CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM

Chương V:

§

. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO
XU THẾ TRUNG TÂM

Ⓐ. Tóm tắt lý thuyết:
①. SỐ TRUNG BÌNH VÀ TRUNG VỊ
*Số trung bình ( số trung bình cộng ) của mẫu số liệu

, kí hiệu là

, được tính

bằng cơng thức:
*Chú ý: Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được
tính theo cơng thức:
Trong đó
là tần số của giá trị
và
.
*Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị
trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để dại diện cho mẫu số liệu.
*Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị
khác), người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng số trung vị
Để tìm trung vị (kí hiệu
) của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
- Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
- Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu số giá trị của
mẫu số liệu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.

*Ý nghĩa. Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo
thứ tự khơng giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị khơng bị ảnh hưởng bởi giá trị bất
thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
②. TỨ PHÂN VỊ
* Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có giá trị, ta làm như sau:
- Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự khơng giảm.
- Tìm trung vị. Giá trị này là .
-

Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái

-

Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải

(khơng bao gồm
(không bao gồm

nếu
nếu

lẻ). Giá trị này là
lẻ). Giá trị này là

.
.

được gọi là các tứ phân vị của mẫu số.


Chú ý.
được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới,
được gọi là tứ phân vị
thứ ba hay tứ phân vị trên.
*Ý nghĩa. Các điểm
chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành
bốn phần, mỗi phần đều chứa
giá trị.

③. MỐT
*Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
*Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá
trị trùng nhau.
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 1


Ⓑ. Phân dạng bài tập:
➊.Dạng 1

Tìm số trung bình

Phương pháp:
+ Số trung bình cộng của các số liệu thống kê

Trong đó:

là

được tính theo cơng thức:

giá trị khác nhau của dấu hiệu X.

+ Trong trường hợp mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính bằng cơng
thức:
Trong đó:

là

giá trị khác nhau của dấu hiệu X.

là các tần số tương ứng.

* Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó
là một số đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu.
. Bài tập minh họa:
I. Bài Tập Tự Luận:
Bài 1:
Điểm thi HKI mơn tốn của tổ học sinh lớp 10C (quy ước làm tròn đến 0,5 điểm) liệt kê như
sau: 2; 5; 7,5; 8; 5; 7; 6,5; 9; 4,5; 10.
Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó (quy trịn đến chữ thập phân thứ nhất).
Giải
Điểm trung bình của 10 HS là

x
Bài 2:

(2  2.5  7,5  8  6,5  7  9  4,5  10) 64,5


 6,5.
10
10

Sản lượng lúa (đv tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng
tần số sau đây:

Sản lượng

20

21

22

23

24

Tần số

5

8

11

10

6

Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng
Giải
Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:
 5.20  8.21  11.22  10.23  6.24   22,1 (tạ)
x
40
Bài 3:

Một xạ thủ bắn 30 viên đạn vào bia kết quả được ghi lại trong bảng phân bổ tần số sau:
Lớp
Tần số

6
4

7
3

8
8

9
9

10
6

Tìm điểm số trung bình của xạ thủ trên.
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 2


Giải
Điểm số trung bình của xạ thủ là:
6.4  7.3  8.8  9.9  10.6
x
 8,33
30
Bài 4:

Có 100 học sinh tham dự kì thi HSG Tốn (thang điểm 20 điểm) kết quả như sau:

Điểm
Tần số

9
10
11
12
13
14
15
2
1
2
10
8
8

24
Tính điểm trung bình của 100 HS tham dự kì thi HSG trên.

16
14

17
18

18
10

19
3

Giải
Điểm trung bình của 100 HS là:

x
Bài 5:

2.9  1.10  2.11  10.12  8.13  8.14  24.15  14.16  18.17  10.18  3.19
 15,13
100

Thu nhập gia đình/năm của hai nhóm dân cư ở hai xã của một huyện được cho trong bảng sau:
(đv: triệu đồng)
Số gia đình
Thu nhập/năm
Nhóm 1

Nhóm 2

12, 75

4

2

13, 25
13, 75

40
73

20
42

14, 25

0

10

14, 75

3

16

a) Tìm số trung bình của thu nhập gia đình/năm của nhóm 1.
b) Tìm số trung bình của thu nhập gia đình/năm của nhóm 2.
c) Hỏi nhóm nào có thu nhập cao hơn?
Giải
a) Số trung bình của thu nhập gia đình/năm của nhóm 1
4.12, 75  40.13, 25  73.13, 75  0.14, 25  3.14, 75
x1 
 13,575
120
b) Số trung bình thu nhập gia đình/năm của nhóm 2
2.12, 75  20.13, 25  42.13, 75  10.14, 25  16.14, 75
x2 
 13,85
90
c) So sánh thu nhập trung bình của hai nhóm: nhóm 2 có thu nhập cao hơn.
II. Bài Tập Trắc Nghiệm:
Câu 1.

Điểm kiểm tra mơn Tốn cuối năm của một nhóm gồm 9 học sinh lớp 6 lần lượt là 1; 1; 3; 6; 7;
8; 8; 9; 10. Điểm trung bình của cả nhóm gần nhất với số nào dưới đây?
A. 7,5 .

B. 7 .

C. 6,5 .

D. 5,9 .

Lời giải
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 3


Chọn D

Điểm trung bình của cả nhóm là

Câu 2.

1  1  3  6  7  8  8  9  10 53

 5, 9 .
9
9

Kết quả điểm kiểm tra mơn Tốn của 40 học sinh lớp 10A được trình bày ở bảng sau
Điểm

4

5

6

7

8

9

10

Cộng

Tần số

2

8

7

10

8

3

2

40

Tính số trung bình cộng của bảng trên (làm trịn kết quả đến một chữ số thập phân).
A. 6, 4 .

B. 6,8 .

C. 6, 7 .

D. 7, 0 .

Lời giải
Chọn B
Số trung bình cộng của bảng đã cho là

 4.2  5.8  6.7  7.10  8.8  9.3  10.2 : 40  6,775  6,8 .
Câu 3.

Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:
Thời gian (giây)

8,3

8,4

8,5

8,7

8,8

Tần số

2

3

9

5

1

Hỏi trung bình mỗi học sinh chạy 50m hết bao lâu?
A. 8,54.
B. 4.
C. 8,50.

D. 8,53.

Lời giải
Chọn D
Thời gian trung bình để mỗi học sinh chạy được 50m là
8,3.2  8, 4.3  8,5.9  8,7.5  8,8
x
 8, 53
20
.
Câu 4.

Một tổ học sinh gồm 10 học sinh có điểm kiểm tra giữa học kì 2 mơn tốn như sau:
5;6;7;5;8;8;10;9;7;8 . Tính điểm trung bình của tổ học sinh đó.
A. 7 .

B. 8 .

C. 7,3 .

D. 7,5 .

Lời giải
Chọn C
Điểm trung bình của tổ học sinh đó là: x 
Câu 5.

5.2  6  7.2  8.3  9  10
 7,3 .
10

Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ và nhân viên trong một công ty được cho ở bảng dưới
đây:
Tiền thưởng

2

3

4

5

6

Cộng

Tần số

5

15

10

6

4

40

Tính tiền thưởng trung bình.
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 4


A. 3725000 đồng.

B. 3745000 đồng.

C. 3715000 đồng.

D. 3625000 đồng.

Lời giải
Chọn A.
Ta có tiền thưởng trung bình được tính theo cơng thức:
x

Câu 6.

2.5  3.15  4.10  5.6  6.4
 3, 725 (triệu đồng).
40

Số trung bình của mẫu số liệu 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41 là
A. 43,89 .

B. 46, 25 .

C. 47,36 .

D. 40,53 .

Lời giải
Chọn B

23  41  71  29  48  45  72  41
 46,25.
8
Số nhân khẩu trong các hộ gia đình ở một xóm được thống kê ở bảng sau:

Số trung bình x 
Câu 7.

Số 1
nhân khẩu
Số hộ gia 1
đình

2

3

4

5

6

4

7

11

5

2

Số trung bình của mẫu số liệu trên là
A. 3,5 .

C. 3, 7 .

B. 2 .

D. 5 .

Lời giải

Chọn C

1.1  4.2  7.3  11.4  5.5  2.6
 3,7.
30
Cho bảng phân bố tần số về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình
Số trung bình x 

Câu 8.

Sản lượng

111

112

113

114

115

116

117

Tần số

1

3

4

5

4

2

1

Số trung bình của bảng số liệu trên là
B. 114,5 .

A. 114 .

C. 113,9 .

D. 113,5 .

Lời giải
Chọn C
Số trung bình: x 
Câu 9.

1
1.111  3.112  4.113  5.114  4.115  2.116  1.117   113, 9
20

Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh mơn Tốn trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của
trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm
mơn Tốn (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây.
Điểm

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

9

10
Trang 5

Tần số

1

1

3

5

8

13

19

24

14

10

2

N=100

Số trung bình của bảng số liệu trên là
A. 6, 23 .

C. 6,5 .

B. 7 .

D. 6,24 .

Lời giải
Chọn A
Ta có số trung bình cộng là
x

n1 x1  n2 x2  ...  nk xk 0.1  1.1  2.3  ...  10.2

 6, 23 .
N
100

Câu 10. Kết quả thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm vừa qua của trường
A được cho trong bảng sau:
Điểm
Số lượng

0

1

2

3

4

5

0

2

3

5

15 30

6

7

8

9

10

52

36

25

8

2

Hãy tính điểm trung bình mơn Toán trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm vừa qua của các học
sinh của trường A (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
A. 6,12 .

B. 6,17 .

C. 5,0 .

D. 6, 0 .

Lời giải
Chọn A
Điểm trung bình mơn Tốn trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm vừa qua của các học sinh của
trường A là:

0.0  0.1  3.2  5.3  15.4  30.5  52.6  36.7  25.8  8.9  2.10
 6,12
178

➋.Dạng 2

Tìm số trung vị

Phương pháp: Để tìm số trung vị (ký hiệu

) của mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:

* Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
* Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu số liệu là trung vị. Nếu là
số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu số liệu.
. Bài tập minh họa:
I. Bài Tập Tự Luận:
Bài 1:
Điểm kiểm tra thường xun mơn tốn của tổ 1 như sau: 9 8 10 8 7 9 9 . Tìm số trung
vị của mẫu số liệu trên.
Lời giải
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 7 8 8 9 9 9 10 .
Do mẫu số liệu có 7 giá trị nên số trung vị nằm chính giữa  Me  9 .
Bài 2:

Chiều cao (đơn vị

cm ) của 8 bạn học sinh lớp 10 cho như sau:

150
170 181 162
Tìm số trung vị của mẫu số liệu trên.
Lời giải
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

161

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

158

Trang 6


150

158

161

162

170

181

Do mẫu số liệu có 6 giá trị nên số trung vị là: M e  161  162  161, 5 .
2

Bài 3:

Chiều dài ( đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:
48
53
51
31
53
52
112
Tìm số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để
đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành.

Lời giải
Số
trung
bình:
chiều
dài
trung
bình
của
cá
voi
là:
x

48  53  51  31  53  112  52
 57,14
7

 feet  - Số trung vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự khơng giảm:
31
48
51
52

53

53

112
Do mẫu số liệu có 7 giá trị nên số trung vị nằm chính giữa  M e  52 .

Bài 4:

Nhận xét: trong hai số liệu trên thì số trung vị đại diện tốt hơn cho chiều dài của cá voi trưởng
thành.
Cho mẫu số liệu gồm ba số tự nhiên khác nhau và khác 0 , biết số trung bình bằng 6 và số trung
vị bằng 7, hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu bằng 9. Hãy tìm các
giá trị của mẫu số liệu.
Lời giải
*

Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a , b , c với a  b  c và a , b , c .
Ta có: Me  b  b  7 .
x

abc
 6  a  c  18  b  a  c  11 (1)
3

Do hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu bằng 9  c  a  9

(2)

a  1
Giải hệ 1 ,  2   
.
c  10
Vậy các giá trị của mẫu số liệu là 1, 7 ,10 .

Bài 5:

Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0 , biết số trung bình là 6 và số trung
vị là 5. Tìm các giá trị của mẫu số liệu đó sao cho hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
*

Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a , b , c , d với a  b  c  d và a, b, c, d .
Ta có: M e  b  c  b  c  5  b  c  10 (1)

2
2
abcd
x 
 6  a  d  24   b  c   a  d  14 (2)
4

a  b  c
b  1
*
Ta có: 

 1  b  5 . Do b    b 2;3;4 .
b  c  10 2b  10
TH1: Với b  2 .
Do: b  c  10  c  10  b  8
Mà a  b, a  a 1. Từ (2) suy ra: d  13
*

Giá trị của mẫu số liệu là 1; 2 ;8 ;13 .
TH2: Với b  3 .
Do: b  c  10  c  10  b  7
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 7


a  1
 d  13
Mà a  b , a  *  
.

 a  2  d  12
Ta có hai mẫu số liệu là 1; 3; 7 ;13 và 2 ; 3 ; 7 ;12 .

TH3: Với b  4 .
Do: b  c  10  c  10  b  6

a  1
 d  13


Mà a  b , a     a  2   d  12 .
 a  3  d  11
Ta có hai mẫu số liệu là 1; 4 ; 6 ;13 và 2 ; 4 ; 6 ;12 và 3 ; 4 ; 6 ;11 .
Do hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất nên mẫu số
liệu 3 ; 4 ; 6 ;11 thỏa mãn.
*

II. Bài Tập Trắc Nghiệm:
Câu 1.

Chọn câu trả lời đúng trong bốn phương án sau: người ta xác định cân nặng của 10 học sinh và
xếp thứ tự không giảm. Số trung vị của 10 học sinh là
A. Khối lượng của học sinh thứ 5.
B. Khối lượng của học sinh thứ 6.
C. Khơng tìm được trung vị.
D. Khối lượng trung bình của em thứ 5 và thứ 6.
Lời giải
Chọn D
Vì có 10 học sinh tham gia khảo sát và xếp thứ tự không giảm nên số trung vị của 10 học sinh
là khối lượng trung bình của em thứ 5 và thứ 6.

Câu 2.

Điểm thi môn tốn cuối năm của một nhóm gồm 7 học sinh là 3; 4 ;5; 6; 7 ;8;9 . Số trung vị của
dãy số đã cho là
A. 8.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
Lời giải
Chọn C
Mẫu số liệu đã cho có 7 phẩn tử đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Nên số trung vị là số đứng
chính giữa của dãy.
Vậy số trung vị là M e  6.

Câu 3.

Cho mẫu số liệu thống kê 6;4;4;1;9;10;7 . Số liệu trung vị của mẫu số liệu thống kê trên là:
A. 1.

B. 6.

C. 4.
Lời giải

D. 10.

Chọn B
Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành một dãy không giảm là:

1 4 4 6 7 9 10
Vậy trung vị là số chính giữa của dãy  M e  6.
Câu 4.

Cho bảng số liệu ghi lại điểm của 40 học sinh trong bài kiểm tra 1 tiết mơn tốn
Điểm
3
4
5
6
7
8
9
10
Số học sinh
2
3

7
18
3
2
4
1

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Cộng
40
Trang 8


Số trung vị là
A. 5.

B. 6.

C. 6, 5.
Lời giải

D. 7.

Chọn B
Bảng thống kê đã cho gồm 40 số liệu nên số trung vị bằng trung bình cộng số điểm của học
sinh thứ 20 và học sinh thứ 21.
Ta có trung vị M e 
Câu 5.

66
6.
2

Bảng xếp loại học lực của học sinh lớp 10 A của trường THPT X, năm học 2021-2022.
Học lực
Kém Yếu Trung bình Khá Giỏi
Cộng
Số học sinh
2
5
13
13
10
43
Số trung vị của bảng trên là
A. Yếu
B. Trung bình
C. Giỏi.
D. Khá
Lời giải
Chọn D
Bảng thống kê đã cho gồm 43 số liệu nên số trung vị là hạnh kiểm của học sinh ở vị trí 22. Do
đó số trung vị M e là học lực Khá.

Câu 6.

Số quần bán được trong một quý ở một cửa hàng thời trang được thống kê ở bảng sau:
Size
26 27 28 29 30 31 32 Cộng

Số quần bán 128 105 119 16 8 2 1
379
Tìm số trung vị M e ?
A. 26.

B. 27,5.

C. 26,5.

D. 27.

Lời giải
Chọn D
Số quần bán được là 379 chiếc.

 Số trung vị M e là số chính giữa của dãy khi xếp số quần bán được thành một dãy không
giảm. Do đó số trung vị là quần có size đứng ở vị trí 190  M e  27.
Câu 7.

Thống kê 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm là 20). Kết quả cho trong
bảng sau:
Điểm
9 10
11
12
13
14
15
16
17

18
19
Số học sinh 1
1
3
5
8
13
19
24
14
10
2
Số trung vị của bảng trên là:
A. 14, 23.
B. 15, 28.
C. 15, 5.
D. 16, 5.
Lời giải
Chọn C
Bảng thống kê đã cho gồm 100 số liệu nên số trung vị bằng trung bình cộng số điểm của hai
học sinh thứ 50 và 51 trong bảng số liêu.
Ta có trung vị M e 

15  16
 15,5.
2

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 9


Câu 8.

Khối lượng (đơn vị: pound; 1 pound = 4,54 kg) của một nhóm người tham gia câu lạc bộ sức
khỏe được ghi lại như sau:
175 166 148 183 206 190 128 147 156 166 174 158 196
120 165 189 174 148 225 192 117 154 140 180 172 135
Tìm số trung vị của bảng dữ liệu trên.
A. 167,8

B. 169.

C. 148

D. 166.

Lời giải
Chọn D
Sắp xếp 26 giá trị trong bảng dữ liệu theo thứ tự không giảm như sau:
117 120 128 135 140 147 148 148 154 156 158 165 166
166 172 174 174 175 180 183 189 190 192 196 206 225
Do đó số trung vị bằng trung bình cộng khối lượng của hai người ở vị trí thứ 13 và vị thứ 14
trong bảng số liêu đã sắp xếp.
Ta có trung vị M e 
Câu 9.

166  166
 166.

2

Cho mẫu số liệu gồm ba số tự nhiên khác nhau và khác 0 , biết số trung bình là 9 , số trung vị
bằng 9 và số lớn nhất gấp đơi số nhỏ nhất. Tính tổng bình phương các giá trị của mẫu số liệu
đó.
A. 216
B. 261.
C. 612.
D. 126.
Lời giải
Chọn B

Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a; b; c với a  b  c  a , b , c *  .
Suy ra Me  b  9.
 abc
9
3a  9  27
 3a  18



3
c  2a
c  2a



c  2a

Ta có: 

a 6
.

 c  12

Do đó các giá trị của mẫu số liệu là 6 , 9 ,12. Vậy a2  b2  c2  62  92 122  261.

11
2
và tổng bình phương của chúng bằng 166. Tính tích các giá trị của mẫu số liệu đó, biết giá trị
lớn nhất lớn hơn giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 9.
A. 280.
B. 220
C. 208.
D. 180.
Lời giải

Câu 10. Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0 , có tổng bằng 22, số trung vị là

Chọn A

Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a , b , c , d với a  b  c  d  a , b , c, d *  .
Suy ra: M e 

b  c 11

 b  c  11
2
2

Ta có: a  b  c  d  22  a  d  22  11  11 và d  a  9

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 10


 a 2  b 2  c 2  d 2  166

b  c  11
Ta có hệ: 

a  d  11


d a 9

d  10


a 1

* 

b

11
c


 a 2  b 2  c 2  d 2  166

Từ *  1  11  c   c 2  100  166  1  121  22c  c 2  c 2  100  166
2

c  4
 2c 2  22c  56  0  c 2  11c  28  0  
c  7
+ Với c  4  b  11  4  7 (không thỏa mãn điều kiện b  c )
+ Với c  7  b  11  7  4
Do đó các giá trị của mẫu số liệu là 1, 4, 7,10. Vậy a.b.c.d  1.4.7.10  280.

➌.Dạng 3

Tìm các tứ phân vị

Phương pháp:
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có

giá trị, ta làm như sau:




Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự khơng giảm.
Tìm trung vị. Giá trị này là
.




Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái
Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải

(không bao gồm
(không bao gồm

nếu lẻ). Giá trị này là
nếu lẻ). Giá trị này là

.
.

được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.

Chú ý.
được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới,
tứ phân vị trên.

được gọi là tứ phân vị thứ ba hay

. Bài tập minh họa:
I. Bài Tập Tự Luận:
Câu 1. Điểm kiểm tra toán của một lớp cho kết quả như sau: 7; 9; 6; 10; 5; 8; 4. Tứ phân vị thứ nhì của
mẫu số liệu trên là
Lời giải
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
Tứ phân vị thứ nhì là trung vị của dãy số liệu là: Q2  7 .
Câu 2.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu: 27; 15; 18; 30; 19; 40; 100; 9; 46; 10; 200.
Lời giải
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 9; 10; 15; 18; 19; 27; 30; 40; 46; 100; 200.
Tứ phân vị thứ nhì là trung vị của dãy số liệu là: Q2  27 .
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy số liệu: 9; 10; 15; 18; 19.

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 11


Khi đó tứ phân vị thứ nhất là: Q1  15 .
Câu 3.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu: 27; 15; 18; 30; 19; 40; 100; 9; 46; 10; 200.
Lời giải
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 9; 10; 15; 18; 19; 27; 30; 40; 46; 100; 200.
Tứ phân vị thứ nhì là trung vị của dãy số liệu là: Q2  27 .
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy số liệu: 30; 40; 46; 100; 200.
Khi đó tứ phân vị thứ ba là: Q3  46 .

Câu 4.

Số học sinh của các lớp khối 12 trong một trường trung học được thống kê như sau: 35; 40; 37;
46; 38; 42; 43; 36. Tứ phân vị thứ nhì của mẫu số liệu được thống kê ở trên là:
Lời giải
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 35; 36; 37; 38; 40; 42; 43; 46.
Dãy số liệu trên có 2 số chính giữa nên tứ phân vị thứ nhì là: Q2 

Câu 5.

38  40
 39 .
2

Số nhân khẩu của các hộ gia đình ở một khu vực trong thành phố được thống kê như sau: 2; 5;
3; 7; 11; 12; 4; 6; 5. Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:
Lời giải
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 2; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 11; 12.
Dãy số liệu trên có giá trị chính giữa bằng 5 nên Q2  5 .
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 6; 7; 11; 12.
Do đó Q3 

7  11
9
2

II. Bài Tập Trắc Nghiệm:
Câu 1. Cho mẫu số liệu có số giá trị là n  31 và được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Tứ phân vị
dưới là giá trị tại vị trí số thứ
A. 8 .
B. 7 .
C. 9 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn A
Vì n  31 là số lẻ nên trung vị Q2 là giá trị số thứ 16.
Câu 2.

Bên trái Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị số thứ 8.

Cho mẫu số liệu có số giá trị là n  31 và được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Tứ phân vị trên
là giá trị tại vị trí số thứ
A. 16 .
B. 15 .
C. 24 .
D. 25 .
Lời giải
Chọn C
Vì n  31 là số lẻ nên trung vị Q2 là giá trị số thứ 16.

Câu 3.

Bên phải Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là số thứ 24.
Cho mẫu số liệu có số giá trị là n  30 và được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Tứ phân vị
dưới xác định bởi

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 12


A. trung bình cộng các giá trị ở vị trí số 15 và 16.
B. giá trị ở vị trí số thứ 8.
C. trung bình cộng các giá trị vị trí số 7 và 8.
D. giá trị ở vị trí số thứ 7.
Lời giải
Chọn B
Vì n  30 là số chẵn nên trung vị Q2 là giá trị trung bình cộng số thứ 15 và 16.
Câu 4.

Bên trái Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị số thứ 8.
Cho mẫu số liệu có số giá trị là n  30 và được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Tứ phân vị
trên xác định bởi
A. trung bình cộng các giá trị ở vị trí số 15 và 16.
B. giá trị ở vị trí số thứ 23.
C. trung bình cộng các giá trị vị trí số 23 và 24.
D. giá trị ở vị trí số thứ 24.
Lời giải
Chọn B
Vì n  30 là số chẵn nên trung vị Q2 là giá trị trung bình cộng số thứ 15 và 16.

Câu 5.

Bên phải Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là số thứ 23.
Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh
lớp 10:
0
1
2
3
4
5
Số lần
3
2
5
6
8
7
Số học sinh

Tứ phân vị dưới của mẫu số liệu này là
A. Q1  1 .
B. Q1  2 .
C. Q1  3 .
D. Q1  4 .
Lời giải
Chọn D
Vì n  31 là số lẻ nên trung vị là số thứ 16: Q2  3 .

Câu 6.

Bên trái Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị số thứ 8: Q1  2 .
Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh
lớp 10:
0
1
2
3
4
5
Số lần
3
2
5
6
8
7
Số học sinh
Tứ phân vị trên của mẫu số liệu này là
A. Q3  3 .

B. Q3  7 .
C. Q3  5 .
D. Q3  4 .
Lời giải
Chọn D
Vì n  31 là số lẻ nên trung vị là số thứ 16: Q2  3 .

Câu 7.

Bên phải Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị số thứ 24: Q3  4 .
Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh
lớp 10:
0
1
2
3
4
5
Số lần
4
3
5
6
7
5
Số học sinh

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 13

Các tứ phân vị của mẫu số liệu này là
A. Q1  1; Q2  2; Q3  3 .

B. Q1  2; Q2  5; Q3  7 .

C. Q1  3; Q2  4; Q3  5 .

D. Q1  2; Q2  3; Q3  4 .
Lời giải

Chọn D
Vì n  30 là số chẵn nên trung vị là giá trị trung bình cơng số thứ 15 và 16: Q2  3 .
Bên trái Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là số thứ 8: Q1  2 .
Bên phải Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là số thứ 23: Q3  4 .
Một của hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu
nhiên cho kết quả như sau:
39
39
38
40
41
39
39
38
39
39
39
40

39
39
38

Câu 8.
38

Các tứ phân vị của mẫu số liệu này là
A. Q1  38,5; Q2  39; Q3  39 .

B. Q1  38; Q2  39; Q3  40 .

C. Q1  38,5; Q2  39; Q3  39,5 .

D. Q1  39; Q2  39,5; Q3  40 .
Lời giải

Chọn A
38

38

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm như sau:
38
38
39
39
39
39
39

39

39

39

39

40

40

41

Vì n  16 là số chẵn nên trung vị là giá trị trung bình cơng số thứ 8 và 9: Q2  39 .
Bên trái Q2 có 8 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị trung bình cơng số thứ 4 và 5:
Q1  38,5 .

Bên phải Q2 có 8 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị trung bình công số thứ 12 và 13:
Q3  39 .
Câu 9. Điểm điều tra về chất lượng sản phẩm mới (thang điểm 100) như sau
80
65
51
48
45
61
31
36
84

83
60
58
75
72
68
39
41
54
61
72
75
72
61
50
65
Tìm tứ phân vị dưới của mẫu số liệu?
A. Q1  48 .
B. Q1  49 .
C. Q1  50 .
D. Q1  61 .
Lời giải

Điểm
Số lần

Chọn B
Sắp xếp lại số liệu trên theo thứ tự không giảm của điểm số
31 36 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68
1

1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
3
2
1
25  1
13 .
Ta có: n  25 là số lẻ nên số trung vị đứng ở vị trí thứ
2
Do đó số trung vị là: Q2  61 .

72
3

75
2

80
1

83
1

87
1

Bên trái Q2 có 12 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị trung bình cơng số thứ 6 và 7.
50  48
 49 .
Tứ phân vị dưới Q1 
2
Câu 10. Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh mơn Tốn trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của
trường A, người điều tra chọn một mẫu số liệu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó.
Điểm mơn Tốn (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng sau đây:
Điểm

0

1

2

3

4

5

6

7

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

8

9

10
Trang 14


Số lần
1
1
3
5
8
Tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu?
A. Q1  5; Q2  6; Q3  7 .

13

19

24

14

10

2

B. Q1  5; Q2  7; Q3  8 .

C. Q1  5; Q2  7; Q3  9 .

D. Q1  5; Q2  6; Q3  8 .
Lời giải

Chọn D
Ta có: n  100 là số chẵn nên số trung vị là giá trị trung bình cộng số thứ 50 và 51.
Do đó số trung vị là: Q2  6 .
Bên trái Q2 có 50 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị trung bình cộng số thứ 25 và 26.
Tứ phân vị dưới Q1  5 .
Bên phải Q2 có 50 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị trung bình cộng số thứ 75 và 76.
Tứ phân vị trên Q3  8 .

➍.Dạng 4

Tìm mốt

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa, suy ra cách tìm mốt của mẫu số liệu:
-Lập bảng phân bố tần số của bảng số liệu
-Xác định giá trị có tần số lớn nhất là mốt
. Bài tập minh họa:
I. Bài Tập Tự Luận:
Câu 1:
Tháng
Số khách

Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau:
1

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
430

550

430

520

550

515

550

110

520

430

550

880

a)Lập bảng phân bố tần số - tần suất.
b)Tìm mốt của mẫu số liệu trên.
Lời giải
Ta có bảng phân bố tần số - tần suất
Số lượng khách ( người )

Tần số

Tần suất%

110

1

8,3

430

3

24,9

515

1

8,3

520

2

16,8

550

4

33,4

800

1

8,3

Cộng

N= 12

100%

Vậy mốt của mẫu số liệu bằng: 550
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 15


Câu 2:

Điểm thi toán của 9 học sinh như sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10
Tìm mốt của mẫu số liệu trên?
Lời giải
Mẫu số liệu này có hai mốt là 1 và 8.
Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn đồng). Số quạt
cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sau:

Câu 3:

Giá tiền

100

150

300

350

400

500

Số quạt bán được

256

353

534

300

533

175

Tìm mốt của mẫu số liệu trên?
Lời giải
Mốt của mẫu số liệu trên là: 300
Câu 4:

Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1năm ( kg/sào) của 20 hộ gia đình

111

112

112

113

114

114

115

114

115

116

112

113

113

114

115

114

116

117

113

115

Tìm mốt của mẫu số liệu trên?

Lời giải
Ta có bảng phân bố tần suất
Giá trị x

111

Tần số

1

112
3

113

114

115

116

4

5

4

2

117

1

Do giá trị 114 có tần số lớn nhất là 5 nên ta có: M 0  114 .
Câu 5: Điểm điều tra về chất lượng sản phẩm mới ( thang điểm 100) như sau:
80
65
51
48
45
61
30
35
84
83
60
58
68

39

41

54

61

72

75

72

61

50

75

72

65

Tìm mốt của bảng số liệu trên?
Lời giải
Ta có bảng phân bố tần số:
Điểm

30

35

39

41

45

48

50

51

54

58

60

61

65

68

72

75

80

83

87

Tần
số

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3

2

1

3

2

1

1

1

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 16


Bảng trên có 2 số có tần số lớn nhất là 61 và 72. Vậy phân bố trên có hai mốt là
M 0  61, M 0  72.
II. Bài Tập Trắc Nghiệm:
Câu 1.

Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ và nhân viên trong một công ty được cho ở bảng sau

Mốt của mẫu số liệu là
A. 4 .

C. 5 .

B. 12 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn A
Trong bảng phân bố giá trị tiền lương thì 4 triệu có tần số lớn nhất là 15 nên mốt là M 0  4 .

Câu 2.

Giá thành của một sản phẩm (tính theo đơn vị nghìn đồng) của 20 cơ sở sản xuất được cho bởi
bảng sau:

Mốt của mẫu số liệu là
A. 25 .

C. 30 .

B. 14 .

D. 35 .

Lời giải
Chọn A

Từ bảng tần số ta thấy giá trị của 25 xuất hiện nhiều nhất (7 lần) nên mốt của mẫu số liệu đó là
25.
Câu 3.

Số cân nặng của 20 học sinh lớp 10 A1 được ghi lại như trong bảng. Giá trị mốt của mẫu số liệu
là:

A. 39 .

C. 40 .

B. 41 .

D. 50 .

Lời giải
Chọn A
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 17


Giá trị

37

39

40

41

42

45

47

50

Tần số

1

2

6

1

3

3

1

3

Từ bảng tần số ta thấy giá trị của 40 xuất hiện nhiều nhất (6 lần) nên mốt của mẫu số liệu đó là
40.
Câu 4.

Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng): 350;300;650;300;450;500;300;250 . Mốt của
mẫu số liệu là
A. 250 .

B. 350 .

C. 300 .

D. 650 .

Lời giải

Chọn A
Từ giá của một số loại giày ta thấy 300 xuất hiện nhiều nhất (3 lần) nên mốt của mẫu số liệu đó
là 300.
Câu 5.

Một bác sĩ mắt ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc Covit. Kết quả thu được mẫu số liệu như sau

Mốt M O của bảng số liệu đã cho là
A. M O   17; M O   18 . B. M o  17 .
1

1

C. M o  18 .

D.

M O   19; M O   18
1

1

Lời giải
Chọn A
Từ bảng số liệu trên ta suy ra bảng phân bố tần số tuổi của 30 bệnh nhân mắc covit như sau:

Ta thấy tuổi 17 và 18 có tần số bằng 5 là lớn nhất.
Do đó bảng số liệu có hai mốt là: M O   17 và M O   18 .
1

Câu 6.

2

Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2021-2022 của 10 trường Trung học phổ thông được
cho như sau: 0 0 4 0 0 0 10 0 6 0.
Mốt M O của dãy số liệu đã cho là
A. M o  0 .

B. M o  4 .

C. M o  10 .

D. M o  6

Lời giải
Chọn A
Ta thấy số 0 có tần số bằng 7 là lớn nhất.
Do đó có mốt là: M o  0
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 18


Câu 7.

Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá
Vơ địch Quốc gia Việt Nam năm 2022 (số liệu gần đúng).

Nếu sau khi bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân Vận động Quốc gia mỹ đình thì giá trị của mốt M O

của bảng số liệu đã cho là
A. M o  20120 .

B. M o  21315 .

C. M o  23405 .

D. M o  37546

Lời giải
Chọn A
Ta thấy số 20120 có tần số bằng 2 là lớn nhất.
Nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình thì số Mốt thì vẫn giữ ngun.
Do đó có mốt là: M o  20120
Câu 8.

Điểm bài kiểm tra một tiết môn toán của 40 học sinh lớp 11A1 được thống kê bằng bảng số liệu
dưới đây

Trong đó n  , n  4 . Mốt của bảng số liệu thống kê đã cho là
A. M o  6 .

B. M o  10 .

C. M o  3 .

D. M o  9

Lời giải
Chọn A

Vì tổng các số liệu thống kê bằng 40 nên ta có: 5n  15  40  n  5 .
Với n  5 ta có bảng phân bố tần số

Do đó có mốt là: M O  6
Câu 9.

Cho bảng phân bố tần số sau

Giá trị của số tự nhiên n để M O  x3 là mốt duy nhất của bảng phân bố tần số đã cho là
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 19


A. n  5 .

B. n  4 .

C. M o  6 .

D. n  5

Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết M O  x3 là mốt duy nhất của bảng số liệu thống kê đã cho nên ta có
n  4

n  16
 n  4
 n  4



 2
n  5
 n  6n  5
n  1
  n  5

2

Vì n là số tự nhiên nên các giá trị n thỏa mãn là: n  5 .
Câu 10. Cho bảng phân bố tần số sau:

Các số tự nhiên n để M O  x4 là mốt duy nhất của bảng số liệu thống kê đã cho là
A. 0  n  10 .

B. 20  n  20 .

C. 0  n  15 .

D. n  5

Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết M O  x4 là mốt duy nhất của bảng số liệu thống kê đã cho nên ta có
 20  n  8
 n  12

 n  10.


 n  10
 20  n  n
Vì n là số tự nhiên nên các giá trị n thỏa mãn là: 0  n  10 .

➎.Dạng 5

Câu hỏi ôn tập cuối bài

Phương pháp:
. Bài tập minh họa:
I. Bài Tập Tự Luận:
Câu 1:

Cho các số liệu thống kê về chiều cao (đơn vị cm) của một lớp mầm non gồm 20 học sinh như
sau:
Số đo chiều cao (cm)
111
112
113
114
115
116
117
Số học sinh
1
3
4
5
4
2

1
a) Tìm số trung bình
b) Tìm số trung vị
c) Tìm số mốt
d) Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên.
Lời giải:

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 20


1
1.111  3.112  4.113  5.114  4.115  2.116  1.117   113,9
20
b) Số trung vị: do kích thước mẫu N = 20 là một số chẵn nên số trung vị là số trung bình cộng
N
N
114  114
 10 và
 1  11 nên trung vị là Q2 
 114
của hai giá trị đứng thứ
2
2
2
c) Số mốt: nhìn vào bảng ta thấy giá trị 114 có tần số lớn nhất nên ta có M 0  114
a)

Câu 2:

Số trung bình: x 

d) Sắp xếp chiều cao của 20 học sinh theo thứ tự không giảm, tứ phân vị thứ ba của mẫu số
liệu trên là trung vị của 10 giá trị sau và là trung bình cộng của hai giá trị thứ 15 và giá trị thứ
115  115
 115 .
16, do đó tứ phân vị thứ ba là Q3 
2
Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh mơn Tốn trong kì thi tuyển sinh lớp 10 năm vừa qua của
trường A, người ta chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm mơn
Tốn (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng sau đây:
Điểm
0 1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
Số học sinh
a)
b)
c)
e)

1

1

3

5

8

13

19

24

14

10

2

N=100

Tìm mốt
Tìm số trung vị.
Tìm số trung bình
Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên.
Lời giải:

a) Nhìn vào bảng ta thấy giá trị 7 (điểm) có nhiều học đạt nhất nên mốt là: M 0  7
b) Do có 100 học sinh là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của 2 giá trị đứng thứ
N
N

67
 50 và
 1  51 do đó trung vị là Q2 
 6,5 .
2
2
2
m x  m2 x2  ...  mk xk 0.1  1.1  2.3  ...  10.2

 6, 23 .
c) trung bình cộng là: x  1 1
n
100
Sắp xếp điểm của 100 học sinh theo thứ tự không giảm, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu
trên là trung vị của 50 giá trị trước, chính là trung bình cộng của giá trị thứ 25 và thứ 26.
55
 5.
Khi đó nên tứ phân vị thứ nhất là Q1 
2
Câu 3: Bảng sau cho biết thời gian (đơn vị giây) chạy cự li 100m của các bạn trong lớp gồm 36 học
sinh:
Thời gian
12
13
14
15
16
Số học sinh
5
7

10
8
6
a) Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li 100m của các bạn trong lớp.
b) Tìm mốt
c) Tính các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
Lời giải
a) Thời gian chạy trung bình cự li 100m của các bạn trong lớp là

12  5  13  7  14 10  15  8  16  6
 14,08 .
36
b) Nhìn vào bảng ta thấy giá trị 14 có tần số lớn nhất nên ta có M 0  14
x

c) Sắp xếp thời gian chạy của 36 học sinh theo thứ tự không giảm. Do có 36 học sinh là một
số chẵn nên
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 21


Câu 4:

+) Tứ phân vị thứ nhất là số trung vị của 18 số liệu trước, nên là trung bình cộng của 2 giá
13  13
 13 .
trị đứng thứ 9 và 10 do đó tứ phân vị thứ nhất là Q1 
2
N

N
 18 và
 1  19 do đó trung
+) Số trung vị là trung bình cộng của 2 giá trị đứng thứ
2
2
14  14
 14 .
vị là Q2 
2
+) Tứ phân vị thứ ba là số trung vị của 18 số liệu sau, nên là trung bình cộng của 2 giá trị
15  15
 15 .
đứng thứ 26 và 27 do đó tứ phân vị thứ ba là Q3 
2
Sản lượng ngô (đơn vị tạ) trên mỗi sào của 20 thửa đất được trình bày trong bảng sau đây:
x
Sản lượng
2,7
3,3
3,4
3,7
y
Tần số
2
5
4
3
Tìm x, y biết sản lượng trung bình của 20 thửa đất là 3, 22 tạ.
Lời giải

Ta có 2  5  y  4  3  20  y  20   2  5  4  3  6 .
Sản lượng ngô trung bình của 20 thửa đất là 3, 22 tạ nên

1
 2.2, 7  5.x  6.3,3  4.3, 4  3.3, 7   3, 22  2.2,7  5.x  6.3,3  4.3, 4  3.3,7  3, 22.20
20
3, 22.20   2.2, 7  6.3,3  4.3, 4  3.3,7 
x
 x  2,9 (tạ).
5
Vậy x  2, 9; y  6 .
Câu 5:

Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi. Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ
thấp đến cao như sau (thang điểm 100):
0
0
63
65
69
70
72
78
81
85
89
a) Tính điểm trung bình.
b) Tính các tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba của mẫu số liệu trên.
Lời giải
a) Điểm trung bình là

x=

0  0  63  ...  85  89
 61,09.
11

b) Sắp xếp điểm của học sinh theo thứ tự không giảm. Do có 11 học sinh là một số lẻ nên
+) Tứ phân vị thứ nhất là số trung vị của 5 số liệu trước, nên là giá trị đứng thứ 3 do đó tứ
phân vị thứ nhất là Q1  63 .
+) Số trung vị là giá trị đứng thứ 6 do đó số trung vị là Q2  70 .
+) Tứ phân vị thứ ba là số trung vị của 5 số liệu sau, nên là giá trị đứng thứ 0 do đó tứ phân
vị thứ ba là Q3  81 .
Câu 6:

Kết quả điểm kiểm tra môn Tốn của 35 học sinh lớp 10A được trình bày ở bảng sau:
Điểm

4

5

6

7

8

9

10

Cộng

Tần số

1

4

6

7

8

7

2

35

a) Tính điểm trung bình điểm kiểm tra mơn tốn của lớp 10A.
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 22


b) Tính trung vị, mốt của mẫu số liệu trên.
c) Tính tứ phân vị thứ nhất của mỗi mẫu số liệu trên.

Lời giải
a) Điểm trung bình lớp 10A là

4.1  5.4  6.6  7.7  8.8  9.7  10.2
 7.31 .
35

b) Sắp xếp điểm của 35 học sinh theo thứ tự khơng giảm, giá trị ở vị trí chính giữa là vị trí 18
là 7 nên M e  7
Điểm xuất hiện nhiều nhất là điểm 8 nên M o  8 .
c)
Sắp xếp điểm của 35 học sinh theo thứ tự không giảm, số trung vị của mẫu số liệu ở vị trí thứ
18 nên tứ phân vị thứ nhất của mỗi mẫu số liệu trên là trung vị của 17 giá trị đầu tiên là Q1  6 .
Câu 6:

Điểm trung bình mơn cả năm của 10 môn học của một học sinh lần lượt là
7,0
7,8
8,5
8,7
9,1
7,3
9,0
7,0
a) Tính điểm trung bình các điểm trung bình mơn cả năm của học sinh.

6,5

9,3

b) Tính trung vị, mốt của mẫu số liệu trên.
c) Tính tứ phân vị thứ ba của mỗi mẫu số liệu trên.
Lời giải
a) Điểm trung bình các điểm trung bình mơn cả năm của học sinh là
7, 0  7,8  8, 5  8, 7  9,1  7,3  9, 0  7, 0  6,5  9,3
 8, 02 .
10
b) Sắp xếp 10 điểm trung bình mơn cả năm của học sinh theo thứ tự không giảm là
6,5

Me 

7,0

7,0

7,8  8,5
 8,15
2

7,3

7,8

8,5

8,7

9,0

9,1

9,3

M o  7, 0

c) Sắp xếp 10 điểm trung bình mơn cả năm của học sinh theo thứ tự không giảm , tứ phân vị
thứ ba là Q3  9,0 .
Câu 8:

Sản lượng lúa (tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng
phân bố tần số sau đây:
Sản lượng
20
21
22
Tần số
5
8
n
Tìm m, n biết sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là 22,1 tạ.

23
m

24
6

Lời giải
Ta có 5  8  n  m  6  40  n  m  21 .

Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là 22,1 nên
1
 5.20  8.21  n.22  m.23  6.24  22,1  22n  23m  472 .
40

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 23


Câu 9:

 n  m  21
n  11
Giải hệ phương trình 

.
 22n  23m  472
m  10
Biết rằng số trung vị trong mẫu số liệu sau ( đã sắp xếp theo thứ tự không giảm) bằng 14 . Tìm
số x .

1 3 4 15

 x  1

18 19 21 30 45

Lời giải
Số trung vị trong mẫu số liệu trên là

Từ giả thiết suy ra

x  1  18 x  17

2
2

x  17
 14  x  11 .
2

Câu 10: Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022, 10 địa phương có điểm trung bình mơn Tốn cao nhất
cả nước lần lượt là

Tìm tứ phân vị trong mẫu số liệu thống kê trên.
Lời giải
Mẫu số liệu trên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau:
6,82 6,88 6,92 6, 92 6,98 7 7 7, 06 7,15 7, 4

Số trung vị trong mẫu số liệu trên là

6,98  7
 6,99 .
2

Trung vị của dãy 6,82 6,88 6, 92 6, 92 6, 98 là 6, 92
Trung vị của dãy 7 7 7, 06 7,15 7, 4 là 7, 06
Vậy Q1  6, 92 , Q 2  6, 99, Q 3  7, 06 .
II. Bài Tập Trắc Nghiệm:
Câu 1: (NB) Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là:

A. Mốt.
B. Số trung bình.
C. Số trung vị.
Lời giải
Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

D. Độ lệch chuẩn.
Trang 24


Câu 2:

Chọn A
(NB) Cho mẫu số liệu thống kê 8;10;12;14;16 . Số trung bình của mẫu số liệu trên là:
A. 12 .

B.

14 .

C. 13 .
Lời giải

D. 12,125

Chọn A
Số trung bình của mẫu số liệu trên là
8  10  12  14  16
 12 .
5

(NB) Cho mẫu số liệu thống kê 2; 4; 6;8;10 . Số trung vị của mẫu số liệu trên là:
x

Câu 3:

A. 7 .

B.

12 .

C. 6, 5 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn D
Mẫu số liệu đã cho có 5 phần tử, đã sắp theo thứ tự khơng giảm. Nên số trung vị là số chính
giữa của dãy số 6.
Câu 4: (NB) Điểm thi toán cuối năm của một nhóm gồm 7 học sinh lớp 11 là 1; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10.
Số trung vị của dãy số liệu đã cho là
A. 8 .
B. 4 .
C. 7 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn D
Mẫu số liệu đã cho có 8 phần tử, đã sắp theo thứ tự khơng giảm. Nên số trung vị là trung bình
cộng của hai số đứng giữa dãy. Vậy số trung vị là 6.
Câu 5: (TH) Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:

Thời gian (giây)
8, 3
8, 4
8, 5
8, 7
8, 8
Số học sinh
3
9
5
2
1
Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:
A. 8, 54 .
B. 4 .
C. 8, 50 .
D. 8, 53 .
Lời giải
Chọn D
Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:
2.8, 3  3.8, 4  9.8, 5  5.8, 7  1.8,8
x
 8, 53 .
20
Câu 6: (TH) Cho bảng thống số liệu thơng kê điểm kiểm tra 1 tiết mơn Tốn của 40 học sinh như sau:
Điểm
3
4
5
6

7
8
9
10
Cộng
Số học sinh
2
3
7
18
3
2
4
1
40
Số trung vị  M e  và mốt  M 0  của bảng số liệu thống kê trên là
A. M e  8; M 0  40

B. M e  6; M 0  18
C. M e  6; M 0  6
Lời giải

D. M e  7; M 0  6

Chọn C
Theo công thức trung vị đối với N chẵn (40 số liệu) thì ta có:
N
N
Số đứng vị trí
(số thứ 20) là 6 và số đứng vị trí

 1 (Số thứ 21) là 6 .
2
2
Vậy số trung vị M e  6 .
M

Câu 7:

0

 6 do số điểm

6 có tần suất xuất hiện nhiều nhất là 18 lần.

(TH) Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Hóa (thang điểm 20). Kết quả như sau:
Điểm
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Số học sinh 1
1
3

5
8
13
19
24
14
10
2
Số trung vị là:
A. M e  15 .
B. M e  15, 50 .
C. M e  16 .
D. M e  16, 5 .
Lời giải
Chọn B
15  16
Ta thấy N=100 chẵn nên số trung vị là: M e 
 15,5
2

Thầy: Nguyễn Văn Phú - Trường THPT Đông Hà. Sđt: 0943738777

Trang 25