SKKN kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2 vào giải các dạng bài tậ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD & ĐT THỌ XUÂN

SÁÁ́NG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
KINH NGHIÊM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 VẬN DỤNG
CÔNG THỨC NGHIỆM VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM THU
GỌN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀO GIẢI CÁC
DẠNG BÀI TẬP

Người thực hiện: Vũ Thị Tuyên
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS Lê Thánh Tông Thọ Xuân
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán


MỤỤ̣C LỤỤ̣C
Trang
1.PHẦN MỞỞ̉ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.................................................................................................................................. 1
1.2. Mục đích nghiên cứu........................................................................................................................ 1
1.3.Đối tượng nghiên cứu........................................................................................................................ 2
1.4.Phương pháp nghiên cứu.................................................................................................................. 2
2.NỘI DUNG CỦA SÁÁ́NG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................................................ 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..................................... 3
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm
Giải phương trình bậc hai .............................................................................................................. 4
Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai........................................................ 5
Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm........9

Áp dụng vào giải các bài toán khác......................................................................................... 13
Bài tập tương tự................................................................................................................................. 19
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường................................................................................................................... 19
3. KẾT LUẬỤ̣N, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận.................................................................................................................................................. 20
3.2 Kiến nghị............................................................................................................................................... 21


1 MỞỞ̉ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, môn toán học là môn khoa học tự nhiên đóng vai trò
quan trọng. Để học sinh có kiến thức môn toán được vững vàng thì các em phải
chăm chỉ học tập, có phương pháp học tập đúng đắn và phải nắm kiến thức một
cách có hệ thống. Trong khi đó nhiều học sinh hiện nay chưa có phương pháp học
hiệu quả, chưa biết cách hệ thống các kiến thức mà mình đã được học trong sách
giáo khoa. Các em chỉ trông chờ vào các thầy cô giáo, thầy cô dạy bài nào thì biết
bài đó, dạy dạng nào thì biết dạng đó.
Chuyên đề phương trình bậc hai đã có nhiều tác giả viết và xuất bản nhiều
tài liệu, nhưng các tài liệu hoặc là quá dài và nhiều bài khó đối với học sinh lớp 9,
hoặc là chưa làm nổi bật được các ứng dụng của công thức nghiệm và công thức
nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Vì vậy học sinh lớp 9 khó tìm được tài
liệu phù hợp để hỗ trợ cho các em khi các em ôn thi vào lớp 10 trung học phổ
thông, ôn thi vào các trường chuyên và thi học sinh giỏi.
Khi ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông, ôn thi học sinh giỏi hay ôn thi
vào các trường chuyên thì đi sâu tìm hiểu các đề thi mới thấy được hầu như đề nào
cũng có những bài toán áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai hoặc hệ thức Vi-ét. Trong khi đó nhiều học sinh nắm vững
các kiến thức trong sách giáo khoa, nhưng khi áp dụng vào bài tập thì còn lúng
túng, nhất là các bài toán nâng cao thì tiếp cận chưa tốt.

Bản thân tôi từ khi bắt đầu đi dạy, tôi tình cờ đọc được một đề thi vào trường
chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá cách đây nhiều năm, tôi rất tâm đắc với một bài thi có
cách giải độc đáo bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Và
trong quá trình giảng dạy, tôi đã thấy nhiều bài tập khi áp dụng công thức nghiệm
hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai thì cho lời giải hay, ngắn
gọn. Vì thế, sau mỗi năm học, tôi lại tích luỹ thêm được nhiều bài tập hay về phần
này, và mỗi khi dạy đến phần này tôi đưa ra các bài tập đó thì nhiều em học sinh đã vô
cùng ngạc nhiên vì lại có những cách giải hay, lý thú như vậy.
Vì những lý do trên, năm học này tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm
để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp về đề tài: " Kinh nghiệm hướng dẫn
học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập". Tôi cũng hy vọng đây là một tài
liệu giúp ích cho các em học sinh lớp 9 trong khi các em ôn thi vào lớp 10 trung
học phổ thông, thi vào các trường chuyên và thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với sáng kiến kinh nghiệm "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận
dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
vào giải các dạng bài tập " tôi mong muốn giúp các em học sinh lớp 9 nắm vững
công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Các em
biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập, nắm được hệ thống các dạng bài tập. Từ
đó giúp học sinh lớp 9 giải quyết được các bài thi trong các đề thi vào lớp 10
THPT, thi vào lớp 10 chuyên và thi học sinh giỏi. Cũng qua phần này, tôi muốn
các em thấy được đằng sau những công thức trong sách giáo khoa tưởng chừng


như đơn giản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, bổ ích và lý thú. Từ đó khơi
dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong chương trình toán phổ thông, phần phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét
là một phần kiến thức rất rộng lớn, nó xuyên suốt từ lớp 9 đến lớp 12. Trong các đề

thi vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trong toàn quốc
và cả đề thi đại học ta thường xuyên bắt gặp các bài thi áp dụng kiến thức về
phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét từ dạng đơn giản đến các bài khó. Tuy nhiên,
trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc
áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
vào giải bài tập, hệ thống các dạng bài tập cũng như phương pháp giải cho mỗi
dạng bài. Với mỗi dạng bài tập tôi trình bầy theo mức độ từ dễ đến khó, đặc biệt
tôi hệ thống các ứng dụng của công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào
giải các dạng bài tập nâng cao. Từ đó giúp học sinh mọi trình độ đều có thể sử
dụng tài liệu này một cách hiệu quả.
1.4. Phương pháÁ́p nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa toán 9,
sách bài tập toán 9, sách giáo viên, tạp chí toán học và tuổi trẻ, toán tuổi thơ, các
sách tham khảo. Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm hiểu các đề thi vào lớp 10
THPT của nhiều tỉnh thành trong cả nước, các đề thi vào các trường chuyên, đề thi
học sinh giỏi cấp tỉnh của nhiều tỉnh để có được hệ thống bài tập phong phú và đa
dạng. Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này cho học sinh thì tôi luôn tự rút kinh
nghiệm để hoàn thiện hơn trong năm tiếp theo.
2. NỘI DUNG SÁÁ́NG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáÁ́ng kiến kinh nghiệm
Ngày 4/11/2013, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng đã ký ban hành Nghị quyết
Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW).
Nghị quyết có nội dung về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng
yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng
xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế.
Trong nghị quyết 29 có nêu rõ: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân
trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu
trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi
đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia
đình và giáo dục xã hội"

Với vị trí là một giáo viên trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy, để
thực hiện theo định hướng trên thì trước hết mỗi giáo viên phải luôn luôn biết tự
hoàn thiện mình, phải tâm huyết với nghề, có năng lực chuyên môn vững vàng,
biết làm chủ kiến thức. Giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy, tạo ra các
giờ học sinh động và hấp dẫn.
Đối với môn toán, khi giảng dạy giáo viên cần giúp cho học sinh hệ thống
được các nội dung kiến thức theo từng chủ đề, biết vận dụng tốt các kiến thức
trong sách giáo khoa vào giải các bài tập và các bài toán thực tế. Vì vậy khi giảng
dạy chuyên đề " Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét", bản thân tôi luôn suy nghĩ
làm thế nào để học sinh có thể nắm vững được hệ thống các kiến thức và các dạng
2


bài tập từ đơn giải đến phức tạp, từ những bài tập trong sách giáo khoa đến những
bài thi trong các kỳ thi mà các em sẽ trải qua, từ đó tạo ra hứng thú học tập cho học
sinh, hình thành ở học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo và chủ động tiếp thu kiến
thức. Khơi dậy cho học sinh, nhất là các em học sinh khá giỏi lòng say mê học tập,
sự khao khát khám phá những điều mới lạ. Điều này đã được tôi thể hiện rõ nét
trong sáng kiến kinh nghiệm này.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áÁ́p dụng sáÁ́ng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình môn toán lớp 9, phần phương trình bậc hai đóng vai trò
rất quan trọng. Vì vậy việc giúp học sinh nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa
và biết áp dụng kiến thức vào giải bài tập là việc làm vô cùng cần thiết. Nó giúp
các em vượt qua các kì thi quan trọng và tạo nền tảng kiến thức cho những năm
học ở cấp trung học phổ thông. Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới giảng dạy môn
toán 9, khi dạy phần phương trình bậc hai tôi còn khá lúng túng. Các bài tập tôi
cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa làm nổi bật được tầm quan trọng của
công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Vì vậy
khi học sinh học phần này, các em cũng nắm kiến thức một cách dàn trải, chưa có
hệ thống. Các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấy được những điều thú vị

ẩn sau các công thức đơn giản trong sách giáo khoa. Sau một vài năm , bản thân tôi
cũng có kinh nghiệm hơn trong giảng dạy, tôi nghĩ rằng mình phải làm thế nào để
kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp học
sinh dễ hiểu, dễ nhớ, đã nhớ thì khó quên. Do đó tôi đã dần dần hình thành nội
dung sáng kiến kinh nghiệm này mà hôm nay xin được chia sẻ cùng các đồng
nghiệp.
2.3. CáÁ́c sáÁ́ng kiến kinh nghiệm, cáÁ́c giải pháÁ́p đã sử dụng
Khi giảng dạy cho học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức
nghiệm thu gọn của phương trình bậc thì đầu tiên tôi nhắc lại cho học sinh các kiến
thức mà các em đã được học trong sách giáo khoa: Công thức nghiệm của phương
trình bậc hai:

2

*Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) và biệt thức Δ=b -4ac Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
;
x =-b+ ; x2 =-b1
2a
2a
b
- Nếu
;
= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x 2 = - 2a
- Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
(Sách giáo khoa toán 9, tập 2, trang 44)
Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a và c trái dấu thì
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
*Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:

2

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) và b = 2b', Δ'=b' -ac
- Nếu
' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x =-b'+ Δ' ; x2 =-b'- Δ' ;
a
a
1
3


- Nếu ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x 2 = -

b'

a;

- Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
(Sách giáo khoa toán 9, tập 2, trang 48)
Tiếp theo tôi đưa ra hệ thống kiến thức theo sơ đồ sau:
Công thức nghiệm, công
thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai

Giải
phương
trình bậc
hai

Chứng

minh về số
nghiệm của
phương
trình bậc
hai

Tìm điều kiện
của tham số
để phương
trình bậc hai
có nghiệm, vô
nghiệm.

Ứng dụng
vào giải
cáÁ́c bài
toáÁ́n kháÁ́c

Từ đó tôi giới thiệu các dạng bài tập cho học sinh.
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai
Khi hướng dẫn học sinh áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu
gọn của phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập thì việc đầu tiên là giúp học
sinh hiểu và áp dụng kiến thức để giải các bài tập đơn giản nhất, đó là giải phương
trình bậc hai. Với tôi khi giảng dạy, bao giờ cũng bắt đầu từ những bài tập dễ và
tăng dần độ khó. Ta bắt đầu từ một bài tập trong sách bài tập toán 9, tập 2:
Bài 1: Giải cáÁ́c phương trình sau:
a, 2x2 – 5x + 1 = 0
b, x2 + 4x + 4 = 0
c, 5x2 – x + 2 = 0
(Bài tập 20, sáÁ́ch bài tập toáÁ́n 9, tập 2)

Hướng dẫn giải:
a, Δ= 25-8=17 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 5+ 17; x 2 = 5- 7
1
4
4
b, Δ'= 4-4 = 0 . Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -2
c, =1-40 = -39 < 0. Phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình: 3 x 1 x 2
20
Hướng dẫn giải:
3 x 1 x 2 20
3 x 2 6 x x 2 20
3 x 2 5 x 22 0

Vì

2
Δ= 5 - 4.3.(-22) = 289
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
4


x = -5+ 289= 2
1
2.3
x 2 = -5- 289 = -11

2.33

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =

-11
2; 3

Nhận xét:
Khi đưa ra bài tập 1 tôi muốn củng cố kiến thức về giải các phương trình bậc
hai ở dạng đơn giản, vận dụng trực tiếp công thức nghiệm và công thức nghiệm
thu gọn, mục đích giúp cho học sinh nhớ công thức, vận dụng được công thức ở
dạng đơn giản nhất.
Trong khi đó, với bài tập 2 tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh rằng, các
phương trình sau khi biến đổi mà đưa được về phương trình bậc hai thì bằng cách
áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn ta dễ dàng tìm được nghiệm
của phương trình.
Tiếp theo, ta sẽ xét các phương trình bậc hai có hệ số là các số vô tỉ. Ta tiếp
tục với bài tập sau:
Bài 3: Giải phương trình: 4x2 – 2(1 + 3 )x + 3 =0
Hướng dẫn giải:
3=1-2
2
2
Ta có: Δ'= 1+ 3 - 4 3=1+2 3+3-4
3+3= 1- 3
Vì ' > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
2 = 1+ 3+ 1- 3 = 3
x=
1+ 3+ 1- 3
1
x2 =

4

1+ 3- 1- 3
4

2

2
4
= 1+ 3- 1- 3 = 1
4

2
1 3
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = ;
2 2
Nhận xét:
Khi các hệ số a, b, c của phương trình là số vô tỉ thì sau khi tính hoặc ' xong
cần xem có đưa được về bình phương của một tổng hoặc bình phương của một
hiệu hay không.
Ở dạng này, tôi chỉ đưa ra các bài tập giải phương trình bậc hai đơn giản,
mục đích muốn giúp học sinh nắm vững công thức nghiệm, công thức nghiệm thu
gọn của phương trình bậc hai. Các phương trình phức tạp thì không đề cập đến
trong phần này mà sẽ giới thiệu trong chuyên đề phương trình quy về phương trình
bậc hai.
Dạng 2: Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai.
Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 của nhiều tỉnh, thành
trong cả nước. Ta thường gặp dạng bài chứng minh phương trình bậc hai có
nghiệm, có hai nghiệm phân biệt hoặc vô nghiệm. Ta xét một số bài tập sau:
5

Bài 1: Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + m2 – 2m + 5 = 0 (m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm với mọi giáÁ́ trịỤ̣ của m.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có:
= m-1

2

-4m

2

- 2m +5

2

= m - 2m +1- 4m
2
= -3m + 6m -19

2

+8m -20

2

= -3 m-1 -16
Vì -3(m-1)2 0 với mọi giá trị của m nên -3(m - 1)2 – 16 < 0 với mọi giá trị của m
< 0 với mọi giá trị của m
Vậy phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m.

Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn
Δ'<0

chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm ta chứng minh

< 0 hoặc

.

Bài 2: Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số).
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh HoáÁ́ năm học 2004 - 2005)
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có:
2
Δ= m+1 -4.1. 2m-3
2
= m +2m +1-8m +12
2
= m -6m +13
2
= m -6m +9 +4
2
= m-3 +4

2
Vì m-3 0, m nên 4>0, m . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với
mọi giá trị của m.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn
chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ta chứng minh 0 hoặc ' 0

.
2
Bài 3: Cho phương trình: x
2(1 m)x 3 m 0 , m là tham số
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giáÁ́ trịỤ̣ của m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình ĐịỤ̣nh năm học 2015 - 2016)
Hướng dẫn giải:
Ta có: ’ = (1 – m)2 – 1(-3 + m)
= m2 – 2m + 1 + 3 – m
= m2 – 3m + 4
32 7
= m- 2 + 4

6


Vì m- 3 2 0 với mọi giá trị của m nên

7 >0với mọi giá trị của m.

2
4
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 - m - m = 0. (với m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giáÁ́ trịỤ̣ của m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh HoáÁ́ năm học 2003 - 2004)
Hướng dẫn giải:
2
2
Ta có: Δ'= -m -1. m - m -m = m +m

- Nếu m 0 thì m = m . Do đó Δ'= 2m 0 (vì m 0 ) nên phương trình có nghiệm.
- Nếu m < 0 thì m = -m . Do đó Δ'= - m + m = 0 nên phương trình có nghiệm kép.
Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn
chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh 0 hoặc ' 0 .
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giáÁ́ trịỤ̣ của a, b, c:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Hướng dẫn giải:
Biến đổi phương trình về dạng: 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0.
Phương trình trên là phương trình bậc hai có:
2
Δ'= a +b+c -3. ab+ac+bc
2 2 2
=a +b +c +2ab+2ac+2bc-3ab-3ac-3bc
2 2 2
=a +b +c -ab-ac -bc
2
2
2
1
= 2 . a -b + b-c
+ c-a
2
2
2
Với mọi a, b, c ta có: a-b
0; b-c
0; c-a
0 nên suy ra ' 0 .
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c.

Nhận xét: Khi đưa ra bài tập này, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được:
Phương trình ban đầu không phải là phương trình bậc hai nhưng sau khi biến đổi ta
đưa về được phương trình bậc hai. Khi đó ta áp dụng công thức nghiệm thu gọn
của phương trình bậc hai để chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 6: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giáÁ́ trịỤ̣ của k.
Hướng dẫn giải:
+ Nếu k = 0, phương trình có dạng 2(x - 1) = 0 x = 1
+ Nếu k 0, phương trình biến đổi về dạng: kx2 + 2(1 - 2k) x + 3k - 2 = 0 (*) Δ'
= (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k
= k2 - 2k + 1 = (k - 1)2
Vì (k - 1)2 > 0 với mọi giá trị của k nên ' > 0 với mọi giá trị của k, do đó phương
trình (*) luôn có nghiệm.
7


Kết hợp hai trường hợp ta có phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k
Nhận xét: Khi đưa ra bài tập này, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được:
Phương trình ban đầu không phải là phương trình bậc hai nhưng sau khi biến đổi ta
đưa về được phương trình dạng ax2 + bx + c = 0. Tuy nhiên khi gặp phương trình
này, giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng chỉ được tính hoặc ' khi hệ số a khác 0.
Trong trường hợp a có thể bằng 0 thì cần phải xét các trường hợp xảy ra.
a 2
2
Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x -2 a +b+c x +3ab+3ac+2bc+ 2 =0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giáÁ́ trịỤ̣ của a, b, c.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có:
a2
2

Δ'= a + b + c - 3ab +3ac + 2bc +

2

2
2
2
2
= a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc-3ab -3ac -2bc- a
2
2
a
2
2
= + b + c -ab-ac
2
2 2

-ab + b 2 +

a

=
4

Vìa

a

-ac + c 2

4

a
2 a
2
= 2 - b + 2 -c
2
0 vàa 2 0 nên ' 0 với mọi giá trị của a, b, c; suy ra phương

-b

-c

2
2
trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c.
Bài 8: Cho phương trình: (m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) =
0 Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giáÁ́ trịỤ̣
của tham số m
Phân tích, tìm cách giải: Nếu bài này ta dùng điều kiện > 0 thì bài toán
trở nên khá phức tạp. Vậy có cách nào khác để chứng minh phương trình trên
có hai nghiệm phân biệt hay không. Đối với bài toán này, ta áp dụng kiến thức
sau: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a và c trái dấu thì phương trình
có hai nghiệm phân biệt.(Sách giáo khoa toán 9, tâp 2, trang 45).
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình:(m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = 0
Ta có: a = m2 – 2m + 5 = (m - 1)2 + 4 > 0 m
2

c = –(m – m + 1) = m

12

3

2

4

0m

Do đó phương trình bậc hai (m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = 0
có a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn chốt lại hai cách chứng minh phương trình
bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
8


- Cách 1: Chứng minh phương trình có > 0 hoặc Δ'> 0
- Cách 2: Chứng minh phương trình có a và c trái dấu.
Bài 9: Chứng minh rằng ít nhất một trong cáÁ́c phương trình bậc hai sau đây
có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0
(1)
bx2 + 2cx + a = 0
(2)
cx2 + 2ax + b = 0
(3)
Hướng dẫn giải:

Vì các phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên a 0;b 0;c 0. Ta có:
' 2
' 2
' 2
=
b
-ac;
1
2 =c -ab; 3 =a -bc nên:
' +Δ' +Δ' =a2 +b2 +c2-ab-ac-bc
1
2
3
2
2 2
2 2
2
=1 a -2ab+b +b -2bc+c +c -2ca+a
2
2
2
2
1
= 2 a-b
+ b-c + c-a
'
'
Dó đó suy ra: ' +Δ +Δ 0.
1
2

3
'
'
'
Vậy trong ba số
ít nhất phải có một số không âm (vì nếu cả ba số đều
;
;
1

2

3

âm thì tổng ba số phải là một số âm, vô lý), suy ra có ít nhất một trong ba phương
trình đã cho có nghiệm.
Nhận xét: Qua bài tập trên tôi muốn chốt lại cách giải các bài tập chứng minh ít
nhất một trong các phương trình bậc hai đã cho có nghiệm.
-Khi chứng minh ít nhất một trong hai phương trình bậc hai có nghiệm ta

. 0

'

'

' '

chứng minh 1 2 0 hoặc 1 2 (hay 1 +Δ 2 0 hoặc 1 . 2 0 )
- Khi chứng minh ít nhất một trong ba phương trình bậc hai có nghiệm ta

. . 0
' ' '
'' '
chứng minh 1 2 3 0 hoặc 1 2 3 (hay 1 2 3 0 hoặc 1 . 2. 3 0 )
Các bài toán khác có cách giải tương tự.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, phương trình
vô nghiệm.
Khi giới thiệu dạng bài tập này, tôi đưa ra cách giải tổng quát cho học sinh
trước khi đưa ra hệ thống bài tập:
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
- Phương trình (1) có nghiệm0 hoặc ' 0
- Phương trình (1) có nghiệm kép0 hoặc ' 0
- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt0 hoặc ' 0
- Phương trình (1) vô nghiệm0 hoặc ' 0
Khi đưa ra hệ thống bài tập phần này, tôi thường căn cứ vào trình độ của học
sinh để lựa chọn các bài tập phù hợp. Nếu ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông
thì chỉ đưa ra những bài vừa phải, còn khi ôn thi học sinh giỏi thì đưa ra những bài
phức tạp hơn. Sau đây là một số bài tập:
Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (m là tham số)
Tìm cáÁ́c giáÁ́ trịỤ̣ của m để phương trình có một nghiệm x = - 2
9


Hướng dẫn giải:
Phương trình có nghiệm x = - 2 khi:
(-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0
4 + 2m + 10 - m + 6 = 0
m = - 20
Nhận xét:
Qua bài này tôi chốt lại cách giải cho học sinh: Muốn tìm giá trị của tham số

để phương trình có nghiệm x 0 ta thay x = x0 vào phương trình, từ đó suy ra giá trị
của tham số cần tìm.
Bài 2:Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0 (m là tham số).
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0

(m + 1)2 - m2 > 0

2m + 1 > 0

- 1
m> 2

Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 5 = 0.
Tìm tất cả cáÁ́c giáÁ́ trịỤ̣ của m để phương trình có nghiệm.
(Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh HoáÁ́, năm học 2000 - 2001)
Hướng dẫn giải:
Phương trình trên là phương trình bậc hai có:
2
2
2
Δ'= m+1 - 2m+5 = m +2m+1-2m-5=m -4
2
2 m2
h có nghiệm thì
'0m 40m 4
m2
Nhận xét: Từ bài 2, bài 3 một lần nữa tôi nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh:

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm
0 hoặc ' 0
- Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a
0) có hai nghiệm phân biệt
0 hoặc
' 0
Bài 4: Tìm cáÁ́c giáÁ́ trịỤ̣ của tham số m để phương trình sau vô nghiệm
2
x 2mx m m 2 0
(Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh HoáÁ́, năm học 2006 - 2007)
Hướng dẫn giải:
Phương trình trên là phương trình bậc hai có:
2
2
Δ'= m - -m m + 2 = m + m m -2
2
- Nếu m < 0 thì m = - m Δ'=m +m. -m -2= -2< 0 . Do đó phương trình vô
nghiệm
- Nếu m

0 thì m = m

2

2

Δ'= m +m. m -2= 2m -2 .
2
2
Phương trình vô nghiệm 2m 2 0

m
1 0 m 1(Vì m 0).
Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m < 1.
Bài 5: Cho phương trình: (m - 1)x2 + (2m - 3)x + (m + 2) = 0 (m là tham
số) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
- Nếu m = 1 thì phương trình đã cho có dạng: - x + 3 = 0 x 3
10


- Nếu m

1 thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có:

Δ= 2m-3

2

2

2

- 4 m-1 m+2 =4m -12m+9-4 m +m-2 =17 -16m

17

Phương trình có nghiệm 0 17 16m 0 m 16 (với m 1 )
Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Phương trình có nghịm khi và chỉ khi m

17

16

Nhận xét: Đối với bài tập 5, đa số các em học sinh lớp 9 mới làm quen với công
thức nghệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai đều ngay lập
tức tính và cho điều kiện 0. Do đó, khi đưa ra bài tập 5, tôi muốn nhấn mạnh cho
học sinh: Phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai mà nó mới có
dạng ax2 + bx + c = 0. Vì vậy với những bài tập này ta cần xét trường hợp đặc biệt
khi a = 0; khi a 0 ta mới được tính hoặc ' .
Bài 6: Cho phương trình: mx2 – 2(m + 2)x + 9 = 0 (m là tham số)
Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Hướng dẫn giải:
Phương trình có nghiệm kép
m 0
m 0
m 0
m 1
2
m 2 29m 0
m 5m 4 0
' 0

m 4

m+2

Nghiệm kép của phương trình là: x =
m
- Với m = 1 thì nghiệm kép là: x = 3
3

- Với m = 4 thì nghiệm kép là: x = 2
Nhận xét:
Khi đưa ra bài 6, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh nhớ rằng, phương trình
ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi a 0 hoặc a 0
Δ=0
Δ'=0
Tương tự, cần chốt lại cho học sinh: phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a 0 hoặc a 0
Δ>0
Δ' >0
Qua bài 5 và bài 6 tôi khắc sâu kiến thức cho học sinh: Nếu phương trình ax 2
+ bx + c = 0 có hệ số a có chứa tham số và có thể bằng 0 thì tuỳ theo yêu cầu của
bài toán ta cần xét các trường hợp xảy ra (như bài 5) hay đặt điều kiện a 0 (như bài
6).
Bài 7: Cho phương trình: 4x2 + 2(m -1)x – m = 0 (m là tham số)
2 2
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 +x 2 - x1x2 =2
Hướng dẫn giải:
Phương trình trên là phương trình bậc hai có:
2
2
2
'
m 1
4m m 2m 1 m 1
0, m
Do đó phương trình luôn có hai nghệm: x1

1

2 ; x2

m

2

11


Thay

x1 ;x
1 2

2

2

m

vào
2

x

2

2
1

x

2
2

x x 2 ta được phương trình:
12

1 m
m
2 m m 7 0
4
4 4
1 29
Giải phương trình ta được: m
2
Nhận xét:
- Khi đưa ra bài tập trên tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh: Với những
phương trình mà hoặc ' biểu diễn được về dạng bình phương đúng của một biểu
thức thì áp dụng công thức nghiệm hay công thức nghiệm thu gọn ta tính được
nghiệm của phương trình ở dạng đơn giản, không chứa căn. Khi đó ta có thể có lời
giải đẹp cho những bài toán tìm giá trị của tham số để hai nghiệm cuả phương trình
thoả mãn điều kiện cho trước.
- Với những bài toán mà hai nghiệm x1 và x2 có vai trò không như nhau thì
khi giải theo cách này phải xét hai trường hợp xảy ra của x1 và x2.
- Bài toán trên ta còn giải theo cách quen thuộc là áp dụng hệ thức Vi-ét mà
tôi xin không đề cập đến trong bài viết này.
Bài 8: Cho phương trình: x4 + 2x2 + 2ax + (a + 1)2 = 0 (a là tham số).
Tìm giáÁ́ trịỤ̣ của a để phương trình trên có nghiệm x0 sao cho x0 đạt giáÁ́ trịỤ̣ lớn
nhất.

Hướng dẫn giải:
Giả sử phương trình có nghiệm là x0. Ta có:
4
2
2
x0 2 x0 2 ax0 a 1
0
4
2
2
x0 2 x0 2ax0 a 2 a 1 0
2
4
2
a 2 x0 1 a x0 2 x0 1 0 (*)
Vì phương trình đã cho có nghiệm x0 nên phải tồn tại giá trị của a để có nghiệm x0.
Vì vậy phương (*) phải có nghiệm a.
Phương trình (*) có nghiệm a
' 0
2 4
2
2
x0 1 x0 2 x0 1 0 x0 1
2 2
x0 1 0
2
2
2
x0 1 x0 1 x0 1 x0 1 0 x0 x0 2
x0 1 x0 0

1 27
2
x0 1 x0 0 ( Do x0 x0 2 x0 2
4 0) 0 x0 1

0 x

1

Vì
nên giá trị lớn nhất của x0 là 1 xảy ra tại a = - (x0 + 1) = -2
0
Nhận xét:
Từ cách giải trên ta còn tìm được giá trị nhỏ nhất của x 0 là 0 xảy ra tại a = -1.
12


Trong bài 8, phương trình đã cho là phương trình bậc bốn với ẩn x. Với cách
giải trên ta đã đổi vai trò ẩn và tham số, đưa phương trình đã cho về phương trình
bậc hai với ẩn a, coi x0 như tham số. Từ điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình
bậc hai ta tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x 0. Phương pháp giải như
trên gọi là hoán đổi vai trò ẩn và tham số. Qua bài tập này, tôi lưu ý cho học sinh
khi gặp những phương trình mà ẩn không phải là bậc hai nhưng tham số có bậc hai
thì ta nghĩ đến cách giải hoán đổi vai trò của ẩn và tham số tương tự như cách giải
trên.
Dạng 4:Ứng dụng của công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào
giải cáÁ́c bài toáÁ́n kháÁ́c.
Ứng dụng 1: Ứng dụng vào giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)

Phân tích, tìm hướng giải: Ta thấy phương trình trên các ẩn x và y đều có bậc
cao nhất là 2. Do đó ta có thể đưa phương trình về phương trình bậc hai với
một ẩn, coi ẩn còn lại như tham số. Khi đó từ điều kiện có nghiệm của phương
trình bậc hai nếu ta giới hạn được khoảng giá trị của một ẩn thì sẽ tìm được các
giá trị nguyên và suy ra được các nghiệm nguyên của phương trình.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho viết dưới dạng: 3y2 + 2(3x - 14)y + 12x2 – 28x = 0 (1)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn y thì ta có:

'

3x 14

2

2

3 12x

9x 2
84x 196 36x
27x 196

2
2

28x
84x

2

Để phương trình có nghiệm thì ' 0 . Suy ra x
7 x
2; 1;0;1;2
- Nếu x = -2 thì ' 88 . Khi đó phương trình (1) có nghiệm y =
20 88 không là
3
số nguyên nên loại.
4
- Nếu x = - 1 thì ' 169 . Suy ra y = 10 (chọn) và y = 3 (loại)
28
- Nếu x = 0 thì ' 196 . Suy ra y = 0 (chọn) và y = 3 (loại)
2
- Nếu x = 1 thì ' 169 . Suy ra y = 8 (chọn) và y = 3 (loại)
- Nếu x = -2 thì ' 88 . Khi đó phương trình (1) có nghiệm y =

8 88 không là
3

số nguyên nên loại.
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) là: (0; 0); (1; 8); (-1; 10)
Nhận xét:
- Nếu ta đưa phương trình trên về phương trình bậc hai với ẩn x và tính '
theo y thì lời giải sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Do vậy khi gặp dạng bài này tôi
thường lưu ý cho học sinh phải xem nên đưa về phương trình bậc hai với ẩn nào để
lời giải là ngắn gọn nhất.
13


- Với một số phương trình thì sau khi tính hoặc ' ta phải kết hợp với một vài

kiến thức về số học mới tính được nghiệm. Ta xét bài tập sau:
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho viết dưới dạng: y2 + 2(2x + 1)y + 3x2 + 4x + 5 = 0 (2)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn y thì ta có:
2
2
2
2
2
' 2x 1 3x 4x 5 4x 4x 1 3x 4x 5 x 4
Phương trình (2) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ' là số chính phương.
Đặt x2 – 4 = n2 ( với n N ) thì ta có:
x2 – 4 = n2 (x – n).(x + n) = 4
Vì x + n và x – n cùng tính chẵn, lẻ với mọi giá trị nguyên của x và n nên suy ra:
x – n = x + n = 2 hoặc x – n = x + n = -2. Từ đó ta được x = 2 hặc x = -2.
- Với x = - 2 thì ta tính được y = 3
- Với x = 2 thì ta tính được y = -5
Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (x; y) là (-2; 3) và (2; -5)
Nhận xét:
- Trong cách giải trên ta đã sử dụng một cách giải khác của phương trình
nghiệm nguyên đó là cách đưa về phương trình ước số.
- Để giảm bớt việc xét các trường hợp xảy ra của phương trình (x – n).(x +
n) = 4 ta đã sử dụng một tính chất, đó là: Với hai số nguyên a và b ta luôn có a + b
và a – b là hai đại lượng cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Với cách giải tương tự bài 2, ta có bài 3 sau đây:
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2ax – (a + 3) = 0 (a là tham số). Hãy tìm tất
cả cáÁ́c số nguyên a sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn giải:
2

Phương trình x2 – 2ax – (a + 3) = 0 (3) là phương trình bậc hai ẩn x có
' a a
Phương trình (3) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi
Đặt a2 + a + 3 = k2 (với k N ). Ta có:
a
2

2

a 3

k

3.
' là số chính phương.

2

2
4a 12 4k
2
2
2a 1
2k
11
2a 1 2 k 2 a 1 2 k11
4a

2a 1 2k 1
2a 1 2k 11

2a 1 2k

11

2a 1 2k 1
k
3
a
2
k
a

3

3

do 2 a 1 2 k 2 a 1 2 k ; k N


Vậy a = 2 và a = - 3 là giá trị cần tìm.
14


Bài 4: Tìm cáá́c nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: 5(x 2 + xy +
y2 )= 7(x + 2y)
(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Thanh HoáÁ́ năm học 2014 - 2015)
Hướng dẫn giải:
Đưa phương trình đã cho về dạng: 5y2 + (5x - 14)y + 5x2 – 7x = 0
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x, ta có:
2

2
5x 14 4.5. 5x 7x
2
2
25x 140x 196 100x 140x
2
75x 196
2 196
Để phương trình có nghiệm thì 0 x
75 x 0; 1;1 Với x = 0
thì ta tính được y = 0
Với x = 1 thì ta tính được y = 2
Với x = - 1 thì ta tính được y = 3
Vậy phương trình có ba nghiệm nguyên (x; y) là: (0; 0); (-1; 3); (1; 2).
Nhận xét:
Sau khi giới thiệu các bài tập trên tôi nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng: Khi
giải phương trình nghiệm nguyên mà phương trình đưa được về dạng phương trình
bậc hai với một trong các ẩn thì ta có thể nghĩ đến phương pháp giải vận dụng
công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn tương tự với các cách giải trên.
Ứng dụng 2:Ứng dụng vào giải hệ phương trình.
4
2 698
(1)
x
y
81
Bài 1: Giải hệ phương trình:
2 2
(2)
x y xy 3x 4y 4 0

Hướng dẫn giải:
2
2
y 3x
Ta có: (2) x
y 2 0
Để phương trình trên có nghiệm đối với ẩn x, ta phải có:
7
(3)
2
2
0 y 3 4
y 2 0 1 y 3y 7 0 1 y
3
2
2
Mặt khác ta lại có: (2) y (x 4) y 3x 4 x 0
Để phương trình trên có nghiệm đối với ẩn y, ta phải có:
0 x 4
24
4 3x 0 0 x
4 (4)
2
x 3x 4 0 x
3
2
Từ (3) và (4) ta có: 4
4 2 4
7
697 698 , không thoả mãn phương trình (1).

x y
3
3
81
81
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

15


1 22
(1)
y
2
Bài 2: Giải hệ phương trình:
2
2
(2)
x xy y y 0
(Trích đề thi họọ̣c sinh giỏi lớp 9 tỉnh Thanh Hoáá́ năm họọ̣c
1998 – 1999, bảng A)
Hướng dẫn giải:
Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x thì ta có:
2
2
2
y 4 y y3y 4y y 4 3y
Để phương trình (2) có nghiệm x thì 0 y 4 3 y 0 0 y
4 (3)
x

Từ phương trình (2) ta có: y2 + (x - 1)y + x2 = 0

3

Coi phương trình là phương trình bậc hai ẩn y thì ta có:
2
2
2
x 1 4x
3x 2x 1 x 1 1 3x
Để phương trình (2) có nghiệm y thì 0
x 1 1 3 01 x
x
2
4
11 2 (không thoả mãn (1))
Từ (3) và (4) suy ra: x 1 y 2 1 1
2
3 2 3
9
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
2
2 2
x y
z 2xy xz yz 3
Bài 3: Giải hệ phương trình:
2 y 2 yz xz 2xy 1

1 (4)

3

(I)

x

Hướng dẫn giải:
2
2
x y z x y z 3 0 Ta có: (I)

(1)

y2 zx y 1 0

x

(2)

Coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x + y, để phương trình có nghiệm
2
2
2
2
ta phải có: 0 z 4 z 3 0 3z 12 0 z 4 2 z 2 (3)
Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x - y, để phương trình có nghiệm
z 2
2
(4)
ta phải có:0 z 4 0

z 2

Từ (3) và (4) suy ra z = 2 hoặc z = -2.
- Với z = 2 thay vào hệ phương trình (I) ta được:

(I)

x y
x y

2

x y 1 0

2

2 x y 1 0

2

x y 1
x y 1

2

0
0

2

x y

1x 1

x y

1

y 0

- Với z = - 2 thay vào hệ phương trình (I) ta được:
(I)

x y
x y

2

2

x y 1 0

2
2

x y 1 0

x y 1
x y 1

2

2

0
0

x y1

x1

x y1

y 0

Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm (x, y, z) là: (1; 0; 2); (-1; 0; -2)
Nhận xét:
16


Qua các bài tập giải hệ phương trình ở trên tôi thường chốt lại kiến thức cho
học sinh: Khi gặp bài tập giải hệ phương trình mà trong hệ đã cho có phương trình
đưa được về dạng phương trình bậc hai thì ta nên nghĩ đến việc áp dụng công thức
nghiệm hay công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để giới hạn giá trị
của các ẩn, từ đó có thể giúp ta có được lời giải đẹp cho bài toán.
Ứng dụng 3: Ứng dụng vào bài toáÁ́n chứng minh bất đẳng thức, tìm giáÁ́ trịỤ̣ lớn
nhất, giáÁ́ trịỤ̣ nhỏ nhất.
Bài 1: Cho x, y thoả mãn: x2 + y2 = xy – x + 2y.

-23

23

Hướng dẫn giải:
2
2
Ta có: x2 + y2 = xy – x + 2y
y
x 2 y x x 0 (*)
Ta coi phương trình trên là phương bậc hai với ẩn y thì ta có:
2
2
2
2
2
x
2
4x
x x 4x 4 4x
4x 3x 4
Để tồn tại x; y thoả mãn điều kiện x2 + y2 = xy – x + 2y thì phương (*) phải có
nghiệm y. Do đó 0 . Suy ra:
2
x
2
2 3x
23
x 4
3
3

3
3
Vậy ta chứng minh được : 2 3 x
2 3
3
3
125
2
3
x 1 y. Chứng minh rằng: x
Bài 2: Cho x 1; y 0 thoả mãn y x 1
Hướng dẫn giải:
64
Ta có: y 2 x 1

x 1 y y2

x 1 y

x 1 0

125

- Nếu x = 1 thì y = 0, ta có x3 = 1<
64 (đúng)
- Nếu x > 1 thì phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn y. Phương trình có
nghiệm khi và chỉ khi:
0 1 4 x 1 0 5 4x 0 x
Với 1 x 5 thì x 3 125
4

64

5

3
Vậy ta chứng minh được x

4

125

64

.

Bài 3: Cho x, y, z là cáÁ́c số dương thay đổi thoả mãn:
5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60.
Tìm giáÁ́ trịỤ̣ lớn nhất của biểu thức B = x + y + z.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh HoáÁ́, năm học 2016 - 2017)
Hướng dẫn giải:

2

2

2

Ta có: 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60
5x 2xyz 4y
3z

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x thì ta có:
'

yz 2 5 4y 2 3z 2 60

y 2 z 2 20y 2 15z 2 300

60 0 (*)

15 y 2 20 z2
17


2
2
Vì 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 và x, y, z nguyên dương nên 4y
60; 3z 60 .
2
2
2
2
Do đó: y 15; z 20 15 y 0; 20 z 0
0.
Vì
0 và x dương nên phương trình (*) có nghiệm:
2
2
x
yz 15 y 20 z
5

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm 15 – y2 và 20 – z2 ta luôn có:

15 y

2

20 z

Suy ra: x

yz

2

2 15 y
35 y
5

x y z 35 y z

2

2

2
2
20 z 15 y

2 2
z

2

2yz 35 y

2 2
z

20 2
z

2

1010
y z 5 0
15 y

2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x y z 6

20 z

2 2
z
2

2
35

y z

10

10( y z) 60 y z 5

35 y

10

6

2

x 1
y 2
z 3

Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 xảy ra khi x = 1; y = 2; z = 3.
Nhận xét: Khi đưa ra các bài tập trên tôi chốt lại ghi nhớ cho học sinh: Trong các
bài tập chứng minh bất đẳng thức, nếu trong đề bài có các điều kiện mà biểu diễn
được về dạng phương trình bậc hai thì hãy nhớ đến cách giải vận dụng công thức
nghiệm hay công thức nghiệm thu gọn, có thể ta sẽ tìm được lời giải hay cho bài
toán.
Bài 4: Cho biểu thức: y =
của y

x 2 2x 2

. Tìm giáÁ́ trịỤ̣ lớn nhất và giáÁ́

trịỤ̣ nhỏ nhất x 2 2x 2

Hướng dẫn giải:
Ta có: x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0 với mọi x nên y xác định với mọi giá trị của x.
y=

x 2 2x 2

2
2
2
2
yx 2yx 2y x 2x 2y 1 x 2 y 1 x 2 y 1 0 x 2x 2

(*)
- Nếu y = 1 thì thay vào (*) ta có x = 0
- Nếu y 1 thì (*) là phương trình bậc hai với ẩn x. Để tồn tại x thì ' 0 .
2
2
2
2
'
0
y 1
2y 1
0
y 6y 1 0
y 3
8 3 22
Từ đó ta có:

Giá trị nhỏ nhất của y là 3-2 2 xảy ra tại x = y 1
2 22
y 1
2 1

y 3 22

18


Giá trị lớn nhất của y là 3+2

2 xảy ra tại x =

y 1

42

22

22
2
y 1
Vậy: Giá trị lớn nhất của y là 3+2 2 xảy ra khi x = - 2 ;
Giá trị nhỏ nhất của y là 3-2 2 xảy ra tại x =
2
Nhận xét:
Phương pháp giải như trên được gọi là phương pháp xác định miền giá trị
của hàm số. Ta cần nhấn mạnh cho học sinh rằng khi hàm số có thể đưa về dạng
của một phương trình bậc hai thì ta có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số bằng cách như trên.
Một số bài tập tương tự:
Bài 1 Cho phương trình x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0. Tìm m để phương trình có
nghiệm kép ? Hãy tính nghiệm kép đó.
Bài 2 Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với m là tham số
a) Giải phương trình với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 3 Cho phương trình bậc 2: x2 - (2m + 1)x + m2 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Với giá trị nào của m phương trình (1) có nghiệm kép.Tìm nghiệm kép
đó Bài 4 Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) ( m là tham số)
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
2
4
2
Bài 5 Cho phương trình x +2(m+1)x-2m +m =0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài 6 Tim tham sô m đê phương trinh :x 2 +2(m +1)x +2m2 +2m +1 = 0 vô nghiêm
Bµi 7 T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn m ®Ó ph¬ng tr×nh Èn x sau: x 2 - m2 x + m
+1=0
cã nghiÖm nguyªn.
Bài 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
m(m-1)x2 + 2(m-1)x + 2(m-1)=0
Bài 9 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a: ax2 – 2(3a+1)x + a – 2 = 0
Bài 10 Giải hệ phương trình: x2 +y2 +z2 =1
(1)
2+ y 2-2xy+2yz -2xz+1=0
(2)
x

Bài 11 Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + 13y2 – 6xy = 100
Bài 12 Giải hệ phương trình: x3 y2 2

2 2

x y xy - y 0
Bài 13 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y

2
x 4 2x 3
Bài 14: Tìm giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm: x2 1

x4 + 2ax2 + x + a2 + a = 0
Bài 15: Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất thoả mãn: x2 + y2 + 2xy – 8x + 6y = 0
19


2.4. Hiệu quả của sáÁ́ng kiến kinh nghiệm
Sau nhiều năm giảng day môn toán lớp 9, ôn tập cho học sinh thi vào lớp 10
THPT, thi vào các trường THPT chuyên, thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, sau
mỗi năm tôi lại tích luỹ thêm các bài tập lí thú về phần này. Từ một đơn vị kiến
thức trong sách giáo khoa, tôi đã giúp học sinh hệ thống được các dạng bài tập
thường gặp trong các đề thi, củng cố được phương pháp giải mỗi dạng bài tập. Mỗi
khi dạy cho học sinh ứng dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào
giải các dạng bài tập, đặc biệt là giới thiệu các bài tập ứng dụng vào giải phương
trình nghiệm nguyên, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức hay phương
pháp hoán đổi vai trò ẩn và tham, số thì nhiều học sinh thấy bất ngờ với cách giải.
Các em thấy được những điều vô cùng thú vị ẩn sau những công thức đơn giản
trong sách giáo khoa mà các em được học. Đây chính là một trong những nội dung

tạo được hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư duy linh hoạt cho học
sinh. Từ đó thắp sáng niềm say mê học tập của học sinh.
Sau khi truyền đạt nội dung này tới học sinh, các học sinh tôi dạy đều ghi
nhớ kiến thức và phương pháp giải rất tốt. Mỗi khi gặp những bài tập dạng này các
em rất tự tin và vận dụng được các kiến thức mà mình đã được lĩnh hội.
Qua các năm giảng dạy, học sinh của tôi thi vào lớp 10 THPT điểm môn
toán tương đối cao, có nhiều em được điểm tuyệt đối môn toán. Nhiều em thi đậu
vào các trường chuyên Lam Sơn, khối chuyên của trường đại học khoa học tự
nhiên. có em khi tiếp tục học lên THPT đã đạt giải học sinh giỏi cấp quốc gia môn
toán. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, nhiều em đã đạt thành tích
cao: giải nhất, giải nhì cấp huyện, đạt giải nhì cấp tỉnh. Kết quả đó giúp tôi khẳng
định rằng sáng kiến kinh nghiệm của mình thực sự đem lại hiệu quả trong giảng
dạy.
3.KẾT LUẬỤ̣N, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy rằng muốn học sinh nắm
vững kiến thức thì mỗi thầy giáo, cô giáo phải thực sự tâm huyết với nghề, phải
kiên trì uốn nắn cho mỗi học sinh khi các em chưa nắm vững kiến thức. Khi củng
cố một nội dung kiến thức nào thì tôi luôn tuân thủ theo nguyên tắc từ dễ đến khó,
từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập tôi đưa ra cho học sinh luôn bám sát
vào các đề thi để tạo sức thuyết phục cho học sinh. Kiến thức tôi truyền thụ đến
học sinh luôn có hệ thống, mỗi dạng bài phải chốt được phương pháp giải.
Để giúp học sinh có được những kĩ năng tư duy sáng tạo, nhạy bén trong học
tập và thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư phạm, tuy
nhiên không có phương pháp nào là vạn năng để đạt được một kết quả tốt trong các
kì thi mà đó là sự tổng hợp của nhiều phương pháp khác nhau. Khi dạy học sinh
cách vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào giải các dạng
bài tập, giáo viên cần sử dụng linh hoạt, mềm dẻo, tuỳ thuộc vào khả năng nhận
thức của học sinh.
Sau một thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy tôi

nhận thấy rằng những kinh nghiệm này phù hợp với nội dung chuẩn kiến thức kĩ
năng và bám sát cấu trúc đề thi vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi, học sinh chủ
20


động, tích cực trong việc lĩnh hội kiến thức và kĩ năng. Không khí học tập sôi nổi,
học sinh yêu thích môn học hơn. Tôi hi vọng rằng với việc áp dụng đề tài này giúp
cho học sinh đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi mà các em sẽ phải vượt qua.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi đúc rút được qua quá trình giảng
dạy từ các năm học và muốn chia sẻ với đồng nghiệp. Tuy nhiên, do thời gian có
hạn tôi không thể trình bày tỉ mỉ, chi tiết, cụ thể; những hiểu biết và kinh nghiệm
trên chắc chắn không tránh những sai sót, rất mong được sự góp ý chân thành của
các đồng nghiệp để bản thân tôi được học hỏi, tiếp tục trau dồi và hoàn thiện nhằm
góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của mình.
3.2.Kiến nghịỤ̣.
Hàng năm, phòng giáo dục đào tạo, sở giáo dục và đào tạo tổ chức các lớp
chuyên đề về đổi mới phương pháp giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy một
cách hiệu quả và thiết thực để các giáo viên có dịp cùng nhau trao đổi, học hỏi kinh
nghiệm.
Phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay trong huyện, trong tỉnh cho giáo
viên để áp dụng vào quá trình giảng dạy ở các nhà trường.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊThanh Hoá, ngày

tháng 05 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
TáÁ́c giả:

Vũ Thị Tuyên

21


TÀÀ̀I LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 9, tập 2.
2. Sách bài tập toán 9, tập 2.
3. Sách giá viên toán 9, tập 2.
4. Phương trình bậc hai và một số ứng dụng; tác giả Nguyễn Đức Tấn.
5. 500 bài toán chọn lọc lớp 9; tác giả Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Quang Hạnh –
Ngô Long Hậu.
6. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 9 - đại số; tác giả Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ
Quang Thiều.
7. Ôn luyện thi vào lớp 10 môn toán; tác giả Tôn Thân – Mai Công Mãn - Nguyễn
Văn Ngọc – Hoàng Xuân Vinh.
8. Ôn tập thi vào lớp 10 môn toán; tác giả Phan Doãn Thoại(chủ biên) - Trịnh Thuý
Hằng - Lại Thanh Hương – Hoàng Xuân Vinh
9. Tạp chí toán tuổi thơ 2
10.

Các đề thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước.

11.

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 cấp tỉnh của tỉnh Thanh Hoá.

22