SKKN: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11

Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Một số phương pháp

tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11

1


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là một trong
những bài tốn khó. Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện trong các đề thi là khá
cao. Nhiều bài trong số đó quả thực là khó, cách giải khơng thực sự tự nhiên, mang nhiều
yếu tố cá nhân (người ra đề nắm được cách giải). Tuy nhiên bên cạnh đó vẫn có nhiều
dạng, loại mà ta có thể khái quát thành cách giải đặc trưng. Với mong muốn góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học bộ mơn Tốn học nói riêng và chất lượng giáo dục nói
chung; chúng tơi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về “Một số phương pháp tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể: Công tác dạy học bộ mơn Tốn ở trường phổ thơng
Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất được giảng dạy tại

trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2011-2012; 2012-2013.
6. Giả thuyết khoa học
Hiện nay việc tiếp cận các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn một số
hạn chế (tài liệu tham khảo, giảng dạy). Nếu áp dụng SKKN của tác giả một cách linh
hoạt, phù hợp thì hiệu quả giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ cao hơn.
7. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phương pháp thống kê Toán học
8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm
Mở đầu
Nội dung chính
Kết luận

2


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tài liệu tham khảo.
NỘI DUNG
I.

Cơ sở lý luận
Trong quá trình xử lý các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta cần sử dụng

một số kiến thức: định lý về dấu tam thức bậc hai, các tính chất của bất đẳng thức, các bất
đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, các bất đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng cách….
1. Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c;

 a  0  . Có

  b 2  4ac .

Nếu   0 thì a. f  x   0 x  R
Nếu   0 thì a. f  x   0 x  

b
2a

a. f  x   0 x   ; x1    x2 ;  
Nếu   0 thì 
( x1  x2 là hai nghiệm của tam
a
.
f
x

0

x

x
;
x






1
2
thức bậc hai).
2. Các tính chất của Bất đẳng thức.
Điều kiện

Nội dung
a  b  ac  bc

c0

a  b  ac  bc

c0

a  b  ac  bc

a  b
 ac bd

c  d
0  a  b
 ac  bd

0  c  d
a  b  a 2 n 1  b 2 n 1 ; n  N *
0  a  b  a 2n  b 2n ; n  N *
0ab a  b
ab 3 a  3b

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)

3


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------a b
 ab ; a, b  0.
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b .
4. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số f  x  xác định trên tập D.
Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
 f  x   M x  D


x0  D : f x0  M

 

f  x  trên D nếu

 

; M  Max f x

D

Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

f  x  trên D nếu

 f  x   m x  D

; m  min f x

D

x

D
:
f
x

m
 0
0

 

 

Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự.
II.

Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

1. Phương pháp phương trình bậc hai.
Xét bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A  f  x  ; trên tập D.
Lời giải
Gọi A0 là một giá trị của biểu thức. Chứng tỏ phải tồn tại x0  D sao cho

f  x0   A0 ; điều đó chứng tỏ phương trình f  x   A0  0 có nghiệm trên D. Ta đi tìm
điều kiện để phương trình f  x   A0  0 có nghiệm trên D; từ đó tìm được giá trị lớn nhất;
nhỏ nhất. Trong nhiều bài tốn phương trình f  x   A0  0 có dạng là phương trình bậc 2.
Ở phương pháp này ta cũng phải hạn chế đó là phương trình f  x   A0  0 có dạng phương
trình bậc 2. Ta xét một số ví dụ sau:
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của biểu thức y 

x
x2  1

Lời giải
Tập xác định D  R
Gọi y0 là một giá trị của biểu thức
2

Chứng tỏ phương trình y0 x  x  y0  0, 1 có nghiệm.

4


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

2

2

Nhận xét: Đối với phương trình ax  bx  c  0 có điều kiện a  b  0 thì phương trình
2

sẽ có nghiệm khi và chỉ khi b  4 ac  0
Phương trình 1 có nghiệm  1  4 y0  0  
2

Nhận thấy khi x  1  y 

1
2

Vậy min y   ;

1
1
 y0 
2
2

1
1
; x  1  y  
2
2

Maxy 

1
2

Với cách làm tương tự ta có thể vận dụng vào một số bài sau; học sinh có thể tự ra đề
cho chính mình và các bạn trong lớp.
Bài 2. Tìm min; max y 

x2  2 x  2
x2  2x  2

x2  8x  7
Bài 3. Tìm min; max y 
x2  1

 min y  3  2

2; maxy  3  2 2

 min y  1; maxy  9 

2. Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.
Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 – 2006) có đề tốn:
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2  y 2  x  y  xy .
Lời giải 1
Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
 x 2  y 2  x  y  xy  m

( x; y )  R  R

 x 2  ( y  1) x  y 2  y  m  0

( x; y )  R  R

Nhìn vế trái là một tam thức bậc hai với ẩn là x thì:
x 2  ( y  1) x  y 2  y  m  0

x  R

Suy ra:  x  3 y 2  6 y  1  4m  0 với y  R
Suy ra:  'y  12  12m  0
 m  1

Nếu m < -1 thì:  'y  0
Do đó  x  0
Suy ra A > m. Vậy khơng có giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Nếu m = -1 thì A  1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.

5




Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.
Nhận xét : Từ kết quả tìm được theo lời giải trên ta có thể đặt ra câu hỏi: Liệu có thể phân tích
biểu thức A = B + (-1)? Trong đó B  0 và B = 0 khi x = y = 1
Với suy nghĩ vậy ta có phương pháp thứ 3 như sau:
3. Phân tích thành tổng các bình phương cộng hoặc trừ một hằng số.
Lời giải 2
A = x 2  2 x  1  y 2  2 y  1  x  y  xy  1  1 .

A = (x-1)2 + (y-1)2 +(x-1) –y(x-1) -1
A = (x-1)2 + (y-1)2 – (x-1)(y-1) – 1
2

y  1  3( y  1)2

A =  x 1 
 1  1
 
2 
4


Đẳng thức xảy ra  x  y  1
Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.
Với cách làm tương tự như trên ta có thể xử lý thêm bài tập sau
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = x 2  y 2  xy  x  y
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.

2
3y 1
3
2

Cách 2: Xét biểu thức 9 B   3 x  1 

3
y


1
 3  3



2
4


Khi đó: min B  

1
1
khi x  y 
3
3
2

Bình luận: Bất đẳng thức a  0

a  R được vận dụng khá nhiều trong các bài tốn tìm

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
2

2

Bài 6. Tìm max P  2  5 x  y  4 xy  2 x;
2

2

Bài 7. Tìm min P  x  2 xy  6 y  12 x  45;

 maxP  3
9

 min P  
5


4. Sử dụng tính tương giao giữa đường thẳng và đường trịn ; hình trịn để tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng : f  ax + by; trong đó x; y thoả mãn
điều kiện cho trước a; b là các hằng số.

6


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

2

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F  2 x  y với điều kiện x  y  5 .
Lời giải
Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường trịn có tâm trùng gốc toạ độ, bán kính là

5 . Ký hiệu hình trịn là  C 
Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có dạng phương trình đường thẳng.
2

2

Gọi F0 là một giá trị của biểu thức với x; y thoả mãn: x  y  5
Khi đó giữa đường thẳng  có phương trình 2 x  y  F0  0 và đường tròn  C 
phải có điểm chung.
Điều kiện đó tương đương với: d  O;    5



 F0
 5
5

 F0  5
 5  F0  5
Nhận thấy khi F0  5; F0  5 ứng với hai tiếp tuyến của đường tròn lần lượt tại các
tiếp điểm  2;1 ;  2; 1 .
Vậy min F  5; MaxF = 5 .
Bình luận: Như vậy với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dạng

F=a.x+b.y và điều kiện là x 2  y 2  R 2 ; ta có thể khái quát cách giải. Điều kiện của bài
2

2

2

tốn có thể điều chỉnh là: x  y  R khi đó cách giải vẫn tương tự.
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  3 x  4 y với điều kiện

2

2
2

 x     y  2   25 .
3

Lời giải
2

2
2

Gọi F0 là một giá trị của biểu thức với x; y thoả mãn  x     y  2   25
3


7


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Khi đó

giữa đường

thẳng có

phương trình

3 x  4 y  F0  0 và hình trịn

2

2
2

 x     y  2   25 phải có điểm chung.
3

Điều đó tương đương với:

10  F0
5
5
 10  F0  25
 25  10  F0  25
 35   F0  15
 15  F0  35

Vậy min F  15;

MaxF=35

Với tư duy tương tự học sinh cũng có thể tự nghĩ ra các đề tốn để luyện tập; tập dượt
khả năng sáng tạo ở một khía cạnh nào đó. Khi đó bản thân giáo viên và học sinh sẽ có những
niềm vui nho nhỏ! Các em cũng thấy được cần phải học Cách thay vì học Cái và tạo được
phương pháp tự học cho các em.
Trong các Bài 8 ; Bài 9 khi điều kiện đã cho của đầu bài có sự thay đổi; chẳng hạn
điều kiện của biến thoả mãn phương trình của một Elip. Như vậy ta lại có một loạt bài tốn

tương tự.
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  2 x  3 y trong đó x; y thoả
2

2

mãn: 4 x  9 y  1 .
Lời giải
Nhận xét: Điều kiện của bài toán thoả mãn phương trình của một Elip. Tuy nhiên trong
trường hợp này và các trường hợp điều kiện tương tự thì ta có thể đưa điều kiện đó về điều
kiện của biến thoả mãn một phương trình đường trịn bằng các phép đổi biến.

x2 y 2
Ta có phương trình của Elip :

1
1
1
4
9
Đặt x 

z 2  y2 

9
3
.z  z . Khi đó Elip biến thành đường trịn có phương trình:
4
2

1
và F  3 z  3 y .
9
8


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

2

Gọi Gọi F0 là một giá trị của biểu thức với z; y thoả mãn: z  y 

1
9

Chứng tỏ đường thẳng có phương trình 3 z  3 y  F0  0 và đường trịn có phương trình

z 2  y2 

1
phải có điểm chung.
9

 F0 1

18 3

Điều đó tương đương :

  F0  2
  2  F0  2
Vậy min F   2; MaxF= 2
Trong

trường

hợp

tổng

quát

điều

kiện

mx 2  ny 2  r ;  m, n, r  0  thì ta có cách đổi biến : x 
2

2

đường trịn có phương trình y  z 

đầu

bài

cho

là :

n
z và khi đó sẽ biến Elip về
m

r
n
;F a
z  by
n
m

Với tư duy tương tự ta có thể có rất nhiều bài tốn với những số liệu khác nhau.
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x  y biết rằng

x2 y 2

 1.
4
9
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 

3
x  y biết rằng
2

3x2  2 y 2  1 .
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x  y biết rằng

 x  2

2

2

 8  y  3  8 .
3 x  4 y  m

Bài 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hệ 

2
2
x  y  9

9

có nghiệm?


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

2

Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có dạng F  x  y và điều

 x  a

kiện x; y thoả mãn:

2

2

  y  b   R 2 . Khi đó cần sử dụng mệnh đề sau: Cho

đường trịn (O; R) và điểm P không trùng với tâm của đường trịn đó. Đường thẳng OP cắt
đường trịn tại hai điểm A; B. Với mọi điểm M trên đường tròn ta có:

min  PA; PB   PM  max  PA; PB 
Chứng minh :
Giả sử P nằm trên bán kính OA, ta có :

PM  OM  OP  OA  OP  PA
PM  OM  OP  OB  OP  PB
Vì min  PA; PB   PA; PB  max  PA; PB 
Vậy min  PA; PB   PM  max  PA; PB  .
Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự.
2

2

Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x  y biết x; y thoả mãn

 x  2

2

2

  y  1  4 .

Lời giải
Đặt  C  là đường trịn có tâm I  2;1 ; R  2 .
Đường thẳng OI có phương trình là: x  2 y  0
Gọi A; B là giao điểm của đường tròn  C  với đường thẳng OI







 A 10  4 5;5  2 5 ; B 10  4 5;5  2 5



Xét M  x; y    C  khi đó F  x  y  OM . Sử dụng mệnh đề đã chứng minh
2



2

ta có min OA ; OB

2

2

  F  max OA ; OB 
2

2

OA2  225  100 5
OB 2  225  100 5
Vậy

10

2


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


5;  x  10  4


5

min F  225  100 5; x  10  4 5; y  5  2 5
max F  225  100

5; y  5  2

Tới đây ta chỉ việc thay điều kiện là một đường trịn khác thì sẽ có những bài tốn khác

nhau. Việc giải các bài tốn đó là tương tự.
5. Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM).
Trong chương trình phổ thông học sinh chỉ được giới thiệu bất đẳng thức giữa trung
bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). Do đó trong phương pháp này tôi xin được giới thiệu
việc áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân vào tìm giá trị lớn nhất;
giá trị nhỏ nhất.
Kỹ thuật 1 Thêm, bớt, tách.
Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng các kỹ thuật thêm, bớt,
tách cần hết sức linh hoạt, thể hiện được sự vận dụng khéo léo của người làm tốn.
Ta có một số biến đổi của kỹ thuật này như sau:

a
m
nm
a  at t  b a
a  a r .a1r  ...
b
n
n
Bài 16. Cho x  0; y  0 và x  y  1 .
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

1
1

 4 xy
2
x y
xy
2

Lời giải
Ta viết lại biểu thức

 1

1  1  1
P  2



 4 xy 

2
2 xy  4 xy  4 xy
x y

2



1

x

2

 y  2 xy
2

4

x  y

2





1

 x  y

Ví dụ với x  y 

2

1

 x  y

2

2

 2 2

1
4 xy

4 xy
5

x  y

2

;  AM  GM 

257

1
thì P  7
2

Vậy min P  7

11


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3 x 4  16
Bài 17. Cho x  0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 
x3
Lời giải
Ta có A  3 x 

16

x3

 A x x x

16
16
4 x. x. x.

4
8
x3
x3

Dấu bằng xảy ra  x  2
Vậy min A  8
Bài 18. Cho x; y; z  0; x  y  z 

P

3
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2

1 1 1
  x yz
x y z

Lời giải
Ta viết lại biểu thức:

 1
1
 1

P    4 x     4 y     4 z   3 x  y  z 
x
 y

 z

2

1
1
1
3
9 15
4x  2
4 y  2 4 z  3.  4  4  4  
x
y
z
2
2 2

Ví dụ với x  y  z 

1
15
15

; P  . Vậy min P 
2
2
2

Bình luận: Tại sao ta khơng sử dụng luôn việc ghép cặp:

1 
1 
1

P x  y z  6 ?
x 
y 
z

Khi đó dấu bằng xảy ra  x  y  z  1 không thỏa mãn điều kiện của đầu bài ! Do vậy
phép biến đổi như vậy không thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị cần hết sức chú ý
trường hợp dấu bằng xảy ra.

12


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 19. Cho a; b; c  0; a  b  c  2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

a2
b2

c2


bc ca a b

Lời giải
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:

a2
bc

a
bc
4
b2
ca

b
ca
4
c2
ab

c
ab
4
Cộng vế với vế ta được:

P 1 a  b  c  2
 P 1

Giả sử với a  b  c 

2
 P 1
3

Vậy min P  1
Bài 20. Cho x, y , z  0; x  y  z  1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x5 y 5 z 5
P 4  4  4
y
z
x
Lời giải.
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:

x5
 y  y  y  y  5 5 x5  5 x
4
y
y5
 z  z  z  z  5 5 y5  5 y
4
z
z5
 x  x  x  x  5 5 z5  5z
4
x
Cộng vế với vế ta được: P  x  y  z  1

Ví dụ khi x  y  z 

1
 P  1 . Vậy min P  1
3
13


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Một số bài tập vận dụng:
Bài 21. Cho x, y  0; x  y  1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
Cho

1
1

2
x y
xy
2

x, y  0; x  y  1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài

22.

P

3

2

 4 xy
2
x y
xy
2

2

2

2

Bài 23. Cho a , b, c  0; a  b  c  1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

a
b
c
 2
 2
2
2
b c
c a
a  b2
2

Bài 24. Cho tam giác ABC nhọn. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

1
1
1


cosA cosB cosC

Kỹ thuật 2. Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội)
Nhận xét: Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn nhất và số nhỏ nhất.
Bài 25. Cho a , b, c   0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

a
b
c


 1  a 1  b 1  c 
b  c 1 c  a 1 a  b 1
Lời giải.

Giả sử a  max a;b;c . Khi đó ta có các đánh giá sau:

b
b


; 1
a+c+1 b  c  1

c
c

;  2
a  b 1 b  c 1

Lại có theo bất đẳng thức AM-GM thì:
3

1 b 1 c  b  c 1
1  b 1  c  b  c  1  
 1
3


1
 1  b 1  c  
b  c 1
Do 1  a  0
1 a
 1  a 1  b 1  c  
;  3
b  c 1

14

Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Từ (1); (2) và (3) ta có: P 

a  b  c 1 a
1
b  c 1

Dấu bằng xảy ra ví dụ với a  b  c  1
Một số bài tập vận dụng:
Bài 26. Cho a; b; c   0;2 ; a  b  c  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P  a 2  b2  c2
Q  a 3  b3  c 3
Bài 27. Cho a; b; c  1;3; a  b  c  6. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P  a 2  b2  c2
6.

Phương pháp hình học, vector, toạ độ.
Trong quá trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần chú ý sử dụng các đánh
giá sau:

r r r r
u  v  u  v ; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng hướng.
rr r r
u.v  u . v ; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng phương.

r2
r r

u  0 ; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u  0
Ba điểm A, B, C bất kỳ ta ln có: AB  BC  AC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C.
Ba điểm bất kỳ A, B, C ta ln có AB  AC  BC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C hoặc C nằm giữa A và B.

x 2  4 x  5  x 2  10 x  50

Bài 28. Tìm giá trị lớn nhất của f  x  
Lời giải.
Tập xác định D  R
Ta có: f  x  

 x  2

2

1 

 x  5

2

Đặt M  x;0  ; A  2;1 ; B  5;5 
Suy ra f  x   MA  MB  AB  5

15

 25

Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 

4
.
5

Vậy Max f  x   5 .
2

2

Bài 29. Cho x, y , z  0 : x  xz  z  4

x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2 ;

Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
2

2

2

 min P  2 

2

Bài 30. Cho a , b, c, d  0 : a  b  c  d  5
Tìm giá trị lớn nhất của P 

5  a  2b  5  c  2d  5  ac  bd

7. Kết quả vận dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đã được tác giả sử dụng trong
giảng dạy chuyên đề “Cực trị” cho học sinh các lớp 10A, 11M trường THPT Văn Giang
năm học 2012-2013.
Kết quả thu được thông qua kết quả đánh giá bài kiểm tra các em, qua phỏng vấn. Đa
số các em được hỏi đều có được sự tự tin, có hệ thống phương pháp giải tốn cực trị.
Điểm

4

5

6

7

8

9

10

Tổng số bài

10A

6

6

5

10

12

5

0

44

11M

8

5

5

9

10

0

0

37

Lớp

16


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

III.

KẾT LUẬN

Với những kết quả thu được thì nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành.
Tuy nhiên bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vẫn ln là bài tốn gây những
khó khăn nhất định cho thầy và trị trong q trình giảng dạy và học tập bộ mơn Tốn học.
Việc tìm hiểu các phương pháp giải tốn cực trị địi hỏi chúng ta ln ln cập nhật và đổi
mới. Những tìm hiểu của cá nhân tơi có lẽ khơng phủ hết được các dạng loại (ví như sử
dụng tính tương giao ta có thể mở rộng cho khơng gian để xét tính tương giao giữa mặt
phẳng và mặt cầu trong bài toán cực trị) do đó rất cần sự đóng góp của các đồng chí trong
Tổ Tốn – Tin để báo cáo được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Người thực hiện

ĐÀO QUANG BÌNH

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo Tốn học và tuổi trẻ.

2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn: Đại số 10
3.

Nguyễn Văn Mậu: Phương pháp giải phương trình và bất phương trình

4. Đỗ Thanh Sơn: Một số chuyên đề Hình học phẳng

17


Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

18