Skkn kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2 vào giải các dạng bài tậ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD & ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 VẬN DỤNG
CÔNG THỨC NGHIỆM VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM THU
GỌN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀO GIẢI CÁC
DẠNG BÀI TẬP

Người thực hiện: Vũ Thị Tuyên
Chức vụ: Giáo viên
Thọ Xuân

Đơn vị: Trường THCS Lê Thánh Tông SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

skkn


MỤC LỤC
Trang
1.PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài ................ ... ......................................................................... 1
1.2. Mục đích nghiên cứu............... ......................................................................... 1
1.3.Đối tượng nghiên cứu......................................................................................... 2
1.4.Phương pháp nghiên cứu ..................................................................... ............. 2
2.NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................... 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................... 3
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm

Giải phương trình bậc hai .. ............................................................................... 4
Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai ........................................ 5
Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm, vơ nghiệm ......9
Áp dụng vào giải các bài toán khác ........................................................... ..... 13
Bài tập tương tự ............................................................................................... 19
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường ............................................... .....................................19
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận ...................................... .................................................................. 20
3.2 Kiến nghị ...................................................................................... ................ 21

skkn


1 MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, mơn tốn học là mơn khoa học tự nhiên đóng vai trị
quan trọng. Để học sinh có kiến thức mơn tốn được vững vàng thì các em phải
chăm chỉ học tập, có phương pháp học tập đúng đắn và phải nắm kiến thức một
cách có hệ thống. Trong khi đó nhiều học sinh hiện nay chưa có phương pháp học
hiệu quả, chưa biết cách hệ thống các kiến thức mà mình đã được học trong sách
giáo khoa. Các em chỉ trông chờ vào các thầy cô giáo, thầy cơ dạy bài nào thì biết
bài đó, dạy dạng nào thì biết dạng đó.
Chun đề phương trình bậc hai đã có nhiều tác giả viết và xuất bản nhiều
tài liệu, nhưng các tài liệu hoặc là quá dài và nhiều bài khó đối với học sinh lớp 9,
hoặc là chưa làm nổi bật được các ứng dụng của công thức nghiệm và cơng thức
nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Vì vậy học sinh lớp 9 khó tìm được tài
liệu phù hợp để hỗ trợ cho các em khi các em ôn thi vào lớp 10 trung học phổ
thông, ôn thi vào các trường chuyên và thi học sinh giỏi.
Khi ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông, ôn thi học sinh giỏi hay ôn thi

vào các trường chuyên thì đi sâu tìm hiểu các đề thi mới thấy được hầu như đề nào
cũng có những bài tốn áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai hoặc hệ thức Vi-ét. Trong khi đó nhiều học sinh nắm vững
các kiến thức trong sách giáo khoa, nhưng khi áp dụng vào bài tập thì cịn lúng
túng, nhất là các bài tốn nâng cao thì tiếp cận chưa tốt.
Bản thân tôi từ khi bắt đầu đi dạy, tơi tình cờ đọc được một đề thi vào trường
chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá cách đây nhiều năm, tơi rất tâm đắc với một bài thi
có cách giải độc đáo bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc
hai. Và trong q trình giảng dạy, tơi đã thấy nhiều bài tập khi áp dụng công thức
nghiệm hoặc cơng thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai thì cho lời giải
hay, ngắn gọn. Vì thế, sau mỗi năm học, tơi lại tích luỹ thêm được nhiều bài tập
hay về phần này, và mỗi khi dạy đến phần này tơi đưa ra các bài tập đó thì nhiều
em học sinh đã vơ cùng ngạc nhiên vì lại có những cách giải hay, lý thú như vậy.
Vì những lý do trên, năm học này tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm
để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp về đề tài: " Kinh nghiệm hướng dẫn
học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập". Tôi cũng hy vọng đây là một tài
liệu giúp ích cho các em học sinh lớp 9 trong khi các em ôn thi vào lớp 10 trung
học phổ thông, thi vào các trường chuyên và thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với sáng kiến kinh nghiệm "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận
dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
vào giải các dạng bài tập " tôi mong muốn giúp các em học sinh lớp 9 nắm vững
công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Các em
biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập, nắm được hệ thống các dạng bài tập. Từ
đó giúp học sinh lớp 9 giải quyết được các bài thi trong các đề thi vào lớp 10
THPT, thi vào lớp 10 chuyên và thi học sinh giỏi. Cũng qua phần này, tôi muốn
các em thấy được đằng sau những công thức trong sách giáo khoa tưởng chừng

skkn

như đơn giản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, bổ ích và lý thú. Từ đó khơi
dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong chương trình tốn phổ thơng, phần phương trình bậc hai, hệ thức Viét là một phần kiến thức rất rộng lớn, nó xuyên suốt từ lớp 9 đến lớp 12. Trong các
đề thi vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trong toàn
quốc và cả đề thi đại học ta thường xuyên bắt gặp các bài thi áp dụng kiến thức về
phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét từ dạng đơn giản đến các bài khó. Tuy nhiên,
trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc
áp dụng công thức nghiệm và cơng thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
vào giải bài tập, hệ thống các dạng bài tập cũng như phương pháp giải cho mỗi
dạng bài. Với mỗi dạng bài tập tơi trình bầy theo mức độ từ dễ đến khó, đặc biệt
tơi hệ thống các ứng dụng của công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào
giải các dạng bài tập nâng cao. Từ đó giúp học sinh mọi trình độ đều có thể sử
dụng tài liệu này một cách hiệu quả.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa toán 9,
sách bài tập toán 9, sách giáo viên, tạp chí tốn học và tuổi trẻ, tốn tuổi thơ, các
sách tham khảo. Trong q trình giảng dạy, tơi ln tìm hiểu các đề thi vào lớp 10
THPT của nhiều tỉnh thành trong cả nước, các đề thi vào các trường chuyên, đề thi
học sinh giỏi cấp tỉnh của nhiều tỉnh để có được hệ thống bài tập phong phú và đa
dạng. Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này cho học sinh thì tơi ln tự rút kinh
nghiệm để hoàn thiện hơn trong năm tiếp theo.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Ngày 4/11/2013, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng đã ký ban hành Nghị quyết
Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW).
Nghị quyết có nội dung về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng
u cầu cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng

xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế.
Trong nghị quyết 29 có nêu rõ: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân
trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu
trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi
đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia
đình và giáo dục xã hội"
Với vị trí là một giáo viên trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy, để
thực hiện theo định hướng trên thì trước hết mỗi giáo viên phải ln ln biết tự
hồn thiện mình, phải tâm huyết với nghề, có năng lực chuyên môn vững vàng,
biết làm chủ kiến thức. Giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy, tạo ra các
giờ học sinh động và hấp dẫn.
Đối với môn toán, khi giảng dạy giáo viên cần giúp cho học sinh hệ thống
được các nội dung kiến thức theo từng chủ đề, biết vận dụng tốt các kiến thức
trong sách giáo khoa vào giải các bài tập và các bài tốn thực tế. Vì vậy khi giảng
dạy chun đề " Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét", bản thân tơi ln suy nghĩ
làm thế nào để học sinh có thể nắm vững được hệ thống các kiến thức và các dạng
2

skkn


bài tập từ đơn giải đến phức tạp, từ những bài tập trong sách giáo khoa đến những
bài thi trong các kỳ thi mà các em sẽ trải qua, từ đó tạo ra hứng thú học tập cho học
sinh, hình thành ở học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo và chủ động tiếp thu kiến
thức. Khơi dậy cho học sinh, nhất là các em học sinh khá giỏi lòng say mê học tập,
sự khao khát khám phá những điều mới lạ. Điều này đã được tôi thể hiện rõ nét
trong sáng kiến kinh nghiệm này.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình mơn tốn lớp 9, phần phương trình bậc hai đóng vai trị
rất quan trọng. Vì vậy việc giúp học sinh nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa

và biết áp dụng kiến thức vào giải bài tập là việc làm vơ cùng cần thiết. Nó giúp
các em vượt qua các kì thi quan trọng và tạo nền tảng kiến thức cho những năm
học ở cấp trung học phổ thông. Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới giảng dạy mơn
tốn 9, khi dạy phần phương trình bậc hai tơi cịn khá lúng túng. Các bài tập tôi
cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa làm nổi bật được tầm quan trọng của
công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Vì vậy
khi học sinh học phần này, các em cũng nắm kiến thức một cách dàn trải, chưa có
hệ thống. Các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấy được những điều thú vị
ẩn sau các công thức đơn giản trong sách giáo khoa. Sau một vài năm , bản thân tơi
cũng có kinh nghiệm hơn trong giảng dạy, tơi nghĩ rằng mình phải làm thế nào để
kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp học
sinh dễ hiểu, dễ nhớ, đã nhớ thì khó qn. Do đó tơi đã dần dần hình thành nội
dung sáng kiến kinh nghiệm này mà hôm nay xin được chia sẻ cùng các đồng
nghiệp.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng
Khi giảng dạy cho học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và cơng thức
nghiệm thu gọn của phương trình bậc thì đầu tiên tôi nhắc lại cho học sinh các kiến
thức mà các em đã được học trong sách giáo khoa:
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
*Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a
) và biệt thức
- Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Nếu

= 0 thì phương trình có nghiệm kép:

;

- Nếu

< 0 thì phương trình vơ nghiệm.
(Sách giáo khoa tốn 9, tập 2, trang 44)
Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a
) có a và c trái dấu thì
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
*Cơng thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a
) và b = 2b',
- Nếu ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

3

skkn


- Nếu
- Nếu

' = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

;

' < 0 thì phương trình vơ nghiệm.
(Sách giáo khoa tốn 9, tập 2, trang 48)
Tiếp theo tơi đưa ra hệ thống kiến thức theo sơ đồ sau:
Công thức nghiệm, cơng
thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai

Giải
phương
trình bậc
hai

Chứng
minh về số
nghiệm của
phương
trình bậc
hai

Tìm điều kiện
của tham số
để phương
trình bậc hai
có nghiệm, vơ
nghiệm.

Ứng dụng
vào giải
các bài
tốn khác

Từ đó tơi giới thiệu các dạng bài tập cho học sinh.
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai
Khi hướng dẫn học sinh áp dụng cơng thức nghiệm và cơng thức nghiệm thu
gọn của phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập thì việc đầu tiên là giúp học
sinh hiểu và áp dụng kiến thức để giải các bài tập đơn giản nhất, đó là giải phương
trình bậc hai. Với tơi khi giảng dạy, bao giờ cũng bắt đầu từ những bài tập dễ và

tăng dần độ khó. Ta bắt đầu từ một bài tập trong sách bài tập toán 9, tập 2:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a, 2x2 – 5x + 1 = 0
b, x2 + 4x + 4 = 0
c, 5x2 – x + 2 = 0
(Bài tập 20, sách bài tập tốn 9, tập 2)
Hướng dẫn giải:
a,

. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

b,
. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -2
c,
< 0. Phương trình vơ nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:

Vì

> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
4

skkn


Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =
Nhận xét:
Khi đưa ra bài tập 1 tôi muốn củng cố kiến thức về giải các phương trình bậc
hai ở dạng đơn giản, vận dụng trực tiếp công thức nghiệm và công thức nghiệm thu

gọn, mục đích giúp cho học sinh nhớ công thức, vận dụng được công thức ở dạng
đơn giản nhất.
Trong khi đó, với bài tập 2 tơi muốn nhấn mạnh cho học sinh rằng, các
phương trình sau khi biến đổi mà đưa được về phương trình bậc hai thì bằng cách
áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn ta dễ dàng tìm được nghiệm
của phương trình.
Tiếp theo, ta sẽ xét các phương trình bậc hai có hệ số là các số vô tỉ. Ta tiếp
tục với bài tập sau:
Bài 3: Giải phương trình: 4x2 – 2(1 +
)x +
=0
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vì

> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =
Nhận xét:
Khi các hệ số a, b, c của phương trình là số vơ tỉ thì sau khi tính
hoặc
xong cần xem có đưa được về bình phương của một tổng hoặc bình phương của
một hiệu hay khơng.
Ở dạng này, tơi chỉ đưa ra các bài tập giải phương trình bậc hai đơn giản,
mục đích muốn giúp học sinh nắm vững cơng thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu
gọn của phương trình bậc hai. Các phương trình phức tạp thì khơng đề cập đến
trong phần này mà sẽ giới thiệu trong chuyên đề phương trình quy về phương trình
bậc hai.
Dạng 2: Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai.
Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 của nhiều tỉnh, thành

trong cả nước. Ta thường gặp dạng bài chứng minh phương trình bậc hai có
nghiệm, có hai nghiệm phân biệt hoặc vô nghiệm. Ta xét một số bài tập sau:
5

skkn


Bài 1: Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + m2 – 2m + 5 = 0 (m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình trên vơ nghiệm với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có:

Vì -3(m-1)2 0 với mọi giá trị của m nên -3(m - 1)2 – 16 < 0 với mọi giá trị của m
với mọi giá trị của m
Vậy phương trình vơ nghiệm với mọi giá trị của m.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn
chứng minh phương trình bậc hai vơ nghiệm ta chứng minh
hoặc
.
2
Bài 2: Cho phương trình: x – (m + 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số).
Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá năm học 2004 - 2005)
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có:

Vì
nên
. Do đó phương trình ln có hai nghiệm
phân biệt với mọi giá trị của m.

Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn
chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ta chứng minh
hoặc
.
Bài 3: Cho phương trình:
, m là tham số
Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định năm học 2015 - 2016)
Hướng dẫn giải:
2
Ta có: ’ = (1 – m) – 1(-3 + m)
= m2 – 2m + 1 + 3 – m
= m2 – 3m + 4
=
6

skkn


Vì

với mọi giá trị của m nên

với mọi giá trị của m.

Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 - m = 0. (với m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá năm học 2003 - 2004)
Hướng dẫn giải:

Ta có:
- Nếu m
thì
. Do đó
(vì m ) nên phương trình có nghiệm.
- Nếu m < 0 thì
. Do đó
nên phương trình có nghiệm kép.
Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình ln có nghiệm.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn
chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh
hoặc
.
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Hướng dẫn giải:
Biến đổi phương trình về dạng: 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0.
Phương trình trên là phương trình bậc hai có:

Với mọi a, b, c ta có:
nên suy ra
.
Do đó phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c.
Nhận xét: Khi đưa ra bài tập này, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được:
Phương trình ban đầu khơng phải là phương trình bậc hai nhưng sau khi biến đổi ta
đưa về được phương trình bậc hai. Khi đó ta áp dụng cơng thức nghiệm thu gọn
của phương trình bậc hai để chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 6: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.
Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của k.
Hướng dẫn giải:

+ Nếu k = 0, phương trình có dạng 2(x - 1) = 0
x=1
+ Nếu k

0, phương trình biến đổi về dạng: kx2 + 2(1 - 2k) x + 3k - 2 = 0 (*)

= (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k
= k2 - 2k + 1 = (k - 1)2
Vì (k - 1)2 > 0 với mọi giá trị của k nên
phương trình (*) ln có nghiệm.

> 0 với mọi giá trị của k, do đó

7

skkn


Kết hợp hai trường hợp ta có phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của k
Nhận xét: Khi đưa ra bài tập này, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được:
Phương trình ban đầu khơng phải là phương trình bậc hai nhưng sau khi biến đổi ta
đưa về được phương trình dạng ax2 + bx + c = 0. Tuy nhiên khi gặp phương trình
này, giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng chỉ được tính
hoặc
khi hệ số a
khác 0. Trong trường hợp a có thể bằng 0 thì cần phải xét các trường hợp xảy ra.
Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x:
Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có:

Vì

và

nên

với mọi giá trị của a, b, c; suy ra phương

trình ln có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c.
Bài 8: Cho phương trình: (m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = 0
Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
tham số m
Phân tích, tìm cách giải: Nếu bài này ta dùng điều kiện
thì bài tốn
trở nên khá phức tạp. Vậy có cách nào khác để chứng minh phương trình trên
có hai nghiệm phân biệt hay khơng. Đối với bài toán này, ta áp dụng kiến thức
sau: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a và c trái dấu thì phương
trình có hai nghiệm phân biệt.(Sách giáo khoa toán 9, tâp 2, trang 45).
Hướng dẫn giải:
2
Xét phương trình:(m – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = 0
Ta có: a = m2 – 2m + 5 = (m - 1)2 + 4 > 0
c = –(m2 – m + 1) =
Do đó phương trình bậc hai (m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = 0
có a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn chốt lại hai cách chứng minh phương trình
bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
8

skkn


- Cách 1: Chứng minh phương trình có
hoặc
- Cách 2: Chứng minh phương trình có a và c trái dấu.
Bài 9: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây
có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0
(1)
2
bx + 2cx + a = 0
(2)
2
cx + 2ax + b = 0
(3)
Hướng dẫn giải:
Vì các phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên
Ta có:
nên:

Dó đó suy ra:

.

Vậy trong ba số

ít nhất phải có một số khơng âm (vì nếu cả ba số đều

âm thì tổng ba số phải là một số âm, vô lý), suy ra có ít nhất một trong ba phương

trình đã cho có nghiệm.
Nhận xét: Qua bài tập trên tôi muốn chốt lại cách giải các bài tập chứng minh ít
nhất một trong các phương trình bậc hai đã cho có nghiệm.
-Khi chứng minh ít nhất một trong hai phương trình bậc hai có nghiệm ta
chứng minh
hoặc
(hay
hoặc
)
- Khi chứng minh ít nhất một trong ba phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng
minh

hoặc

(hay

hoặc

)

Các bài tốn khác có cách giải tương tự.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, phương trình
vơ nghiệm.
Khi giới thiệu dạng bài tập này, tơi đưa ra cách giải tổng quát cho học sinh
trước khi đưa ra hệ thống bài tập:
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
- Phương trình (1) có nghiệm
hoặc
- Phương trình (1) có nghiệm kép
hoặc

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
hoặc
- Phương trình (1) vơ nghiệm
hoặc
Khi đưa ra hệ thống bài tập phần này, tơi thường căn cứ vào trình độ của học
sinh để lựa chọn các bài tập phù hợp. Nếu ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông
thì chỉ đưa ra những bài vừa phải, cịn khi ơn thi học sinh giỏi thì đưa ra những bài
phức tạp hơn. Sau đây là một số bài tập:
Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (m là tham số)
Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = - 2
9

skkn


Hướng dẫn giải:
Phương trình có nghiệm x = - 2 khi:
(-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0
4 + 2m + 10 - m + 6 = 0
m = - 20
Nhận xét:
Qua bài này tôi chốt lại cách giải cho học sinh: Muốn tìm giá trị của tham số
để phương trình có nghiệm x0 ta thay x = x0 vào phương trình, từ đó suy ra giá trị
của tham số cần tìm.
Bài 2:Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0 (m là tham số).
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0

(m + 1)2 - m2 > 0

2m + 1 > 0

m>

Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 5 = 0.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
(Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hố, năm học 2000 - 2001)
Hướng dẫn giải:
Phương trình trên là phương trình bậc hai có:

Để phương trình có nghiệm thì
Nhận xét: Từ bài 2, bài 3 một lần nữa tôi nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh:
- Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm
hoặc
2
- Phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt
hoặc
Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau vơ nghiệm
(Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hố, năm học 2006 - 2007)
Hướng dẫn giải:
Phương trình trên là phương trình bậc hai có:
- Nếu m < 0 thì
nghiệm
- Nếu m 0 thì

. Do đó phương trình vơ
.

Phương trình vơ nghiệm
(Vì m 0).
Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi m < 1.
Bài 5: Cho phương trình: (m - 1)x2 + (2m - 3)x + (m + 2) = 0 (m là tham số)
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
- Nếu m = 1 thì phương trình đã cho có dạng: - x + 3 = 0
10

skkn


- Nếu m

1 thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có:

Phương trình có nghiệm

(với m

1)

Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Phương trình có nghịm khi và chỉ khi m
Nhận xét: Đối với bài tập 5, đa số các em học sinh lớp 9 mới làm quen với công
thức nghệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai đều ngay lập
tức tính
và cho điều kiện
Do đó, khi đưa ra bài tập 5, tơi muốn nhấn
mạnh cho học sinh: Phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai mà nó
mới có dạng ax2 + bx + c = 0. Vì vậy với những bài tập này ta cần xét trường hợp

đặc biệt khi a = 0; khi a
ta mới được tính hoặc .
Bài 6: Cho phương trình: mx2 – 2(m + 2)x + 9 = 0 (m là tham số)
Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Hướng dẫn giải:
Phương trình có nghiệm kép

Nghiệm kép của phương trình là: x =
- Với m = 1 thì nghiệm kép là: x = 3
- Với m = 4 thì nghiệm kép là: x =
Nhận xét:
Khi đưa ra bài 6, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh nhớ rằng, phương trình
ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi

hoặc

Tương tự, cần chốt lại cho học sinh: phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

hoặc

Qua bài 5 và bài 6 tôi khắc sâu kiến thức cho học sinh: Nếu phương trình
ax + bx + c = 0 có hệ số a có chứa tham số và có thể bằng 0 thì tuỳ theo u cầu
của bài tốn ta cần xét các trường hợp xảy ra (như bài 5) hay đặt điều kiện
(như bài 6).
Bài 7: Cho phương trình: 4x2 + 2(m -1)x – m = 0 (m là tham số)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
2

Hướng dẫn giải:

Phương trình trên là phương trình bậc hai có:
Do đó phương trình ln có hai nghệm:
11

skkn


Thay

vào

ta được phương trình:

Giải phương trình ta được:
Nhận xét:
- Khi đưa ra bài tập trên tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh: Với những
phương trình mà
hoặc
biểu diễn được về dạng bình phương đúng của một
biểu thức thì áp dụng cơng thức nghiệm hay cơng thức nghiệm thu gọn ta tính
được nghiệm của phương trình ở dạng đơn giản, khơng chứa căn. Khi đó ta có thể
có lời giải đẹp cho những bài tốn tìm giá trị của tham số để hai nghiệm cuả
phương trình thoả mãn điều kiện cho trước.
- Với những bài toán mà hai nghiệm x 1 và x2 có vai trị khơng như nhau thì
khi giải theo cách này phải xét hai trường hợp xảy ra của x1 và x2.
- Bài tốn trên ta cịn giải theo cách quen thuộc là áp dụng hệ thức Vi-ét mà
tôi xin không đề cập đến trong bài viết này.
Bài 8: Cho phương trình: x4 + 2x2 + 2ax + (a + 1)2 = 0 (a là tham số).
Tìm giá trị của a để phương trình trên có nghiệm x0 sao cho x0 đạt giá trị lớn
nhất.

Hướng dẫn giải:
Giả sử phương trình có nghiệm là x0. Ta có:

Vì phương trình đã cho có nghiệm x0 nên phải tồn tại giá trị của a để có nghiệm x0.
Vì vậy phương (*) phải có nghiệm a.
Phương trình (*) có nghiệm a

Vì
nên giá trị lớn nhất của x0 là 1 xảy ra tại a = - (x0 + 1) = -2
Nhận xét:
Từ cách giải trên ta cịn tìm được giá trị nhỏ nhất của x0 là 0 xảy ra tại a = -1.
12

skkn


Trong bài 8, phương trình đã cho là phương trình bậc bốn với ẩn x. Với cách
giải trên ta đã đổi vai trị ẩn và tham số, đưa phương trình đã cho về phương trình
bậc hai với ẩn a, coi x0 như tham số. Từ điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình
bậc hai ta tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x 0. Phương pháp giải như
trên gọi là hốn đổi vai trị ẩn và tham số. Qua bài tập này, tôi lưu ý cho học sinh
khi gặp những phương trình mà ẩn khơng phải là bậc hai nhưng tham số có bậc
hai thì ta nghĩ đến cách giải hốn đổi vai trị của ẩn và tham số tương tự như cách
giải trên.
Dạng 4:Ứng dụng của công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào giải
các bài toán khác.
Ứng dụng 1: Ứng dụng vào giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
Phân tích, tìm hướng giải: Ta thấy phương trình trên các ẩn x và y đều có
bậc cao nhất là 2. Do đó ta có thể đưa phương trình về phương trình bậc hai với

một ẩn, coi ẩn cịn lại như tham số. Khi đó từ điều kiện có nghiệm của phương
trình bậc hai nếu ta giới hạn được khoảng giá trị của một ẩn thì sẽ tìm được các
giá trị nguyên và suy ra được các nghiệm nguyên của phương trình.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho viết dưới dạng: 3y2 + 2(3x - 14)y + 12x2 – 28x = 0 (1)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn y thì ta có:

Để phương trình có nghiệm thì
- Nếu x = -2 thì

. Suy ra

. Khi đó phương trình (1) có nghiệm y =

khơng là

số ngun nên loại.
- Nếu x = - 1 thì

. Suy ra y = 10 (chọn) và y =

(loại)

- Nếu x = 0 thì

. Suy ra y = 0 (chọn) và y =

(loại)

- Nếu x = 1 thì

. Suy ra y = 8 (chọn) và y =

(loại)

- Nếu x = -2 thì

. Khi đó phương trình (1) có nghiệm y =

khơng là

số ngun nên loại.
Vậy phương trình có các nghiệm ngun (x; y) là: (0; 0); (1; 8); (-1; 10)
Nhận xét:
- Nếu ta đưa phương trình trên về phương trình bậc hai với ẩn x và tính
theo y thì lời giải sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Do vậy khi gặp dạng bài này tôi
thường lưu ý cho học sinh phải xem nên đưa về phương trình bậc hai với ẩn nào để
lời giải là ngắn gọn nhất.
13

skkn


- Với một số phương trình thì sau khi tính hoặc ta phải kết hợp với một
vài kiến thức về số học mới tính được nghiệm. Ta xét bài tập sau:
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho viết dưới dạng: y2 + 2(2x + 1)y + 3x2 + 4x + 5 = 0 (2)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn y thì ta có:
Phương trình (2) có nghiệm ngun khi và chỉ khi là số chính phương.

Đặt x2 – 4 = n2 ( với n
) thì ta có:
2
2
x –4=n
(x – n).(x + n) = 4
Vì x + n và x – n cùng tính chẵn, lẻ với mọi giá trị nguyên của x và n nên suy ra:
x – n = x + n = 2 hoặc x – n = x + n = -2. Từ đó ta được x = 2 hặc x = -2.
- Với x = - 2 thì ta tính được y = 3
- Với x = 2 thì ta tính được y = -5
Vậy phương trình có hai nghiệm ngun (x; y) là (-2; 3) và (2; -5)
Nhận xét:
- Trong cách giải trên ta đã sử dụng một cách giải khác của phương trình
nghiệm ngun đó là cách đưa về phương trình ước số.
- Để giảm bớt việc xét các trường hợp xảy ra của phương trình (x – n).(x + n) = 4
ta đã sử dụng một tính chất, đó là: Với hai số ngun a và b ta ln có a + b và a – b
là hai đại lượng cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Với cách giải tương tự bài 2, ta có bài 3 sau đây:
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2ax – (a + 3) = 0 (a là tham số). Hãy tìm tất cả
các số nguyên a sao cho phương trình trên có nghiệm ngun.
Hướng dẫn giải:
2
Phương trình x – 2ax – (a + 3) = 0 (3) là phương trình bậc hai ẩn x có
.
Phương trình (3) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi là số chính phương.
Đặt a2 + a + 3 = k2 (với k
). Ta có:

Vậy a = 2 và a = - 3 là giá trị cần tìm.
14

skkn


Bài 4: Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: 5(x2 +
xy + y2 )= 7(x + 2y)
(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Thanh Hoá năm học 2014 - 2015)
Hướng dẫn giải:
Đưa phương trình đã cho về dạng: 5y2 + (5x - 14)y + 5x2 – 7x = 0
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x, ta có:

Để phương trình có nghiệm thì
Với x = 0 thì ta tính được y = 0
Với x = 1 thì ta tính được y = 2
Với x = - 1 thì ta tính được y = 3
Vậy phương trình có ba nghiệm ngun (x; y) là: (0; 0); (-1; 3); (1; 2).
Nhận xét:
Sau khi giới thiệu các bài tập trên tôi nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng:
Khi giải phương trình nghiệm nguyên mà phương trình đưa được về dạng phương
trình bậc hai với một trong các ẩn thì ta có thể nghĩ đến phương pháp giải vận dụng
công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn tương tự với các cách giải trên.
Ứng dụng 2:Ứng dụng vào giải hệ phương trình.
Bài 1: Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải:
Ta có: (2)
Để phương trình trên có nghiệm đối với ẩn x, ta phải có:
(3)

Mặt khác ta lại có: (2)
Để phương trình trên có nghiệm đối với ẩn y, ta phải có:

Từ (3) và (4) ta có:
, khơng thoả mãn phương trình (1).
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

15

skkn


Bài 2: Giải hệ phương trình:
(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Thanh Hoá năm học
1998 – 1999, bảng A)
Hướng dẫn giải:
Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x thì ta có:

Để phương trình (2) có nghiệm x thì

(3)

Từ phương trình (2) ta có: y2 + (x - 1)y + x2 = 0
Coi phương trình là phương trình bậc hai ẩn y thì ta có:
Để phương trình (2) có nghiệm y thì

(4)

Từ (3) và (4) suy ra:

(khơng thoả mãn (1))

Vậy hệ phương trình đã cho vơ nghiệm.

Bài 3: Giải hệ phương trình:

(I)

Hướng dẫn giải:
Ta có: (I)
Coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x + y, để phương trình có nghiệm
ta phải có:

(3)

Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x - y, để phương trình có nghiệm
ta phải có:

(4)

Từ (3) và (4) suy ra z = 2 hoặc z = -2.
- Với z = 2 thay vào hệ phương trình (I) ta được:

- Với z = - 2 thay vào hệ phương trình (I) ta được:

Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm (x, y, z) là: (1; 0; 2); (-1; 0; -2)
Nhận xét:
16

skkn


Qua các bài tập giải hệ phương trình ở trên tôi thường chốt lại kiến thức cho
học sinh: Khi gặp bài tập giải hệ phương trình mà trong hệ đã cho có phương trình

đưa được về dạng phương trình bậc hai thì ta nên nghĩ đến việc áp dụng cơng thức
nghiệm hay cơng thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để giới hạn giá trị
của các ẩn, từ đó có thể giúp ta có được lời giải đẹp cho bài toán.
Ứng dụng 3: Ứng dụng vào bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 1: Cho x, y thoả mãn: x2 + y2 = xy – x + 2y.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
2

2

Ta có: x + y = xy – x + 2y
(*)
Ta coi phương trình trên là phương bậc hai với ẩn y thì ta có:
Để tồn tại x; y thoả mãn điều kiện x2 + y2 = xy – x + 2y thì phương (*) phải có
nghiệm y. Do đó
. Suy ra:

Vậy ta chứng minh được :
Bài 2: Cho

thoả mãn

Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:

Ta có:
- Nếu x = 1 thì y = 0, ta có x3 = 1<

(đúng)

- Nếu x > 1 thì phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn y. Phương trình có
nghiệm khi và chỉ khi:

Với

thì

Vậy ta chứng minh được

.

Bài 3: Cho x, y, z là các số dương thay đổi thoả mãn:
5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x + y + z.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hố, năm học 2016 - 2017)
Hướng dẫn giải:
Ta có: 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60
(*)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x thì ta có:

17

skkn


Vì 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 và x, y, z ngun dương nên
Do đó:
Vì

và x dương nên phương trình (*) có nghiệm:

.

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm 15 – y2 và 20 – z2 ta ln có:

Suy ra:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 xảy ra khi x = 1; y = 2; z = 3.
Nhận xét: Khi đưa ra các bài tập trên tôi chốt lại ghi nhớ cho học sinh: Trong các
bài tập chứng minh bất đẳng thức, nếu trong đề bài có các điều kiện mà biểu diễn
được về dạng phương trình bậc hai thì hãy nhớ đến cách giải vận dụng công thức
nghiệm hay công thức nghiệm thu gọn, có thể ta sẽ tìm được lời giải hay cho bài
tốn.
Bài 4: Cho biểu thức: y =

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của y
Hướng dẫn giải:
Ta có: x + 2x + 2 = (x + 1) + 1 > 0 với mọi x nên y xác định với mọi giá trị của x.
2

2

y=
(*)

- Nếu y = 1 thì thay vào (*) ta có x = 0
- Nếu y 1 thì (*) là phương trình bậc hai với ẩn x. Để tồn tại x thì

.

Từ đó ta có:
Giá trị nhỏ nhất của y là

xảy ra tại x =

18

skkn


Giá trị lớn nhất của y là

xảy ra tại x =

Vậy: Giá trị lớn nhất của y là
xảy ra khi x = ;
Giá trị nhỏ nhất của y là
xảy ra tại x =
Nhận xét:
Phương pháp giải như trên được gọi là phương pháp xác định miền giá trị
của hàm số. Ta cần nhấn mạnh cho học sinh rằng khi hàm số có thể đưa về dạng
của một phương trình bậc hai thì ta có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số bằng cách như trên.
Một số bài tập tương tự:
Bài 1 Cho phương trình x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0. Tìm m để phương trình có

nghiệm kép ? Hãy tính nghiệm kép đó.
Bài 2 Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với m là tham số
a) Giải phương trình với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 3 Cho phương trình bậc 2: x2 - (2m + 1)x + m2 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Với giá trị nào của m phương trình (1) có nghiệm kép.Tìm nghiệm kép đó
Bài 4 Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) ( m là tham số)
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5 Cho phương trình
(m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài 6 Tìm tham số m để phương trình :x2 +2(m +1)x +2m2 +2m +1 = 0 vô nghiờm
Bài 7 Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x2
- m2x + m + 1 = 0
cã nghiƯm nguyªn.
Bài 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
m(m-1)x2 + 2(m-1)x + 2(m-1)=0
Bài 9 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a: ax2 – 2(3a+1)x + a – 2 = 0
Bài 10 Giải hệ phương trình:
Bài 11 Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + 13y2 – 6xy = 100
Bài 12 Giải hệ phương trình:
Bài 13 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 14: Tìm giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm:
x4 + 2ax2 + x + a2 + a = 0
Bài 15: Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất thoả mãn: x2 + y2 + 2xy – 8x + 6y = 0
19

skkn

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau nhiều năm giảng day mơn tốn lớp 9, ơn tập cho học sinh thi vào lớp 10
THPT, thi vào các trường THPT chuyên, thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, sau
mỗi năm tơi lại tích luỹ thêm các bài tập lí thú về phần này. Từ một đơn vị kiến
thức trong sách giáo khoa, tôi đã giúp học sinh hệ thống được các dạng bài tập
thường gặp trong các đề thi, củng cố được phương pháp giải mỗi dạng bài tập. Mỗi
khi dạy cho học sinh ứng dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào
giải các dạng bài tập, đặc biệt là giới thiệu các bài tập ứng dụng vào giải phương
trình nghiệm nguyên, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức hay phương
pháp hoán đổi vai trị ẩn và tham, số thì nhiều học sinh thấy bất ngờ với cách giải.
Các em thấy được những điều vô cùng thú vị ẩn sau những công thức đơn giản
trong sách giáo khoa mà các em được học. Đây chính là một trong những nội dung
tạo được hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư duy linh hoạt cho học
sinh. Từ đó thắp sáng niềm say mê học tập của học sinh.
Sau khi truyền đạt nội dung này tới học sinh, các học sinh tôi dạy đều ghi
nhớ kiến thức và phương pháp giải rất tốt. Mỗi khi gặp những bài tập dạng này các
em rất tự tin và vận dụng được các kiến thức mà mình đã được lĩnh hội.
Qua các năm giảng dạy, học sinh của tôi thi vào lớp 10 THPT điểm mơn
tốn tương đối cao, có nhiều em được điểm tuyệt đối mơn tốn. Nhiều em thi đậu
vào các trường chun Lam Sơn, khối chuyên của trường đại học khoa học tự
nhiên. có em khi tiếp tục học lên THPT đã đạt giải học sinh giỏi cấp quốc gia mơn
tốn. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, nhiều em đã đạt thành tích
cao: giải nhất, giải nhì cấp huyện, đạt giải nhì cấp tỉnh. Kết quả đó giúp tơi khẳng
định rằng sáng kiến kinh nghiệm của mình thực sự đem lại hiệu quả trong giảng
dạy.
3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy rằng muốn học sinh nắm

vững kiến thức thì mỗi thầy giáo, cô giáo phải thực sự tâm huyết với nghề, phải
kiên trì uốn nắn cho mỗi học sinh khi các em chưa nắm vững kiến thức. Khi củng
cố một nội dung kiến thức nào thì tơi ln tn thủ theo nguyên tắc từ dễ đến khó,
từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập tôi đưa ra cho học sinh luôn bám sát
vào các đề thi để tạo sức thuyết phục cho học sinh. Kiến thức tôi truyền thụ đến
học sinh ln có hệ thống, mỗi dạng bài phải chốt được phương pháp giải.
Để giúp học sinh có được những kĩ năng tư duy sáng tạo, nhạy bén trong
học tập và thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư phạm,
tuy nhiên không có phương pháp nào là vạn năng để đạt được một kết quả tốt trong
các kì thi mà đó là sự tổng hợp của nhiều phương pháp khác nhau. Khi dạy học
sinh cách vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào giải các
dạng bài tập, giáo viên cần sử dụng linh hoạt, mềm dẻo, tuỳ thuộc vào khả năng
nhận thức của học sinh.
Sau một thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy tôi
nhận thấy rằng những kinh nghiệm này phù hợp với nội dung chuẩn kiến thức kĩ
năng và bám sát cấu trúc đề thi vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi, học sinh chủ
20

skkn


động, tích cực trong việc lĩnh hội kiến thức và kĩ năng. Khơng khí học tập sơi nổi,
học sinh u thích mơn học hơn. Tơi hi vọng rằng với việc áp dụng đề tài này giúp
cho học sinh đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi mà các em sẽ phải vượt qua.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà tơi đúc rút được qua q trình giảng
dạy từ các năm học và muốn chia sẻ với đồng nghiệp. Tuy nhiên, do thời gian có
hạn tơi khơng thể trình bày tỉ mỉ, chi tiết, cụ thể; những hiểu biết và kinh nghiệm
trên chắc chắn không tránh những sai sót, rất mong được sự góp ý chân thành của
các đồng nghiệp để bản thân tôi được học hỏi, tiếp tục trau dồi và hồn thiện nhằm
góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của mình.

3.2.Kiến nghị.
Hàng năm, phịng giáo dục đào tạo, sở giáo dục và đào tạo tổ chức các lớp
chuyên đề về đổi mới phương pháp giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy một
cách hiệu quả và thiết thực để các giáo viên có dịp cùng nhau trao đổi, học hỏi kinh
nghiệm.
Phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay trong huyện, trong tỉnh cho giáo
viên để áp dụng vào quá trình giảng dạy ở các nhà trường.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày
tháng 05 năm 2017
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Tác giả:

Vũ Thị Tuyên

21

skkn


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 9, tập 2.
2.Sách bài tập toán 9, tập 2.
3.Sách giá viên toán 9, tập 2.
4.Phương trình bậc hai và một số ứng dụng; tác giả Nguyễn Đức Tấn.
5.500 bài toán chọn lọc lớp 9; tác giả Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Quang Hạnh –
Ngơ Long Hậu.

6.Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 9 - đại số; tác giả Vũ Hữu Bình - Tơn Thân - Đỗ
Quang Thiều.
7. Ôn luyện thi vào lớp 10 mơn tốn; tác giả Tơn Thân – Mai Cơng Mãn - Nguyễn
Văn Ngọc – Hồng Xn Vinh.
8. Ơn tập thi vào lớp 10 mơn tốn; tác giả Phan Dỗn Thoại(chủ biên) - Trịnh
Thuý Hằng - Lại Thanh Hương – Hoàng Xn Vinh
9. Tạp chí tốn tuổi thơ 2
10.

Các đề thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước.

11.

Đề thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 9 cấp tỉnh của tỉnh Thanh Hoá.

22

skkn


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Vũ Thị Tuyên
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ trưởng tổ tự nhiên, trường THCS Lê Thánh Tơng,
huyện Thọ Xn, tỉnh Thanh Hố,
Cấp đánh
Kết quả
giá xếp loại

đánh giá
TT
Tên đề tài SKKN
(Phòng, Sở, xếp loại (A,
Tỉnh...)
B, hoặc C)
1. Một vài suy nghĩ từ một bài
Phịng
A
Sở
C
tốn

Năm học đánh
giá xếp loại
2003 – 2004

2.

Tính giá trị của dãy số

Phòng

B

2007 - 2008

3.

Rèn luyện tư duy cho học

Phòng

C

2011 - 2012

Phòng

B

2016 - 2017

sinh thơng qua dạng bài tập
tính giá trị của một biểu thức
4.

Kinh nghiệm hướng dẫn học
sinh lớp 9 vận dụng cơng
thức nghiệm và cơng thức
nghiệm thu gọn của phương
trình bậc hai vào giải các
dạng bài tập

23

skkn