Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

Nội dung

Trang

Mục lục

1

Giới thiệu

2

Phần 1: Mở đầu

3

Phần 2: Nội dung

4

Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH OXYZ
I. Tóm tắt lý thuyết

4

II. Một số dạng bài tập thường gặp

5

2.1. Các bài toán về tính góc.

5

2.2. Các bài toán về viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng liên 11
quan đến góc.
2.3. Các bài toán về đường thẳng, mặt phẳng liên quan đến cực trị của 19
góc.
Phần 3: Kết luận và kiến nghị

25

Tài liệu tham khảo

26

1


Phần 1: Mở đầu
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Bài toán về góc trong hình học giải tích Oxyz thường xuyên xuất hiện trong
đề thi THPTQG và trong đề thi HSG 12 của một số tỉnh trên cả nước. Bài toán về
góc trong hình học giải tích Oxyz thường là bài toán khó cho học sinh trung bình
khá, đặc biệt những bài toán liên quan đến cực trị về góc thì những học sinh có lực
học giỏi cũng giải quyết khó khăn.
Rèn luyện kỹ năng xác định góc và viết phương trình đường thẳng, mặt
phẳng liên quan đến góc giúp cho học sinh phát triển khả năng tư duy logic, tư duy
thuật toán…

Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi THPTQG, tôi thấy cần phải rèn cho
học sinh thành thạo các kĩ năng giải các bài toán liên quan đến góc trong hình học
giải tích Oxyz để phát triển tư duy cho học sinh.
Trên thực tế, các sách tham khảo, tài liệu trên internet viết về góc còn rất hạn
chế. Hơn nữa những bài cực trị liên quan đến góc thường gây cho học sinh lúng
túng kể cả những học sinh có lực học giỏi.
Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn chuyên đề: “Một số bài toán về
góc trong hình học giải tích Oxyz ”
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
-Trang bị cho học sinh một hệ thống các bài tập liên quan đến góc trong hình học
giải tích Oxyz .
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
-Các dạng toán về góc trong hình học giải tích Oxyz.
- Phân dạng các bài toán cơ bản và nâng cao.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
- Tham khảo sách, internet, báo.
-Thực tiễn giảng dạy.
5. ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH :
- Học sinh lớp 12.

2


Phần 2: Nội dung
Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1. Góc giữa hai vectơ
r

r
Oxyz
,
Trong không gian
cho hai vectơ u(a1;b1;c1) và v(a2;b2;c2) . Khi đó côsin
r
r
góc giữa u và v được xác định bởi công thức
rr
r r
u.v
cos(u;v) = r r =
u v

a1a2 + bb
+ c1c2
1 2
a12 + b12 + c12 a22 + b22 + c22

.

Nhận xét: - Gọi j là góc giữa hai vectơ thì 00 £ j £ 1800
rr
r
r
-Nếu u ^ v thì uv
. = 0 Û a1a2 + bb
+ c1c2 = 0.
1 2
1.2. Góc giữa hai đường thẳng

r
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D 1 có vectơ chỉ phương u1(a1;b1;c1)
r

và đường thẳng D 2 có vectơ chỉ phương u2(a2;b2;c2) . Khi đó cosin góc giữa D 1 và
D 2 được xác định bởi công thức
ur uu
r
r r
u1.u2
cos(D 1; D 2) = cos(u1;u2) = ur uu
r =
u1 u2

a1a2 + bb
+ c1c2
1 2
a12 + b12 + c12 a22 + b22 + c22

.

Nhận xét: - Gọi j là góc giữa hai đường thẳng thì 00 £ j £ 900
r r
-Nếu D 1 ^ D 2 thì u1.u2 = 0 Û a1a2 + bb
+ c1c2 = 0.
1 2
1.3. Góc giữa hai mặt phẳng
uu
r
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến n1(A1;B1;C1)

uu
r

và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n2(A2;B2;C2) . Khi đó cosin góc giữa (P ) và
(Q) được xác định bởi công thức
u
r u
r
u
r u
r
n1.n2
cos((P);(Q)) = cos(n1;n2) = u
r u
r =
n1 n2

A1A2 + B1B2 + C 1C 2
A12 + B12 + C 12 A22 + B22 + C 22

.

Nhận xét: - Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng thì 00 £ j £ 900
u
r u
r
-Nếu (P ) ^ (Q) thì n1.n2 = 0 Û A1A2 + B1B2 + C 1C 2 = 0.
1.4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
u
r

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến n(A;B;C)
uur

đường thẳng D có vectơ chỉ phương uD (a;b;c) . Khi đó sin góc giữa (P ) và D được
xác định bởi công thức
u
r r
u
r r
n(P ).uD
sin((P); D) = cos(n(P );uD ) = u
r
r =
n(P ) uD

3

Aa + Bb + Cc
A 2 + B 2 + C 2 a2 + b2 + c2

.


Nhận xét: - Gọi j là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì 00 £ j £ 900
u
r
r
a
b
c

(
P
)
^
D
-Nếu
thì n = k.u Û = = (ABC ¹ 0).
A
B
C
r
u
r
- Nếu d / / (P ) hoặc d Ì (P ) thì u ^ n Û a.A + bB
. + cC
. = 0.

2. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
2.1. Các bài toán tính góc
* Một số ví dụ cơ bản
Ví dụ 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng sau:
a) (a) : 2x - y + z + 7 = 0 và (b) : x + y + 2z - 2 = 0 .
b) (a) : x - y - 9 = 0 và (b) : 2x - y + 2z - 5 = 0 .
c) (a) : 2x + y + z + 6 = 0 và mặt phẳng (Oxy).
Lời giải:
u
r

a) Mặt phẳng (a) có VTPT là n(a ) = (2;- 1;1)
u

r

Mặt phẳng (b) có VTPT là n(b) = (1;1;2)
Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (a) và (b) . Ta có:
uuu
r uuu
r
n( a ) .n(b)
cosj = u
r
uuu
r =
n(a ) n(b)

2- 1+ 2
2

2

2

2

2

2

2 + (- 1) + 1 . 1 + 1 + 2

=

1
Þ j = 600
2

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (a) và (b) bằng 600.
b) Góc giữa hai mặt phẳng (a) và (b) bằng 450.
c) Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0 . Suy ra VTPT của mặt phẳng (Oxy) là
u
r
n (oxy) = (0;0;1)

Vậy góc giữa mặt phẳng (a) và (Oxy) bằng 600.
Ví dụ 2. Tính góc giữa hai đường thẳng sau:
a) d :

x- 3 y- 1 z+4
x + 5 y - 10
z
=
=
=
=
và d ' :
.
2
1
- 2
2
1

- 2

4


ìï x = 1 - t
ïï
b) d : ïíï y = - 1 + 2t và trục Ox.
ïï z = - 3 + t
ïî

Lời giải:
r

a) d có VTCP là u = (2;1;- 2)
d

r
d ' có VTCP là u(d ') = (2;1;- 2)

Gọi j là góc giữa hai đường thẳng d và d ' . Ta có:
cosj =

4 + 1+ 4
22 + 12 + (- 2)2 . 22 + 12 + (- 2)2

= 1.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d và d ' bằng 00.
r

b) d có VTCP là u = (- 1; 2;1)
r

Trục Ox có VTCP i = (1;0;0) . Suy ra góc giữa d và trục Ox bằng 600.
x +1
y
z +2
=
=
và mặt
1
- 1
1
phẳng (P ) : - 2x + 2y + 4z - 11 = 0. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

(P ).
Lời giải:
r

Đường thẳng d có VTCP là u = (1;- 1;1)
(d )

u
r

Mặt phẳng (P ) có VTPT là n

(P )

= (- 2;2;4)

Gọi j là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P ). Ta có:
sin j =

- 2- 2+ 4
12 + (- 1)2 + 12. (- 2)2 + 22 + 42

= 0.

Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P ) bằng 00.
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B (6;- 1;- 2),
C (- 1;- 4;3), D(1;6;- 5). Tính góc giữa AB và CD.

Lời giải:
5


uuur

Đường thẳng AB có VTCP là AB = (4;- 4;- 4)
uuu
r

Đường thẳng CD có VTCP là CD = (2;10;- 8)
uuur uuu
r

Ta có: AB .CD = 2.4 + (- 4).10 + (- 4).(- 8) = 0 . Suy ra góc giữa AB và CD bằng
900.

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 3x + 4y + 5z + 8 = 0 . Gọi d
là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q) : x - 2y + 1 = 0 và (R ) : x - 2z - 3 = 0. Tính
góc giữa d và (P ) .
Lời giải:
u
r

Mặt phẳng (P) có VTPT là n

(P )

= ( 3;4;5)

u
r

Mặt phẳng (Q) có VTPT là n = ( 1;- 2;0)
1

u
r

Mặt phẳng (R) có VTPT là n = ( 1;0;- 2)
2

r
u

r u
r
én , n ù= (4;2;2)
u
=
Suy ra đường thẳng d có VTCP là d ê
ë 1 2ú
û

Gọi j là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P ). Ta có:
sin j =

12 + 8 + 10
32 + 42 + 52. 42 + 22 + 22

=

3
.
2

Vậy góc giữa d và (P ) bằng 600.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,
thỏa mãn điều kiện AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy (ABCD),
SA = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB, CD . Tính cosin góc giữa MN và
(SAC ).

Phân tích: Đây là bài xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng của hình học
không gian, ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết trong hình học
Oxyz.

Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, chọn đơn vị là a
1
2

1
2

1 3
2 2

Ta có: A(0;0;0), B(1;0;0), C (1;1;0), D(0;2;0), S(0;0;1), M ( ;0; ) và N ( ; ;0).

6


uuuu
r

3
2

1
2

VTCP của MN là 2MN = 2(0; ;- ) = (0;3;- 1)
u
r
(

SAC
)
n
VTPT của
là =

uuur uuu
r
éAC ;AS ù= (1;- 1;0)
ê
ú
ë
û

Gọi a là góc giữa MN và (SAC ) ta có:
sin a =

3
9 + 1. 2

=

3 5
10

Suy ra cosa = 1- ( 3 5)2 = 55 .
10

10

* Bài tập trắc nghiệm khách quan
Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( α ) : x − y + 2 z − 1 = 0 và
( β ) : x + 2 y − z + 2 = 0 . Tính góc j giữ hai mặt phẳng (a) và (b)
A. 1200.
B. 300.
C. 600.
D. 900.
Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 4 y + 5z − 8 = 0 và đường
 x = 2 − 3t

thẳng d :  y = −1 − 4t . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P ) là
 z = 5 − 5t


A. 00.

B. 300.

C. 600.

D. 900.

Câu 3. Trong không gian Oxyz ,cho hai mặt phẳng (P ) : x + 5y - 3z - 4 = 0 và
(Q) : x - 2y - 3z + 10 = 0 . Góc giữa (P ) và (Q) bằng
A. 00.

B. 300.

C. 600.

D. 900.

Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0 và

( Q ) : x − 3 y + 5 z − 2 = 0 . Cosin góc giữa hai mặt phẳng (P ), (Q) là
35
.
7

A.

B. −

35
.
7

5
7

C. .

D. -

5
.
7

Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 8 x − 4 y − 8 z − 11 = 0 và

( Q) :
A.

π
.
4

2 x − 2 y + 7 = 0 . Góc giữa (P ) và (Q) bằng

B.

π
.
2

C.

π
.
3

7

D.

π
.
6

Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( α ) : x + 2 y + mx + m − 3 = 0 và

( β ) : x − y − 4 z + 3m = 0. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng
m = 2
22 .
A. 
m=
7


 m = −2
22
B. 
m=−
7


 m = −2
22
C. 
m=
7


450 .

m = 2
22
D. 
m=−

7


Câu 7. (Trích đề MHTHPTQG 2017) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
x − 10 y − 2 z + 2
=
=
.
5
1
1
Tìm tất cả các giá trị m để mặt phẳng (P ) vuông góc với đường thẳng D .

( P ) :10 x + 2 y + mz + 11 = 0, m là tham số thực và đường thẳng

A. m = 2

B. m = −2

C. m = 52.

∆:

D. m = −52

ìï x = 1 + t
ïï
Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : ïíï y = 2 + t và
ïï z = 3 - t
ïî

ìï x = 1 + 2t '
ïï
d ' : ïí y = - 1 + 2t ' . Góc giữa d và d ' bằng
ïï
ïïî z = 2 - 2t '

A. 00.

B. 300.

C. 600.

D. 900.
x
1

Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : =
d2 :

y +1 z −1
=
và
−1
2

x +1 y z − 3
= =
. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng
−1 1
1

A. 900.

B. 300.

C. 600.

D. 450.

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 3x - 4y + z - 2 = 0 và đường
thẳng d :
A.

1
.
26

x- 1 y +2 z- 2
=
=
. Giá trị cosin của góc giữa (P ) và d bằng
4
3
1

B.

15 3
.
26

C.

25
.
26

D.

26
.
6

Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm H ( 2; − 1; − 2 ) là hình chiếu vuông góc
của O xuống mặt phẳng (P ) , số đo góc giữa (P ) và mặt phẳng (Q) : x - y - 11 = 0
bằng bao nhiêu?
A. 450.

B. 300.

C. 600.

8

D. 900.


Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ( ∆ ) : x =

y z −1

=
và mặt phẳng
2
3

( P ) : 4 x + 2 y + z − 1 = 0 . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Góc tạo bởi D và (P ) lớn hơn 300.

B. D / / (P).

C. D ^ (P ).

D. D Ì (P ).

Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M ( 2;3; − 1) , N ( −1;1;1) và P ( 1; m − 1; 2 )
. Tìm m để tam giác MNP vuông tại N
A. m = - 6.

B. m = 0.

C. m = - 4.

D. m = 2.

Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : 2x + 5y - 3z - 4 = 0 và
(Q) : 2x + 5y + 3z + 10 = 0. Gọi a là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P ) và (Q). Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. sin a = 1.

B. cosa = 1.

C. sin a + cosa = 0.

D. cosa = - 1.

Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1) và
C (2;1;1) . Giá trị cosin góc B của tam giác ABC bằng
A. 0.

B.

15
.
5

C.

10
.
5

D.

3
10

.

Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C (1;0;2) và
D(1;1;1). Góc giữa AB và CD bằng

A. 00.

B. 300.

C. 600.

D. 900.

x −4 y −5 z
=
= mặt phẳng
1
2
3
(a) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ O đến (a) đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó góc giữa (a) và trục Ox là j thỏa mãn.

Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

A. sin j =
C. sin j =

1
3

.

2
3 3

B. sinj =
.

D. sin j =

1
3 3
1
2 3

.

.

Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(- 2;- 2;1), B(1;0;2), C (- 1;- 1;0) và
D(0;0;3). Giá trị cosin góc giữa hai mặt phẳng (ABC ) và (BCD) bằng

9


A.

10
546

.

B.

9

546

.

C.

1
.
26

- 9

D.

546

.

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 4 ) = 10 và
2

2

2

mặt phẳng ( P ) : −2x + y + 5 z + 9 = 0. Gọi (Q) là thiết diện của (S) tại M (5;0;4) . Tính
góc giữa (P ) và (Q) ?
A. 600.

B. 1200.

C. 900.

D. 450.

Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) .
Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M , N lần lượt là trung điểm của SC , SD .
Khi đó côsin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN ) và (ABCD)
A.

2 39
.
13

B.

9
546

.

C.

1
.
26

- 9

D.

546

.

2.2. Các bài toán viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng liên quan đến
góc
* Một số ví dụ cơ bản
Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng đi qua một điểm và có mối
quan hệ song song, vuông góc với một đường thẳng hoặc mặt phẳng cho trước.
Ví dụ 1. (Trích đề THPTQG 2017) Trong không gian Oxyz ,viết phương trình mặt
x- 1 y +2 z- 3
=
=
phẳng đi qua M (3;- 1;1) vuông góc với đường thẳng D :
3

- 2

1

Lời giải:
r

Đường thẳng D có VTCP là u = (3;- 2;1)
u
r

Do mặt phẳng (P ) vuông góc với D nên (P ) có 1 VTPT là: n = (3;- 2;1)

Phương trình mặt phẳng (P ) là: 3(x - 3) - 2(y + 1) + 1(z - 1) = 0 hay
3x - 2y + z - 12 = 0.

Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M , vuông góc với mặt
phẳng (P ) hoặc song song với đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) cho trước
một góc có số đo j .

10


Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : x - y - 2z + 5 = 0 và
(Q) : x + 6 = 0 và điểm M (2;- 3;1). Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm
M , vuông góc với mặt phẳng (P ) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc 450.
Phân tích: Phương trình mặt phẳng (a) mới biết đi qua điểm M , chưa xác định
được vectơ pháp tuyến nên ta sẽ gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là
u
r
n = (a;b;c) . Sau đó từ giả thiết lập các phương trình theo các ẩn a, b, c ta sẽ tìm

được mối liên hệ giữa các ẩn và chọn giá trị vectơ pháp tuyến bất kì, sau đó viết
phương trình mặt phẳng.
Lời giải:
u
r

Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a)
u
r

Mặt phẳng (P ) VTPT là n

(P )

= (1;- 1;- 2)
u
r

Mặt phẳng (Q) có VTPT là n

(Q) =(1;0;0)

u
ru
r

Vì mặt phẳng (a) vuông góc với mặt phẳng (P ) nên ta có: n.n

(P )

= 0 hay

a - b - 2c = 0 Û a = b + 2c

Góc giữa hai mặt phẳng (a) và (Q) là:
u
ru
r
n.n (Q )
cos450 = u
r u

r
Û
n n (Q )

2
=
2

a
a2 + b2 + c2. 1
é

c=0
Thay a = b + 2c ta được: b2 + c2 - (b + 2c)2 = 0 Û - 3c2 - 4bc = 0 Û ê
ê3c = - 4b
ê
ë

Với c = 0, a = b + 2c, chọn a = 1 Þ b = 1, phương trình mặt phẳng (a) là:
1(x - 2) + 1(y + 3) + 0(z - 1) = 0 hay x + y + 1 = 0

Với 3c = - 4b,a = b + 2c chọn b = 3, c = - 4, a = - 5 ,phương trình mặt phẳng (a)
là: - 5(x - 2) + 3(y+ 3) - 4(z- 1) = 0 hay - 5x + 3y - 4z + 23 = 0.
Dạng 3. Viết phương mặt phẳng (j ) chứa đường thẳng D và tạo với mặt phẳng
(P ) một góc có số đo j .

11


Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng

D:

x- 1
y
z
=
=
và tạo với mặt phẳng (P ) : 2x - 2y - z + 1 = 0 một góc có số
1
- 1 - 2

đo 600.
Phân tích: Phương trình mặt phẳng (a) chứa D nên ta xác định được điểm thuộc
u
r

mặt phẳng, ta cần tìm VTPT của (a) , ta thấy chứa D nên VTPT n

(a )

r
^ u D , do đó ta

u
r
cũng gọi tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là n = (a;b;c) , sau đó lập

ra các biểu thức biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn từ dữ liệu bài toán.
Lời giải:
r

Đường thẳng D đi qua điểm M (1;0;0) và có VTCP u1 = (1;- 1;- 2)
u
r

Mặt phẳng (P ) có VTPT là n(P ) = (2;- 2;- 1)
u
r

Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a)
u
r

r

Vì phương trình mặt phẳng (a) chứa D nên n ^ u hay
1

a - b - 2c = 0 Û a = b + 2c

Mà (a) và (P ) tạo với nhau một góc có số đo bằng 600 nên ta có
u
ru
r
n.n (P )
cos600 = u
r u
r
=
n n (P )

2a - 2b - c
22 + (- 2)2 + (- 1)2. a2 + b2 + c2

Û

3c
1
=
2 3 (b + 2c)2 + b2 + c2

é2b = (- 2 + 2)c
Û 2b + 4bc + c = 0 Û ê
ê
2b = (- 2 - 2)c
ê
ë
2

2

Với 2b = (- 2 + 2)c chọn c = 2, b = - 2 + 2, a = 2 + 2 , phương trình mặt phẳng
(a) là: (2 + 2)x + ( 2 - 2)y + 2z - 2 -

Với 2b = (- 2 (a) là: (2 -

2 = 0.

2) c chọn c = 2, b = - 2 -

2)x + (-

2, a = 2 -

2 , phương trình mặt phẳng

2 - 2)y + 2z - 2 + 2 = 0 .

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(- 1;2;- 3), B(2;- 1;- 6) và mặt
phẳng (P ) : x + 2y + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm
A, B và tạo với (P ) một góc có số đo j thỏa mãn cosj =

12

3
.
6


Phân tích: Ta cũng gọi tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là

u
r
n = (a;b;c) , sau đó lập ra các biểu thức biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn từ dữ liệu

bài toán.
Lời giải:
u
r

uuur

Ta có: AB = (3;- 3;- 3) và n

(P )

= (1;2;1)

u
r

Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a)
uuur u
r

Theo giả thiết, ta có: AB .n = 0 Û a - b - c = 0 Û c = a - b
3
Mà (a) và (P ) tạo với nhau một góc có số đo j thỏa mãn cosj =
nên
6

u
ru
r
n.n (P )
3
= u
r u
r
=

6
n n (P )

a + 2b + a - b
2

2

2

2

2

2

1 + 2 + 1 . a + b + (a - b)

Û 6 2a + b = 18. 2a2 - 2ab + 2b2

éa = 0
ê
Û 108a + 180ab Û ê
êa = - 5b
ê
ë
3
2

Với a = 0, c = a - b, chọn b = 1 Þ c = - 1, phương trình mặt phẳng (a) là:

0(x + 1) + 1(y - 2) - 1(z + 3) = 0 hay y - z - 5 = 0.
5
Với a = - b,c = a - b , chọn b = - 3,a = 5, c = 8 , phương trình mặt phẳng (a) là:
3

5(x + 1) - 3(y - 2) + 8(y + 3) = 0 hay 5x - 3y + 8z + 35 = 0.

Dạng 4. Viết phương mặt phẳng (j ) chứa đường thẳng D 1 và tạo với đường thẳng
D 2 một góc có số đo j .

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng D 1 :
D2 :

x - 1 y +1 z - 1
=
=
và
1
- 1
3

x
y
z
=
= . Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa D 1 và tạo với D 2 một góc
1 - 2 1

300.

Phân tích: Phương trình mặt phẳng (a) chứa D 1 nên ta xác định được điểm thuộc
u
r

mặt phẳng, ta cần tìm VTPT của (a) , ta thấy chứa D 1 nên VTPT n

13

(a )

r
^ u D1 , do đó


u
r

ta cũng gọi tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n = (a;b;c) , sau đó
lập ra các biểu thức biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn từ dữ liệu bài toán.
Lời giải:
r

Ta có: D 1 đi qua điểm M (1;- 1;1) và có VTCP u = (1;- 1;3) và D 2 có VTCP
1

r
u2 = (1;- 2;1)
u
r

Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a)
u
r

r

Vì phương trình mặt phẳng (a) chứa D 1 nên n ^ u hay
1

a - b + 3c = 0 Û b = a + 3c

Mặt phẳng (a) tạo với D 2 một góc 300 nên ta có:
u
r r
1
sin300 = cos(n, u2 ) Û
=
2

a - 2b + c
a2 + b2 + c2. 12 + (- 2)2 + 12

Thay b = a + 3c ta được:
2 - a - 5c =

éa = - 2c
ê
6. a + (a + 3c) + c Û 8a - 4ac - 40c = 0 Û ê
êa = 5c
ê

ë
2
2

2

2

2

2

Với a = - 2c chọn c = - 1, a = 2, b = - 1, phương trình mặt phẳng (a) là:
2(x - 1) - 1(y + 1) - 1(z- 1) = 0 hay 2x - y - z - 2 = 0.
5
Với a = c chọn c = 2, a = 5, b = 11, phương trình mặt phẳng (a) là:
2

5(x - 1) + 11(y + 1) + 2(z - 1) = 0 hay 5x + 11y + 2z + 4 = 0.

Dạng 5. Viết phương đường thẳng d đi qua điểm A , nằm trong mặt phẳng (P )
hoặc vuông góc d ' và tạo với đường thẳng D một góc có số đo j .
Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;- 1;1) , đường thẳng
x y- 2 z
=
= và mặt phẳng (P ) : x - y + z - 5 = 0. Viết phương trình đường
1
2
2
thẳng d đi qua A nằm trong (P ) và tạo với D một góc 450 .

D:

Phân tích: Phương trình đường thẳng d mới biết đi qua điểm A , chưa xác định
r

được VTCP nên ta sẽ gọi VTCP của đường thẳng d là u = (a;b;c) . Sau đó từ giả

14


thiết lập các phương trình theo các ẩn a, b, c ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa các ẩn
và chọn giá trị VTCP bất kì, sau đó viết phương trình đường thẳng.
Lời giải:
r

Ta có: D đi qua điểm M (0;2;0) và có VTCP u = (1;2;2) và (P ) có VTPT
u
r
n (P ) = (1;- 1;1)
r

Gọi u = (a;b;c), (a2 + b2 + c2 > 0) là một VTCP của đường thẳng d
d

r

u
r

Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P ) nên u ^ n

d

(P )

hay

a - b+c = 0 Û b = a +c

Đường thẳng d tạo với đường thẳng D một góc 450 nên ta có:
r r
ud .u D
cos45 = r r Û
ud u D

2
=
2

0

éc = 0
Û ê
ê15a + 7c = 0
a2 + b2 + c2.3
ê
ë
a + 2b + 2c

Với c = 0, b = a + c chọn a = 1 Þ b = 1, phương trình đường thẳng d là:
ìï x = 3 + t

ïï
ïí y = - 1 + t .
ïï
ïïî z = 1

Với 15a + 7c = 0, b = a + c chọn a = 7, c = - 15, b = - 8 , phương trình d là:
x - 3 y +1 z - 1
=
=
.
7
- 8
- 15

Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x +4 y- 5 z +7
=
=
và
1
- 1
1

x- 2
y
z +1
=
=
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (- 1;2;0) , vuông

1
- 1
- 2
góc với d1 và tạo với d2 góc 600.
d2 :

Phân tích: Phương trình đường thẳng d mới biết đi qua điểm M , chưa xác định
r

được VTCP nên ta sẽ gọi VTCP của đường thẳng d là u = (a;b;c) . Sau đó từ giả
thiết lập các phương trình theo các ẩn a, b, c ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa các ẩn.
Lời giải:
r

r

Ta có: d1 có VTCP u = (1;- 1;1) và d2 có VTCP u = (1;- 1;- 2)
1

2

r
u
Gọi d = (a;b;c), (a2 + b2 + c2 > 0) là một VTCP của đường thẳng d

15


Vì đường thẳng d vuông góc với d1 Þ a - b + c = 0 Û b = a + c
Đường thẳng d tạo với d2 một góc 600 nên ta có

r r
ud .ud2
1
cos600 = r r Û
=
2
ud ud2

a - b - 2c
a2 + b2 + c2. 6

Û c = - 2a

Với c = - 2a, b = a + c chọn a = 1, b = - 1, c = - 2 , phương trình d là:
x +1 y - 2
z
=
=
.
1
- 1
- 2

* Bài tập vận dụng
Bài 1. (Trích đề THPTQG 2017) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường
thẳng đi qua A(2;3;0) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x + 3y - z + 5 = 0.
ìï x = 1 + t
ïï
ĐS: ïíï y = 3t .
ïï z = 1 - t

ïî

Bài 1. (Trích đề THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm
A(1;0;2), B(1;2;1), C (3;2;0) và D(1;1;3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và

vuông góc với mặt phẳng (BCD) .
ìï x = 2 + t
ïï
ĐS: ïíï y = 4 + 4t .
ïï z = 4 + 2t
ïî

Bài 3. (Trích đề MHTHPTQG 2017) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm

(

)

(

)

A 0;1;1 và B 1;2;3 . Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vuông góc với
AB .

ĐS: x + y + 2z − 3 = 0.
Bài 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y + z - 1 = 0 và đường
thẳng d :

x- 1 y- 2 z- 1

=
=
.Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với (P )
1
2
- 2

3
một góc a sao cho cosa = .
5

Bài 5. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : x + y + z - 3 = 0 và
(Q) : 2x + y + z - 4 = 0 . Gọi đường thẳng d là giao tuyến của (P ) và (Q) .Viết

16


phương trình mặt phẳng (R ) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một
góc 600.
ĐS: (R ) : 2x + y + z -

2 - 2 = 0 hoặc

2x - y - z -

2 + 2 = 0.

Bài 6. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : 5x - 2y + 5z - 1 = 0 và
(Q) : x - 4y - 8z + 12 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua O , vuông góc
với (P ) và tạo với (Q) một góc có số đo a = 450.

ĐS: (R ) : x - z = 0 hoặc (R ) : x + 20y + 7z = 0
Bài 7. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có A(0;0;0),
B (1;0;0), D(0;1;0) và A '(0;0;1) . Viết phương trình mặt phẳng chứa A ', C và tạo với

mặt phẳng (Oxy) góc a thỏa mãn cosa =

1
6

.

ĐS: - x + 2y + z - 1 = 0 hoặc 2x - y + z - 1 = 0.
Bài 8. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng D 1 :
D2 :

x- 2 y z
= = và
- 1
1 1

x- 3 y- 2 z +5
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa D 1 và tạo với
1
2
- 1

D 2 một góc 300.

ĐS: (a) : - x + y - 2z + 2 = 0 hoặc (a) : 2x + y + z - 4 = 0 .
Bài 9. Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng D đi qua A(0;1;- 2)
x+3 y- 2 z
=
=
1
- 1
1
(P ) : 2x + y - z + 5 = 0 một góc có số đo a = 300.

vuông

góc

với

đường

thẳng

d:

và

tạo

với

ìï x = t
ìï x = t

ïï
ïï
ï
ĐS: D : íï y = 1 + t hoặc D : ïíï y = 1- t .
ïï z = 2
ïï z = - 2 - 2t
ïî
ïî

Bài 10. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;- 1;1), B(0;1;- 2) và đường thẳng
x y - 3 z +1
=
=
. Viết phương trình đường thẳng D đi qua giao điểm của d
1
- 1
2
với mặt phẳng (OAB ) , D nằm trong mặt phẳng (OAB ) và hợp với đường thẳng d
d:

5
một góc a sao cho cosa = .

6
x + 10 y - 13 z + 21
x + 10 y - 13 z + 21
=
=
=
=

.
ĐS: D :
hoặc D :
2
- 5
- 11
6
- 1
- 1

17


Bài 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y - z + 1 = 0 và hai
x- 1 y z- 2
x- 3 y- 1 z- 1
= =
=
=
và d2 :
. Viết phương trình
1
1
2
- 1
1
- 2
đường thẳng D nằm trong (P ) cắt d1 và d2 đồng thời tạo với đường thẳng d1 một

đường thẳng d1 :

góc 300.

ìï x = - 5 + t
ìï x = 5
ïï
ïï
ïí y = - 1
ïí y = - 1 + t .
D
:
D
:
ĐS:
hoặc
ïï
ïï
ïïî z = 5 + t
ïïî z = 5 + t

Bài 12. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm
M (1;1;2) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là: 450 , 300.
ĐS: 2x + y + z - 3 2x + y - z + 1-

2 = 0, 2x - y + z - 1-

2 = 0, 2x - y - z + 3 -

2=0

2 = 0.

2.3. Các bài toán về mặt phẳng, đường thẳng liên quan đến cực trị của góc
* Một số ví dụ cơ bản
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (Q) : x + 2y - z + 5 = 0 và đường
x +1 y +1 z - 3
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P )
2
1
1
chứa đường thẳng d và tạo với (Q) một góc có số đo nhỏ nhất.
Phân tích: Phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d nên ta lấy 1 điểm bất
kì thuộc đường thẳng d thì ta sẽ được điểm đó thuộc mặt phẳng (P ) , do đó để viết
được (P ) ta cần tìm VTPT của (P ) . Ta gọi VTPT của (P ) là
u
r
n = ( a;b;c ) (a2 + b2 + c2 > 0) . Dựa vào giả thiết đề bài ta sẽ thiết lập được phương

thẳng d có phương trình

trình tính góc (P ) và (Q) theo hàm cosin với hai ẩn. Lưu ý là với một góc j sao
cho 00 £ j £ 900 thì j đạt nhỏ nhất khi cosj đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
u
r

Mặt phẳng (Q) có VTPT n

(Q )

= (1;2;- 1)

r

Đường thẳng d đi qua A(- 1;- 1;3) và có VTCP u = (2;1;1)

u
r
Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) là một VTPT của (P )
u
r
r
u
rr
Do mặt phẳng (P ) chứa d nên n ^ u Û n.u = 0 Û 2a + b + c = 0 Û c = - 2a - b
Gọi j là góc giữa (P ) và (Q) , ta có:
u
ru
r
n.n (Q )
a + 2b - c
a + 2b - c
cosj = u
r u
r
=
=
a2 + b2 + c2. 12 + 22 + (- 1)2
6(a2 + b2 + c2)

n n (Q )

Thay c = - 2a - b vào ta được cosj =

3
6

.

a +b
5a2 + 4ab + 2b2

18


3
Þ j = 300.
2
3
1 + 2t + t2
b
, với t =
TH2: Nếu a ¹ 0 thì cosj = .
2
a
6 5 + 4t + 2t
2
1 + 2t + t
,t Î ¡
Xét hàm số f (t) =

5 + 4t + 2t2
6t + 6
=0Û t =- 1
Ta có f '(t) =
(5 + 4t + 2t 2)2
Chú ý: Với góc j sao cho 00 £ j £ 900 thì j đạt giá trị nhỏ nhất khi cosj đạt giá
trị lớn nhất hay f (t) đạt giá trị lớn nhất
Suy ra j min = 300 với a = 0, chọn b = 1 Þ c = - 1 phương trình mặt phẳng (P ) là:

TH1: Nếu a = 0 thì cosj =

0(x + 1) + 1(y+ 1) - 1(z- 3) = 0 hay y - z + 4 = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 :

x- 1 y +2
z
=
=
,
1
2
- 1

x +2 y- 1 z
=
= . Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 sao cho góc giữa
2
- 1
2

(a) và đường thẳng d2 đạt giá trị lớn nhất.

d2 :

Phân tích: Ta thấy bài toán có nét tương tự bài toán trên, chỉ khác nhau ở công

u
r
(
a
)
thức tính góc. Ta cũng gọi VTPT của
là n = (a;b;c), (a2 + b2 + c2 > 0) . Tìm các

phương trình biểu thị mối quan hệ tương quan giữa các ẩn a, b, c. Thiết lập được
phương trình tính góc giữa (a) và d2 theo hàm sin với hai ẩn. Lưu ý là với một góc
j sao cho 00 £ j £ 900 thì j đạt lớn nhất khi sinj đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
r

Đường thẳng d1 đi qua điểm A(1;- 2;0) , có VTCP u = (1;2;- 1)

r
Đường thẳng d2 đi qua điểm B(- 2;1;0) , có VTCP u1 = (2;- 1;2)
u
r
Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) là một VTPT của (a)
1

Do mặt phẳng (a) chứa d nên ta có

u
r
r
u
rr
n ^ u1 Û n.u1 = 0 Û a + 2b - c = 0 Û c = a + 2b
Gọi j là góc giữa mặt phẳng (a) và d2 , ta có
u
rr
n.u2
2a - b + 2c
sin j = u
r r =
3 a2 + b2 + c2
n u2
1

Thay c = a + 2b vào ta được sinj =

4a + 3b
3 2a2 + 4ab + 5b2

2 2
2 2
Þ j = d với sin d =
, 0 £ d £ 900.
3
3
4t + 3

1 9 + 24t + 16t 2
a
sin
j
=
=
TH2: Nếu b ¹ 0 thì
với t =
2
2
3 5 + 4t + 2t
b
3 5 + 4t + 2t

TH1: Nếu b = 0 thì sinj =

19


Xét hàm số f (t) =

9 + 24t + 16t2
,t Î ¡
9(5 + 4t + 2t 2)

144t2 + 1116t + 756
=0Û
Ta có: f '(t) =
(18t 2 + 36t + 45)2

ét = - 7
ê
ê
êt = - 3
ê
ë
4

Với góc j sao cho 0 £ j £ 900 thì j đạt giá trị lớn nhất khi sinj đạt giá trị lớn
nhất hay f (t) phải đạt giá trị lớn nhất.
25
Suy ra j lớn nhất khi sinj =
khi t = - 7
27

a
= - 7 Û a = - 7b , kết hợp c = a + 2b, ta chọn
b
a = 7, b = - 1,c = 5 phương trình mặt phẳng (a) là: 7x - y + 5z - 9 = 0.

Với t = - 7 ta có

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;- 1;2) , đường thẳng
x +1 y - 1 z
=
= và mặt phẳng (P ) : 2x - y - z + 3 = 0 . Viết phương trình
1
- 2
2
đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) và tạo với đường thẳng D một góc j

D:

có số đo
a) j lớn nhất.
b) j nhỏ nhất.
Phân tích: Phương trình đường thẳng d biết đi qua điểm A chưa có VTCP. Ta gọi
r

VTCP của d là u = ( a;b;c ) (a2 + b2 + c2 > 0) . Dựa vào giả thiết đề bài ta sẽ thiết lập
được phương trình tính góc d và D theo hàm cosin với hai ẩn. Lưu ý là với một
góc j sao cho 00 £ j £ 900 thì j đạt nhỏ nhất khi cosj đạt giá trị lớn nhất và j
đạt lớn nhất khi cosj đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
u
r

Mặt phẳng (P ) có VTPT là n = (2;- 1;- 1)
r

Đường thẳng D có VTCP là u = (1;- 2;2)

r
Gọi u = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) là một VTCP của d
D

Do đường thẳng d song song với (P ) nên

r
u
r

ru
r
u ^ n Û un
. = 0 Û 2a - b - c = 0 Û c = 2a - b
Gọi j là góc giữa d và D , ta có:
r r
u D .u
a - 2b + 2c
cosj = r r =
3 a2 + b2 + c2
uD u

Thay c = 2a - b ta được cosj =

5a - 4b
3 5a2 - 4ab + 2b2

Ta chứng minh được: 0 £ cosj £

5 3
9

20

=

1 25a2 - 40ab + 16b2
3
5a2 - 4ab + 2b2

x - 1 y +1 z - 2
=
=
4
5
3
Nhận xét:
x - 1 y +1 z - 2
j min Û cosj (max) Þ d :
=
=
1
- 5
7
Oxyz
Ví dụ 4. . Trong không gian
, cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C 1D1 và
M (1;1;2) . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (B1D1C ) biết góc tạo bởi đường
j

max

Û cosj (min) Þ d :

thẳng B1D và (B1D1C ) đạt giá trị lớn nhất.
Phân tích: Đây là bài toán mà ta có thể giải bằng phương pháp tọa độ hóa trong
hình học giải tích Oxyz .
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O º D1, C 1 thuộc tia Ox, A1 thuộc tia Oy, D

thuộc tia Oz ( như hình vẽ).
Khi đó D1(0;0;0), B1(1;1;0), D(0;0;x), C (1;0;x) .
u
r

uuuur uuur

éD B ;D C ù= (x;- x;- 1)
Mặt phẳng (B1D1C ) nhận vectơ n = ê
là vectơ pháp tuyến
ë1 1 1 ú
û
r

Đường thẳng B1D nhận vectơ u = (1;1;- x) là VTCP
Gọi j là góc giữa B1D và (B1D1C ), suy ra:
sin j =
=

x- x +x
2

2

2

2

2

x + (- x) + 1. 1 + 1 + x
1

1
2
(2x + )(x + )
x
x

=

1

=

2(x2 +

1
)+5
x2

x
2

2x + 1. x2 + 2
1

£

2.2 x2.

1
+5
x2

, do x > 0
=

1
3

Dấu bằng xảy ra khi x = 1
Do đó góc j lớn nhất khi sinj lớn nhất khi x = 1
u
r
Với x = 1, ta có VTPT của (B1D1C ) là n = (1;- 1;- 1) , phương trình mặt phẳng
(B1D1C ) là: x - y - z = 0.
Suy ra d(M,(B1 D1C )) =

2
3

.

* Bài tập vận dụng
Bài 1. Trong không gian Oxyz , cho (Q) : 2x - y + z + 2 = 0 và A(1;1;- 1) . Viết
phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A, vuông góc với (Q) và (P ) tạo với trục Oy
một góc lớn nhất.
ĐS: - 2x + 5y + 9z + 6 = 0.
Bài 2. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng D :

1

x- 1 y- 2 z +2
=
=
và
2
1
- 1

x- 3 y- 2 z+3
=
=
, điểm A(- 1;0;- 1) . Viết phương trình đường thẳng d đi
- 1
2
2
qua A , cắt đường thẳng D 1 sao cho góc giữa d và D 2 là
D2 :

a) lớn nhất.
b) nhỏ nhất.

21


ĐS:
x +1 y z +1
= =
4

5
2
x- 1 y +2 z
=
= và hai điểm
Bài 3. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
- 1
1
2
A(0;- 1;2), B(- 1;1;3) . Viết phương trình mặt phẳng

a)

x +1 y z +1
= =
2
2
- 1

b)

a) Chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.
b) Đi qua A, B và tạo với trục Oy góc lớn nhất.
ĐS:
a) x - y + z - 3 = 0.
b) x + y - z + 3 = 0
x- 1 y- 2
z
=
=

và mặt
2
1
- 2
phẳng (P ) : x + y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng D qua giao điểm của
d và mặt phẳng (P ) sao cho góc giữa hai đường thẳng d và D đạt giá trị nhỏ nhất.
x+3 y z- 4
= =
.
ĐS:
5
2
- 7
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các
cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 6a . Khi đó cosin của góc giữa hai mặt
phẳng (SBC ) và (SCD) để thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất là:
2
ĐS: Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD) thì cosj = .
5

Bài 4. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

22


Phần 3: Kết luận và kiến nghị
3.1. Về khả năng áp dụng của chuyên đề
-Chuyên đề được áp dụng để giảng dạy cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc
Gia.
-Tài liệu cho cho các thầy cô tham khảo.

3.2. Những thông tin cần bảo mật: Không
3.3. Ưu điểm và hạn chế của chuyên đề
*Ưu điểm
-Chuyên đề giúp học sinh và giáo viên trong việc tìm hiểu một số dạng bài toán
liên quan đến góc trong hình học giải tích Oxyz.
-Trình bày một số ví dụ điển hình thông qua các dạng bài tập trên
*Hạn chế:
-Để cần thực hiện được cần sự phối hợp giữa học sinh và giáo viên. Nếu học sinh
không phối hợp với giáo viên khó thu được kết quả như mong đợi.
-Việc sưu tầm, phân loại và tổng quát hóa một số dạng bài tập về góc đòi hỏi nhiều
công sức thời gian do các tài liệu liên quan đến góc không nhiều.
3.4. Một số kiến nghị
- Trên đây chỉ là một số bài tập cơ bản và nâng cao về góc trong hình học Oxyz.
23


- Mặc dù tôi đã cố gắng song do hạn chế về trình độ chuyên môn, kinh nghiệm
giảng dạy nên tài liệu vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong các thầy cô giáo đóng góp
ý kiến cho tôi để tôi có thể hoàn thiện tài liệu tốt hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đào Trọng Quyết (Chủ biên), 2018, Bài giảng ôn thi THPT Quốc Gia theo chủ
đề Hình học 12.
[2]Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz .
[3] Các chuyên đề về khoảng cách và góc về hình học giải tích Oxyz trên mạng
internet
[4] Tô Thị Nga (Chủ biên), 2017, Nâng cao kỹ năng giải toán trắc nghiệm

24