Sổ tay toán cấp III doc

T

p h
p

1. Một số khái niệm

+
Tập hợp A, chứa các phần tử x, y, ,

A = {x, y, }, x

A, y

A

+

Tập hợp A chứa các phần tử x thỏa mãn
đ
iều kiện P.


A = {x\ x thỏa mãn
đ
iều kiện P}

+

gọi l
à

tập rỗng (tập hợp kh
ô
ng có phần tử).

+
A

B thì A l
à
tập con của tập B.

+

A = B thì tập A v
à
tập B đ
ều l
à
tập con của nhau.

2. Các phép toán về tập hợp

+
Hợp

A

B = {x

A hoặc x

B}

+
A

B = B

A ; (A

B)

C = A

(B

C)

A

A = A ; A

A

B ; B

A

B

A

= A

+

Giao

A

B = {x

A v
à
x

B}

+
A

B = B

A ; A

B

B ; A

B

A

A

A = A ; (A

B)

C = (A

C)

(B

C)

A

=
; (A

B)

C = (A

C)

(B

C)

+
(A

B)

C = A

(B

C)

+

Hiệu

A \ B = {x | x

A v
à
x

B}

A \ A =


(A \ B)

C = (A

C) \ B = (A

C) \ (B

C)

A \ B = A \ (A

B)

A = (A

B)

(A \ B)

+
Phần bù



C
A
S = A\ S (S

A)

3. Tập hợp số

+

Tập hợp số tự nhi
ê
n

N = {0, 1, 2, }

+

Tập hợp số nguy
ê
n

Z = {
-
2,
-
1, 0, 1, 2, }

+

Tập hợp số hữu tỉ



+ Tập hợp số thực

R = {a
0
, a
1
, a
2
, | a
0


Z, a
k


{0, 1, 2, , 9}}

Nh

vậy ta có :


N

Z

Q

R

1. Tính chất các phép toán tr

ê
n số

+

Tính chất giao hoán của phép cộng v
à
nh
â
n


a + b = b + a


ab = ba

+
Tính chất kết hợp của phép cộng v
à
nh
â
n


(a + b) + c = a + (b + c)


(a.b).c = a.(b.c)

+
Tính chất ph
â
n phối của phép nh
â
n đ
ối với phép cộng


(a + b)c = ac + bc

+
Tính chất ph
â
n phối của phép nh
â
n đ
ối với phép trừ


(a
-
b)c = ac
-
bc

2. Biểu thức ph
ân

+

Tính chất c
ơ bản của ph
â
n thức



+

Các phép toán của ph
â
n thức




3. Tỉ lệ thức

+

Tỉ lệ thức l
à
một
đ
ẳng thức của hai tỉ số

a, d l
à
hai ngo
ạ
i tỉ ; b, c l
à
hai trung tỉ.

+

Tính chất c
ơ
bản của tỉ lệ thức :


ad = bc

+

Một số tính chất khác

Với a, b, c, d
0 v
à

thì :



Biểu thức đại số

Lòy thõa
C¨n bËc n
Luü thõa vµ c¨n sè

+
Một số
đ
ịnh nghĩa

* Luỹ thừa số mũ nguy
ê
n


* Luỹ thừa số mũ hữu tỉ


* Luỹ thừa số mũ v
ô
tỉ


(a > 0, x l
à
số v
ô
tỉ > 0)

(x
n
)

l
à
dãy số gần
đ
úng thiếu của x)


+
Các tính chất c
ơ
bản của luỹ thừa

Giả sử a > 0, b > 0

x, y

R ta có :


+
Một số tính chất khác

*
x, y

R, x < y

+ Với a > 1

a
x
< a
y

+ Với 0 < a < 1

a
x
> a
y

* (x
n
)

R, a > 0 m
à
:



Luỹ thừa

+
Định nghĩa : n

N
*
, căn bậc n của số a l
à
một số b sao cho
b
n
= a,

kí hiệu l
à

*
Mọi số a chỉ có một căn bậc lẻ

* Số
â
m kh
ô
ng có căn bậc chẵn

* Số dơ
ng có hai căn bậc chẵn, hai căn ấy có số trị
đ
ối nhau. Giá trị d
ơ
ng của căn bậc chẵn n của số a > 0 kí
hiệu l
à
.

+

với a > 0 gọi l
à
căn số học

+




Căn bậc n

D·y sè
CÊp sè céng
CÊp sè nh©n
Mét sè c«ng thøc kh¸c
D·y sè - CÊp sè céng - CÊp sè nh©n

+

Định nghĩa

Gọi N
*
= {1, 2, 3, }

Một dãy số l
à

một h
à
m số u từ
N
*

tới R


u : N
*
R

n
U(n)

Kí hiệu U
n
= U(n), viết dãy số d
ới d
ạ
ng


U
1
, U
2
, U
3

, U
n

+

Cách cho dãy số

*
Dãy số cho bởi c
ô
ng thức :


U
n
= 2n + 1

*
Dãy số cho bởi cách m
ô
tả các số h
ạ
ng li
ê
n tiếp của nó

*
Dãy số cho bởi c
ô
ng thức truy hồi chẳng h

ạ
n dãy số Phibonasi :


U
1
= U
2
= 1, U
n
= U
n
-
2
+ U
n
-
1

với n
3

Dễ d
à
ng ta có d
ạ
ng khai triển của dãy :

1, 1, 2, 3, 5, 8

*
Dãy số b
ằ
ng quy n
ạ
p :

-

Cho số h
ạ
ng thứ nhất
U
1

-

Với n > 1 cho c
ô
ng thức
U
n
khi biết
U
n
-
1

+

Dãy số tăng, giảm

*
Dãy số
(U
n
)

gọi l
à
tăng nếu

n

N
*
,
U
n
<
U
n
+
1


*
Dãy số
(U
n

)

gọi l
à
giảm nếu

n

N
*
,
U
n
>
U
n
+
1


+

Dãy số bị chặn

*
Dãy số
(U
n
)

bị chặn tr
ê
n nếu

M sao cho

n

N
*
,
U
n

M


*
Dãy số
(U
n
)

bị chặn d
ới nếu

M sao cho

n

N
*
,
U
n

m

*
U
n

gọi l
à
bị chặn nếu

M,
m sao cho m

U
n

M.

+

Các phép toán tr
ê
n dãy số

*
(U
n
)

(
V
n
) = (U
n


V
n
)

*
(U
n
) =
(

U
n
)

*
(U
n
).(V

n
) =
(U
n.
V
n
)


Dãy số



+
Định nghĩa

Cấp số cộng l
à
một dãy số trong
đ
ó, kể từ số h
ạ
ng thứ hai
đ
ều l
à
tổng của số h
ạ
ng đ
ứng ngay tr

ớc nó với một
số kh
ông đ
ổi khác 0 gọi l
à
c
ô
ng sai.



n

N
*
,
U
n + 1
=
U
n
+ d

+
Tính chất của cấp số cộng

*
U
n + 1

U
n
=
U
n + 2



U
n + 1

+
Số h
ạ
ng tổng quát


U
n
=
U
1
+ d(n

1)

+
Tổng n số h

ạ
ng đ
ầu



Cấp số cộng





+
Định nghĩa

Cấp số nh
â
n l
à
một dãy số trong
đ
ó số h
ạ
ng đ
ầu khác kh
ô
ng v
à
kể từ số h
ạ

ng thứ hai
đ
ều b
ằ
ng tích của số
h
ạ
ng đ
ứng ngay tr
ớc nó với một số kh
ông đ
ổi khác 0 v
à
khác 1 gọi l
à
c
ô
ng bội.



n

N
*
,
U
n + 1
=
U

n
.q

+
Tính chất :



+
Số h
ạ
ng tổng quát :

U
n
= U
1
.q
n
-
1

+
Tổng n số h
ạ
ng đ
ầu ti
ê
n

+
Tổng của cấp số nh
â
n v
ô h
ạ
n

Với |q| < 1



Cấp số nhân



Mét sè c«ng thøc kh¸c cña d·y sè

1. Khái niệm

Log
a
N (a > 0, a

1, N > 0)

l
à

logarit của N theo c
ơ
số a.

2. Các đ
ẳng thức c
ơ
bản của logarit


*
lgN l
à
logarit thập ph
â
n (c
ơ
số 10)



*
LnN l
à
logarit tự nhi
ê
n (logarit c
ơ
số e)

3. Tính chất của logarit


4. Đổi c
ơ
số


5. Logarit thập ph
ân


L
ôgarít

Ho¸n vÞ
ChØnh hîp
Tæ hîp
Tam gi¸c Pascal
C
«ng thøc Newt¬n
Tæ hîp - C«ng thøc Newt¬n

+
Định nghĩa

Một hoán vị của n phần tử l
à
một bộ gồm n phần tử

đó, đ
ợc sắp xếp theo một thứ tự nhất
đ
ịnh, mỗi phần tử có
mặt
đ
úng một lần.

Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu l
à
P
n


+
C
ô
ng thức :

P
n
=1.2.3 n = n


Hoán vị


+
Định nghĩa

Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 < k

n) l
à
một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử
đ
ã cho.
Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu l
à

.

C
ô
ng thức :


(Qui
ớc 0! = 1)

Chỉnh hợp

+
Định nghĩa

Cho một tập hợp A gồm n phần tử (n nguy
ê
n dơ
ng). Một tổ hợp chập k của n phần tử (0
k

n) l
à
một tập
con của A gồm k phần tử. Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu l
à

+
C
ô
ng thức


+
Tính chất


Tổ hợp

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n = 6 1 6 15 20 15 6 1

n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1

n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

n = 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Tam gi¸c Pascal

T
k

l
µ
sè h
¹
ng thø k + 1 cña khai triÓn nhÞ thøc :




C«ng thøc Newt¬n

Ph¬ng tr×nh
HÖ ph¬ng tr×nh
Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh

1. Một số khai triển

+
Đẳng thức f(x) = g(x)

(1) trong
đ
ó f(x) v
à
g(x) l
à
những biểu thức của x,
đ
ợc gọi l
à
phơ
ng trình một ẩn số, x
l
à
ẩn số.

+
Giải ph
ơ
ng trình (1) l
à
tìm giá trị
x = x
0
đ

ể có
đ
ẳng thức
đ
úng f(
x
0
) = g(
x
0
).

+
T
ơ
ng tự f(
x
1
,
x
2
,
x
3
, ,
x
n
) = g(
x
1

,
x
2
,
x
3
, ,
x
n
)
đ
ợc gọi l
à
phơ
ng trình n ẩn,
(n


N
*
)

+
Tập hợp các giá trị
x
0
gọi l
à
tập hợp các nghiệm của ph
ơ

ng trình kí hiệu l
à
M, nếu ph
ơ
ng trình kh
ô
ng có
nghiệm thì tập hợp các nghiệm l
à
tập
.

2. Phơ
ng trình t
ơng đơng
-

phép biến
đ
ổi t
ơng đơng

+
Phơ
ng trình f(x) = 0

(1) có tập hợp nghiệm l
à
M
1

.

Phơ
ng trình g(x) = 0

(2) có tập hợp nghiệm l
à
M
2
.

*
Nếu
M
1
=
M
2

(1) v
à
(
2) t
ơng đơng

+
Nếu
M
1

M
2

(2) l
à
phơ
ng trình hệ quả của ph
ơ
ng trình (1).

+
Hai phơ
ng trình f(x) = 0

(1) v
à
f(x) + h(x) = h(x)

(2) l
à
t
ơng đơ
ng nếu h(x) có miền xác
đ
ịnh chứa tập
nghiệm (1).

+

Hai phơ
ng trình f(x) = 0

(1) v
à
f(x).h(x) = 0

(2) t
ơng đơng
h(x)
0 v
à
miền xác
đ
ịnh h(x) chứa miềm
xác
đ
ịnh của f(x).

3. Phơ
ng trình bậc nhất

+
D
ạ
ng ax + b = 0 (x l
à
ẩn a, b

R miền xác

đ
ịnh l
à
R).

Nghiệm

*
a
0 : có nghiệm duy nhất :



*
a = 0, b
0 : V
ô
nghiệm

*
a = 0, b = 0 : V
ô
số nghiệm tr
ê
n R

4. Phơ
ng trình bậc hai

+

a
x
2
+ bx + c = 0.
= b
2

-
4ac

*
Nếu

> 0 thì M = {x
1
,
x
2
}



khi b = 2b',
'' = b'
2

-
ac

thì :

*
Nếu

= 0, thì
M = {x
1
}



*
Nếu

< 0, thì M =
.

+
Một số tr
ờng hợp th
ờng gặp


N
ếu
> 0, M = {x
1
,

x
2
}




< 0, M =
.

*
a
x
2
+ bx + c = 0

có a + b + c = 0

Phơng trình

Định lí Viét

Nếu ph

ơ
ng trình bậc hai a
x
2
+ bx + c = 0

có


+
Xét dấu nghiệm (quy
ớc
x
1
>
x
2
)


5. Phơ
ng trình quy về bậc hai

*
a
x
4
+ bx
2
+ c = 0

(1)

(a
0) (ph
ơ
ng trình trùng ph
ơ
ng)

Đặt :


Phơ
ng trình (1)
đ
a về ay
2
+ by + c = 0

(2). Giải ph
ơ
ng trình (2) tìm nghiệm y

0, sau
đ
ó tìm x b
ằ
ng c
ông

thức



* (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 với a + b = c + d.

Đặt y = (x + a)(x + b)


Đặt :



Chia hai vế của ph
ơ
ng trình cho
x
2

(vì x = 0 kh
ô
ng phải nghiệm của ph
ơ
ng trình).

6. Phơ
ng trình bậc ba

+
D

ạ
ng x
3
+ px + q = 0
(1)


C
ô
ng thức nghiệm của ph
ơ
ng trình (1) (c
ô
ng thức Cac
đ
an
ô
)


+
D
ạ
ng y
3
+ ay
2
+ by + c = 0

Đặt

ta có ph
ơ
ng trình d
ạ
ng x
3
+ px + q = 0
v
à
có c
ô
ng thức giải nh

tr
ê
n.

7. Phơ
ng trình chứa căn bậc hai



8. Phơ
ng trình tuyệt
đ
ối


9. Phơ

ng trình mũ

*
N
 0 ph¬
ng tr×nh v
«
nghiÖm

*
N > 0 ph
¬
ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt


10. Ph¬
ng tr×nh logarit


log
a
x = N (a > 0, a

1) cã nghiÖm duy nhÊt x = a
N




1. Hệ ph
ơ
ng trình bậc nhất




*
Nếu D
0 hệ phơ
ng trình (1) có một nghiệm duy nhất


*
Nếu D
=
0 v
à
(
Dx
0) hoặc (Dy
0) hệ ph
ơ

ng trình (1) v
ô
nghiệm.

*
Nếu D = Dx = Dy = 0

-

Tr
ờng hợp a = a' = b = b' = 0, c 0, c' 0 hệ phơ
ng trình (1) v
ô
nghiệm.

-

Các tr
ờng hợp khác hệ (1) v
ô
số nghiệm.

2. Hệ ph
ơ
ng trình bậc hai

+
Hệ phơ
ng trình bậc hai hai ẩn số có d
ạ

ng


Ta chỉ xét hai hệ sau :

+
Hệ phơ
ng trình
đ
ối xứng
đ
ối với x v
à
y (khi thay x bởi y hoặc y bởi x thì hệ ph
ơ
ng trình kh
ông đ
ổi)

Chẳng h
ạ
n :


Đối với hệ ph
ơ
ng trình trình n
à
y đặt S = x + y, P = xy.

+
Hệ phơ
ng trình
đ
ẳng cấp bậc hai có d
ạ
ng


Nếu x = 0, y = 0 kh
ô
ng phải l
à
nghiệm thì
đ
ặt y = kx v
à
ta
đợc phơ
ng trình bậc hai theo k.

Hệ phơng trình

BÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai
Mét sè bÊt ph¬ng tr×nh kh¸c
BÊt ph¬ng tr×nh

+
Dấu của nhị thức ax + b


+
Bất phơ
ng trình bậc nhất th
ờng có d
ạ
ng

ax + b > 0, ax + b

0, ax + b < 0, ax + b
0.

ax + b > 0

ax >
-
b


*
Nếu a = 0, b > 0 bất ph
ơ
ng trình

có nghiệm tuỳ ý M = R.

*
Nếu a = 0, b < 0 bất ph
ơ
ng trình v
ô
nghiệm M =
.

+
Hệ bất phơ
ng trình bậc nhất hai ẩn số l
à
tập hợp gồm nhiều bất ph
ơ
ng trình bậc nhất hai ẩn số.

Tìm miền nghiệm của từng bất ph
ơ
ng trình, sau
đ
ó tổng hợp tìm miền nghiệm của hệ.

Bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất

+
Tam thøc

cã hai nghiÖm

th× :

+
DÊu cña tam thøc



* 
< 0 th× a.f(x) > 0


x

R

* 
= 0 th× a.f(x) > 0




*  > 0


+
So s¸nh nghiÖm ph
¬
ng tr×nh bËc hai

+
BÊt ph¬
ng tr×nh bËc hai











BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai
