Đại số tuyến tính - Bài 3: Ma trận nghịch đảo pdf

Bài 3

−1

AX = B ⇔ X = A B


§3: Ma trận nghịch đảo
∑

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


§3: Ma trận nghịch đảo
∑

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


§3: Ma trận nghịch đảo
∑
Nhận xét:

ín h
yến T

ố Tu
Đại S


§3: Ma trận nghịch đảo
∑
Nhận xét:

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


§3: Ma trận nghịch đảo
∑
Tính chất:
1)

2) ( A−1 ) −1 = A
T −1

−1 T

3) ( A ) = ( A )

ín h
yến T
ố Tu
Đại S

§3: Ma trận nghịch đảo
∑

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


§3: Ma trận nghịch đảo
∑

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


§3: Ma trận nghịch đảo
∑

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


§3: Ma trận nghịch đảo

∑


ín h
yến T
ố Tu
Đại S

Ví dụ: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:

 1 2 3  A11 = 28 A21 = -29 A31 = -12
 −2 4 0  A12 = 14 A = -5 A = -6
A=
22
32

 4 −5 7  A13 = -6 A23 = 13 A33 = 8


 A11
A
PA =  12
 A13


A21
A22
A23

A31  

=
A32  
A33  
 








∑

§3: Ma trận nghịch đảo

ín h
yến T
ố Tu
Đại S

Bài tập: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận
sau:2 0 0

 A11 = -1 A21 = 0 A31 = 0
 5 1 0  A12 = 5 A22 = -2 A32 = 0
A=
 A = 17 A = -8 A = 2
13
23

33



 3 4 −1



 A11
A
PA =  12
 A13


A21
A22
A23

A31  
=
A32  
A33  
 







§3: Ma trận nghịch đảo
∑

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


∑

§3: Ma trận nghịch đảo

ín h
yến T
ố Tu
Đại S

Ví dụ:

 1 2 3   28 −29 −12 
 −2 4 0  14 −5 −6 
APA = 


 4 −5 7   −6 13
8 




38 0 0 
 0 38 0 
=

 0 0 38



1 0 0 
0 1 0 
= 38 

0 0 1 




§3: Ma trận nghịch đảo
∑

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

ín h
yến T
ố Tu
Đại S

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau: 2 3 
1
det( A) = −1

0 1 4 
A=

0 0 −1



 −1 2 5 
PA =  0 −1 −4 


0 0 1



1 −2 −5
−1


A = 0 1
4

0 0 −1




∑


§3: Ma trận nghịch đảo

ín h
yến T
ố Tu
Đại S

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:

2 6
A=

1 4 
A−1 =

det( A) = 2

 4 −6 

PA =
 −1 2 



1  4 −6   2
 −1 2  =  − 1
2
  2

−3

1


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

ín h
yến T
ố Tu
Đại S

Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:

0 2 3 
1 0 −1

A=

4 5 0 



det( A) = ? 
1
−1
PA
⇒ A =
PA = ?
det( A)



∑


§3: Ma trận nghịch đảo

Đáp số:

 5 15 −2 
1

−1
A =  −4 −12 3 
7
 5

8 −2 



ín h
yến T
ố Tu
Đại S


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

ín h
yến T
ố Tu
Đại S

Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
2 5
 −2 5 
−1
A=
Đáp số: A = 


1 2


 1 −2 
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2

a b 
 d −b 
A=
 ⇒ PA =  −c a 
c d 




§3: Ma trận nghịch đảo
∑
Bài tốn: Tìm ma trận X thỏa mãn
1)
2)
3)
4)

AX = B
XA = B
AXB = C
AX + kB = C

ín h
yến T
ố Tu
Đại S

∑


§3: Ma trận nghịch đảo

Ta có:

1)

AX=B ⇔ A AX=A B
-1

-1

⇔ IX=A B
-1

−1

⇔X=A B
−1

2) XA = B ⇔ XAA = BA
⇔ XI = BA

−1

⇔ X = BA

−1

−1

−1

≠A B

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


§3: Ma trận nghịch đảo
∑


Ta có:

3)

AXB=C ⇔ A AXB=A C
-1

-1

⇔ XBB =A CB
-1

-1

−1

⇔ X = A CB

−1

−1

4) AX + kB = C ⇔ AX = (C − kB)
−1

−1

⇔ A AX = A (C − kB)
⇔ X = A−1 (C − kB )

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


∑


§3: Ma trận nghịch đảo

Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:

1 2 3 
1 5 
0 1 4  X = 0 4 




0 0 −1
2 3




Phương trình có dạng: AX=B
−1

Ta có: X = A B

ín h
yến T
ố Tu
Đại S


∑

§3: Ma trận nghịch đảo

Vậy

1
0
X =
0

 −9
8
=
 −2


−2 −5 1 5 
 0 4
1 4 

0 −1  2 3 


−18

16 
−3 


ín h
yến T
ố Tu
Đại S

∑


§3: Ma trận nghịch đảo

ín h
yến T
ố Tu
Đại S

Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:

1 3 
1 −1  2 −3
X
 + 2 2 0  = 0 5 
2 4

 

Phương trình có dạng

XA + 2 B = C
−1
⇔ X = (C − 2 B) A