Skkn khai thác một bài toán cơ bản để giải một số bài toán hình học không gian

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong thực trạng dạy học hiện nay, khi Kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia và đặc
biệt trong thời gian tới đây là Kỳ thi học sinh giỏi các mơn văn hóa lớp 12 cấp tỉnh
được thi bằng hình thức thi trắc nghiệm, thời gian làm bài tập ít, số lượng bài tập
lớn, phủ kiến thức rộng đã gây trở ngại, khó khăn cho cả hoạt động giảng dạy của
thầy và hoạt động của trị.
Với hình thức thi tự luận trước đây, đứng trước một vấn đề khó, vấn đề mới lạ,
học sinh có thời gian suy ngẫm tìm ra cách giải quyết vấn đề, có thể là quy lạ về
quen hay thậm chí là cách giải mới. Tuy nhiên, với bài thi trắc nghiệm, trước một
vấn đề khó, mới lạ, việc tìm ra được cách mới để giải quyết vấn đề là vơ cùng khó
khăn. Do đó, việc quy lạ về quen là vơ cùng quan trọng. Trong q trình ơn tập, sau
khi giải một bài tập, học sinh cần phải rút ra được những kinh nghiệm để giải quyết
những bài tập tương tự và suy ngẫm xem bài tập đó có thể phát triển hành những
bài tập dạng nào. Có như vậy, học sinh mới đáp ứng được sự đa dạng, sự biến hóa
của đề thi trắc nghiệm.
Yêu cầu là như vậy, nhưng trong q trình dạy và học, khơng phải giáo viên,
học sinh nào cũng thực hiện phân tích và rút kinh nghiệm sau mỗi bài tập. Việc này
cũng có nguyên nhân chủ quan và nguyên nhân khách quan, dẫn đến việc học sinh
giải được dạng bài tập nào, đã được hướng dẫn dạng bài nào thì biết được dạng bài
tập đó, từ đó dẫn hình thành cho học sinh tính ỷ lại, mong chờ sự may mắn, chưa
thấy được cái hay, cái ý nghĩa của tốn học; kích thích hứng thú sau mỗi bài tập.
Trước thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là dạy bồi dưỡng học
sinh khá giỏi, sau mỗi bài tập tôi thường dành một khoảng thời gian nhất định để
học sinh suy ngẫm về bài tập, định hướng để các em có thể phát triển bài tập thành
những dạng bài tập khó hơn, đa dạng hơn, từ đó tạo sự hứng thú, ham tìm tịi
nghiên cứu của học sinh, làm các em hiểu kiến thức được rộng hơn, sâu hơn.
Để nhân rộng, lan tỏa hơn nữa ý tưởng của mình, có tài liệu để học sinh và
đồng nghiệp nghiên cứu, do sự hạn chế về thời gian và khung giới hạn của sáng
kiến kinh nghiệm nên tôi chọn đề tài: “Khai thác một bài tốn cơ bản để giải một
số bài tốn hình học khơng gian”.

Trong q trình thực hiện, khơng tránh khỏi những cịn hạn chế, thiếu sót rất
mong được đồng nghiệp, học sinh góp ý và chia sẻ để đề tài được hoàn thiện hơn,
mang lại sự hiệu quả và thiết thực.
Xin chân thành cảm ơn!
1

skkn


1.2. Mục đích nghiên cứu.
+ Cung cấp cho đồng nghiệp và học sinh một tài liệu hữu ích trong quá trình
dạy, học và nghiên cứu khoa học. Nâng cao kiến thức, trình độ chun mơn của
bản thân.
+ Khơi dậy hứng thú, ham học hỏi, tìm tịi nghiên cứu tốn học của học sinh,
giúp các em chủ động nắm vững kiến thức, đáp ứng được yêu cầu của các kỳ thi và
quá trình học tập sau này.
+ Giúp các em nhận dạng nhanh một số bài tốn hình học khơng gian (Chứng
minh, tính thể tích, …..) có liên quan đến tỷ số đoạn thẳng bằng việc ứng dụng bài
toán cơ bản của đề tài.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là quá trình từ một bài tập cơ bản ban đầu,
hình thành ý tưởng, kỹ năng để vận dụng để giải một số bài tốn hình học không
gian.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
+ Phương pháp thực nghiệm.
+ Phương pháp phân tích, tổng kết rút kinh nghiệm
+ Phương pháp khảo sát điều tra thực tế, thu thập thông tin
+ Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lý luận của đề tài
2.1.1. Cơ sở khoa học của đề tài
Hình học là một môn học xây dựng trên cơ sở hệ thống các khái niệm, tiên đề,
định lý. Do đó, để hiểu và học tốt phân môn hình học, người học cần một nền tảng
kiến thức vững vàng, trí tưởng tượng tốt, khả năng tư duy lô gic, vận dụng lý thuyết
một cách sáng tạo. Đối với đa số học sinh, đây là môn học khó, đặc biệt là khi học
sinh tìm hiểu về lĩnh vực hình học không gian của lớp 11 và lớp 12.
Ngoài lớp các bài toán chứng minh các yếu tố song song, vuông góc, dựng
hình (tìm giao tuyến, thiết diện..), tính một số các yếu tố quen thuộc như góc,
khoảng cách, thể tích...., sách giáo khoa và sách bài tập hình học 11 và 12 còn giới
thiệu một số các bài toán yêu cầu chứng minh các đẳng thức hay bất đẳng thức
hình học, tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của diện tích một đa giác, thể tích một
khối đa diện... Đó là những bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức

2

skkn


tổng hợp, sáng tạo, tương tự hóa, nhận ra cái chung của một lớp các bài toán để tìm
hướng giải một bài tập cụ thể.
2.1.2. Cơ sở thực tiễn
Qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi nhận thấy, khi tìm
ra cái chung của một lớp các bài toán, tức là phát hiện ra cái gốc của vấn đề cần
chứng minh hay tính toán, học sinh có thể tương tự hóa, dùng kết quả và cách suy
luận đó để chứng minh và tìm cách giải của hầu hết các bài tập tương tự một cách
dễ dàng. Vì thế, công việc của người thầy là giúp học sinh phát hiện ra bài toán cơ
bản, từ đó, cùng học sinh khai thác, sử dụng kết quả của bài toán đó cho những bài
tập khác.
Bản sáng kiến kinh nghiệm này của tôi trình bày một bài toán cơ bản trong

những bài toán cơ bản như thế, và xem xét ứng dụng của nó trong việc giải một số
bài tập khó trong hình học không gian lớp 11 và 12. Tên đề tài tơi chọn: “Khai
thác một bài tốn cơ bản để giải một số bài tốn hình học khơng gian”.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, trước khối lượng lớn kiến thức cần phải học so với
thời gian dành cho học sinh tự học ngày càng ít, tơi thấy rằng: Học sinh rất thụ
động trong việc tìm hiểu, tự lĩnh hội kiến thức. Giáo viên giới thiệu dạng toán nào
thì học sinh biết được dạng tốn đó. Trước một bài tốn mới, ít học sinh chủ động,
hăng say tự tìm hiểu; cịn rất nhiều học sinh ỷ lại, chờ giáo viên hướng dẫn, gợi ý
hoặc sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả mong sự may rủi. Điều nay gây khó
khăn và ức chế rất nhiều đối với giáo viên trong quá trình giáo dục học sinh.
Trước thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy, để gây hứng thú cho học
sinh, để học sinh thấy được cái hay, ý nghĩa thực tế của tốn học tơi thường gắn bài
tập với việc giải quyết các tình huống thực tế, gắn với sự linh hoạt sử dụng của toán
học như: Một bài tốn có thể giải bằng nhiều cách, có thể áp dụng trong nhiều
trường hợp, nhiều lĩnh vực. Nội dung của đề tài là một trong rất nhiều nội dung mà
tơi đã triển khai trong q trình giảng dạy. Khi triển khai đề tài tôi đã cảm nhận
được sự thay đổi đáng kể ở từng học sinh. Ban đầu khi triển khai ở lớp 10, cơng
việc vất vả vì học sinh chưa quen, chưa chủ động nhưng qua quá trình kiên trì thực
hiện, cuối lớp 10, đầu lớp 11 và lớp 12, công việc thuận lợi và đôi khi là nhẹ nhàng,
nhất là đối tượng học sinh khá - giỏi, các em chủ động phân tích, tìm tịi và đề xuất
các giải pháp giải quyết vấn đề.

3

skkn


2.3. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp giải quyết vấn đề
KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
I. Tìm hiểu bài toán cơ bản sau: Cho tam giác
và hai điểm
trên hai cạnh
( và
khác ). Gọi
là trung điểm của
điểm của

và

,

di động
là giao

. Chứng minh rằng

Lời giải
+) Qua
kẻ ba đường thẳng song song với
, và đánh dấu các điểm
như hình vẽ.
+) Dễ chứng minh được
lần lượt là trung điểm của
và
; đồng
thời
thẳng hàng.
+) Ta có:

A

E
F
M
B

O

N
G

K

Q

H

D

C

+) Lại có:
+) Mà

.

+) Vậy

4

skkn


+) Từ (2), (3) suy ra
+) Thay (4) vào (1) ta được:

là đpcm.

Nhận xét : Hai điểm
chỉ cần điều kiện khác
có thể trùng với ta vẫn được kết quả như trên.

;

có thể trùng với

Cách 2: Sử dụng phương pháp diện tích
Ta có :

Suy luận tương tự, ta suy ra
Lại có
Do vậy,

.

Mặt khác,
Từ đó, ta có



II. Khai thác bài tốn cơ bản
Trong hình học, khi ta phải giải bài tốn tìm một đại lượng hình học nào đó
hoặc chứng minh một tính chất hình học (cố định, song song ...) theo các ràng buộc
qua các đại lượng thay đổi. Để giải bài toán này, ta phải đi tìm một hệ thức liên hệ
giữa các đại lượng thay đổi đó rồi từ đó đưa ra được điều cần chứng minh, tính
tốn. Để minh hoạ, ta xét một số bài tập ví dụ sau :

5

skkn


Bài 1: Cho tứ diện

và hai điểm

Chứng minh rằng mặt phẳng

di động trên

thỏa mãn :

luôn đi qua một đường thẳng

cố định.
S

M

A

B

G

D
N

C

Phân tích:
- Nhận thấy ngay, đối với học sinh, bài tốn trên là một bài tốn khó vì: Với
điểm

cố định, để chứng minh mặt phẳng

đi qua một đường thẳng cố

định ta cần chỉ ra
luôn đi qua một điểm cố định nữa khác điểm .
- Khó khăn trong việc tìm ra điểm , thơng thường học sinh sẽ tìm ra điểm
như sau:
* Xét cố định điểm
tại vị trí đặc biệt là trung điểm của
. Từ giả thiết suy
ra được



trùng



trùng với trung tuyến

.

* Tương tự trên khi xét cố định
là trung điểm của

trung với
trung tuyến
.
* Với hai trường hợp trên 
đi qua điểm
cố định là trọng tâm của tam
giác
.
- Khẳng định rằng, ngay cả khi xác định được
ln đi qua
thì việc
chứng minh khơng hề đơn giản.
Nhưng rất là đơn giản khi học sinh áp dụng ngay bài toán cơ bản trên, cụ
thể:
Lời giải
+) Gọi
là trung điểm của
,
6

skkn


+) Áp dụng bài toán cơ bản, chứng minh được

Vậy

là điểm cố định, chính là trọng tâm tam giác
.
+) Vậy đường thẳng
cố định ln nằm trong

.

Nhận xét: Bài tốn này hồn tồn có thể tổng qt

, bằng

việc vận dụng bài tốn cơ bản, ta có thể giải được một cách dễ dàng.
Bài 2: Cho hình chóp
, có đáy
lần lượt là trung điểm của
và
.
a. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng
b. Gọi

. Tính tỷ số

c. Tổng quát : Giả sử

đoạn

. Tính tỷ số

là hình bình hành. Gọi
và hình chóp.
.

;

;

là giao điểm của

và

.

Lời giải
S
E
N
M

G
D

C
O

B

A

a. Xác định thiết diện :
+) Xác định giao điểm
và
, là giao điểm của
của

và

của
và

và
: Gọi là giao điểm của
, khi đó chứng minh được là giao điểm

.

+) Gọi là giao điểm của
. Vậy thiết diện là
.

và

thì

là giao điểm của

và

7

skkn


b. Tính tỷ số

 :

+) Trong tam giác

,

là trung điểm

+) Trong tam giác

, ta có :

nên

+) Vậy
c. Giả sử
đoạn

;

. Tính tỷ số

, với

là giao điểm của

và

 : Lập luận hoàn toàn tương tự ta có

Vậy
Bài 3: Cho hình chóp

, lấy các điểm

Biết rằng

lần lượt trên

chứng minh rằng

và

.

đi qua một điểm cố

định.
Lời giải
S

A'
B'

G
D'

B

A
C'

K

D

C

+) Gọi

là trung điểm của

,

là giao điểm của

với

. Áp

dụng Bài toán 1, ta có :

8

skkn


+) Gọi

là trung điểm của

điểm cố định và

thuộc

,

là giao điểm của

và

thì

là

, đồng thời ta có:

+) Đẳng thức (*) chứng tỏ
là điểm cố định, vậy
luôn đi qua một

điểm cố định.
Bài 4. Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
là hai
điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng
và
(
không trùng ) sao cho

1) Chứng minh rằng khi MN thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua một điểm
cố định.
2) Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN.
Chứng minh rằng:
Lời giải
S

M

A
N
D
E

B

G
I

C

1) Chứng minh rằng khi
thay đổi, đường thẳng
luôn đi qua một
điểm cố định.
+) Lấy
đối xứng với
qua , thì
.
cắt
tại thì là
trung điểm của
. là điểm cố định. Gọi là giao điểm của
và
+) Áp dụng bài toán cơ bản ta có:

9

skkn


+) Hệ thức (*) chứng tỏ
là điểm cố định. Vậy đường thẳng
một điểm cố định là .
2) Gọi và
lần lượt là thể tích của các khối chóp

ln đi qua
và

Chứng minh rằng:
+) Ta có
+) Ta có

với

+) Xét hàm số

trên đoạn

+) Ta có
+) Từ đó

Vậy ta có

Bài 5: Cho hình chóp

có đáy

góc với mặt phẳng đáy

,

là hình vng, cạnh
. Trên

thỏa mãn

và

vng

lần lượt lấy hai điểm

mặt phẳng

tích của khối tứ diện

,

cắt

tại

. Tính thể

.
Lời giải
S

E
M
G

N

C

B

D
O
A

10

skkn


+) Dựng thiết diện

: tương tự bài 2,

+) Trong tam giác

, ta có:

+) Trong tam giác

, ta có:

là giao điểm của

và

.

+) Tính được
+)
+)

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều
cạnh

. Mộtmặt phẳng

lần lượt tại các điểm

thay đổi cắt các

. Chứng minh rằng :

.
Lời giải
, sao cho

+) Dựng mặt phẳng
thuộc đường cao
của hình chóp.
+) Do
là chóp tứ giác đều nên
+)
là trung tuyến của các tam giác

và

và

cắt nhau tại điểm
.
, nên ta có:

S
Q

M
I
P
B

N

A

D
O
C

11

skkn


(trong tam giác

).

(trong tam giác

(1)

).

(2)

Từ (1) và (2) ta có
Bài 7: Cho hình chóp tứ giácđều
lần lượt là trung điểm của
, cắt các cạnh
giác
.

có tám cạnh đều bằng nhau và bằng
và

. Một mặt phẳng

lần lượt tại các điểm

và

vuông tại

thay đổi qua

. Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ

Lời giải
+) Gọi là giao điểm của
và đường cao
phải đi qua . Dễ thấy là trung điểm của

+) Từ giả thiết ta có :
vng tại .
+) Tương tự tam giác

.

của hình chóp, suy ra
Vậy tam giác

. Suy ra

+) Dễ chứng minh được:
S

Q

M
I
P

N

A

D
O

B

C

+) Vậy

12

skkn


+) Đặt
+) Thay (2) vào (1) ta được:
+) Áp dụng bài tốn gốc:

+) Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số khơng âm

ta được:

+) Từ (3) và (4) có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
lần lượt là trung điểm của
Vậy tứ giác

, tức là

.

có diện tích nhỏ nhất là

Bài 8 : Cho hình chóp

có đáy

là hình bình hành. Lấy các điểm

lần lượt thuộc SA, SB, SC sao cho :
phẳng

cắt

,

tại

. Tính tỷ số

Mặt

.

Lời giải

13

skkn


S
D1

A1

I
B1

D

A

O

B

C

+) Gọi
là giao điểm của
+) Theo bài tốn gốc ta có :

+) Suy ra

C1

và

,

là giao điểm của

và

.

Vậy

Nhận xét : Bằng việc áp dụng bài tốn gốc ta dễ dàng tính được tỷ số
Từ đó ta có thể xây dựng được một số câu hỏi dạng trắc nghiệm ở mức
độ vận dụng hoặc vận dụng cao
Bài 9 : Cho hình chóp
điểm của

. Mặt phẳng

có đáy
đi qua

là hình bình hành, gọi
, cắt

là trung

lần lượt tại

. Chứng

, khi đó

sẽ đi qua

minh rằng
+) Gọi
. Ta dễ thấy

Lời giải
là giao điểm của
và
;
là trọng tâm tam giác
.

14

skkn


S

K
N

I

M
C

D

O

B

A

+) Đặt
+) Ta có :
Vậy
+) Trong tam giác

, có

là đường trung tuyến, áp dụng kết quả bài

tốn cơ bản, ta có :

+) Mà
+) Thay (2) vào (1) ta được:
+) Xéthàm số

, dễ tìmđược:

+) Vậy
15

skkn


Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho hình chóp
phẳng

có đáy

thay đổi, cắt các cạnh

là hình bình hành. mặt

lần lượt tại

Chứng

minh rằng :
Bài tập2: Cho tam giác đều
, cạnh bằng
giác. Một đường thẳng đi qua , cắt các cạnh

và
là trọng tâm của tam
lần lượt tại
. Chứng

minh rằng :
Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác đều
Lần lượt lấy hai điểm
với

, có cạnh bằng đáy bằng

trên các cạnh

sao cho

. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của khối chóp

Bài tập4: Cho tứ diện
thẳng qua
cắt các cạnh

.

, có đáy

là hình vng cạnh

và vng góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng
, cắt

khối chóp

lần lượt tại

và

. Biết

thuộc
cắt

có đáy

thỏa mãn
lần lượt tại

Bài tập 7: Cho hình chóp
và thỏa mãn

đi qua

,

và vng góc

, tính thể tích của

.

Bài tập 6: Cho hình chóp
vng góc với mặt phẳng đáy. Biết
bằng
. Lấy điểm
, song song với
.

ln vng góc

, gọi
là trọng tâm tam giác
, đường
lần lượt tại
. Chứng minh rằng 

Bài tập5: Cho hình chóp

với

.

là hình chữ nhật,
góc giữa
và
.Một mặt phẳng đi qua
. Tính thể tích của khối tứ diện

và hai điểm

di động trên hai cạnh

. Chứng minh rằng

điểm cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của khối chóp

ln đi qua một

.
16

skkn


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Khi triển khai ý tưởng và nội dung của đề tài, bản thân tôi nhận thấy sự hiệu
quả rõ rệt qua từng năm học. Học sinh có ý thức trong việc phân tích đề bài, sau
mỗi bài tập có sự nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm. Những bài tập tính khoảng

cách, thể tích các khối đa diện … có liên quan đến tỷ lệ đoạn thẳng, học sinh hào
hứng và phát hiện vấn đề rất nhanh. Điều này được bản thân kiểm nghiệm, so sánh
rất nhiều giữa lớp mà bản thân tôi được phụ trách dạy so với các lớp khác khi được
phân công dạy thay, ở những lớp tôi dạy thay, học sinh lúng túng trong việc xác
định được vấn đề, hướng giải quyết vấn đề và mục tiêu oàn thành nhiệm vụ.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Qua quá trình triển khai thực hiện đề tài, tôi nhận thấy: Khi tìm ra cái chung
của một lớp các bài toán, tức là phát hiện ra cái gốc của vấn đề cần chứng minh hay
tính toán, học sinh có thể tương tự hóa, dùng kết quả và cách suy luận đó để chứng
minh và tìm cách giải của hầu hết các bài tập tương tự một cách dễ dàng. Vì thế,
công việc của người thầy là giúp học sinh phát hiện ra bài toán cơ bản, từ đó, cùng
học sinh khai thác, sử dụng kết quả của bài toán đó cho những bài tập khác.
3.2. Kiến nghị
Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021
CAM KẾT KHƠNG COPY
Người viết

Phạm Hùng Bích

17

skkn