hãy xác định góc

giữa dây treo đĩa với phơng
thẳng đứng. Cho biết: bán kính đĩa r, trọng lợng đĩa P, chiều dài đoạn dây treo
đĩa là
l
, trọng lợng vật nặng là
Q
.
Bài giải:

Khảo sát hệ cân bằng gồm đĩa, vật nặng và các dây treo (H. 1-7). Các lực
tác dụng lên hệ gồm: các trọng lực
P

và
Q
, phản lực liên kết tại O
R
O
. Để xác
định góc lệch giữa dây treo đĩa với phơng thẳng đứng, ta coi cả hệ là một vật rắn
cân bằng dới tác dụng của hệ lực kể trên, điều kiện cân bằng nh sau:
(
)
O
P,Q,R 0

rr
rr
.
Lập phơng trình cân bằng đối với mômen tại O, ta có:
()
(
)
(
)
Ok
mF Plrsin Qr lrsin 0=+ + =


.
Giải phơng trình trên, ta nhận đợc:
Qr
sin

PQrl
=
+
+
.











Hình 1-7


B
O
A
Q
P

C
30
0
Hình 1-8
F

M
60
0
D
C
B
A
O
1
O

21

Ví dụ 1-6:
Cho cơ cấu phẳng chịu tác dụng của mô men
M
và lực đẩy
F
nh hình vẽ.
Bỏ qua khối lợng của các thanh và ma sát, tìm mối liên hệ giữa
M
và
F
để cơ
cấu cân bằng? Cho biết OA
=a
, điểm C nằm giữa thanh O
1
B (Hình 1-8).
Bài giải:

Khảo sát hệ bao gồm: các thanh OA, AB, O
1
B, CD và con chạy D cân
bằng dới tác dụng của các lực chủ động và các phản lực liện kết tại O, O
1
, D. Để
giải bài toán ta áp dụng phơng pháp tách vật:







Trớc tiên ta xét cân bằng của thanh OA: tại A do thanh AB chỉ bị kéo hoặc
nén do đó chỉ có một thành phần phản lực S
1
, tại O có phản lực R
O
. Viết phơng
trình cân bằng mô men tại O, ta có:

(
)
Ok 1
mF MOA.S 0
=
+ =

r
. (a)
Tiếp theo, khảo sát sự cân bằng của con chạy D cùng với thanh CD: hoá
rắn hệ đang xét, tại C do thanh chỉ chịu kéo hoặc nén nên chỉ có một thành phần
phản lực S
2
hớng dọc theo thanh, lập phơng trình cân bằng theo phơng ngang,
ta có:

0
2
FScos30 0

=
. (b)
Sau cùng, ta xét phần còn lại của hệ bao gồm thanh O
1
B và thanh AB. Hoá
rắn hệ đang xét, tại C có thành phần phản lực S
2
, tại A có S
1
. Viết phơng trình
cân bằng mô men đối với O
1
, ta nhận đợc:
R
O
S
1

M
A
O
S
2
N
30
0
F
D
C
R
O1
S
1
S
2
C
60
0
B
O
1

22

()
'0'
O1 k 1 1 2 1
mF S.OB.sin60S.OC0

=
=

r
. (c)
Kết hợp 3 phơng trình trên với chú ý rằng
'
22
SS
=
, khử các thành phần
phản lực, cuối cùng ta nhận đợc điều kiện:
F.a M 3= .
1.3.2. Bài toán tìm phản lực liên kết
Bài toán đợc đặt ra nh sau: Cho một vật rắn (hay hệ vật rắn phẳng) cân
bằng dới tác dụng của hệ lực đã cho
F
1
, F
2
, , F
n
,
hãy xác định các thành phần
phản lực liên kết.
Khi giải các bài toán dạng này, ta cần chú ý biểu diễn đầy đủ các lực hoạt
động tác dụng lên hệ và các phản lực liên kết, từ đó nhận đợc một hệ lực cân
bằng. tiếp theo, lập phơng trình cân bằng đối với hệ lực trên và giải các phơng
trình đó.

Chú ý:

Để giảm bớt số lợng các lực phải tìm, nếu các ẩn đồng quy, ta nên lập
phơng trình mô men đối với điểm đồng quy đó; nếu các ẩn song song, ta
lập phơng trình hình chiếu trên trục vuông góc với các ẩn đó.

Đối với bài toán hệ vật, lúc đầu ta nên xác định tính tĩnh định của hệ, sau
đó xác định số lợng ẩn và số phơng trình cân bằng độc lập có thể lập
đợc từ đó tìm các vị trí tách hệ tơng ứng.
Ví dụ 1-7:

Dầm AB có chiều dài l, đầu A ngàm chặt vào tờng, đầu B tự do. Dầm chịu
tác dụng của lực
F
tạo với phơng ngang một góc

tại B và ngẫu lực có mô men
bằng M. Tìm phản lực tại A, bỏ qua trọng lợng của dầm (Hình 1-9)?
Bài giải:

Xét cân bằng của dầm AB. Giải phóng liên kết tại ngàm A, thay bằng các
phản lực liên kết có chiều giả thiết nh hình vẽ. Ta có hệ lực cân bằng:

(
)
AAA
F,M,M ,X ,Y 0

r
rr r r r

(a)

23


Từ (a), ta lập các phơng trình cân
bằng:
A
XXFcos0= =

,
A
YY Fsin 0= =

, (b)
AA
mMMFlsin 0= =

.
Giải hệ phơng trình trên ta nhận đợc:
AAA
X Fcos ; Y Fsin ; M Fsin M= = =
Ví dụ 1-8:
Thanh đồng chất AB trọng lợng P, đầu A gắn bản lề và đợc giữ cân bằng
ở vị trí nằm ngang nhờ dây buộc vật nặng D, dây tạo góc 60
0
với phơng ngang.
Bỏ qua trọng lợng dây, ma sát ở trục bản lề và ròng rọc. Tìm trọng lợng của vật
D và phản lực tại A (Hình 1-10)?
Bài giải:

Xét cân bằng của thanh AB chịu tác dụng của hệ lực
(
)
A
P,R ,T
rr r
, lập phơng
trình cân bằng đối với mô men tại A, ta có:

0
A
l
mPTlsin600
2
= + =

, từ đó ta nhận đợc:
P
T
3
=
. (a)
Chiếu hệ lực theo hai phơng x và y, ta có:

0
AX AX
T
Tcos60 R 0, R
2

= =
(b)

0
AY AY
T3
Tsin60 R P 0, R P
2
+= =
(c)
Trọng lợng của vật D cân bằng với sức căng dây
T
, vậy ta có:
P
Q
3
=
.


Hình 1-9
l
X
A
Y
A
M
A
B
A

F

M

24












Ta cũng có thể giải bài toán trên theo cách khác:
Để ý thấy thanh AB
cân bằng dới tác dụng của ba lực
P, R
A
và
T
, trong đó hai lực
P
và
T
có đờng
tác dụng cắt nhau tại O, vậy để thanh cân bằng ba lực trên phải đồng quy. Biểu

diễn tam giác lực nh hình trên ta sẽ xác định đợc các giá trị cần tìm.
Ví dụ 1-9:

Dầm đồng chất AB có trọng lợng
P
và chiều dài
l
, dầu A ngàm chặt trong
tờng, tạo với tờng một góc

. Trên dầm đặt khối trụ tròn đồng chất, trọng
lợng
Q
. Tìm áp lực của khối trụ lên dầm và tờng, phản lực liên kết tại A? Cho
biết
2
BD l
3
=
(Hình 1 - 11)
.

Bài giải:

Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ, hệ khảo sát bao gồm hai vật: dầm AB và khối
trụ, tại A có các phản lực liên kết: X
A
, Y
A
, ngẫu M

A
; tại vị trí khối trụ tiếp xúc với
tờng có phản lực N
2
vuông góc với tờng. Vậy hệ có 4 ẩn trong khi ta chỉ thiết
lập đợc tối đa 3 phơng trình cân bằng, do đó ta phải áp dụng phơng pháp tách
hệ để giải.
Hình 1- 10
30
0
Q
R
A
T
P
30
0
C
P
T

60
0
R
A
B

D
A
O

25
Tách hai vật và giải phóng các liên kết, ta có: Khối trụ chịu tác dụng của hệ
lực đồng quy
()
12
Q,N ,N
r
rr
; dầm AB chịu tác dụng của hệ lực
(
)
'
1AA A
P,N ,X ,Y ,M
rr r r r
.


Phơng trình cân bằng của khối trụ:

12
1
XNcosN0
YNsin Q0
=
+=
==

(a)
Phơng trình cân bằng của dầm:

'
1A
'
1A
'
AA 1
XNcos X 0
YNsinPY0
ll
mMPsinN 0
23
=+=
= + =
=
=



(b)
Giải hệ các phơng trình (a) và (b) với chú ý
'
11
NN
=
, ta có kết quả sau:
(
)

2
12 A A A
l2Q 3Psin
Q
N;NQctg;XQctg;YPQ;M
sin 6sin
+
====+=

.
Ví dụ 1-10:

Cho kết cấu gồm hai thanh ABC và CD cân bằng dới tác dụng của hệ lực
nh hình vẽ. Cho các giá trị:
F
1
=10kN, F
2
=12kN, M=25kNm, q=2kN/m,

=60
0
.
Các kích thớc trên hình vẽ đo bằng m, bỏ qua trọng lợng hai thanh. Tìm
phản lực liên kết tại A, C, D (Hình 1 - 12)?
Bài giải:

Hình ví dụ 1-9
D
A

N
2
N
1

Q
P
D
B
X
A
A

N
1
M
A
Y
A
y
x
D
B
A
P


Q

26

Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ, hệ khảo sát gồm hai thanh ABC và CD, hoá rắn
hệ ta đợc một vật cân bằng dới tác dụng của hệ lực:

()
12 A A O O
F,F,Q,X ,Y ,X ,Y ,M 0

rr
rr r r r r
(a)
Trong đó:
Q=4q.

Từ (a), ta thiết lập các phơng trình cân bằng cho hệ:

A1 D
A1 2 D
A11 2D
XX Fcos X Q0
YY Fsin F Y 0
m 2Q 4F cos 3F sin M 5F 7Y 0
= ++=
= +=
= + + + =



(b)

Ba phơng trình lập đợc cha đủ để xác định 4 ẩn. Ta phải sử dụng thêm
phơng pháp tách vật: Giải phóng liên kết cho thanh CD, lúc này phản lực tại C
xuất hiện và có hai thành phần.
Viết các phơng trình cân bằng cho thanh CD, ta có:

CD
C2 D
D2 CC
XX X 0
YY F Y 0
m 2F M 4X 4Y 0
=+=
=+=
=
=



(c)
Từ (b) và (c) ta sẽ tìm đợc 6 ẩn nêu trên:

3
Hình 1-12
Y
D

X
D
X
C
Y
C
F
2
C
M
D
Q
Y
D
X
D
X
A
Y
A


B
F
2

C
F
1
M
D
A

B
2
3
4
2
F
2
C
F
1
M
D
A
q