Skkn một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất cho lớp 10, 11

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CHO LỚP 10, 11"

1
skkn


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là một trong
những bài tốn khó. Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện trong các đề thi là
khá cao. Nhiều bài trong số đó quả thực là khó, cách giải khơng thực sự tự nhiên,
mang nhiều yếu tố cá nhân (người ra đề nắm được cách giải). Tuy nhiên bên cạnh đó
vẫn có nhiều dạng, loại mà ta có thể khái quát thành cách giải đặc trưng. Với mong
muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ mơn Tốn học nói riêng và chất
lượng giáo dục nói chung; chúng tơi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về “Một số
phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể: Công tác dạy học bộ mơn Tốn ở trường phổ thơng
Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất được giảng dạy
tại trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2011-2012; 2012-2013.

6. Giả thuyết khoa học

2
skkn


Hiện nay việc tiếp cận các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn
một số hạn chế (tài liệu tham khảo, giảng dạy). Nếu áp dụng SKKN của tác giả một
cách linh hoạt, phù hợp thì hiệu quả giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất sẽ cao hơn.
7. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phương pháp thống kê Toán học
8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm
Mở đầu
Nội dung chính
Kết luận
Tài liệu tham khảo.
NỘI DUNG
I.

Cơ sở lý luận
Trong quá trình xử lý các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta cần sử

dụng một số kiến thức: định lý về dấu tam thức bậc hai, các tính chất của bất đẳng
thức, các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, các bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng cách….
1. Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai

. Có

3
skkn

.


Nếu

thì

Nếu

thì

Nếu

thì

(

là hai nghiệm của tam thức bậc

hai).
2. Các tính chất của Bất đẳng thức.
Điều kiện

Nội dung

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)

4
skkn


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

4. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số

xác định trên tập D.

Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

trên D nếu

Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên D nếu

Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự.
II.

Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

1. Phương pháp phương trình bậc hai.

Xét bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

; trên tập D.

Lời giải
Gọi

là một giá trị của biểu thức. Chứng tỏ phải tồn tại

; điều đó chứng tỏ phương trình
phương trình

sao cho

có nghiệm trên D. Ta đi tìm điều kiện để

có nghiệm trên D; từ đó tìm được giá trị lớn nhất; nhỏ nhất.

Trong nhiều bài tốn phương trình

có dạng là phương trình bậc 2. Ở

5
skkn


phương pháp này ta cũng phải hạn chế đó là phương trình

có dạng phương

trình bậc 2. Ta xét một số ví dụ sau:
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Tập xác định
Gọi

là một giá trị của biểu thức

Chứng tỏ phương trình

có nghiệm.

Nhận xét: Đối với phương trình

có điều kiện

thì phương trình

sẽ có nghiệm khi và chỉ khi
Phương trình

có nghiệm

Nhận thấy khi
Vậy
Với cách làm tương tự ta có thể vận dụng vào một số bài sau; học sinh có thể tự ra
đề cho chính mình và các bạn trong lớp.
Bài 2. Tìm min; max
Bài 3. Tìm min; max
2. Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.

6
skkn


Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 – 2006) có đề tốn:
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

.

Lời giải 1
Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Nhìn vế trái là một tam thức bậc hai với ẩn là x thì:

Suy ra:

với

Suy ra:

Nếu m < -1 thì:
Do đó
Suy ra A > m. Vậy khơng có giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Nếu m = -1 thì A

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.

Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.
Nhận xét : Từ kết quả tìm được theo lời giải trên ta có thể đặt ra câu hỏi: Liệu có thể

phân tích biểu thức A = B + (-1)? Trong đó B

và B = 0 khi x = y = 1

Với suy nghĩ vậy ta có phương pháp thứ 3 như sau:
3. Phân tích thành tổng các bình phương cộng hoặc trừ một hằng số.

7
skkn


Lời giải 2
A=

.

A = (x-1)2 + (y-1)2 +(x-1) –y(x-1) -1
A = (x-1)2 + (y-1)2 – (x-1)(y-1) – 1
A=
Đẳng thức xảy ra
Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.
Với cách làm tương tự như trên ta có thể xử lý thêm bài tập sau
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B =
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.
Cách 2: Xét biểu thức

Khi đó:

khi

Bình luận: Bất đẳng thức

được vận dụng khá nhiều trong các bài tốn tìm

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 6. Tìm max
Bài 7. Tìm min 

8
skkn


4. Sử dụng tính tương giao giữa đường thẳng và đường trịn ; hình trịn để tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng :
mãn điều kiện cho trước

trong đó

thoả

là các hằng số.

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

với điều kiện

.

Lời giải

Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường tròn có tâm trùng gốc toạ độ, bán kính là
. Ký hiệu hình trịn là
Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có dạng phương trình đường
thẳng.
Gọi

là một giá trị của biểu thức với

Khi đó giữa đường thẳng

thoả mãn:

có phương trình

và đường trịn

phải

có điểm chung.
Điều kiện đó tương đương với:

Nhận thấy khi
tiếp điểm
Vậy

ứng với hai tiếp tuyến của đường tròn lần lượt tại các
.
.

9

skkn


Bình luận: Như vậy với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dạng
và điều kiện là

 ; ta có thể khái qt cách giải.

tốn có thể điều chỉnh là:

khi đó cách giải vẫn tương tự.

Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Điều kiện của bài

với điều kiện

.
Lời giải
Gọi

là một giá trị của biểu thức với

thoả mãn

Khi đó giữa đường thẳng có phương trình

và hình trịn

phải có điểm chung.

Điều đó tương đương với:

Vậy
Với tư duy tương tự học sinh cũng có thể tự nghĩ ra các đề toán để luyện tập; tập
dượt khả năng sáng tạo ở một khía cạnh nào đó. Khi đó bản thân giáo viên và học sinh sẽ

10
skkn


có những niềm vui nho nhỏ! Các em cũng thấy được cần phải học Cách thay vì học Cái
và tạo được phương pháp tự học cho các em.
Trong các Bài 8 ; Bài 9 khi điều kiện đã cho của đầu bài có sự thay đổi; chẳng hạn
điều kiện của biến thoả mãn phương trình của một Elip. Như vậy ta lại có một loạt bài
tốn tương tự.
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
mãn:

trong đó

thoả

.
Lời giải
Nhận xét: Điều kiện của bài tốn thoả mãn phương trình của một Elip. Tuy nhiên

trong trường hợp này và các trường hợp điều kiện tương tự thì ta có thể đưa điều kiện đó
về điều kiện của biến thoả mãn một phương trình đường trịn bằng các phép đổi biến.

Ta có phương trình của Elip :

Đặt

. Khi đó Elip biến thành đường trịn có phương trình:

và

.
Gọi Gọi

là một giá trị của biểu thức với

Chứng tỏ đường thẳng có phương trình

thoả mãn:
và đường trịn có phương trình

phải có điểm chung.

11
skkn


Điều đó tương đương :

Vậy
Trong trường hợp tổng quát điều kiện đầu bài cho là :
thì ta có cách đổi biến :

và khi đó sẽ biến Elip về đường trịn có phương trình

Với tư duy tương tự ta có thể có rất nhiều bài tốn với những số liệu khác nhau.
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

biết rằng

.
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

biết rằng

.
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Bài 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hệ

có nghiệm?

12
skkn

biết rằng


Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có dạng
điều kiện
đường trịn

thoả mãn:

và

. Khi đó cần sử dụng mệnh đề sau: Cho

và điểm P khơng trùng với tâm của đường trịn đó. Đường thẳng OP

cắt đường tròn tại hai điểm A; B. Với mọi điểm M trên đường trịn ta có:

Chứng minh :
Giả sử P nằm trên bán kính OA, ta có :

Vì
Vậy

.

Các trường hợp cịn lại được chứng minh tương tự.
Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải
Đặt

là đường trịn có tâm

.

Đường thẳng OI có phương trình là:
Gọi

là giao điểm của đường tròn

13
skkn

với đường thẳng OI

biết

thoả mãn


Xét

khi đó

. Sử dụng mệnh đề đã chứng minh ta có

Vậy

Tới đây ta chỉ việc thay điều kiện là một đường trịn khác thì sẽ có những bài tốn
khác nhau. Việc giải các bài tốn đó là tương tự.
5. Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM).
Trong chương trình phổ thơng học sinh chỉ được giới thiệu bất đẳng thức giữa
trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). Do đó trong phương pháp này tôi xin
được giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân vào
tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất.
Kỹ thuật 1 Thêm, bớt, tách.
Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng các kỹ thuật thêm,
bớt, tách cần hết sức linh hoạt, thể hiện được sự vận dụng khéo léo của người làm tốn.

Ta có một số biến đổi của kỹ thuật này như sau:

Bài 16. Cho

và

.

14
skkn


Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta viết lại biểu thức

Ví dụ với

thì

Vậy
Bài 17. Cho

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải
Ta có

Dấu bằng xảy ra
Vậy

Bài 18. Cho

. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

15
skkn


Lời giải
Ta viết lại biểu thức:

Ví dụ với

. Vậy

Bình luận: Tại sao ta không sử dụng luôn việc ghép cặp:
 ?
Khi đó dấu bằng xảy ra

khơng thỏa mãn điều kiện của đầu bài ! Do vậy

phép biến đổi như vậy không thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị cần hết sức chú ý
trường hợp dấu bằng xảy ra.
Bài 19. Cho

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:

16
skkn


Cộng vế với vế ta được:

Giả sử với
Vậy
Bài 20. Cho

. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải.
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:

Cộng vế với vế ta được:

17
skkn


Ví dụ khi

. Vậy

Một số bài tập vận dụng:
Bài 21. Cho
Bài 22. Cho

Bài 23. Cho

. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 24. Cho tam giác ABC nhọn. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Kỹ thuật 2. Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội)
Nhận xét: Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn nhất và số nhỏ nhất.
Bài 25. Cho

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải.
Giả sử

. Khi đó ta có các đánh giá sau:

18
skkn


Lại có theo bất đẳng thức AM-GM thì:

Từ (1); (2) và (3) ta có:
Dấu bằng xảy ra ví dụ với
Một số bài tập vận dụng:
Bài 26. Cho

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 27. Cho

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

6.

Phương pháp hình học, vector, toạ độ.
Trong quá trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần chú ý sử dụng các
đánh giá sau:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng hướng.

19
skkn


; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng phương.
; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Ba điểm A, B, C bất kỳ ta ln có:

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C.
Ba điểm bất kỳ A, B, C ta ln có

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C hoặc C nằm giữa A và B.
Bài 28. Tìm giá trị lớn nhất của

Lời giải.
Tập xác định
Ta có:
Đặt
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy

.

.

Bài 29. Cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 30. Cho
Tìm giá trị lớn nhất của

20
skkn


7. Kết quả vận dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đã được tác giả sử dụng trong
giảng dạy chuyên đề “Cực trị” cho học sinh các lớp 10A, 11M trường THPT Văn
Giang năm học 2012-2013.
Kết quả thu được thông qua kết quả đánh giá bài kiểm tra các em, qua phỏng vấn. Đa số
các em được hỏi đều có được sự tự tin, có hệ thống phương pháp giải tốn cực trị.

Điểm

4

5

6

7

8

9

10

Tổng số bài

10A

6

6

5

10

12

5

0

44

11M

8

5

5

9

10

0

0

37

Lớp

III. KẾT LUẬN
Với những kết quả thu được thì nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đã được hoàn
thành.
Tuy nhiên bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vẫn ln là bài tốn gây
những khó khăn nhất định cho thầy và trị trong q trình giảng dạy và học tập bộ mơn
Tốn học. Việc tìm hiểu các phương pháp giải tốn cực trị địi hỏi chúng ta ln ln

cập nhật và đổi mới. Những tìm hiểu của cá nhân tơi có lẽ khơng phủ hết được các
dạng loại (ví như sử dụng tính tương giao ta có thể mở rộng cho khơng gian để xét
tính tương giao giữa mặt phẳng và mặt cầu trong bài toán cực trị) do đó rất cần sự
đóng góp của các đồng chí trong Tổ Tốn – Tin để báo cáo được hoàn thiện hơn.

21
skkn


Xin trân trọng cảm ơn!

22
skkn