Một số phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về tích phân ở chương trình toán thpt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

~~~~~~*~~~~~~

Đề tài: Một số phương pháp giải nhanh các bài toán trắc
nghiệm về tích phân ở chương trình tốn THPT.
Giảng viên hướng dẫn : ThS.Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện
: Lê Cao Tường Vy
Lớp
: 18ST

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cơ trong khoa Tốn - Trường
Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tơi
hồn thành khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, cho phép tôi được gởi lời cảm ơn sâu
sắc đến cơ Ngơ Thị Bích Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời
gian nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động
viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 18ST
trong q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp này.

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022

Sinh viên

Lê Cao Tường Vy

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 5
1.

Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 5

2.

Mục đích nghiên cứu............................................................................... 5

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 5

4.

Phương pháp nghiên cứu........................................................................ 6

5.

Bố cục khóa luận .................................................................................... 6

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................ 7
1.1

Nguyên hàm ............................................................................................ 7

1.1.1

Định nghĩa .......................................................................................... 7

1.1.2

Tính chất ............................................................................................. 7

1.1.3

Sự tồn tại của nguyên hàm ................................................................. 7

1.1.4

Bảng nguyên hàm ............................................................................... 7

1.1.5

Phương pháp tính nguyên hàm .......................................................... 8

1.2

Tích phân ................................................................................................ 9

1.2.1

Khái niệm tích phân ........................................................................... 9

1.2.2

Tính chất .......................................................................................... 11

1.2.3

Phương pháp tính tích phân ............................................................ 11

1.3

Ứng dụng của tích phân ........................................................................ 12

1.3.1

Diện tích hình phẳng ........................................................................ 12

1.3.2

Thể tích khối trịn xoay ..................................................................... 13

1.3.3

Bài tốn chuyển động ....................................................................... 14

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN
TRẮC NGHIỆM VỀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT. .. 15
2.1

Dạng 1. Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm.................................... 15

2.2

Dạng 2. Tích phân hàm hữu tỉ.............................................................. 18

2.3

Dạng 3. Tích phân đổi biến số .............................................................. 21

2.3.1

Tích phân đổi biến số dạng 1 ........................................................... 22

2.3.2

Tích phân đổi biến số dạng 2 ........................................................... 31

2.4

Dạng 4. Tích phân từng phần ............................................................... 33

2.4.1

Dùng tích phân từng phần với u – hàm đa thức, dv – lượng giác

hoặc hàm mũ ................................................................................................. 34
2.4.2

Dùng tích phân từng phần với u – Hàm logarit, dv – hàm đa thức 37

2.4.3

Dùng tích phân từng phần với u – hàm lượng giác, dv – hàm mũ

hoặc ngược lại............................................................................................... 39
b

2.5

Dạng 5. Tích phân chứa giá trị tuyệt đối



f ( x) dx .............................. 41

a

2.6

Dạng 6. Ứng dụng của tích phân.......................................................... 46

2.6.1

Diện tích hình phẳng ....................................................................... 46

2.6.2

Thể tích khối trịn xoay ..................................................................... 48

2.6.3

Bài tốn chuyển động ....................................................................... 50

2.7

Dạng 7. Tích phân hàm ẩn .................................................................. 51

KẾT LUẬN ........................................................................................................ 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 58

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 3

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT

MTCT: Máy tính cầm tay
SGK: Sách giáo khoa

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

MỞ ĐẦU

1.

Lý do chọn đề tài
Tốn học là mơn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các

phép biến đồi,... Toán học là nền tàng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên
khác. Trong chương tình tốn THPT,việc dạy học tích phân đóng vai trị quan
trọng trong việc rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh. Đặc biệt, trong các

năm gần đây, đề thi THPT Quốc gia đã chuyển sang hình thức trắc nghiệm khách
quan. Làm thế nào để giúp các em giải nhanh các bài tốn trắc nghiệm liên quan
đến tích phân trong thời gian vài phút là vấn đề trăn trở?
Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức vững chắc về bài
tốn trắc nghiệm liên quan đến tích phân cho bản thân nói riêng và sinh viên khoa
tốn sắp ra trường nói chung, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “ Một số phương pháp
giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về tích phân ở chương trình tốn
THPT”.
2.

Mục đích nghiên cứu
Đưa ra một số phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm về tích phân

trong chương trình THPT nhằm giúp học sinh lĩnh hội và sáng tạo khi học chương
tích phân.
3.

Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận.
- Nghiên cứu các phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm về tích

phân.

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

4.

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan tới phương pháp

giải bài toán trắc nghiệm về tích phân nhằm hiểu rõ nội dung tích phân để từ đó
rút ra được cách giải nhanh.
- Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên THPT dạy chương tích
phân – Giải tích lớp 12 (SGK hiện hành) để tham khảo các kinh nghiệm khi hướng
dẫn học sinh giải các bài tốn trắc nghiệm về tích phân.
5.

Bố cục khóa luận Khóa luận gồm có 2 chương sau:
Chương 1. Cơ sở lý luận
1.1 Nguyên hàm
1.2 Tích phân
1.3 Ứng dụng của tích phân
Chương 2. Một số phương pháp giải nhanh các bài tốn trắc nghiệm về tích

phân ở chương trình tốn thpt.
2.1 Dạng 1. Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm
2.2 Dạng 2. Tích phân hàm hữu tỉ
2.3 Dạng 3. Tích phân đổi biến số
2.4 Dạng 4. Tích phân từng phần
2.5 Dạng 5. Tích phân chứa giá trị tuyệt đối
2.6 Dạng 6. Ứng dụng của tích phân
2.7 Dạng 7. Tích phân hàm ẩn

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1

Nguyên hàm

1.1.1 Định nghĩa
Cho hàm số f ( x) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm
của hàm số f ( x) trên K nếu F ( x) = f ( x) với mọi x  K .
Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng
số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K.
Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên
hàm của f ( x) trên K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số.
1.1.2 Tính chất
Tính chất 1:

 f ( x)dx = f ( x) + C

Tính chất 2:  kf ( x)dx = k  f ( x)dx
Tính chất 3:   f ( x)  g ( x)  dx =  f ( x)dx   g ( x)dx
1.1.3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
1.1.4 Bảng nguyên hàm

 kdx = kx + c

 x dx =

x +1
+c
 +1

(  −1)

1

 x dx = ln x + c

SVTH: Lê Cao Tường Vy

 +1

1 ( ax + b )
ax
+
b
dx
=
(
)


a  +1


1

+c

(  −1)

1

 ax + b dx = a ln ax + b + c

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

 e dx = e
x

x
 a dx =

x

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

+c

e

ax
+c
ln a

ax +b

1
dx = eax+b + c
a

mx + n
 a dx =

a mx+n
+c
m.ln a

 cos xdx = sin x + c

 cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c

 sinxdx = − cos x + c

 sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c

1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

1

1

1

1

dx = tan x + c

 cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + c

dx = − cot x + c

 sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + c

2

1

1

2

1.1.5 Phương pháp tính nguyên hàm
1.1.5.1 Phương pháp đổi biến số
Nếu

 f (u)du = F (u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f (u( x)) u( x)dx = F (u( x) ) + C
Với u = ax + b ( a  0 ) , ta có

 f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C
1

10 phép đặt ẩn phụ với 10 dấu hiệu khác nhau thường gặp
✓ Phép 1: Nếu xuất hiện căn thức thì đặt cả căn bằng t
✓ Phép 2: Nếu xuất hiện cụm sin xdx thì đặt cos x = t
✓ Phép 3: Nếu xuất hiện cụm

1
dx thì đặt tan x = t
cos2 x

✓ Phép 4: Nếu xuất hiện cụm

1
dx thì đặt cot x = t
sin 2 x

✓ Phép 5: Nếu xuất hiện cụm

1
thì đặt ln x = t
x

✓ Phép 6: Nếu xuất hiện e x thì đặt e x = t

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

✓ Phép 7: Nếu xuất hiện cụm
✓ Phép 8: Nếu xuất hiện cụm

1
dx thì đặt x = tan t
x + a2
2

x 2 − a 2 thì đặt x = a sin t (dùng khi x

có mũ chẵn)
✓ Phép 9: Nếu xuất hiện cụm

a 2 − x 2 thì đặt x =

a
(dùng khi x có
cos t

mũ chẵn)
✓ Phép 10: Nếu xuất hiện biểu thức trong hàm ln,log, e,... thì đặt cả
biểu thức là t
1.1.5.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số u = u ( x) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì

 u( x)v( x)dx = u( x)v( x) −  u( x)v( x)dx
Vì v( x)dx = dv , u( x)dx = du , nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng

 udv = uv −  vdu
1.2

Tích phân

1.2.1 Khái niệm tích phân
✓ Định nghĩa hình thang cong
Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn  a; b  . Hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a
, x = b được gọi là hình thang cong.
✓ Định nghĩa tích phân

Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử F ( x) là một
nguyên hàm của f ( x) trên đoạn  a; b  .

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác
b

định trên đoạn  a; b  ) của hàm số f ( x) , kí hiệu là

a f ( x)dx .

b

Ta cịn dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F (b) − F (a) .
b

Vậy

a

b

f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a )
b

Ta gọi

a

là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f ( x)dx là biểu

thức dưới dấu tích phân và f ( x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước
a

b

a

a f ( x)dx = 0 ; a f ( x)dx = −b f ( x)dx
✓ Nhận xét:
b

Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

b

a f ( x)dx hay a f (t )dt

. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến
số x hay t.
✓ Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số f ( x) liên tục và khơng âm trên đoạn  a; b  thì tích phân
b

a f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của

f ( x) , trục Ox

b

và hai đường thẳng x = a, y = b. Vậy S =  f ( x)dx
a

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

1.2.2 Tính chất
b

b

a

a

Tính chất 1:  kf ( x)dx = k  f ( x)dx , k là hằng số
b

b

b

a

a

a

Tính chất 2:   f ( x)  g ( x)  dx =  f ( x)dx   g ( x)dx
b

Tính chất 3:

c

b

(a  c  b)

a f ( x)dx = a f ( x)dx + c f ( x)dx

1.2.3 Phương pháp tính tích phân
1.2.3.1 Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử hàm số x =  (t ) có
đạo hàm liên tục trên đoạn  ;   sao cho  ( ) = a ,  (  ) = b và a   (t )  b với

mọi t   ;   .
b

Khi đó:



a f ( x)dx =  f ( (t ) ) (t )dt

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:
Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Để tính

b

 f ( x)dx , đôi khi ta
a

chọn hàm số u = u ( x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn  a; b  , u ( x) có đạo hàm
liên tục và u ( x)   ;   .
Giả sử có thể viết f ( x) = ( u ( x) ) u( x), x   a; b 
Với g (u ) liên tục trên đoạn  ;   . Khi đó ta có

b

u (b )

 f ( x)dx = 
a

g (u )du

u(a)

1.2.3.2 Phương pháp tính tích phân từng phần

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
 a; b  thì
b

b

 u ( x)v( x)dx = (u ( x)v( x) ) −  u( x)v( x)dx
b

a

a

b

a

b

Hay  udv = uv a −  vdu
a

b

a

Đặt u theo quy tắc: “Nhất lơ – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ”
1.3

Ứng dụng của tích phân

1.3.1 Diện tích hình phẳng
Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích hình thang cong giới
b

hạn bởi các đường thẳng y = f ( x) , x = a , y = b và trục hoành là S =  f ( x ) dx .
a

Phương pháp
▪ Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f ( x) trên đoạn  a; b  .
b

▪ Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân S =  f ( x ) dx .
a

Trường hợp 1

Cho hai hàm số f ( x) và g ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích hình phẳng
b

giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = g ( x) , x = a , y = b là S =  f ( x) − g ( x) dx .
a

▪ Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f ( x) − g ( x) trên đoạn  a; b  .
b

▪ Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tinh tích phân S =  f ( x) − g ( x) dx .
a

Trường hợp 2

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Cho hai hàm số f ( x) và g ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích hình phẳng


giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = g ( x) là S =  f ( x) − g ( x) dx . Trong đó  , 


là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f ( x) = g ( x) (a      b) .

▪ Bước 1. Giải phương trình f ( x) = g ( x) .
▪ Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f ( x) − g ( x) trên đoạn  ;   .


▪ Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân




f ( x) − g ( x) dx .

Chú ý: Nếu trong đoạn  ;   phương trình f ( x) = g ( x) khơng cịn nghiệm


nào nữa thì ta có thể dùng cơng thức





f ( x) − g ( x) dx =



  f ( x) − g ( x) dx .



1.3.2 Thể tích khối trịn xoay
Cơng thức tính thể tích vật thể dựa vào diện tích mặt cắt

b

V =  S ( x)dx
a

Trong đó S ( x) là diện tích của thiết diện được tạo ra bởi vật thể và mặt
phẳng vng góc với Ox , cắt Ox tại x.
Các cơng thức tính thể tích của vật thể trịn xoay
Trường hợp 1: Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f ( x)  0, x   a; b  y = 0, x = a và x = b(a  b) quay quanh trục Ox là
b

V =   f 2 ( x)dx
a

Trường hợp 2: Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = g ( x)  0 y  c; d  x = 0, y = c và y = d quay quanh trục Oy là
d

V =   g 2 ( x)dx .
c

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Trường hợp 3: Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f ( x) , y = g ( x) , x = a và x = b ( a  b, f ( x)  0, g ( x)  0x   a; b ) quay
b

quanh trục Ox là V =   f 2 ( x) − g 2 ( x) dx .
a

Trường hợp 4: Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường x = f ( y ) , x = g ( y ) và y = c , y = d ( c  d , f ( y )  0, g ( y )  0y  c; d ) quay
d

quanh trục Oy là V =   f 2 ( y ) − g 2 ( y ) dy
c

1.3.3 Bài toán chuyển động
f ( x ) đặc trưng cho tốc độ thay đổi của đại lượng f ( x) theo biến số x.
b

Khi đó f (b) = f (a) +  f ( x)dx
a

t2

Bài toán chuyển động: s (t2 ) = s (t1 ) +  v(t )dt
t1

(Lưu ý: s(t ) =  v(t )dt , v(t ) =  a(t )dt ) với s (t ), v(t ), a (t ) lần lượt là quãng
đường, vận tốc, gia tốc của chuyển động tại thời điểm t.
t2

Bài toán sinh học: N (t2 ) = N (t1 ) +  N (t )dt , trong đó N (t ), N (t ) lần lượt là
t1

số lượng cá thể và tốc độ sinh sôi của chúng tại thời điểm t.

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI
TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH
TỐN THPT.

2.1

Dạng 1. Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm
Kiến thức nền tảng: Xem lại bảng nguyên hàm
Phương pháp tính nhanh: Đối với các câu hỏi trắc nghiệm áp dụng bảng

nguyên hàm để tính tích phân thường là những câu hỏi đơn giản, có thể dùng
MTCT để tính nhanh.
Ta dùng lệnh

Nếu câu hỏi trắc nghiệm được thêm các tham số a, b, c ,.. vào nhằm hạn

chế MTCT thì chúng ta có thể mũ hóa, hệ phương trình, dị nghiệm,..
5

Ví dụ 1: Tích phân

 ( 3x − 4 )

4

dx có kết quả là:

2

A.

89720
27

B.

18927
20

C.

960025
18

D.

53672
5

Trả lời
Cách 1 (Cách giải thông thường)

 ( ax + b )



1 ( ax + b )
dx =
a  +1

 +1

SVTH: Lê Cao Tường Vy

+c

(  −1)

Cách 2 (Tính nhanh bằng
MTCT)
Nhập hàm ( 3x − 4 ) và các cận 2 và
4

5 vào MTCT

Trang 15

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

5

 1 ( 3 x − 4 )5 
Ta có  ( 3x − 4 ) dx =  .



3
5
2

2
5

4

Rồi nhắn nút

161051 32 53673
=
−
=
15
15

5

ta được ngay kết

quả tính tích phân.

Đáp án: D

So sánh kết quả với đáp án A, B, C,
D. Ta thấy đáp án D là đáp án
đúng.

4

Ví dụ 2: Tích phân  cos 2xdx bằng
0

A.1

B.

1
2

C.2

D.0

Trả lời
Cách 1 (Cách giải thông thường)





4
1
1
 1
cos
2
xdx
=
sin
2
x
= sin − sin 0
0
2
2
2 2
0
4

=

1
2

Đáp án B.

Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT)
Vì bài tốn liên quan đến đại lượng 
nên ta chuyển MT về chế độ Radian.
SHIFT – MODE – 4
Nhập hàm cos 2x và các cận 0 và


4

vào MTCT

Rồi nhắn nút

ta được ngay kết

quả tính tích phân.

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

So sánh kết quả với đáp án A, B, C,
D. Ta thấy đáp án B là đáp án đúng.
m

Ví dụ 3: Xác định số thực dương m để tích phân  ( x − x 2 ) dx đạt giá trị lớn nhất.
0

B. m = 2

A. m = 1

C. m = 3

D. m = 4

Trả lời
Cách 1 (Cách giải thông thường)

Nhập hàm và các cận 0 và cận m vào

m

 x 2 x3 
P =  ( x − x ) dx =  − 
 2 3 0
0
m

Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT)

2

MTCT.

m 2 m3
=
−
2
3

Đặt f (m) =

m 2 m3
−
 f (m) = m − m 2
2
3

 f (m) = 0  m = 0 hoặc m = 1

án bằng cách bấm CALC, nhập từng

Lập bảng biến thiên
m

0

f ( m)

giá trị m vào. Giá trị m nào cho ra đáp
+

1
+

0

−

−

Vậy f (m) đạt GTLN tại m = 1

án lớn nhất thì chọn giá trị m đó.
Sau khi thử 4 lần thì m = 1 là đáp án
đúng.

1
6

f ( m)

Ta sẽ thử từng giá trị m của các đáp

−

Đáp án A.

Đáp án A

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 17

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Dạng 2. Tích phân hàm hữu tỉ

2.2

Kiến thức nền tảng:
Nếu hàm hữu tỉ dạng I = 

P( x)
dx : trong đó ax 2 + bx + c = 0 có
ax + bx + c
2

nghiệm kép.
▪ Bước 1: Lấy tử số chia mẫu số ( P ( x) nếu bậc của lớn hoặc bằng 2). Tách
tích phân giả sử được
I =  Q( x)dx + 

Ax + B
Ax + B
dx =  Q( x)dx + 
dx
2
ax + bx + c
( x +  )
2

▪ Bước 2: Đưa biểu thức ( x +  ) lên tử số và thêm bớt hệ số. Tách tích phân
sẽ được tích phân có ngun hàm cơ bản.
Nếu hàm hữu tỉ I = 

P( x)
dx : trong đó P ( x) là một đa thức và
ax + bx + c
2

ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.

▪ Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu số và đưa về tích:
ax 2 + bx + c = ( x − x1 )( x − x2 )

 TS

TS  1

▪ Bước 2: Tách theo quy tắc. I =  
−
 . dx
 MN ML  
Trong đó:

TS: Tử số - MN mẫu nhỏ - ML mẫu lớn
 = Hệ số tự do ML – hệ số tự do mẫu nhỏ

Phương pháp tính nhanh: dùng máy tính CASIO.
2

 1



Ví dụ 1: Tích phân I =   2 + 2 x  dx có giá trị là
x

1
A.

5
2

B.

7
2

SVTH: Lê Cao Tường Vy

C.

9
2

D.

11
2

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Trả lời
Cách 1 (Cách giải thơng thường)
Tích phân có giá trị là:

Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT)
 1

2

7
 1

 1

I =   2 + 2 x  dx =  − 2 + x 2  =
x

 x
1 2
1
2



Nhập hàm  2 + 2x  và các cận 1 và
x

cận 2 vào MTCT.

Đáp án B.

Đáp án B.
a2
x2 + 2 x + 2
Ví dụ 2 : Giá trị của a để tích phân 
+ a + ln 3 là:
dx có giá trị
2
x +1
0
a

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Trả lời
Cách 1 (Cách giải thông thường)

x2 + 2x + 2
1 

0 x + 1 dx = 0  x + 1 + x + 1  dx
a

a

a

0

0

1
dx
x +1

a

 x2

a
=  + x  + ln ( x + 1) 0
 2
0
a2
=
+ a + ln ( a + 1)
2

2

2

a
a
+ a + ln ( a + 1) =
+ a + ln 3
2
2

 ln ( a + 1) = ln 3  a = 2

Đáp án D.

SVTH: Lê Cao Tường Vy

x2 + 2 x + 2
a2
dx
=
+ a + ln 3 nên
0 x + 1
2
a

a

=  ( x + 1) dx + 

Ta có

Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT)
Vì

hiệu của chúng sẽ bằng 0
Ta nhập hàm
 a2

x2 + 2x + 2
dx
−
 + a + ln 3  vào
0 x + 1
 2

a

máy.
Ta thử từng giá trị a vào. Nếu kết quả
bằng 0 thì đúng.
Ở đây, sau khi thử 4 đáp án thì chỉ cỏ
đáp án D là có kết quả hiện ra bằng 0.
Nên đáp án D đúng.

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

5 x + 12
2 5x2 + 5x + 6 dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6 . Tính S = 3a + 2b + c .
3

Ví dụ 3: Biết

B. −14

A. 3

D. −11

C. −2
Trả lời

Cách 1 (Cách giải thơng thường)
Ta có

5 x + 12
2
3
=
+
2
5x + 5x + 6 x + 2 x + 3

Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT)
Tính tích phân rồi lưu vào biến A

5 x + 12
2
3
2 5x2 + 5x + 6 dx = 2 x + 2dx + 2 x + 3 dx
3

3

3

3

3

= 2ln x + 2 2 + 3ln x + 3 2

= 3ln 6 − ln5 − 2ln 4
= −4ln 2 − ln5 + 3ln 6
 a = −4; b = −1; c = 3

Khi đó A = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6

Vậy S = 3a + 2b + c = −11

 A = ln ( 2a.5b.6c )

Đáp án D.

 2a.5b.6c = e A =

27
10

Dễ thấy
27 3.3.3
=
= 2−1.5−1.33 = 2−4.23.5−1.33
10
2.5
= 2−4.5−1.63  a = −4; b = −1; c = 3

S = 3a + 2b + c = −11

Đáp án D.

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Nhận xét: Cách tính nhanh ở ví dụ 3 chính là “Kĩ thuật mũ hóa bài tốn
có ln”.


Cho hệ thức

 f ( x)dx = a ln m + b ln n + c ln p với a, b, c 

là ẩn và m, n,

p là các số cho trước.


✓ Bước 1: Ta sẽ tính giá trị tích phân

 f ( x)dx

rồi lưu vào biến A.



✓ Bước 2. Ta có:
A = a ln m + b ln n + c ln p  A = ln ( m a .nb . p c )  e A = m a .nb . p c

✓ Bước 3: Tính e A
- Nếu e A là một số hữu tỉ, ta sẽ phân tích số mũ a, b, c theo cơ số m, n, p
sao cho bằng e A .
- Nếu e A là một số vô tỷ và p = e  e A = m a .nb .ec  e A−c = m a .nb
▪ Để tính m a .nb được ta sử dung chức năng TABLE (MODE 7) với
hàm f ( X ) = m a .nb = e A− x
▪ Ta đưa máy tính về chế độ 1 hàm: SHIFT – MODE - ▼- 5 – 1.
▪ Start -10; End 10; Step 1
▪ Quan sát màn hình xem giá trị nào của là số hữu tỉ thì nhận. Khi đó
phân tích số mũ a, b theo cơ số m, n sao cho bằng e A− x .
2.3

Dạng 3. Tích phân đổi biến số
Kiến thức nền tảng: xem lại các dấu hiệu đặt ẩn phụ ở mục 1.1.5
Các bước:
✓ Bước 1: Đặt ẩn phụ theo dấu hiệu
✓ Bước 2: Vi phân hai vế phương trình ẩn phụ để đổi đi.

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

✓ Bước 3: Đổi cận. Sau đó thế tất cả 3 đại lượng trên vào tích phân ban
đầu để tạo thành một tích phân đơn giản hơn.
Phương pháp giải nhanh: dùng MTCT
2.3.1 Tích phân đổi biến số dạng 1
2.3.1.1 Hàm f(x) có căn thức
2x2 + x − 1
Ví dụ 1: Giá trị của tích phân 
dx là
x +1
0
3

54
5

A.

B.

53
5

C.

52
5

D.

51
5

Trả lời
Cách 1 (Cách giải thơng thường)

Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT)

x + 1 = t  t 2 = x + 1  dx = 2tdt

Dùng MTCT ta sẽ ra ngay kết quả là

Đặt

 x = 0 t = 1


x
=
3

t = 2

54
5

Đổi cận 
2

I =

2. ( t 2 − 1) + ( t 2 − 1) − 1
2

t

1

2tdt
2

 4t 5

= 2  ( 2t − 3t )dt = 
− 2t 3 
 5

1
1
2

4

=

2

Đáp án A

48 6 54
+ =
5 5 5

Đáp án A
4

Ví dụ 2: Cho tích phân

dx
2
với a, b là các số nguyên. Mệnh
=
a
+
b
ln
0 3 + 2 x + 1

3

đề nào sau đây là đúng?
A. a + b = 3

B. a − b = 3

C. a − b = 5

D. a + b = 5

Trả lời

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Cách 1 (Cách giải thông thường)
t 2 −1
2x + 1 = t  x =
 dx = tdt
2

Đặt

 x = 0 t = 1

 x = 4 t = 3

Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT)
4

Nhập

 3+
0

dx
vào MTCT ra
2x + 1

kết quả rồi lưu vào biến A.

Đổi cận 

3
tdt
3 

I =
=  1 −
dt
=
t
−

3ln
3
+
t
(
)

1
3+t 1  3+t 
1
3

3

= 3 − 3ln 6 − 1 + 3ln 4 = 2 + 3ln

2
3

 a = 2; b = 3  a + b = 5

Đáp án D.

2
3

Lúc này ta có : a + b ln = A
Mỗi đáp án là phương trình thứ 2
Ta có 4 hệ phương trình, hệ phương
trình nào cho ra giá trị nguyên cả hai

ẩn là đáp án đúng.
Thử lần lượt, ta thấy đáp án D thỏa
mãn.

Đáp án D.

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 23


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy

Nhận xét: Cách tính nhanh ở ví dụ trên (ví dụ 2) chính là “Kĩ thuật ép hệ
phương trình”.
✓ Cho hệ thức muốn tìm thỏa mãn hệ thức.
✓ Ta sẽ tính giá trị tích phân rồi lưu vào A.
✓ Vậy ta sẽ ép được hệ phương trình . Để giải hệ phương trình này ta có
thể dùng tính năng giải hệ của MTCT (MODE – 5 – 1), dùng chắc năng
dò nghiệm SHIFT SOLVE hoặc lập bảng giá trị (MODE 7) của máy
Casio.
b

2.3.1.2 Tích phân của I =  f (e x ).e x dx → t = e x  dt = e x dx
a

ex
ae + e3

Ví dụ 3: Tìm a biết I = 
với a, b là các số nguyên dương
= ln
2 + ex
ae + b
−1
2

A. a =

1
3

B. a = −

1
3

C. a = 2

D. a = −2

Trả lời
Cách 1(Cách giải thông thường)
Đặt t = e x  dt = e x dx
1

 x = −1  t =
Đổi cận 
e

 x = 2  t = e2

e2

I=

dt
1 2 + t = ln 2 + t

Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT)
2

Nhập

ex
−1 2 + e x vào MTCT ra kết quả

rồi lưu vào biến A.

e2
1
e

e

1

= ln ( 2 + e 2 ) − ln  2 + 
e


Lúc này ta có:

SVTH: Lê Cao Tường Vy

Trang 24