LUYỆN THI đại HỌC môn TOÁN

Th.s Đỗ Minh Tuân
Th.s ĐỖ MINH TUÂN
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
NAM ĐỊNH, NĂM 2009
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Lời nói đầu
Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bản hơn trước rất nhiều , không
còn tính đánh đố cũng như bắt học sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt. Một
số tài liệu giảng dạy rất hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ
đề thi tuyển sinh" chỉ còn lại một ít giá trị thực tiễn của nó. Chắt lọc những tài liệu
này, bám sát những đề thi tuyển sinh những năm gần đây (Từ năm 2002-2010) cộng với
những kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy luyện thi của mình (có tham khảo một số
bài giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạn tài liệu này mục đích chính để mình
giảng dạy một cách bài bản.
Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn
ngấp nghé cổng trường Đại học.
Tài liệu này gồm 12 chuyên đề (vẫn còn thiếu)
1. Phương trình đại số.
2. Phương trình lượng giác.
3. Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối.
4. Hệ phương trình đại số
5. Giải tích tổ hợp
6. Hình phẳng tọa độ
7. Giới hạn
8. Bất đẳng thức
9. Hàm số và đồ thị
10. Hình học không gian tọa độ
11. Tích phân và ứng dụng
12. Số phức

Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi những lỗi đánh máy, lỗi tính
toán sai, Mong các bạn lượng thứ, mọi góp ý xin gửi về:
Th.s Đỗ Minh Tuân.
Trường CĐSP Nam Định, 813 đường Trường Chinh, TP Nam Định
Email:
Mobile: 0982843882.
—————————————
Chúc các bạn thành công trong kỳ thi đại học sắp tới!
Nam Định, ngày 20 tháng 06 năm 2010
Tác giả
Đỗ Minh Tuân
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 2 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
Mục lục
Lời nói đầu 2
1 Phương trình đại số 8
1.1 Lý thuyết về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ . . . . . . . . . . 9
1.2 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Phương trình bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Tính chất của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Đa thức bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Dấu của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.3 Giải hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Phương trình lượng giác 32
2.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.6 Công thức cộng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc . . . . . . . 34
2.1.9 Công thức tính sin x, cos x, tan x, cot x theo t = tan
x
2
. . . . . . 35
2.1.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 3 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Phương trình sin x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2 Phương trình cos x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Các phương trình lượng giác khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.5 Phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối 49
3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Bất phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Hệ phương trình đại số 59
4.1 Hệ phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.1 Hệ đối xứng loại I: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.2 Hệ đối xứng loại II: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Hệ phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 4 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
5 Giải tích tổ hợp 77
5.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.1 Quy tắc cộng - nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.3 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Hình phẳng tọa độ 85
6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.2 Dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.2 Các dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Ba đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.1 Kiến thức chung về 3 đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.2 Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.3 Hyperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3.4 Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Giới hạn 126
7.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.1.1 Các tính chất cơ bản của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.1 Giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.2 Phương pháp tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8 Bất đẳng thức 135
8.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2.1 Tìm min tổng, max của tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9 Hàm số và đồ thị 153
9.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.1.2 Các bước khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 5 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định

www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
9.1.3 Hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.1.4 Hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.2 Cực trị và tiệm cận của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu của hàm số . . . . . . . . . . . . 159
9.2.2 Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.2.3 Các bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.2.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.3.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.3.2 Các bài toán đơn thuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa tham số . . . . . . . . . 171
9.3.4 Phương pháp miền giá trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.3.6 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.4.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M . . . . . . . . . . . . . 179
9.4.4 Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng . . . . . . . . . . . . 180
9.4.5 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.5.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.5.2 Tìm điểm không thuộ c mọi đường cong trong họ y = f(x, m) . . . 184
9.6 Sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.6.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.6.2 Sự tương giao của hàm đa thức với trục Ox . . . . . . . . . . . . 187
9.6.3 Sự tương giao của hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

9.6.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.7 Sự tiếp xúc của 2 đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.7.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.7.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.7.3 Củng cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.8 Biện luận số nghiệm bằng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.8.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.8.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10 Hình không gian tọa độ 208
10.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.1.1 Véctơ và phép toán véctơ trong không gian . . . . . . . . . . . . . 208
10.1.2 Mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.1.3 Đường thẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.1.4 Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.1.5 Chùm mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.1.6 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.1.7 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.1.8 Diện tích, thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 6 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
Mục lục Mục lục
10.1.9 Một số dạng toán về mặt phẳng và đường thẳng . . . . . . . . . . 214
10.1.10Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.2 Véc tơ, điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.3 Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.4 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11 Tích phân 226
11.1 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . . . 226
11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . 228
11.3 Các phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.3.1 Phép đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.3.3 Tích phân hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.4 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.5 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.5.1 Tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12 Số phức 259
12.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.1.1 Các kiến thức chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.1.2 Các phép toán trên số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.2.1 Thực hiện các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.2.2 Khai căn bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn đề liên quan . . . . . . . . . . 262
12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 7 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân

Chương 1. Phương trình đại số
Chương 1
Phương trình đại số
1.1 Lý thuyết về đa thức
1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử
+) Nếu P(x) là một đa thức bậc 2 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì P (x) = a.(x − x
1
).(x
2
) (a là
hệ số bậc cao nhất của P (x)).
+) Tổng quát: Nếu P (x) là một đa thức bậc n có đủ n nghiệm x
1
, x
2
, ··· , x
n
thì
P (x) = a(x − x
1
)(x − x
2
) ···(x −x
n
)
+) Một đa thức P (x) bất kỳ bao giờ cũng phân tích thành tích những đa thức bậc nhất

và đa thức bậc 2 (vô nghiệm).
Ví dụ 1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) P (x) = 2x
2
− 5x + 2.
b) P (x) = −3x
2
+ 12x − 12
c) P (x) = 4x
3
− 4x
2
− 7x − 2.
d) P (x) = 6x
3
− 13x
2
+ 4x + 3
Giải: a) P (x) có a = 2, x
1
= 2, x
2
=
1
2
nên P (x) = 2(x − 2)

x −
1
2


= (x − 2)(2x − 1).
b) P (x) có nghiệm kép x = 2 nên P (x) = −3(x −2)
2
.
c) P (x) có a = 4 và 2 nghiệm x = −
1
2
và x = 2???
Chú ý: P(x) là đa thức bậc 3 nhưng lại chỉ có 2 nghiệm. Nên sẽ có một nghiệm là
nghiệm kép. Tốt nhất trong trường hợp này ta dùng lược đồ Hoocne để giải quyết.
Kết quả: P (x) = 4

x +
1
2

2
(x − 2).
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 8 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.2. Phương trình bậc nhất Chương 1. Phương trình đại số
d) P (x) có a = 6 và 3 nghiệm x = 1, x = −
1
3
, x =
3
2
P (x) = 6(x − 1).


x +
1
3

x −
3
2

= (x − 1)(3x + 1)(2x −3).
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ
Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính năng CALC của máy 570ES.
Ví dụ 1.2: Tính giá trị biểu thức:
a) y = x
3
− 3x
2
− x − 1 tại x = 1 −
√
3 và x = 1 +
√
3
b) y =
x
2
− x − 1
2x + 3
tại x = 3 +
√
2 và x = 3 −

√
2
Giải: a) x = 1 −
√
3 ⇒ y = −4 +
√
3
x = 1 +
√
3 ⇒ y = −4 −
√
3
b) x = 3 +
√
2 ⇒ y =
43 + 31
√
2
73
x = 3 −
√
2 ⇒ y =
43 − 31
√
2
73
1.2 Phương trình bậc nhất
1.2.1 Phương pháp giải
☞ Dạng của phương trình: ax + b = 0
☞ Cách giải:

➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R
➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình vô nghiệm.
➤ Với a = 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = −
b
a
1.2.2 Các ví dụ
Ví dụ 1.3: Giải và biện luận phương trình: (m
2
− 1)x + m −1 = 0
Giải: - Nếu m
2
− 1 = 0 ⇔ m = ±1.
+) Với m = 1 phương trình trở thành: 0x + 0 = 0. Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R.
+) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − 2 = 0. Phương trình vô nghiệm.
- Nếu m
2
− 1 = 0 ⇔ m = ±1.
Phương trình có nghiệm duy nhất: x = −
1
m + 1
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 9 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
Ví dụ 1.4: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng:(d
m
) : y = (m − 2)x + 2m − 3
Giải: Gọi (x
0
, y

0
) là điểm cố định của (d
m
)
⇒ y
0
= (m − 2)x
0
+ 2m − 3 ∀m
⇔ m(x
0
+ 2) − 2x
0
− 3 − y
0
= 0 ∀m
⇔

x
0
+ 2 = 0
−2x
0
− 3 − y
0
= 0
⇔

x
0

= −20
y
0
= 1
Vậy điểm cố định của họ (d
m
) là điểm A(−2; 1)
1.3 Phương trình bậc hai
1.3.1 Phương pháp giải
☞ Dạng của phương trình: ax
2
+ bx + c = 0.
☞ Biện luận:
➢ Nếu a = 0: phương trình bậc nhất
➢ Nếu a = 0: ∆ = b
2
− 4ac hoặc ∆
′
= b
′2
− ac.
+) Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm.
+) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= −
b
2a
= −

b
′
a
+) Nếu ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1,2
=
− b ±
√
∆
2a
=
− b
′
±
√
∆
′
a
☞ Nhẩm nghiệm:
➢ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 1, x
2
=
c
a
➢ Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= −1, x

2
= −
c
a
☞ Phân tích một tam thức bậc 2 thành nhân tử.
Giả sử f(x) = ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì f(x) = a(x − x
1
)(x − x
2
).
Ví dụ: f(x) = 2 x
2
− 5x + 2 có 2 nghiệm x
1
= 2, x
2
=
1
2
nên f(x) = 2(x − 2)(x −
1
2
) = (x − 2)(2x − 1).
☞ Định lý Vi-et: Giả sử x

1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình thì ta có:







x
1
+ x
2
= −
b
a
x
1
x
2
=
c
a
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 10 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
☞ Định lý Vi-et đảo:

Nếu

x + y = S
x.y = P
, x, y là 2 nghiệm của phương trình:
X
2
− S.X + P = 0
☞ Dấu của nghiệm:
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt dương ⇔



∆ > 0
S > 0
P > 0
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt âm ⇔



∆ > 0
S < 0
P > 0
➢ Pt có 2 nghiệm trái dấu: P < 0.
➢ Pt có nghiệm dương tương đương với phương trình có 2 nghiệm dương hoặc
có 2 nghiệm trái dấu ⇔

max(x
1
, x

2
) > 0
∆ ≥ 0
Ở đó max (x
1
, x
2
) =



−b +
√
∆
2a
Nếu a > 0
−b −
√
∆
2a
Nếu a < 0
Hoặc ta có thể xét 2 trường hợp:
- Phương trình có 2 nghiệm dương (không cần phân biệt) hoặc có một nghiệm
bằng không, một nghiệm dương ⇔



∆ ≥ 0
S > 0
P ≥ 0

- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0.
➢ Phương trình có nghiệm âm ta làm tương tự như trên:
⇔








∆ ≥ 0
S < 0
P ≥ 0
P < 0
⇔

∆ ≥ 0
min (x
1
, x
2
) < 0
Ở đó min (x
1
, x
2
) =




−b −
√
∆
2a
Nếu a > 0
−b +
√
∆
2a
Nếu a < 0
☞ So sánh nghiệm với một số:
➢ α ∈ (x
1
, x
2
) ⇔ a.f (α) < 0.
➢ α /∈ [x
1
, x
2
] ⇔

∆ ≥ 0
a.f (α) > 0
➢ x
1
< x
2
< α ⇔




∆ > 0
a.f (α) > 0
S/2 < α
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 11 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
➢ x
1
> x
2
> α ⇔



∆ > 0
a.f (α) > 0
S/2 > α
Ví dụ 1.5: Giải các phương trình sau:
a) x
2
− 5x + 4 = 0
b) x
2
− 2x − 3 = 0
Giải: a) a + b + c = 0 ⇒ phương trình có nghiệm x
1

= 1, x =
c
a
= 4
b) a − b + c = 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm x
1
= −1, x = −
c
a
= 3
Ví dụ 1.6: Giải và biện luận phương trình sau: (m − 1) x
2
− (2m + 1) x + m −5 = 0.
Giải: +) TH 1: Nếu m −1 = 0 ⇔ m = 1 thay vào phương trình ta có:
−3x − 4 = 0 ⇔ x = −
3
4
.
+) TH 2: Nếu m − 1 = 0 ⇔ m = 1.
∆ = (2m + 1)
2
− 4 (m − 1) (m − 5) = 28m − 19
- Nếu ∆ > 0 ⇔ m >
19
28
có phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1,2
=
2m + 1 ±

√
28m − 19
2 (m − 1)
- Nếu ∆ = 0 ⇔ m =
19
28
có nghiệm kép:
x
1
= x
2
=
2m + 1
2 (m − 1)
=
2.
19
28
+ 1
2

19
28
− 1

= −
11
3
- Nếu ∆ < 0 ⇔ m <
19

28
: Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 1.7: Cho phương trình x
2
− (m − 1) x + 2m −5 = 0
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Lập phương trình bậc 2 nhận 2x
1
+ x
2
là nghiệm.
Giải: a) ∆ = (m − 1)
2
− 4 (2m − 5) = m
2
− 2m + 1 −8m + 20 = m
2
− 10m + 21.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m
2
− 10m + 21 > 0 ⇔


m > 7
m < 3
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 12 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số
b) S = x
1
+ x
2
= m −1, P = x
1
.x
2
= 2m −5. Do đó 2S −P = 2(m −1) −(2m −5) = 3
Hệ thức liên hệ x
1
, x
2
không phụ thuộc m là : 2( x
1
+ x
2
) − x
1
.x
2
= 3
c) Đặt u = 2x

1
+ x
2
, v = x
1
+ 2x
2
. Do đó:
u + v = 3(x
1
+ x
2
) = 3.( m − 1) = 3m − 3,
u.v = (2x
1
+ x
2
)(x
1
+ 2x
2
) = 2x
2
1
+ 5x
1
.x
2
+ x
2

2
= 2(x
1
+ x
2
)
2
+ x
1
.x
2
= 2(m − 1)
2
+ 2m − 5 = 2m
2
− 2m − 3
Do đó u, v là 2 nghiệm của phương trình:
X
2
− (3m − 3)X + 2m
2
− 2m − 3 = 0
Ví dụ 1.8: Cho phương trình: x
2
− (m + 1)x + m +
9
4
= 0
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1

, x
2
.
2. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.
3. Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
4. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x
1
< 1 < x
2
.
5. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x
1
≤ x
2
< 2
Giải: a) ∆ = (m + 1)
2
− 4(m +
9
4
) = m
2
+ 2m + 1 −4m − 9 = m
2
− 2m − 8
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m
2
− 2m − 8 > 0 ⇔

m > 4

m < −2
b) Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔



∆ > 0
S = m + 1 > 0
P = m + 9/4 > 0
⇔












m > 4
m < −2
m > −1
m > −
9
4
⇔ m > 4
c) Phương trình có nghiệm dương ⇔


∆ ≥ 0
max (x
1
, x
2
) > 0
⇔



m
2
− 2m − 8 ≥ 0
m + 1 +
√
m
2
− 2m − 8
2
> 0
⇔
√
m
2
− 2m − 8 > −m − 1
⇔







−m − 1 < 0
m
2
− 2m − 8 ≥ 0

−m − 1 ≥ 0
m
2
− 2m − 8 > (−m − 1)
2
⇔










m > −1

m ≥ 4
m ≤ −2

m ≤ −1
m < −9/4

⇔

m ≥ 4
m < −9/4
d) Phương trình có nghiệm x
1
< 1 < x
2
⇔ a.f(1) < 0
⇔ 1. (1 − (m + 1) + m + 9/4 < 0) ⇔ 9/4 < 0 (Vô nghiệm)
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 13 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.4. Phương trình bậc 3 Chương 1. Phương trình đại số
e) Phương trình có nghiệm thỏa mãn x
1
≤ x
2
< 2 ⇔



∆ ≥ 0
a.f (2) > 0
S/2 < 2
⇔



m ≥ 4 ∨ m ≤ −2

m < 17/4
m < 3
⇔

4 ≤ m < 17/4
m ≤ −2
1.4 Phương trình bậc 3
1.4.1 Tính chất của đa thức
❶ Định lý Berzout: Cho P (x) là một đa thức bất kỳ. K hi đó với mọi x
0
, đa thức
P (x) chia đa thức x − x
0
có số dư là P (x
0
).
❷ Hệ quả: Nếu x
0
thỏa mãn P (x
0
) = 0 thì P (x)
.
.
. x − x
0
.
❸ Lược đồ Hoocne: Giả sử P (x) = a
n
x
n

+ a
n−1
x
n−1
+ ··· + a
1
x + a
0
.
a
n
a
n−1
··· a
1
a
0
x
0
b
n
b
n−1
··· b
1
b
0
b
n
= a

n
, b
n−1
= b
n
.x
0
+ a
n−1
, b
n−2
= b
n−1
.x
0
+ a
n−2
, ···, b
0
= b
1
.x
0
+ a
0
.
P (x) = (x − x
0
)(b
n

x
n−1
+ b
n−1
x
n−2
+ ··· + b
2
x + b
1
) + b
0
.
Nếu P (x)
.
.
. x −x
0
thì b
0
= 0 và P(x) = (x −x
0
)(b
n
x
n−1
+ b
n−1
x
n−2

+ ···+ b
2
x + b
1
).
1.4.2 Đa thức bậc 3
☞ Dạng ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1).
☞ Cách giải :
➢ Nhẩm nghiệm : Sử dụng máy tính để nhẩm một nghiệm x
0
nào đó.
➢ Dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức trên thành nhân tử :
P (x) = (x − x
0
).Q(x). Ở đó Q(x) là một đa thức bậc 2.
☞ Định lý Viet: Giả sử x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm của phương trình (1) .
















x
1
+ x
2
+ x
3
= −
b
a
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3

x
1
=
c
a
x
1
x
2
x
3
= −
d
a
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 14 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.4. Phương trình bậc 3 Chương 1. Phương trình đại số
☞ Định lý Viet đảo: Giả sử x, y, z là 3 số thỏa mãn



x + y + z = m
xy + yz + zx = n
xyz = p
Khi đó x, y, z là 3 nghiệm của phương trình : X
3
− mX
2
+ nX − p = 0

1.4.3 Các ví dụ
Ví dụ 1.9: Giải các phương trình sau:
a) 2x
3
− x
2
+ x + 4 = 0.
b) x
3
− 4x + 3 = 0.
Giải: a) Dùng máy tính ta thấy được một nghiệm là : x = −1.
Dùng lược đồ Hooc-ne ta có:
2 −1 1 4
−1 2 −3 4 0
Phương trình ⇔ (x + 1) (2x
2
− 3x + 4) = 0
⇔

x = −1
2x
2
− 3x + 4 = 0Phương trình vô nghiệm
⇔ x = −1.
b) Dùng máy tính ta nhẩm được nghiệm x = 1.
1 0 −4 3
1 1 1 −3 0
Phương trình ⇔ (x − 1) (x
2
+ x − 3) = 0

⇔

x = 1
x
2
+ x − 3 = 0
⇒


x = 1
x =
−1 ±
√
13
2
Ví dụ 1.10: Cho phương trình 2x
3
− 3x
2
− 5x + 5 = 0
a) Chứng minh phương trình có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
phân biệt.
b) Tính P = 3 (x
2
1

+ x
2
2
+ x
2
3
) − 2 (x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
).
Giải: a) Đặt f (x) = 2x
3
−3x
2
−5x + 5. Ta có f(−2) = −13, f(−1) = 5, f(1) = −1,
f(3) = 17.
Ta có f(−2).f (−1) < 0 nên tồn tại x
1
∈ (−2; −1) sao cho f(x
1
) = 0.
f(−1).f(1) < 0 nên tồn tại x
2
∈ (−1; 1) sao cho f(x

2
) = 0.
f(1).f(3) < 0 nên tồn tại x
3
∈ (1; 3) sao cho f(x
3
) = 0.
Do đó ta được f(x
1
) = f(x
2
) = f(x
3
) = 0 và x
1
< x
2
< x
3
nên phương trình
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 15 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.5. Phương trình bậc 4 Chương 1. Phương trình đại số
b) Theo định lý Viet ta có:
















x
1
+ x
2
+ x
3
=
3
2
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3

x
1
= −
5
2
x
1
x
2
x
3
= −
5
2
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
+ x
3
)

2
− 2 (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
) =
29
4
x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
= (x
3
1
+ x
3

2
+ x
3
3
− 3x
1
x
2
x
3
) + 3x
1
x
2
x
3
= (x
1
+ x
2
+ x
3
) (x
2
1
+ x
2
2
+ x
2

3
− (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
)) + 3x
1
x
2
x
3
=
3
2

29
4
+
5
2

+ 3.


−
5
2

=
57
8
Do đó ta được P = 3.
29
4
− 2.
57
8
=
15
2
.
Ví dụ 1.11: Giải hệ phương trình:



x + y + z = 2
x
2
+ y
2
+ z
2
= 6

x
3
+ y
3
+ z
3
= 8
Giải: Phương trình tương đương với ⇔



x + y + z = 2
(x + y + z)
2
− 2 (xy + yz + zx) = 6
(x
3
+ y
3
+ z
3
− 3xyz) + 3xyz = 8
⇔



x + y + z = 2
2
2
− 2 (xy + yz + zx) = 6

(x + y + z) (x
2
+ y
2
+ z
2
− xy −yz −zx) + 3xyz = 8
⇔



x + y + z = 2
xy + yz + zx = −1
2 (6 + 1) + 3xyz = 8
⇔



x + y + z = 2
xy + yz + zx = −1
xyz = −2
Từ đó ta có x, y, z là 3 nghiệm của phương trình:
X
3
− 2X
2
− X + 2 = 0 ⇔


X = −1

X = 1
X = 2
Vậy hệ có 6 nghiệm phân biệt
(−1; 1; 2) , (−1; 2; 1) , (1; −1; 2) , (1; 2; −1) , (2; −1; 1) , (2; 1; −1)
1.5 Phương trình bậc 4
1.5.1 Dạng tổng quát
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 (a = 0)
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 16 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.5. Phương trình bậc 4 Chương 1. Phương trình đại số
☞ Hướng giải:
➢ Dùng tính năng SOLVE hoặc TABLE của máy tính fx-570ES, fx-500ES để
nhẩm nghiệm của phương trình, sau đó dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích
thành phương trình bậc 3 và giải tiếp như ở trên.
➢ Tuy nhiên một số trường hợp cách giải trên trở nên vô hiệu hoặc quá phức
tạp không cần thiết, những trường hợp đó có cách giải riêng biệt.
1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4
❶ Phương trình trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0.
Cách giải: đặt t = x

2
≥ 0. Phương trình trở thành : at
2
+ bt + c = 0.
❷ Phân tích thành nhân tử:
Cách giải: Biết được một nghiệm, hoặc dùng cách nhóm, sử dụng hằng đẳng thức
để phân tích thành nhân tử, quy về phương trình bậc thấp hơn.
❸ Phương trình đối xứng: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 thỏa mãn

d
b

2
=
e
a
Cách giải: Xét x = 0 thay vào phương trình xem có thỏa mãn không?
Với x = 0. Chia cả 2 vế của phương trình cho x
2
ta được:
ax
2
+ bx + c +
d

x
+
e
x
2
= 0 ⇔ a

x
2
+
e
ax
2

+ b

x +
d
bx

+ c = 0
Đặt t = x +
b
dx
(∗)
⇒ t
2
= x
2
+

b
2
d
2
x
2
+
2d
b
= x
2
+
e
ax
2
+
2d
b
.
Phương trình trở thành: a

t
2
−
2d
b

+ bt + c = 0
Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó thay vào (∗) để tìm x.
❹ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e sao cho a + b = c + d.

Cách giải: Phương trình ⇔ (x
2
+ (a + b) x + ab) (x
2
+ (c + d) x + cd) = e
Đặt t = x
2
+ (a + b) x = x
2
+ (c + d) x (∗)
Thay vào phương trình ta được:
(t + ab) (t + cd) = e
Giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó thay vào (∗) để tìm x.
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 17 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.5. Phương trình bậc 4 Chương 1. Phương trình đại số
❺ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = ex
2
sao cho ab = cd.
Cách giải: giống cách giải phương trình đối xứng.
Nếu x = 0: ta được abcd = 0.
Nếu x = 0: Phương trình ⇔ (x
2
+ (a + b) x + ab) (x
2
+ (c + d) x + cd) = ex
2
.
⇔


x +
ab
x
+ a + b

.

x +
cd
x
+ c + d

= e
Đặt t = x +
ab
x
= x +
cd
x
(∗). Phương trình trở thành:
(t + a + b) (t + c + d) = e
Giải phương trình bậc 2 ta tìm được t. Thay vào (∗) để tìm x.
1.5.3 Các ví dụ
Ví dụ 1.12: Giải phương trình 2x
4
− x
2
− 3 = 0
Giải: Đặt t = x

2
≥ 0. Phương trình trở thành :
2t
2
− t − 3 = 0 ⇔


t = −1 (loại)
t =
3
2
⇔ t =
3
2
⇔ x
2
=
3
2
⇔ x = ±
√
6
2
Ví dụ 1.13: Giải các phương trình sau:
a) 8x
4
+ 16x
3
− 8x
2

− 91x − 42 = 0.
b) x
4
− 4x
3
+ 4x
2
− 16 = 0.
c) x
4
− 4x − 1 = 0.
Giải: a) Dùng máy tính ta nhẩm được một nghiệm là x = 2.
Dùng lược đồ Hooc - ne ta có:
8 16 −8 −91 −42
2 8 32 56 21 0
Phương trình ⇔ (x − 2) (8x
3
+ 32x
2
+ 56x + 21) = 0.
Tiếp tục ta nhẩm được 1 nghiệm là x = −
1
2
. Theo lược đồ Hooc - ne ta có:
8 32 56 21
−
1
2
8 28 42 0
Phương trình ⇔ (x − 2)


x +
1
2

(8x
2
+ 28x + 42) = 0
⇔




x = 2
x = −
1
2
8x
2
+ 28x + 42 = 0

Vô nghiệm

Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 18 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.5. Phương trình bậc 4 Chương 1. Phương trình đại số
b) Phương trình ⇔ (x
2
− 2x)

2
− 4
2
= 0 ⇔ (x
2
− 2x − 4) (x
2
− 2x + 4) = 0
⇔

x
2
− 2x − 4 = 0
x
2
− 2x + 4 = 0

Vô nghiệm

⇔ x = 1 ±
√
5
c) Phương trình ⇔ x
4
+ 2x
2
+ 1 − 2 (x
2
+ 2x + 1) = 0
⇔ (x

2
+ 1)
2
−

√
2 (x + 1)

2
= 0
⇔

x
2
+ 1 −
√
2 (x + 1)

x
2
+ 1 +
√
2 (x + 1)

= 0
⇔

x
2
−

√
2x + 1 −
√
2

x
2
+
√
2x + 1 +
√
2

= 0
⇔

x
2
−
√
2x + 1 −
√
2 = 0
x
2
+
√
2x + 1 +
√
2 = 0


Vô nghiệm

⇔ x =
√
2 ±

−2 + 4
√
2
2
.
Ví dụ 1.14: Giải các phương trình sau:
a) x
4
+ 4x
3
− x
2
+ 8x + 4 = 0.
b) 2x
4
− 3x
3
− 3x
2
+ 3x + 2 = 0.
Giải: a) Với x = 0, phương trình trở thành 2 = 0 (vô lý). Vậy x = 0.
Chia cả 2 vế phương trình cho x
2

ta được
x
2
+ 4x − 1 +
8
x
+
4
x
2
= 0 ⇔

x
2
+
4
x
2

+ 4

x +
2
x

− 1 = 0
Đặt t = x +
2
x
⇒ t

2
= x
2
+
4
x
2
+ 4
Phương trình trở thành : t
2
− 4 + 4t −1 = 0
⇔ t
2
+ 4t − 5 = 0 ⇔

t = 1
t = −5
+) Với t = 1: x +
2
x
= 1 ⇔ x
2
− x + 2 = 0

vô nghiệm

+) Với t = −5: x +
2
x
= −5 ⇔ x

2
+ 5x + 2 = 0 ⇔ x =
−5 ±
√
17
2
b) x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho
x
2
= 0 ta được
2x
2
− 3x − 3 +
3
x
+
2
x
2
= 0 ⇔ 2

x
2
+
1
x
2

− 3


x −
1
x

− 3 = 0
Đặt t = x −
1
x
⇒ t
2
= x
2
+
1
x
2
− 2, thay vào phương trình ta có:
2 (t
2
+ 2) − 3t −3 = 0 ⇔ 2t
2
− 3t + 1 = 0 ⇔


t = 1
t =
1
2
+) Với t = 1: x −
1

x
= 1 ⇔ x
2
− x − 1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5
2
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 19 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
+) Với t =
1
2
: x −
1
x
=
1
2
⇔ 2x
2
− x − 2 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
17
4
.
Ví dụ 1.15: Giải phương trình sau : x (x + 1) (x −3) (x −2) = −2

Giải: Phương trình ⇔ (x
2
− 2x) (x
2
− 2x − 3) = −2
Đặt t = x
2
− 2x. Phương trình trở thành:
t (t − 3) = −2 ⇔ t
2
− 3t + 2 = 0 ⇔

t = 1
t = 2
+) Với t = 1: x
2
− 2x = 1 ⇔ x
2
− 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
2.
+) Với t = 2: x
2
− 2x = 2 ⇔ x
2
− 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
3.
Ví dụ 1.16: Giải phương trình ( x − 2) (x + 3) (x − 1) (x + 6) = 21x
2

Giải: Phương trình ⇔ (x
2
+ x − 6) (x
2
+ 5x − 6) = 21x
2
Do x = 0 không là nghiệm
của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x
2
= 0 ta được:

x + 1 −
6
x

x + 5 −
6
x

= 21
Đặt t = x −
6
x
thay vào phương trình ta có:
(t + 1) (t + 5) = 21 ⇔ t
2
+ 6t + 5 = 21
⇔ t
2
+ 6t − 16 = 0 ⇔


t = −8
t = 2
+) Với t = −8: x −
6
x
= −8 ⇔ x
2
+ 8x − 6 = 0 ⇔ x = −4 ±
√
22
+) Với t = 2: x −
6
x
= 2 ⇔ x
2
− 2x − 6 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
7
1.6 Dấu của đa thức
1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2
❶ Dạng: P (x) = ax + b (a = 0). Ta có bảng xét dấu:
x
−∞
−
b
a
+∞
P (x)
−sign(a)

0
+sign(a)
Ở đó sign(a) là dấu của a.
❷ Dạng P (x) = ax
2
+ bx + c (a = 0).
∆ = b
2
− 4ac. Ta có các trường hợp sau:
+) ∆ < 0: Dấu của đa thức là:
x
−∞ +∞
P (x) +sign( a)
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 20 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
+) ∆ = 0: Dấu của đa thức là:
x
−∞
−
b
2a
+∞
P (x)
+sign(a)
0
+sign(a)
+) ∆ > 0: P (x) có 2 nghiệm phân biệt x
1

, x
2
. Dấu của đa thức là :
x
−∞
x
1
x
2
+∞
P (x)
+sign(a)
0
−sign(a)
0
+sign(a)
☛ Chú ý: Nếu P (x) là một đa thức bậc 2 ta luôn có:
➤ P (x) > 0 ∀x ∈ R ⇔

∆ < 0
a > 0
➤ P (x) < 0 ∀x ∈ R ⇔

∆ < 0
a < 0
➤ P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔

∆ ≤ 0
a > 0
Ví dụ 1.17: Xét dấu của các biểu thức sau:

a) P (x) = −2x + 3
b) P (x) = −x
2
+ 4x − 5
c) P (x) = 4x
2
− 12x + 9
d) P (x) = x
2
− x − 6
e) P (x) = −2x
2
+ 3x + 2
Giải: a) P (x) = 0 ⇔ x =
3
2
, a = −2 < 0. Do đó dấu của P (x ) là:
x
−∞
3
2
+∞
P (x)
+
0
−
b) ∆ = −4 < 0, a = −1 < 0, ta có dấu của P (x) là:
x
−∞ +∞
P (x)

+
c) ∆ = 0, a = 4 > 0 và dấu của P (x) là:
x
−∞
3
2
+∞
P (x)
+
0
+
d) ∆ > 0, x
1
= 3, x
2
= −2, a = 1 > 0. Do đó dấu của P (x) là:
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 21 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
x
−∞
−2
3
+∞
P (x)
+
0
−
0

+
e) ∆ > 0, x
1
= −
1
2
, x
2
= 2, a = −2 < 0. Do đó dấu của P (x) là:
x
−∞ −
1
2
2
+∞
P (x)
−
0
+
0
−
☞ Chú ý: Trong một bài toán thông thường không ai lại hỏi trực tiếp dấu của một
đa thức mà thường hỏi các câu hỏi về giải bất phương trình. Chúng ta cần xét dấu
của các đa thức tương ứng từ đó tìm thấy được tập nghiệm của bất phương trình.
Chẳng hạn:
✍ −2x + 3 > 0 thì tập nghiệm S =

−∞;
3
2


.
✍ −2x + 3 ≤ 0 thì tập nghiệm S =

3
2
; +∞

✍ −x
2
+ 4x − 5 > 0 thì S = ∅
✍ −x
2
+ 4x − 5 ≥ 0 thì S = ∅
✍ −x
2
+ 4x − 5 < 0 thì S = R
✍ −x
2
+ 4x − 5 ≤ 0 thì S = R
✍ 4x
2
− 12x + 9 > 0 thì S = R\

3
2

.
✍ 4x
2

− 12x + 9 ≥ 0 thì S = R
✍ 4x
2
− 12x + 9 < 0 thì S = ∅
✍ 4x
2
− 12x + 9 ≤ 0 thì S =

3
2

✍ x
2
− x − 6 > 0 thì S = (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
✍ x
2
− x − 6 ≥ 0 thì S = (−∞; −2] ∪ [3; +∞)
✍ x
2
− x − 6 < 0 thì S = (−2; 3)
✍ x
2
− x − 6 ≤ 0 thì S = [−2; 3]
✍ −2x
2
+ 3x + 2 > 0 thì S =

−
1
2

; 2

Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 22 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
✍ −2x
2
+ 3x + 2 ≥ 0 thì S =

−
1
2
; 2

✍ −2x
2
+ 3x + 2 < 0 thì S =

−∞; −
1
2

∪ (2; +∞)
✍ −2x
2
+ 3x + 2 ≤ 0 thì S =

−∞; −
1

2

∪ [2; +∞)
Ví dụ 1.18: Cho tam thức bậc 2: P (x) = (3m − 1)x
2
− 2(m + 1)x + 2
a) Tìm m để P (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
b) Tìm m để f(x) =

P (x) xác định trên R.
c) Tìm m để f(x) = l n P(x) xác định trên R.
Giải: a) Ta có ∆
′
= (m + 1)
2
− 2(3m − 1) = m
2
− 4m + 3.
Để phương trình P (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔

∆
′
> 0
a = 0
⇔


m
2
− 4m + 3 > 0
3m − 1 = 0
⇔








m > 3
m < 1
m =
1
3
⇔




m > 3



m < 1
m =

1
3
b) f(x) =

P (x) xác định trên R ⇔ P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R.
+) Nếu 3m − 1 = 0 ⇔ m =
1
3
khi đó:
P (x) = −
8
3
x + 2, rõ ràng P (3) = −6 < 0 nên P (x) ≥ 0 không đúng với mọi x ∈ R.
+) Nếu 3m − 1 = 0. Khi đó P (x) là một đa thức bậc 2 do đó:
P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔

∆
′
≤ 0
a > 0
⇔

m
2
− 4m + 3 ≤ 0
3m − 1 > 0
⇔




1 ≤ m ≤ 3
m >
1
3
⇔ 1 ≤ m ≤ 3
Kết luận: 1 ≤ m ≤ 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.
c) f(x) = ln P (x) xác định trên R ⇔ P (x) > 0 ∀x ∈ R
+) Nếu 3m − 1 = 0 ⇔ m =
1
3
khi đó:
P (x) = −
8
3
x + 2, rõ ràng P (3) = −6 < 0 nên P (x) > 0 không đúng với mọi x ∈ R.
+)Nếu 3m −1 = 0. Khi đó P (x) là một đa thức bậc 2 do đó:
P (x) > 0 ∀x ∈ R ⇔

∆
′
> 0
a > 0
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 23 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
⇔

m
2

− 4m + 3 > 0
3m − 1 > 0
⇔



1 < m < 3
m >
1
3
⇔ 1 < m < 3
Kết luận: 1 < m < 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát
☞ Đa thức bậc n: P (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ··· + a
1
x + a
0
.
☞ Phân thức hữu tỷ: f(x) =
P (x)
Q(x)
. Trong đó P (x), Q(x) là các đa thức.

Định lý 1.1 (Định lý cơ bản Đại số). Cho P (x) là một đa thức bất kỳ thì P (x) sẽ phân
tích thành tích các đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2. Hơn thế nữa các đa thức bậc đều
có ∆ < 0
Định lý 1.2. Cho f(x) =
P (x)
Q(x)
là một phân thức hữu tỷ nào đó. Khi đó trên khoảng
giữa 2 không điểm liên tiếp c ủa f(x), hàm f(x) chỉ mang một dấu.
Không điểm là những giá trị của x mà P(x) = 0, hoặc Q(x) = 0.
Định lý 1.3. Cho f(x) =
P (x)
Q(x)
, khi biến x chạy qua không điểm bội chẵn thì f (x) không
đổi dấu, còn qua không điểm bội lẻ thì f(x) đổi dấu
x
0
là không điểm bội chẵn (t.ư lẻ) của f(x) nếu nó là một không điểm của f( x) và f(x)
chứa nhân tử (x − x
0
)
k
với k ∈ Z và k là số chẵn (t.ư lẻ).
☞ Cách xét dấu phân thức hữu tỷ: Để xét dấu của một phân thức hữu tỷ ta
phân tích các đa thức của tử và mẫu thành tích các đa thức bậc 1, và bậc 2. Các
đa thức bậc 2 nếu có ∆ ≥ 0 ta phân tích chúng thành tích các đa thức bậc 1, còn
nếu ∆ < 0 ta thay thế đa thức đó bởi hệ số của hạng tử bậc 2. Cuối cùng ta được
phân thức chỉ còn tích các đa thức bậc 1. Dùng các định lý ở trên để xét dấu.
Ví dụ 1.19: Xét dấu của biểu thức sau:
a) f(x) =
(x + 1)

2
.(x − 2)
3
. (2x − 1)
(x
2
+ 2x + 2)
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−x
2
+ 4x − 5)
3
b) f(x) =
√
x
2
− 4x + 3. (2x
2
− 5x + 2)
Giải: a) Giải các phương trình:
+) x + 1 = 0 ⇔ x = −1.
+) x −2 = 0 ⇔ x = 2.
+) 2x −1 = 0 ⇔ x =
1
2
+) x
2
+ 2x + 2 = 0, ∆ < 0, a = 1.

+) 2x + 1 = 0 ⇔ x = −
1
2
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 24 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com
Th.s Đỗ Minh Tuân
1.6. Dấu của đa thức Chương 1. Phương trình đại số
+) 1 −4x = 0 ⇔ x =
1
4
+) −x
2
+ 4x − 5 = 0, ∆ < 0, a = −1.
Do đó dấu của f(x) là dấu của g(x) với:
g(x) =
(x + 1)
2
(x − 2)
3
(2x − 1)
1
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−1)
3
= −
(x + 1)
2
(x − 2)

3
(2x − 1)
(2x + 1)
5
(1 − 4x)
Các không điểm x = −1; 2;
1
2
; −
1
2
;
1
4
. Ta có bảng dấu:
x
−∞
−1
−
1
2
1
4
1
2
2
+∞
g(x)
+
0

+ − +
0
−
0
+
f(x)
+
0
+ − +
0
−
0
+
b) TXĐ: x
2
− 4x + 3 ≥ 0 ⇔

x ≥ 3
x ≤ 1
Ta có bảng xét dấu:
x
−∞
1
2
1 2 3
+∞

x
2
− 4x + 3

+ +
0
0
+
2x
2
− 5x + 2
+
0
− −
0
+ +
f(x)
+
0
−
0
0
+
Dùng kết quả của ví dụ trên ta có thể giải được các bất phương trình:
+)
(x + 1)
2
.(x − 2)
3
. (2x − 1)
(x
2
+ 2x + 2)
7

(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−x
2
+ 4x − 5)
3
≥ 0
có tập nghiệm là: S =

−∞; −
1
2

∪

1
4
;
1
2

∪ [2; +∞)
+)
(x + 1)
2
.(x − 2)
3
. (2x − 1)
(x
2

+ 2x + 2)
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−x
2
+ 4x − 5)
3
> 0
có tập nghiệm là: S = (−∞; −1) ∪

−1; −
1
2

∪

1
4
;
1
2

∪ (2; +∞)
+)
(x + 1)
2
.(x − 2)
3
. (2x − 1)

(x
2
+ 2x + 2)
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−x
2
+ 4x − 5)
3
≤ 0
có tập nghiệm là: S =

−
1
2
;
1
4

∪

1
2
; 2

∪ {−1}
+)
(x + 1)
2

.(x − 2)
3
. (2x − 1)
(x
2
+ 2x + 2)
7
(2x + 1)
5
(1 − 4x) (−x
2
+ 4x − 5)
3
< 0
có tập nghiệm là: S =

−
1
2
;
1
4

∪

1
2
; 2

+)

√
x
2
− 4x + 3. (2x
2
− 5x + 2) ≥ 0 có tập nghiệm S =

−∞;
1
2

∪ [3; +∞) ∪ {1}
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 25 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
www.VNMATH.com