Skkn rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường thpt nông cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học khơng gian chiếm vai trị quan trọng trong chương trình Tốn
THPT. Nội dung phần hình học khơng gian được trình bày trong chương trình
hình học 11. Qua nhiều lần thay đổi cách thức thi song hình học khơng gian là
nội dung luôn xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và hiện nay
là thi TN THPT Quốc gia.
Qua nhiều năm giảng dạy Tốn lớp 11 phần hình học khơng gian tơi đã phát
hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách giải nào,
phương pháp nào, khơng có kĩ năng trình bày bài, rất hay sai lầm “ngộ nhận”
trong việc giải dẫn đến kết quả sai. Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý
thuyết, chưa phân tích kỹ đề bài đã vội vàng đưa ra lời giải. Bài tốn về “góc”
trong hình học khơng gian là nội dung trọng tâm. Học bài tốn về “góc” giúp
học sinh phát triển tư duy logic, phát triển trí tuệ và tính sáng tạo, rèn luyện kĩ
năng tính tốn, ứng dụng trong thực tế.
Từ kinh nghiệm giảng dạy các bài tốn góc trong sách giáo khoa hình học 11
và các bài toán trong các đề thi tuyển sinh THPT quốc gia và tìm hiểu cách giải
một số bài tập “góc” tơi đã rút ra các phương pháp phù hợp để giải các bài tốn
“góc” trong hình học không gian.
Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất cần có một tài liệu trình bày có
hệ thống bài tốn về “góc” trong hình học khơng gian để có thể học tập tốt hơn.
Vì vậy tơi chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT
Nơng Cống 3 thơng qua bài tốn về góc trong hình học khơng gian” với
mong muốn trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó
đưa ra một số kỹ năng giúp học sinh giải bài toán nhanh hơn, chặt chẽ hơn bằng
kiến thức cơ bản đã học góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin
cho học sinh trong các kỳ thi.
Tài liệu cũng có thể giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên môn và nâng cao
khả năng của bản thân. Do đó trình bày mỗi bài tốn, tơi đều theo trình tự: Ý
tưởng – Lời giải – Kinh nghiệm, với mong muốn có một cái nhìn sâu sắc hơn về
cách tư duy và kinh nghiệm giải toán.

1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;
- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính tốn, hạn chế sai lầm trong
bài làm. Từ đó cung cấp, bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi
THPT Quốc gia;
- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Sáng kiến được nghiên cứu đối với các bài toán về “góc” thuộc phần hình
học khơng gian trong chương trình hình học lớp 11 và được áp dụng đối với học
sinh lớp 11A6, 11A7 năm học 2019 – 2020 và lớp 11B2, 11B9 năm học 2020-

skkn

1


2021. Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một số ví dụ điển hình cho một số
bài tốn về “góc” để phân tích, chỉ ra các hướng tiếp cận và giải toán.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11;
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm.

skkn

2


2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận.

2.1.1. Các định nghĩa
*Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian:
Góc giữa hai đường thẳng và trong khơng gian là góc giữa hai đường thẳng
và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với và .
*Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Cho đường thẳng

và mặt phẳng

Trường hợp đường thẳng
giữa đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng

và mặt phẳng

Trường hợp đường thẳng
và hình chiếu

.
bằng

thì ta nói rằng góc

.

khơng vng góc với mặt phẳng

của nó trên

gọi là góc giữa đường thẳng

thì góc giữa
và mặt phẳng

.
*Góc giữa hai mặt phẳng .
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai
mặt phẳng đó.
2.1.2. Các định lí

Định lí 1:
Định lí 2:

.
.

Định lí 3:

Định lí 4:

.

.

Định lí 5:
.
2.2. Thực trạng của vấn đề.
Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi TN THPT Quốc
gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán về góc phần hình

học khơng gian thường hay xuất hiện, với mục đích của nhà giáo dục dành cho
những học sinh có học lực khá, giỏi. Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần

skkn

3


“góc” trong khơng gian tơi đã phát hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong
việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, khơng có kĩ năng trình vẽ hình,
bày bài, rất hay sai lầm “ngộ nhận” trong việc giải dẫn đến kết quả sai. Nguyên
nhân là do các em chưa nắm vững lý thuyết, chưa phân tích kỹ đề bài đã vội
vàng đưa ra lời giải. Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễu
học sinh càng dễ mắc sai lầm. Do đó, rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải một
số bài tốn về “góc” trong khơng gian là một u cầu cần thiết.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải tốn thơng qua một (hay
nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó
yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài tốn về
“góc” trong khơng gian.
- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức
của học sinh.
- Trong mỗi bài tốn về “góc” trong khơng gian đều u cầu học sinh thực
hiện phân tích bản chất cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài
toán.
- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
* Cụ thể:
2.3.1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
2.3.1.1. TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP

DỰNG HÌNH.
a. Phương pháp.
Trong khơng gian chọn được gốc sao cho
qua

dựng được

Khi đó
b. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho tứ diện
của
Gọi

.
.
có

. Gọi

lần lượt là trung điểm

và

. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng
Giải:
là trung điểm của
, suy ra:

và

.

A

Khi đó
có:

. Xét tam giác

ta

N
I
B

D
M
C

skkn

4


Suy ra
Chú ý:

hay

.

Trong ví dụ trên do chưa thể kết luận được ln

là góc nhọn

nên ta khơng được phép viết ln
(các bạn thấy rõ điều này qua ví dụ vừa rồi).
Ví dụ 2. Cho tứ diện
đều có cạnh đáy bằng
Tính góc giữa hai đường thẳng
và
.
Giải:
Dựng góc.
Gọi là trung điểm của
là đường
trung bình của tam giác
.
Khi đó ta có
Xét tam giác

,

là trung điểm của

.

.
có :
.

.
Vậy
Cách 2:

.

Ta có:

.
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a,
. Gọi G là
trọng tâm tam giác SCD. Tính góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA .
Giải:

skkn

5


Gọi M là trung điểm CD, Gọi
ra

, suy

. Suy ra
.
Vì G, E lần lượt là trọng tâm tam giác SCD và
ACD
nên

.
Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K,
suy ra K là hình chiếu của G trên mp
Ta có:

,

,

.
Vì

.

nên

, suy ra

Xét tam giác BEG, có

.

,

,

,

suy ra
.

Ví dụ 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc, góc OCB bằng
, góc ABO bằng
và
. Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM =
2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng CM và OA.
Giải:
Gọi H là hình chiếu của M lên mp
Vì
nên
.
Suy ra
Đặt

.
.

. Ta có
.

Ta có

,
.

Suy ra

.

skkn

6


Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng
góc với mặt phẳng
,
hai đường thẳng BF và AC.

. Gọi F là trung điểm SC, tính góc

giữa

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD
khi đó
Lại có
Vậy

.
nên
.

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
Hai mặt phẳng

và

đến mặt phẳng

là

Hai mặt phẳng

và

.

cùng vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A
. Tính góc

tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.
Giải:

cắt nhau theo giao

tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng
nên
Dựng

.
. Ta có :

Vậy
, từ đó suy ra
Tam giác SAB vuông tại A, đường cao AK nên ta có :

Dựng hình bình hành ACBD như hình vẽ, khi đó:
Tính được

nên tam giác SBD đều

skkn

7


Vậy
.
Ví dụ 7. Cho hình chóp

có đáy

là hình vng cạnh

,

và mặt phẳng
vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi
lần
lượt là trung điểm của các cạnh
. Tính cơsin của góc giữa hai đường
thẳng
.
Giải:
Gọi là trung điểm
Ta có

,

là trung điểm

.

.

, với

là trung điểm

.

;
;
(
Định lí cơsin trong

của đỉnh

lên

)

:

Ví dụ 8. Cho hình chóp
điểm hai đường chéo

vng tại

có đáy
và

là hình chữ nhật,

, có

là giao

. Hình chiếu vng góc

là trung điểm

của

,

. Tính cơsin của góc

.
Giải:
Ta thấy:

skkn

8


Định lí cơsin trong tam giác

Ví dụ 9. Cho hình lăng trụ tam giác đều
bởi
và mặt đáy là
đường thẳng
và

. Gọi
.

có cạnh bên

là trung điểm

, góc tạo

.Tính cosin góc tạo bởi 2

Giải:
Ta có
Trong

có:

.

Mặt khác

;
(Trung tuyến trong tam giác đều)

Gọi

là trung điểm của

Xét tam giác

, ta có

nên

ta có:

Khi đó
.
2.3.1.2. TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH VƠ HƯỚNG
a. Phương pháp

skkn

9


Với

lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng

và . Khi đó:

.

*Lưu ý: để tính
ta cần phân tích theo những vectơ cơ sở.
b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện
đều có cạnh đáy bằng ,
là trung điểm của
Tính góc giữa hai đường thẳng
và
.
Giải:
Ta có:

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều
bởi
và mặt đáy là
đường thẳng
và

. Gọi
.

là trung điểm

có cạnh bên

.

.
, góc tạo

.Tính cosin góc tạo bởi 2

Giải:
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều
Áp dụng cơng thức:
Ta có

skkn

10


Trong
Lại có

có:

=
Mặt khác
Tam giác

đều có cạnh

Vậy
Ví dụ 3. Cho hình chóp
,
hình chiếu vng góc của
thẳng
và
.

nên

.

có đáy
,
lên cạnh

là tam giác cân có
. Gọi là trung điểm của
, là
. Tính cosin của góc tạo bởi hai đường

Giải
Phân tích: Nhận thấy ở đây
và
là hai đường thẳng khơng đồng
phẳng và viẹc dựng góc trong bài tốn này khó khăn do đó ta nghĩ đến việc
tính góc giữa hai đường thẳng bằng phương pháp tích vơ hướng.
.
Ta có:
Tam giác
Mặt khác

.
vng tại

nên

.
,

Suy ra

skkn

11


Nhận thấy để tính tích vơ hướng
do đó ta cần phân tích vec tơ
mặt phẳng

ta cần lưu ý đến chứng minh
theo những vecc tơ nằm trong

.

Vậy

.

2.3.1.3. TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ HÓA
a. Phương pháp

Áp dụng cơng thức góc giữa hai đường thẳng

:

Lưu ý:

b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện
có
đơi một vng góc và
, là trung điểm của
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
.
Giải:
Đây là một mơ hình cơ sở, nhận thấy
đơi một vng góc nên ta
gắn hệ trục tương ứng theo các cạnh này.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:

skkn

12


Ta có:

,

,

,

Suy ra:

,

.

Vậy góc giữa hai đường thẳng

và

bằng

.

.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a,
. Gọi G là
trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
.
Khi đó,

;

;

,

,

suy ra
,
.

Suy ra
Ví dụ 3. Cho hình chóp
điểm hai đường chéo
của đỉnh

lên

.
có đáy
và

là hình chữ nhật,

, có

là trung điểm

là giao

. Hình chiếu vng góc
của

,

. Tính cơsin của góc

.

skkn

13


Giải:
Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại , trục hồnh là
, trục tung là
, trục cao là
.
,

,

;

.

Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều

có cạnh bên

bởi
và mặt đáy là
. Gọi
là trung điểm
đường thẳng

và
.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó:

, góc tạo

.Tính cosin góc tạo bởi 2

Ta có

Khi đó có

.

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ

có mặt đáy là tam giác đều cạnh

. Hình chiếu vng góc của

lên mặt phẳng

trùng với trung

điểm
của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
góc giữa hai đường thẳng
và
. Khi đó tính

.

. Gọi

là

Giải:
Chọn hệ trục tọa độ

sao cho:
,

,
.

skkn

14


Vì

.

Ta có:

;

Ta có:

.
.

Vậy

.

Ví dụ 6. Cho hình chóp

có đáy

là hình thang cân

,
đường thẳng

. Biết
và
.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có:

. Tính

,

góc giữa hai

S

z

Suy ra:

y

x

Vậy

góc giữa hai đường thẳng

A

I

và
B

bằng

D

C

.

2.3.2. GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
2.3.2.1. TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BẰNG
PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH.

a. Phương pháp.
*Cách 1:Dựa vào định nghĩa góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng.
Hình chiếu của đường thẳng

lên mặt phẳng

là

Khi đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
góc giữa hai đường thẳng và .
*Cách 2:Dựa vào quan hệ vng góc.

là

Gọi

là góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

Giả sử
. Khi đó ta có:
*Cách 3:Dựa vào quan hệ song song.

skkn

.

.

.

15


+) Giả sử

. Khi đó: góc giữa đường thẳng

giữa đường thẳng
+) Nếu

và mặt phẳng

và mặt phẳng

bằng góc

.

thì góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

bằng góc giữa

đường thẳng và mặt phẳng
.
b. Các ví dụ.

Ví dụ 1. Cho hình chóp đều
có đáy
là hình vuông tâm cạnh
, cạnh bên bằng . Gọi
lần lượt là trung điểm
và
. Tính góc giữa
và mặt phẳng

.
Giải:

Gọi

lần lượt là trung điểm của

Vì hình chóp
đều, là tâm của đáy
Lại có
là hình vng nên
.

Ta có

nên

.

.

Ta có :

.

Lại có :
Do đó : Hình chiếu của

lên mặt phẳng

Nên góc giữa
và mặt phẳng
Vì
là hình vng cạnh nên

là

.

là góc giữa
.

và

bằng góc

.

là đường trung bình của tam giác
Mặt khác
Tứ giác

.
là hình bình hành nên hai đường chéo

trung điểm của mỗi đường

Tam giác
Vậy góc giữa

vng tại

,

.

nên

và mặt phẳng

cắt nhau tại

.
bằng

skkn

.

16

Ví dụ 2. Cho hình chóp

có đáy

là hình vng tâm

. Góc hợp bởi
và đáy bằng
chiếu vng góc của lên đường thẳng

. Gọi
. Tính

cạnh ,

lần lượt là hình
của góc giữa
và

mặt phẳng
Giải:
Phân tích: Nhận thấy rằng ở đây ta có thể làm trực tiếp tuy nhiên cách làm
đó dài vì thế ta nghĩ đến cách làm gián tiếp cách 2.
Gọi

là góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

Ta chứng minh được

.

Khi đó

.

Ta có góc giữa

và

Khi đó tam giác
.

bằng góc
vng cân tại

Nhận thấy
vng tại .

.

có

nên tam giác

Khi đó :

.

Ví dụ 3. Cho hình chóp
,

có đáy

. Gọi

Dễ dàng nhận thấy rằng
dựa vào quan hệ song song.

Ta có:

do đó góc giữa
bằng góc giữa

Ta có : Hình chiếu của
. Do đó góc giữa
và

cạnh ,
và

và mặt phẳng
.
Giải:
do đó ta sử dụng phương pháp gián tiếp

và mặt phẳng

và mặt phẳng
lên mặt phẳng
và mặt phẳng

bằng góc nhọn

là hình vng tâm

lần lượt là trọng tâm của tam giác

. Tính góc giữa đường thẳng

giữa

.

.
là
là góc

.

skkn

17


Tam giác

vng tại

:

Vậy góc giữa
và mặt phẳng
bằng
.
2.3.2.2. TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA.
a. Phương pháp.

Tính
và
có vtpt
thì:
.
b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp đều
có đáy
là hình vng tâm cạnh
, cạnh bên bằng . Gọi
lần lượt là trung điểm
và
. Tính góc giữa
và mặt phẳng

.
Giải:

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:

Ta có

,
,

,

,

,

,
.

Véctơ pháp tuyến của

là:

.
Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Góc giữa
đường thẳng AC và mp(OBC) bằng
,
,
. Gọi M là trung điểm
của cạnh OB.Tính góc giữa đường thẳng OA với mặt phẳng
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
.

skkn

.

18


.

Suy ra,

và
.

Gọi là góc giữa OA với (ACM), Suy ra
.
Ví dụ 3. Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh , tam giác
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy
. Gọi

là trung điểm của

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại
trục tung là
, trục cao là
.
,

,

. Tính cơsin của góc giữa
Giải:
, trục hồnh là
,

;

và

.

.

Ta có:
là một vectơ pháp tuyến của

.

Vậy
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng

.
có
. Tính góc tạo bởi đường thẳng

và

Giải:

skkn

19


Ta tính được BH  2a 6; AH  a
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có:
A(0;0;0); C (6a;0;3a); B(a; 2a 6;0)
( AACC )   Oxz   ( AACC ) : y  0
Ta có 
Lại có : BC   (5a; 2a 6;3a)  a(5; 2 6;3)
 ACC A  có VTPT là n  (0;1;0)
Ta có :

BC  có VTCP là u  (5; 2 6;3)

n.u
2 87
sin  BC ;( ACC A)     
n.u
29

Khi đó
Đặt

   BC ,( ACC A) 

ADCT

1  cot 2  

1
17
2 51
 cot 2  
 tan  
2
sin 
12
17

Vậy góc giữa BC  và ( ACC A) là
Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ

  arctan

có mặt đáy là tam giác đều cạnh

. Hình chiếu vng góc của
điểm

của cạnh

2 51
17 .

lên mặt phẳng

trùng với trung

. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

giữa hai đường thẳng

và

. Tính góc

.
Giải:

Chọn hệ trục tọa độ

sao cho:

,
.

Mặt phẳng
có vtpt
VTCP của đường thẳng
là:
.

Khi đó:
Vậy

.
.

2.3.3. GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.
2.3.3.1. TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP
DỰNG HÌNH
a. Phương pháp.Gọi góc giữa hai mặt phẳng

skkn

và

là

.

20


*Cách 1: Dùng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng.
.
*Cách 2: Dùng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng dựng trực tiếp ra góc.

*Cách 3: Dùng cơng thức diện tích.
Đa giác

nằm trong mặt phẳng

Đa giác

có diện tích

là hình chiếu của đa giác

.

lên mặt phẳng

có diện tích

là góc giữa
và
. Khi đó ta có:
Cách 4: Quy về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ta có
với

.

.

. Khi đó
là góc tạo bởi hai mặt phẳng

là góc tạo bởi
b. Các ví dụ

và

và

.

Ví dụ 1. Cho hình chóp

có đáy

là hình thoi cạnh

,

,

,
.
phẳng

là trung điểm của

và

. Tính

của góc tạo bởi hai mặt

.
Giải:

Cách 1: Dựng trực tiếp ra góc.
Gọi
là trung điểm của
.
Ta có tam giác

đều cạnh bằng
.

nên

.

Ta có:

skkn

21


Suy ra góc giữa hai mặt phẳng
bằng góc nhọn
.

và

là góc hợp bởi

và

.
Cách 2: Ta sử dụng công thức
.
Nhận thấy rằng tam giác
là hình chiếu của tam giác

lên mặt phẳng

.
Tam giác
Tam giác

đều cạnh bằng

nên

.

có

.

Khi đó

với

là góc tạo bởi hai mặt phẳng

và

.
Lại có:
.
Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Góc giữa
đường thẳng AC và mp(OBC) bằng
,

,
. Gọi M là trung
điểm của cạnh OB. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và (ABC) .
Giải:
Ta sử dụng phương pháp quy về góc giữa đường với mặt.
Ta có Góc giữa AC và mp(OBC) bằng
Suy ra

.

.
.
.
. Suy ra

.

. Suy ra
.

skkn

22


Kẻ OI vng góc với AC tại I suy ra BI vng góc với AC và
.
Tam giác OIB vng tại O có

.

.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên
SA vng góc với đáy và

. Tính góc

giữa hai mặt phẳng

và

.
Giải:
Cách 1 : Dựng trực tiếp ra góc
Ta chứng minh được
Kẻ

.

Ta có

.

Từ
Vậy
Tam giác SBC vng tại B, đường cao BH nên ta có

Áp dụng định lí cơ sin vào tam giác BHD ta có

Vậy

Cách 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa.
Gọi
lần lượt là hình chiếu của lên
.
Ta chứng minh được

.

.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng góc giữa hai đường thẳng
.
Tam giác
và
vng cân tại có

.

.

skkn

23


Nên

là trung điểm của

Do đó tam giác

.

đều nên góc giữa hai mặt phẳng

góc giữa hai đường thẳng
Ví dụ 4. Cho hình chóp
và

. Gọi

bằng góc
có cạnh bên

và

và

.
vng góc với đáy,

lần lượt là hình chiếu vng góc của

Tính cơsin của góc giữa hai mặt phẳng
Giải:

bằng

và

Phân tích: Để tính góc giữa hai mặt phẳng

lên

.

.
và

ta nhận thấy có
vì vậy ta đi tìm
hoặc dựng một đường thẳng vng góc với mặt
phẳng
. Sau đó áp dụng định nghĩa để tính góc
giữa hai đường thẳng.
Gọi
là đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
Ta chứng minh được
Lại có

.

.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng
giữa hai đường thẳng

và

Ta có

và

là góc

bằng góc nhọn

.

.

.
Lại có
Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ
của cạnh

giữa hai mặt phẳng

bằng

.

có mặt đáy là tam giác đều cạnh

. Hình chiếu vng góc của
điểm

và

lên mặt phẳng

trùng với trung

. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
và

. Tính góc

.

skkn

24


Giải:
Gọi

là điểm đối xứng với

qua điểm

ta có:

và

.
Kẻ

;

.

Ta có:

.

Khi đó:
Xét tam giác

vng tại

và

Xét tam giác

vng tại

có:

ta có:

.
Vậy
.
2.3.3.2. TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ HĨA
a. Phương pháp.
Góc giữa hai mặt phẳng

và

:

có vecto pháp tuyến

;

có vtpt

, khi đó:

.
b. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho tứ diện
đường thẳng

và mp

có

đơi một vng góc. Góc giữa

bằng

,

,

điểm của cạnh

. Tính góc giữa hai mặt phẳng
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
.

. Gọi
và

là trung
bằng:

.

skkn

25