Skkn kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi toán lớp 8

1 MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
“Hiền tài là ngun khí quốc gia, ngun khí thịnh thì thế nước mạnh mà
hưng thịnh, ngun khí yếu thì thế nước yếu mà thấp hèn….”. Câu nói bất hủ
của Tiến sĩ triều Lê, Thân Nhân Trung đã cho thấy từ đời xa xưa các thế hệ ông
cha đã rất coi trọng nhân tài và coi những nhân tài là tương lai của đất nước.
Hiện nay, đất nước ta đang bước vào giai đoạn cơng nghiệp hóa, với mục
tiêu đến năm 2020 Việt Nam cơ bản trở thành nước công nghiệp, hội nhập quốc
tế thì vai trị của nhân tài càng chiếm vị trí đặc biệt quan trọng. Việc phát hiện,
bồi dưỡng nhân tài cho tương lai của đất nước luôn được ngành Giáo dục quan
tâm và thực hiện thông qua các kỳ thi, trong đó có kỳ thi chọn học sinh giỏi. Vì
vậy song song với nâng cao chất lượng đại trà, thì cơng tác bồi dưỡng học sinh
giỏi là một nhiệm vụ quan trọng trong mỗi nhà trường.
Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, mơn
Tốn đóng vai trị hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát
triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hồn cảnh, phù hợp với xu
thế phát triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt mơn Tốn sẽ giúp học sinh học
tốt các mơn học khác. Vì vậy mơn Tốn là một trong những môn luôn được
ngành Giáo dục chọn để tổ chức thi học sinh giỏi các cấp.
Đối với các dạng Tốn thi học sinh giỏi cấp THCS thì “giải phương trình
nghiệm nguyên” là một mảng kiến thức lớn, có nội dung phong phú, đa dạng và
hấp dẫn. Khi tiếp xúc với loại tốn này học sinh vẫn cịn tỏ ra lúng túng, khó
khăn trong việc định hướng tìm cách giải, cách trình bày, bởi vì phương trình
nghiệm nguyên thường khơng có quy tắc giải tổng qt. Mỗi bài tốn với những
điều kiện đã cho của nó địi hỏi phải có phương pháp giải thích hợp. Vì vậy, để
giải các bài tốn về phương trình nghiệm ngun thì u cầu người giải phải có
kiến thức cơ bản chắc chắn và tư duy linh hoạt, mềm dẻo.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn lớp 8 và được nhà trường
phân cơng bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp 8, tơi ln trăn trở suy nghĩ tìm tịi,
nghiên cứu các chuyên đề nâng cao. Trong đó chuyên đề “Phương trình nghiệm

1

skkn


nguyên” đã được tôi áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 đạt kết quả ở các
kỳ thi của những năm trước.
Vì những lý do trên, năm học này tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh
nghiệm để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp về đề tài "Kinh nghiệm dạy
chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi tốn lớp 8"
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn giúp các em học sinh giỏi
lớp 8 nắm vững các phương pháp giải phương trình nghiệm ngun, cơng thức
nghiệm. Các em biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập, nắm được hệ thống các
dạng bài tập. Từ đó giúp các em giải quyết được các bài thi trong các kì thi học
sinh giỏi, ngồi ra cịn khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của
mỗi học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trong toàn quốc
và cả đề thi đại học ta thường xuyên bắt gặp các bài toán giải phương trình
nghiệm nguyên từ dạng đơn giản đến các bài khó. Tuy nhiên, trong khn khổ
của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu các phương pháp
giả phương trình nghiệm nguyên trong chương trình đại số 8. Từ đó giúp các em
đội tuyển học sinh giỏi tốn 8 có thể sử dụng tài liệu này một cách hiệu quả.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu các tài liệu về đổi mới
phương pháp dạy học, các loại sách tham khảo, sách chuẩn kiến thức kỹ năng.
- Phương pháp thảo luận: Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên có cùng
chun mơn.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trong q trình giảng dạy, tơi ln tìm

hiểu các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, đề thi vào lớp 10 THPT của
nhiều tỉnh thành trong cả nước, các đề thi vào các trường chuyên để có được hệ
thống bài tập. Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này cho học sinh tơi ln tự
rút kinh nghiệm để hồn thiện hơn trong năm tiếp theo.
2

skkn


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong giai đoạn đổi mới của đất nước, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh hơn
nữa công tác giáo dục, và coi đây là một trong những yếu tố đầu tiên, yếu tố
quan trọng góp phần phát triển kinh tế - xã hội. Mục tiêu của giáo dục là: “Nâng
cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài”.
Bồi dưỡng nhân tài cho đất nước là một trong những nhiệm vụ của
nghành giáo dục, xem trọng “hiền tài là nguyên khí của quốc gia” công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi ở các trường THCS đã và đang được tổ chức thực hiện
trong nhiều năm qua.
“ Phương trình nghiệm ngun” cịn được gọi là phương trình Diophantus
(mang tên nhà tốn học cổ đại Hy Lạp vào thế kỉ thức II) là một dạng phương
trình có nhiều ẩn số với tất cả các hệ số đều là số nguyên mà ta phải đi tìm
nghiệm nguyên của nó. Nhiều nhà tốn học đã mong muốn tìm ra công thức giải
tổng quát, song cũng chỉ nêu được cách giải một số dạng. Cách giải phương
trình nghiệm nguyên rất đa dạng, hấp dẫn và đòi hỏi học sinh khả năng phân
tích, đối chiếu, dự đốn và phương pháp tư duy logic để lựa chon nghiệm thích
hợp. Do vậy các bài tốn về phương trình nghiệm ngun thường thấy trong các
đề thi chọn học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trên toàn quốc.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Như chúng ta đã biết, trong cơng tác dạy học ngồi việc quan tâm đến chất

lượng học sinh đại trà, thì cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi cũng là một nhiệm
vụ quan trọng của mỗi nhà trường, trong đó kết quả của các kì thi học sinh giỏi
đóng một phần hết sức quan trọng. Muốn nâng cao chất lượng và chiều sâu cho
học sinh giỏi thì giáo viên phải phân loại được các chun đề và dạng tốn cho
từng chun đề đó.
Khi dạy chuyên đề về phương trình nghiệm nguyên. Để đánh giá được
khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương án tối ưu truyền đạt
tới học sinh, tơi đã ra một đề tốn cho 10 em học sinh trong đội tuyển của
trường như sau:
3

skkn


Bài 1: ( 4đ )
a) Tìm x, y nguyên biết x – y + 2xy = 6
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x – 7y = 3

Bài 2: (2đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
1 + x + x 2 + x3 = 2y
Bài 3: (3đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
+

+

= 1 (x,y  0)

Bài 4: (3đ) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình
y2 – 2x2 = 3
Kết quả thu được như sau:

Tổng
số
10

Dưới điểm 5

Điểm 5 - 7

Điểm 7 - 8

Điểm 9 - 10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

5

50

4

40

1

10

0

0

Từ kết quả trên, tôi nhận thấy rằng đa số các em chưa định hướng được
cách giải phương trình nghiệm nguyên, lời giải thường dài dịng, khơng chính
xác, đơi khi cịn ngộ nhận.
2.3 Các giải pháp:
Từ những thực trạng nêu trên, tôi nghĩ rằng mình phải làm thế nào để kiến
thức mình truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp học sinh
dễ hiểu, dễ nhớ, đã nhớ thì khó quên. Từ đó các em có được định hướng cách
giải, cách lập luận, cũng như cách trình bày tốt nhất. Năm học 2017 – 2018 tôi
đã áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả. Năm học này tôi tiếp tục lựa
chọn các giải pháp sau để bồi dưỡng chuyên đề nghiệm nguyên cho các em.
Một là: Phân dạng và hướng dẫn học sinh theo từng dạng toán.
Hai là: Xây dựng hệ thống bài tập để rèn luyện kĩ năng.
Ba là: Tổ chức cho học sinh được trao đổi, thảo luận, tự nhận xét, đánh giá.
1) Phân dạng và hướng dẫn học sinh theo từng dạng toán:
Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn học sinh giải bài tập, tơi đã phân
loại từng loại tốn, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến

4

skkn


thức có liên quan từng loại bài. Đối với chuyên đề giải phương trình nghiệm
ngun tơi phân ra các dạng toán sau:
- Dạng 1: Phương pháp tách phần nguyên
- Dạng 2 : Phương pháp phân tích thành nhân tử và sử dụng ước số.
- Dạng 3: Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ
- Dạng 4: Phương pháp đánh giá
- Dạng 5: Phương pháp khử ẩn
DẠNG 1: Phương pháp tách phần nguyên:
Khi hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm nguyên thì việc đầu
tiên là giúp học sinh hiểu và áp dụng kiến thức để giải các bài tập đơn giản nhất
là giải phương trình với hai ẩn x, y đều bậc nhất. Với tôi khi giảng dạy, bao giờ
cũng bắt đầu từ những bài tập đơn giản và tăng dần độ khó. Ta bắt đầu từ một ví
dụ sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 12x – 7y =45
Hướng dẫn giải:
Vì 12x 3 và 45 3 nên 7y 3 suy ra y 3, vì (7, 3) =1.
Giả sử y=3k, với k Z, ta có 12x – 7.3k =45

Để x Z thì

4x – 7k =15

, hay k+1= 4n, với

Suy ra k = 4n -1. Từ đó, ta có :

x = 2(4n-1) +4 –n = 2+7n và y = 3(4n-1) = -3+12n.
Vậy phương trình có vơ số nghiệm ngun (x, y) xác định bởi cơng thức
(n

)

Sau khi nêu ví dụ và hướng dẫn cách giải, tôi yêu cầu học sinh nêu được
dạng tổng quát và tìm nghiệm của dạng phương trình này. Các em có được nhận
xét sau.
* Nhận xét: Dạng tổng quát của phương trình (1) là ax+by=c (*) ( trong đó a, b,
c

). Ta có các bước giải sau:

Bước 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y)
5

skkn


Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y
Bước 3: Thay y vào x sẽ tìm được nghiệm nguyên.
Tiếp đến, vẫn là phương pháp tách phần nguyên ta sẽ xét các phương
trình nghiệm ngun hai ẩn số, nhưng chỉ có một ẩn bậc nhất, ẩn còn lại là bậc
hai trở lên. Ta tiếp tục với ví dụ sau:
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên
y(x-1) = x2 + 2.

(2)

( Đề thi vào 10 chuyên, ĐH KHTN – ĐHQG HN, năm 2000)
Hướng dẫn giải:
Nhận thấy x= 1 khơng thỏa mãn phương trình.
Với x 1, phương trình (2)

Để

thì

Ư(3). Ta có bảng sau

x-1

-3

-1

1

3

x

-2

0

2

4

y

-2

2

6

6

Cũng tương tự như ví dụ 1, tơi cho các em thấy rằng việc rút ẩn này thông
qua ẩn kia là rất quan trong, sau khi được hướng dẫn tôi thấy các em đã tìm
được cho mình nhận xét sau:
* Nhận xét: Đối với phương trình có một ẩn bậc nhất (ẩn y), ẩn còn lại từ bậc
hai trở lên (ẩn x), ta có thể giải bằng cách rút ẩn y theo ẩn x sau đó thực hiện
phép chia đa thức và đưa về dạng

(trong đó f(x) và g(x) là những

đa thức với hệ số nguyên, a là số nguyên) . Ta tìm x sao cho g(x) là ước của a.
DẠNG 2: Phân tích thành nhân tử và sử dụng ước số:
Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn
tốn 8 trong cả nước. Vì vậy khi dạy đến dạng này tôi giúp các em thấy rằng
việc phân tích một vế của phương trình thành nhân tử là vô cùng quan trọng. Tôi
6

skkn

cũng bắt đầu dạng tốn với ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm ngun
3xy - 5x - 2y = 3

(3)

Hướng dẫn giải:
Ta có (3)

Suy ra 3x – 2 ; 3y – 5 là ước của 19.
Ta có bảng sau :
3x-2

-19

-1

1

19

3y-5

-1

-19

19

1

x

1

7

y

8

2

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm ngun là (1;8) và (7; 2).
Sau khi nêu ví dụ và hướng dẫn cách giải, tôi yêu cầu học sinh nêu được
dạng tổng quát và tìm nghiệm của dạng phương trình này. Các em có được nhận
xét sau.
* Nhận xét: Dạng tổng quát của phương trình (3) là axy+by+cy = d (*) ( trong
đó a, b, c

) (**)

Cách giải phương trình (**)
x(ay+b) +cy =d

ax(ay+ b) + cay = da

ax(ay+b) + c (ay+ b) = da+cb
(ax+c)(ay+b) = ad+ cb.
Suy ra ax+ c; ay+b là ước của ad+bc

Tiếp đến tôi cho học sinh thực hiện ví dụ sau:
Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên
x2 - 10xy – 11y2 = 13

(4)
7

skkn


Hướng dẫn giải:
Ta có (4)

Suy ra x + y, x – 11y là ước của 13.
Ta có bảng sau:
x+y

- 13

-1

1

13

x - 11y

-1

-13

13

1

X

- 12

-2

2

12

Y

-1

1

-1

1

Vậy phương trình (4) có bốn nghiệm ngun là:
(-12; -1) ; (-2;1) ; (2;-1) và (12; 1)
Thông qua ví dụ 4 tơi cho các em rút ra được rằng dạng tổng quát của phương
trình (4) là ax2 + (a + b)xy + by2 = c (*) (trong đó a, b, c

)

Phương trình (*) có thể giải bằng cách:
ax2 + (a+b)xy + by2 = c
Suy ra x + y; ax + by là ước của c……
Tôi lưu ý với các em rằng trong quá trình giải phương trình nghiệm nguyên
ta thường phải sử dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành
nhân tử để đưa phương trình về dạng f1 .f2….= k trong đó f1; f2…..là những đa
thức với hệ số nguyên, k là số nguyên. Sau đó ta sử dụng tính chất chia hết, ước
số để tìm nghiệm của phương trình đã cho.
Vì vậy trong q trình giảng dạy tơi đã định hướng, giúp đỡ các em có
được kĩ năng để biến đổi linh hoạt. Và để học sinh hiểu sau hơn tôi tiếp tục với
ví dụ sau:
Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm ngun
3x2 - y2- 2xy – 2x – 2y + 40 = 0

(5)

(Đề thi HSG lớp 8 huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa, năm học 2017-2018)
8

skkn


Hướng dẫn giải:
3x2 - y2- 2xy – 2x – 2y + 40 = 0

Ta có :

Đặt: a = x – y -1 và b = 3x+y+1. Suy ra a và b là các ước của 41, có tích bằng

41. Nhận thấy 41 là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:
a

- 41

-1

1

41

b

-1

- 41

41

1

x = (a – b)/4

- 10

10

- 10

10

y = (a + 3b - 4)/4

- 12

- 32

30

10

Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là : (-10; -12) ; (10; -32) ; ( -10; 30) ;
(10;10)
Sau đó, tơi tăng mức độ khó của dạng tốn bằng hai ví dụ :
Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên
y2 = x2 + x + 1

(6)

(Đề thi chọn GVG , huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa, năm học 2017-2018)
Hướng dẫn giải:
Ta có :

y2 = x 2 + x + 1

Suy ra ( 2y – 2x -1) và ( 2y+ 2x +1) là các ước của 3, có tích bằng 3. Nhận thấy
3 là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:
2y – 2x -1

3

1

-1

-3

2y + 2x +1

1

3

-3

-1

x

-1

0

-1

0
9

skkn

y

1

1

-1

-1

Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là : (-1; 1) ; (0; 1) ; ( -1; -1) ; (0; - 1)
Ví dụ 7: Tìm nghiệm ngun của phương trình:
(Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017-2018)
Hướng dẫn giải

Nhận thấy x - 1 + y - 2 = x + y – 3 . Do đó cần phân tích 56 thành thành tích của
3 số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại. Như vậy ta có các trường hợp
sau:

Vậy các cặp sớ nguyên (x; y) cần tìm là : (2; 9) ; (8; 3) ; ( -7; 3) ; (2; - -6); (-7;9);
(8;-6)
Đối với ví dụ 6, tơi cho học sinh nhận ra được, để phân tích vế trái thành
tích của những đa thức có hệ số nguyên, ta phải nhân cả hai vế với một hệ số
thích hợp. Cịn ở ví dụ 7, vế trái của phương trình khơng chỉ biến đổi thành tích
của hai thừa số như các ví dụ trên mà thành ba thừa số, đồng thời phải quan sát
và thấy được sự đặc biệt của các thừa số đó.
10

skkn

DẠNG 3: Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ.
Như đã nói ở trên, giải phương trình nghiệm ngun là một chun đề rất
phong phú, địi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát, phân tích và tổng hợp.
Đối với nhiều bài toán ta phải quan sát đến những yếu tố đặc biệt của các ẩn.
Một trong những yếu tố đặc biệt đó là yếu tố chẵn, lẻ. Để học sinh hiểu rõ hơn
về dạng này, tôi đưa ra và phân tích hai ví dụ sau:
Ví dụ 8: Giải phương trình nghiệm nguyên x2 – 2y2 = 5.
Hướng dẫn giải
Ta có : x2 – 2y2 = 5
Suy ra x là số lẻ (do 2y2 là số chẵn, 5 là số lẻ )
Giả sử x = 2k + 1, k Z thì
suy ra y2 là số chẵn, nên y là số chẵn
Giả sử y=2n, n Z thì
Vì vế trái là số chẵn với mọi số nguyên k, còn vế trái lại là số lẻ với mọi số
ngun n, nên khơng có số k, n nào thỏa mãn.
Vậy phương trình (7) khơng có nghiệm ngun.
xy+1 = z

Ví dụ 9: Tìm nghiệm ngun tố của phương trình
Hướng dẫn giải
Vì

nên

do đó z là số nguyên tố lẻ

là số chẵn suy ra x là số chẵn, nên x = 2 (vì x là số nguyên tố).
Khi đó

Nếu y là số lẻ thì

hay

suy là z là hợp số (loại)

Nếu y là số chẵn thì y = 2 và do đó

(thỏa mãn)

Vậy phương trình (8) có một nghiệm nguyên tố duy nhât là (2 ; 2 ; 5)
DẠNG 4: Phương pháp đánh giá
Ví dụ 10: Tìm nghiệm ngun dương của phương trình
+

+

+

=1
Hướng dẫn giải

Giả sử 1 x  y  z  x2  xy  xz  yz  xyz
11

skkn


Suy ra

Nếu x = 1
z + 1 + y + 9 = yz
yz – z – y + 1 = 11
(y- 1) (z - 1) = 11

 y = 2 ; z = 12 hoặc z =2 ; y = 12
Nếu x = 2
(2y - 1) (2z - 1) = 23  y = 1; z = 12 hoặc y = 12; z = 1
Nếu x = 3  (3y – 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm
Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) và các hoán vị
Qua ví dụ này tơi nhấn mạnh cho học sinh rằng nếu ta gặp phương trình mà
trong đó các ẩn bình đẳng với nhau. Khi đó ta giả sử rằng các ẩn xảy ra theo một
trật tự tăng dần hoặc giảm dần rồi mới tiến hành cách giải.
DẠNG 5: Phương pháp khử ẩn
Ở một số phương trình, ta sử dụng tính chất lũy thừa cùng bậc của các số
nguyên liên tiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếp để đưa phương trình nghiệm
ngun cần giải về dạng phương trình khác ít ẩn hơn và quen thuộc hơn. Từ đó,
dễ dàng tìm được nghiệm ngun của phương trình đã cho. Khi đó tơi đưa cho
học sinh lưu ý sau:
+ Nếu

thì

( với i = 1, 2, 3,.....,a-1)

+ Nếu

thì
(với i = 1, 2,...,a-1)

Và để giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp này, tơi đưa ra ví dụ sau:
Ví dụ 11: Giải phương trình nghiệm nguyên
Hướng dẫn giải
12

skkn


Ta nhận thấy

với mọi x nên
(1)

Ta lại có :
=

nên
(2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra
do đó

tức là:

suy ra x = 0 hoặc x = -1
Với x = 0 thì y = -1; với x = -1 thì y = 0
Vậy phương trình có các nghiệm ngun (x,y) là: (-1; 0) ; (0; 1).
Tiếp đến tôi cho học sinh thực hiện thêm ví dụ sau:
Ví dụ 12: Giải phương trình nghiệm ngun
Hướng dẫn giải

Ta có:
Suy ra

Ta chứng minh cho

. Với

Thật vậy:
(1)
(2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra
do đó

tức là:

suy ra x = 1 hoặc x = -2
13

skkn


Với x = 1 thì y = 3 hoặc y = -3; với x = -2 thì thì y = 3 hoặc y = -3
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x,y) là: (1; 3); (1; -3); (-2 ;3); (-2 ;-3).
2) Xây dựng hệ thống bài tập để rèn luyện kĩ năng
Sau khi học sinh đã biết các phương pháp giải cho từng dạng tốn, tơi
tiếp tục xây dựng một hệ thống bài tập, trước hết là tôi phân các bài tập theo
từng dạng như đã thực hiện ở trên nhằm mục đích rèn kỹ năng giải tốn cho các
em.
BÀI TẬP CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LẦN 1
Dạng 1: Phương pháp tách phần nguyên:

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a) 5x + 7y = 112

b) 6x – 15 y = 25

c) 2x + 5y = 7

d) x2 – (y+2)x + 3 - y = 0

e) x 3 + 3x = x2 y + 2y +5
( Đề thi HSG lớp 8 huyện Hoằng Hóa, Thanh Hóa, năm học 2015-2016)
f)
( Đề thi HSG lớp 8 huyện Cẩm Thủy, Thanh Hóa, năm học 2013-2014)
g)
( Đề thi HSG lớp 8 thành phố Bắc Giang năm học 2017-2018)
Dạng 2: Phân tích thành nhân tử và sử dụng ước số:
Bài 1 Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a) xy – 4 = 2x +3y
b) 5xy +x+2y = 7
c)
( Đề thi HSG lớp 8 thành phố Quảng Ngãi năm học 2012-2013)
d)
( Đề thi HSG lớp 8 huyện Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc năm học 2011-2012)
Bài 2: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
4( x+ y) = 3xy - 8
Bài 3: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a)

.

( Đề thi HSG lớp 8 huyện Nho Quan, Ninh Bình, năm học 2014-2015)
14

skkn


b)
( Đề thi HSG lớp 8 trường Trần Mai Ninh, Thanh Hóa năm học 2014-2015)
c)
( Đề thi HSG lớp 8 Tam Dương, Vĩnh Phúc năm học ( 2008-2009)
Dạng 3: phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ.
Bài 1: Tìm nghiệm ngun tố của phương trình
y2 – 2x2 = 1
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
(2x + 5y + 1)(
+ y + x2 + x) = 105
Dạng 4: Phương pháp đánh giá
Bài 1 : Tìm x, y, z nguyên của phương trình
+

+

=3

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau khơng có nghiệm tự nhiên
+

+

= 1 (x, y  0)

Dạng 5: Phương phỏp kh n.
Bi 1: : Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình
y2 + y = x4 + x3 + x2 + x
Bài 2: Tìm các số tự nhiên sao cho x4 + x3 +1 = y2
Bài 3: Tìm phương trình nghiệm nguyên x4 + x2+2 = y2 - y
Để giúp các em có được kỹ năng thành thạo trong việc giải phương trình
nghiệm ngun, tơi tiếp tục đưa ra các bài tập dưới dạng trộn lẫn các dạng với
nhau. Với mục đích để các em tự phân dạng, tự tìm cho mình phương pháp giải
phù hợp cho từng bài tốn, với hình thức giao bài tập về nhà để các em có thêm
những thơng tin, những phương pháp giải hay hơn, hấp dẫn.
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LẦN 2
Bài 1. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a) 5x – 7y = 3

b)

6x + 15y + 10 z = 3

c) x – y + 2xy = 6

d)

2x2 + y 2 –2xy + 2y – 6x + 5 = 0
15

skkn


e) (x –1) (y+1) = (x+ y)2

f)

g) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

+
h)

+

=3

y 2 + y = x 4 + x3

+ x2 + x
x2 – 4xy + 5y2 = 169

i) x2 + y2 – x – y = 8

k)

l) x2 + 4x – y2 = 1

n) xy – 2x – 3y+1 = 0

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên
a)
( Đề thi HSG lớp 8 Sơn Dương, Tuyên Quang năm học (2015-2016)
b)
( Đề thi HSG lớp 8 Việt Yên, Bắc Giang năm học (2012-2013)

c)
( Đề thi HSG lớp 8 Ý Yên, Nam Định năm học (2017-2018)
d)
( Đề thi HSG lớp 9 Tp Thanh Hóa, Thanh Hóa năm học (2016-2017)
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n2 + 4n + 2013 là số chính phương.
( Đề thi HSG lớp 8 TP Bắc Giang năm học (2012-2013)
3) Tổ chức cho học sinh được trao đổi, thảo luận, tự nhận xét, đánh giá.
Sau khi đã có được những kĩ năng cần thiết cho việc giải phương trình
nghiệm ngun, tơi dành một thời gian nhất định một đến hai buổi học cho học
sinh thảo luận những kiến thức đã được học. Tập hợp những ý kiến thắc mắc,
băn khoăn, vướng mắc để giải đáp bổ sung củng cố lại giúp các em có một
lượng kiến thức vững vàng hơn. Sau đó, tơi u cầu mỗi học sinh trong đội
tuyển tự ra cho mình những đề kiểm tra bám sát với những nội dung vừa học
(các em có thể sử dụng các kênh thơng tin, thay số, biến đổi...). Các em phải
vừa là những thí sinh, vừa là giám khảo để vừa làm, vừa chấm chữa bài cho
nhau và khai thác các bài toán để phát triển tư duy cũng như phương pháp học
thích hợp nhất.
2.4 . Kết quả đạt được sau thực nghiệm
Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy, tôi đã tiến hành kiểm tra 10 học
sinh trong đội tuyển mơn tốn để kiểm nghiệm quá trình nhận thức của học sinh
16

skkn


ở mảng kiến thức này bằng một đề tổng hợp trong thời gian làm bài là 30 phút
như sau:
Bài 1: (6 đ)
a) Tìm x, y nguyên biết 2x – 5y + 2xy = 6
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + xy – 2012x – 2013y -2014 = 0

c) Giải phương trình nghiệm nguyên

+

+

=3

Bài 2: (4 đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
a) x2 - 4xy +5y2 – 16 = 0
b) 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10
Kết quả thu được như sau
Tổng
số
10

Dưới điểm 5

Điểm 5 - 7

Điểm 7 - 8

Điểm 9 - 10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

1

10

2

20

3

30

4

40

Qua chấm bài tôi nhận thấy được rằng, từ một đơn vị kiến thức khơng có
trong sách giáo khoa, tơi đã giúp học sinh hệ thống được các dạng bài tập
thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi, củng cố được phương pháp giải mỗi
dạng bài tập. Các em thấy được những điều vơ cùng thú vị ẩn sau những bài

tốn mà các em được học. Đây chính là một trong những nội dung tạo được
hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư duy linh hoạt cho học sinh.
Từ đó thắp sáng niềm say mê học tập của học sinh.
Sau khi truyền đạt nội dung này tới học sinh, các học sinh tôi dạy đều ghi
nhớ kiến thức và phương pháp giải rất tốt. Mỗi khi gặp những bài tập dạng này
các em rất tự tin và vận dụng được các kiến thức mà mình đã được lĩnh hội.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy rằng muốn học sinh
nắng vững kiến thức thì mỗi thầy giáo, cơ giáo phải thực sự tâm huyết với nghề,
phải kiên trì uốn nắn cho mỗi học sinh khi các em chưa nắm vững kiến thức.
Khi củng cố một nội dung kiến thức nào thì tơi ln tn thủ theo ngun tắc từ
dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập tôi đưa ra cho học sinh
17

skkn


luôn bám sát vào các đề thi để tạo sức thuyết phục cho học sinh. Kiến thức tôi
truyền thụ đến học sinh ln có hệ thống, mỗi dạng bài phải chốt được phương
pháp giải.
Để giúp học sinh có được những kĩ năng tư duy sáng tạo, nhạy bén trong
học tập và thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư
phạm, tuy nhiên khơng có phương pháp nào là vạn năng để đạt được một kết quả
tốt trong các kì thi mà đó là sự tổng hợp của nhiều phương pháp khác nhau.
Với cách làm như trên khơng những áp dụng cho chun đề giải phương
trình nghiệm nguyên mà còn áp dụng cho các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
khác. Với sự kiên trì, bền bỉ áp dụng những kinh nghiệm và tìm ra các biện pháp
tối ưu nhất, phù hợp nhất trong quá trình dạy học giúp học sinh đạt kết quả cao
nhất trong học tập là việc làm thường xuyên của mỗi giáo viên.

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi đúc rút được qua quá trình giảng
dạy từ các năm học và muốn chia sẻ với đồng nghiệp. Tuy nhiên, do thời gian có
hạn tơi khơng thể trình bày tỉ mỉ, chi tiết, cụ thể; những hiểu biết và kinh
nghiệm trên chắc chắn khơng tránh những sai sót, rất mong được sự góp ý chân
thành của các đồng nghiệp để bản thân tơi được học hỏi, tiếp tục trau dồi và
hồn thiện nhằm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của mình.
3.2. Kiến nghị.
Hàng năm, phịng Giáo dục Đào tạo, Sở giáo dục và Đào tạo tổ chức các
lớp chuyên đề về đổi mới phương pháp giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng
dạy một cách hiệu quả và thiết thực để các giáo viên có dịp cùng nhau trao đổi,
học hỏi kinh nghiệm.
Phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay trong huyện, trong tỉnh cho giáo
viên để áp dụng vào quá trình giảng dạy ở các nhà trường.
Tạo lập các nhóm bộ mơn thơng qua trường học kết nối, trên Facebook để
giáo viên và học sinh cùng có thể tham gia trong các diễn đàn tốn học của
huyện. Từ đó các em có thể được học ở nhiều kênh khác nhau.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 13 tháng 03 năm 2019

18

skkn


Cam kết không copy

19

skkn