Skkn sử dụng yếu tố hình học để giải quyết hiệu quả một lớp bài toán cực trị tọa độ không gian nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12, nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình phổ thơng, hình học là mơn học khơng dễ đối với học
sinh. Để học tốt mơn hình học ngồi những u cầu cơ bản thì người học cần
phải có tư duy logic chặt chẽ và khả năng trừu tượng hóa cao hơn các mơn học
khác.
Bài tốn cực trị nói chung hay cực trị tọa độ khơng gian
thường tạo ra
khó khăn nhất định cho học sinh. Chính vì vậy, bài tốn cực trị hình học tọa độ
khơng gian thường xuất hiện ở đề thi học sinh giỏi hoặc ở các câu hỏi ở mức độ
vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi THPT Quốc Gia (nay là kì thi tốt
nghiệp THPT Quốc Gia). Để bài thi của các em đạt kết quả tốt nhất thì ngồi
việc các em phải nắm được hệ thống kiến thức cơ bản thì các em phải có được
kiến sâu, rộng và đồng thời phải lựa chọn được phương pháp tối ưu để giải
nhanh và hiệu quả nhất.
Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy, việc lựa chọn phương pháp giảng
dạy phù hợp với từng dạng bài sẽ kích thích được hứng thú học tập của học sinh,
giúp các em chủ động lĩnh hội và tích lũy được kiến thức từ đó có được kỹ năng
để vận dụng vào làm bài thi đạt kết quả cao, là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của
người thầy.
Từ những lý do trên cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua
những năm giảng dạy, tôi chọn đề tài: “SỬ DỤNG YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐỂ
GIẢI HIỆU QUẢ MỘT LỚP BÀI TỐN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHƠNG
GIAN, NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH
LỚP 12, NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁP ỨNG YÊU
CẦU ĐỔI MỚI CỦA KỲ THI THPT QUỐC GIA (NAY LÀ KỲ THI TỐT
NGHIỆP THPT)” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình trong năm học
2019 – 2020.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Hình thành cách giải hiệu quả một lớp bài tốn về cực trị hình học tọa độ
khơng gian. Hơn nữa rèn luyện các kỹ năng vận dụng kiến thức, kỹ năng lựa

chọn phương pháp và định hướng phát triển năng lực tư duy cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp giải một lớp các bài toán cực trị hình học tọa độ khơng gian
bằng cách sử dụng các yếu tố hình học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp điều tra quan sát.
- Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra phương pháp để giải quyết một
vấn đề là vô cùng quan trọng. Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của
một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai trị thiết kế và

skkn

1


điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích
với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học,
rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một nhiệm vụ
quan trọng của người giáo viên.
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu, tôi thấy đây là dạng toán
không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn hút được các em học sinh khá giỏi. Nếu ta biết
sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, kiến thức véctơ, tìm
được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị xảy ra thì có thể đưa bài toán trên về
một bài toán quen thuộc, đơn giản giảm nhẹ được tính cồng kềnh của biến đổi đại số.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Bài tốn cực trị nói chung và bài tốn cực trị tọa độ khơng gian nói riêng
là bài tốn gây ít nhiều khó khăn cho học sinh. Bên cạnh khó khăn do vốn kiến
thức, kinh nghiệm cịn ít ỏi, các em học sinh chưa nắm vững kiến thức hình học và
cái nhìn tổng quan, phân loại các dạng toán và phương pháp giải. Vậy khi gặp dạng
toán này các em chưa tự tin và rất lúng túng tìm lời giải, hơn nữa là lời giải hiệu quả.
Nếu tháo gỡ được khó khăn đó sẽ đem lại hiệu quả cao trong công tác giảng dạy của
các thầy cô cũng như việc học tập của các em học sinh.
Ngoài mục tiêu đảm bảo chất lượng đại trà thì chất lượng mũi nhọn luôn
được tập thể nhà trường quan tâm và trăn trở. Bên cạnh đó chất lượng tuyển sinh
vào 10 của nhà trường không cao, cụ thể tỉ lệ số học sinh đạt điểm trên 7 thấp
hơn nhiều so với các trường trên địa bàn huyện. Chính vì vậy, thầy cơ giáo
giảng dạy ln phải tư duy, tìm tịi phương pháp giảng dạy sao cho đạt hiệu quả
cao nhất.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Ơn tập kiến thức.
2.3.1.1. Các cơng thức cần nhớ
* Công thức về khoảng cách:
- Khoảng cách giữa hai điểm
- Khoảng cách từ điểm

đến

- Khoảng cách từ điểm

đến

:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
d( ,

)=

và

.

* Công thức về góc:

skkn

2


- Cơng thức tính góc

giữa hai đường thẳng

:

( ,

lần

lượt là hai vtcp của hai đường thẳng).
- Cơng thức tính góc

giữa đường thẳng và mặt phẳng:

(

là

vtpt,vtcp của mặt phẳng và đường thẳng).
- Cơng thức tính góc

giữa hai mặt phẳng:

(

lần luợt là hai

vtpt của hai mặt phẳng).
* Lưu ý: Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện:

.

2.3.1.2. Một số kết quả được sử dụng.
* Kết quả 1: Trong một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.
* Kết quả 2: Trong các đường xiên và đường vng góc kẻ từ một điểm nằm
ngồi đường thẳng đến một đường thẳng đó thì đường vng góc là đường ngắn
nhất.
*Kết quả 3: Với
bất kì ta ln có
.
*Kết quả 4: Trong không gian
, cho
và 2 điểm
.
* Nếu

thì
nằm về hai phía với
mặt phẳng
.
* Nếu
thì
nằm về cùng một phía
với mặt phẳng
.
2.3.1.3. Hai bài tốn cơ bản của hình học tọa độ trong khơng gian thường
được sử dụng.
Bài tốn 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
.
Phương pháp giải:
M
- Viết phương trình đường thẳng
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của
lên
.
Bài tốn 2: Tìm hình chiếu vng góc của điểm
Phương pháp giải:

H
P

lên đường thẳng

- Viết phương trình

M

- Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên
Lưu ý: Có thể giải 2 bài toán trên bằng cách khác.

skkn

d
H

3


2.3.2. Giải bài tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian bằng hai phương pháp.
Ví dụ: (Đại học khối B năm 2009).
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua và song song với
.
Viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đó
là nhỏ nhất.
Phân tích, hướng dẫn:
Cách 1: Dùng phương pháp sử dụng các yếu tố
B
hình học.
Gọi
là đường thẳng cần tìm vậy
gọi
là mặt phẳng sao cho

và
//

d

Q
Gọi
có

lần lượt là hình chiếu của
, đẳng thức xảy ra khi

trên

H

A

K

và
. Áp dụng kết quả 2 ta
vậy đường thẳng
, đường

thẳng

.

Ta có

.

Cách 2: Dùng phương pháp hàm số.
Giả sử
với

. Do

//

, vậy ta có

,

- TH1: Nếu

thì

.

- TH2: Nếu

thì ta chia cả tử và mẫu của biểu thức trong căn cho
. Đặt

,

ta có

=

hoặc

skkn

4


Bảng biến thiên của

-

0

+

0

-

2

Từ bảng biến thiên nhận thấy

tại
.

* Nhận xét: Ngồi bài tốn trên thì cịn có nhiều bài tốn cực trị tọa độ khơng
gian có thể giải bằng 2 phương pháp:

- Phương pháp đại số: Chuyển đại lượng cần tìm Min, Max về biểu thức đại số và
dùng bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm Min, Max.
- Phương pháp sử dụng các yếu tố hình học: Sử dụng các yếu tố hình học và bất đẳng
thức hình học để tìm Min, Max.
Từ hai cách giải của bài toán trên nhận thấy nếu giải theo phương pháp đại số
có lợi thế là ít dùng đến trí tưởng tượng trong khơng gian nhưng phải tính tốn
điều đó làm mất nhiều thời gian và dễ có sai sót. Đối với phương pháp hình học
thì địi hỏi học sinh có sự tưởng tượng khơng gian nhưng lời giải thể hiện tính
nhanh gọn, tiết kiệm thời gian, kết quả thường chính xác, phù hợp với xu thế thi
THPT Quốc Gia. Sau đây tơi xin đưa ra một số bài tốn cực trị hình học tọa độ
để chứng tỏ tính ưu việt của phương pháp hình học.
2.3.3. Dạng tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian bằng phương pháp sử dụng yếu
tố hình học.
2.3.3.1. Dạng tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian liên quan đến khoảng cách.
Bài tốn 1:
Cho điểm cố định và điểm
di động trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng).
Xác định điểm để
có độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp giải:

A

A

M

H

Q

M

H

Gọi

là hình chiếu của trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng). Xét tam giác
và áp dụng kết quả 2 ta có
. Đẳng thức xảy ra khi
, vậy
AM nhỏ nhất khi
là hình chiếu của trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng).

skkn

5


Ví dụ 1.1. (KSCL Sở GD&ĐT Lạng Sơn 2019):
Trong khơng gian
, cho 2 điểm

và đường thẳng

. Trong các véc tơ , xác định véc tơ chỉ phương của đường
thẳng đi qua , vng góc với , đồng thời cách điểm một khoảng bé
nhất, khoảng cách bé nhất đó là:
.
.

.
.
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi
là mặt phẳng đi qua
và vng góc với đường thẳng
. Gọi
chiếu của của
.

lên

và đường thẳng

lần lượt là hình

, Áp dụng bài tốn cơ bản 2 ta có

, đẳng thức xảy ra khi

. Vậy đường

thẳng là đường thẳng
có véc tơ chỉ phương
. Đáp án A.
Ví dụ 1.2. (KSCL lần 1, Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai , Sóc Trăng năm 2018):
Trong khơng gian
, cho điểm
và
.

Xét các mặt cầu
có tâm
đi qua điểm
, tiếp xúc với
. Tính giá trị biểu thức
, khi mặt cầu
có bán kính bé nhất:
.
.
.
.
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi
là hình chiếu của
trên
, với
là điểm bất kỳ trên
vậy theo kết quả 2 thì
. Vậy mặt cầu
đi qua
và tiếp xúc với
có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu có đường kính
với
là tiếp điểm
của
với
, hay
là hình chiếu của trên
.Lập phương trình
đường thẳng đi qua và vng góc với

.
Vậy mặt cầu có tâm I là trung điểm
. Đáp án C.
Bài tốn 2:
Trong khơng gian
, cho điểm
và đường thẳng .
a. Lập phương
đi qua và cách điểm
cho trước một khoảng lớn nhất.
b. Lập phương trình
chứa đường thẳng và cách N một khoảng lớn nhất.
Phương pháp:
a. Gọi H là hình chiếu của N trên
, khi đó

skkn

6


đẳng thức xảy ra khi
Vậy
với

.

N

là mặt phẳng đi qua M và vng góc

.

Q

M

b. Gọi

lần lượt là hình chiếu của
trên
và , khi đó
, đẳng
thức xảy ra khi

H

N

.

H d

Q

I

Ví dụ 2.1. (KSCL lần 2, Ngơ Quyền, Hải Phịng 2018):
Trong khơng gian
, cho
hai điểm

và cách

giá trị của biểu thức
.

đi qua

một khoảng lớn nhất. Khi đó đó

là:
.

.

.

Phân tích, hướng dẫn:
Đường thẳng
trên

gọi

là hình chiếu của

, áp dụng phương pháp giải bài toán 2b

Vậy

.

, vậy

Đáp án C.
Ví dụ 2.2. (KSCL Lê Q Đơn Điên Biên 2019):
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
và cách một khoảng lớn nhất. Phương trình của
.
.
Phân tích, hướng dẫn:
, áp dụng phương pháp giải bài tốn 2a thì
Vậy

.

. Biết
là:
.
.

đi qua

.

. Đáp án B.

Bài toán 3:

skkn

7


Cho

và hai điểm phân biệt
. Tìm điểm M thuộc
a.
nhỏ nhất
b.
lớn nhất
Phương pháp giải:
a.
TH1: Nếu
nằm khác phía so với
theo kết quả 3 ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi
thẳng hàng
hay
.

sao cho:

A

M

P

B

TH2: Nếu
nằm cùng phía so với
,
gọi là điểm đối xứng với
qua
áp dụng kết quả 3 ta có:
.
Đẳng thức xảy ra khi
thẳng hàng
hay
.

A

B

M
P

A'

b.
TH1: Nếu
nằm cùng phía so với
,
khi đó
. Đẳng thức xảy ra
khi

thẳng hàng hay điểm
.

A

B

M
P

TH2: Nếu
nằm khác phía so với
gọi là điểm đối xứng với
qua
Vậy
Đẳng thức xảy ra khi
.

,
.

A

.
hay điểm

M
P
B

A'

Ví dụ 3.1. (KSCL Sở GD&ĐT Sóc Trăng 2018):
Trong khơng gian
cho
và hai điểm phân biệt
. Điểm
thuộc
và
lớn nhất. Giá
trị
bằng:
.
.
.
.
Phân tích, hướng dẫn:
Áp dụng kết quả 4 ta có
nên
nằm nằm khác phía với mp
. Gọi
là điểm đối xứng của
qua mặt

skkn

8


phẳng

vậy

, đẳng thức xảy ra khi

hàng hay

thẳng

. ta có
,
từ

. Đáp án C.

Ví dụ 3.2. (KSCL Chuyên Hùng Vương phú Thọ 2018): Trong không gian
cho
và hai điểm
,
. Điểm
thuộc
và
nhỏ nhất. Giá trị bằng
bằng:
.

.

Phân tích, hướng dẫn:
Áp dụng kết quả 4 ta có

nằm cùng phía với mp

.

. Gọi

.

là điểm đối xứng của

vậy
. Gọi

trên

qua

hay

, ta có
do

nên
, ta có

thẳng hàng

là hình chiếu của

là trung điển của

. Đáp án B.

Bài tốn 4: Trong khơng gian
phương trình

đi qua

, cho n điểm

sao cho tổng

Phương pháp:
TH1: Nếu n điểm

. Viết
lớn nhất.

nằm cùng phía so với

. Gọi G là

trọng tâm của n điểm

.

TH2: Nếu m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về khác phía
nằm
cùng phía so với
. Gọi
là trọng tâm của m điểm,

là trọng tâm
của k điểm,
đối xứng với
qua điểm
vậy , nằm cùng phía đối
với
- Nếu

. Khi đó
//

.
thì

.

skkn

9


- Nếu

. Gọi

là điểm thỏa mãn

Và

là trung điểm

. Vậy

.

Ví dụ 4.1. (KSCL lần 1,chuyên Lương thế Vinh, Đồng Nai 2018):
Trong không gian
cho 4 điểm
và
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho tổng khoảng cách từ
và đến
lớn nhất, đồng thời ba điểm
nằm cùng phía so với
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc
:
.
.
.
.
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi G là trọng tâm 3 điểm
ta có

.

Vậy

. Đáp án A.

Ví dụ 4.2. (Tạp chí Epsilon, số 17): Trong không gian
cho 3 điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và tổng
khoảng cách từ
.

và

đến

lớn nhất. Khoảng cách
.

là:

.

Phân tích, hướng dẫn:
TH1: A và B nằm cùng phía so với

.

. M là trung điểm

ta có

vậy

.

TH2: và nằm khác phía so với
và
là trung điểm của

. Gọi
.

là điểm đối xứng với

qua

.
. Đáp án A.
Bài tốn 5: Cho n điểm
mãn
. Tìm điểm

, với n sớ thực
thỏa
trên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng

(α)) sao cho

có giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp.
- Tìm điểm I thỏa mãn

- Áp dụng quy tắc 3 điểm ta phân tích :

skkn

10


. Áp dụng bài toán 1 xác định được

để

đạt giá trị

nhỏ nhất.
Ví dụ 5.1: (Sở GD &ĐT Hà Tĩnh 2018-2019) : Trong không gian
điểm
và mặt phẳng
, giá trị nhỏ nhất của
.

, cho 3
.

bằng:
.

.

.

Phân tích, hướng dẫn: Đặt
Gọi là điểm thỏa mãn đẳng thức

. Ta có

do
cùng phía so với

nằm

.Gọi

là hình chiếu vng góc của lên
.Vậy

Gọi

.

là điểm đối xứng với qua
. Đáp án A.

Ví dụ 5.2:
Trong khơng gian

, cho 2 điểm

và đường thẳng

. Tọa độ điểm

giá trị nhỏ nhất. Khi đó
.
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi

để biểu thức

bằng:
.

.

là trung điểm
, vậy

đạt
.

, vậy
hay

hay

là hình chiếu của

,

trên

.

,
. Đáp án D.

Bài toán 6:
Trong không gian
mãn

, cho đa giác
. Tìm điểm

và
sao cho tổng

skkn

số thực

thỏa

11


đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.
Phân tích, hướng dẫn:
- Tìm điểm thỏa mãn
- Áp dụng quy tắc 3 điểm và phân tích như bài tốn 5 ta có:
- Ta có
khơng đởi, áp dụng bài tốn 1 ta xác định được
vị trí của để

đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.
* Nhận xét:
- Nếu
, Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi
nhỏ nhất
- Nếu
, Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi
nhỏ nhất.
Ví dụ 6.1. (Sở GD &ĐT Điện Biên 2018-2019):
Trong không gian
, cho 3 điểm
và
mặt phẳng
. Xét điểm
thay đổi thuộc
, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
bằng:
.
.
.
D. 55.
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi là điểm thỏa mãn đẳng thức
vậy
. Với

. Ta có

. Đáp án A.

Ví dụ 6.2 (Sở GD &ĐT Hà Nội 2018-2019):
Trong không gian
, cho 2 điểm
và điểm
,
tìm giá trị của a, b để biểu thức
nhỏ nhất. Giá trị của
bằng:
.
.
.
.
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi là điểm thỏa mãn đẳng thức
vậy là trung điểm của
,
Vậy

,

.

là hình chiếu của trên

. Đáp án A.

*Nhận xét: Ngoài cách giải trên ta có thể giải bài tốn bằng cách sử dụng cơng
thức độ dài đường trung tuyến

.

Ví dụ 6.3 ( Trích trong đề tập huấn của sở GD&ĐT 2019:
Trong không gian
Xét điểm

thuộc
.

,cho 2 điểm
thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
.

skkn

và

.
bằng:
.

12


Phân tích, hướng dẫn:
Áp dụng nhận xét trên ta có:
hay

là hình chiếu vuông góc của

lên

,

.

. Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ
. Đáp án A.

Ví dụ 6.4 (Chuyên KHTN năm 2018-2019 lần 1):
Trong không gian
, cho mặt cầu
điểm
nhất của

. Xét điểm
bằng:
.

thay đổi thuộc mặt cầu

.
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi là điểm thõa mãn đẳng thức
. Mặt cầu

3 và hai

.

, giá trị lớn

.
và

có tâm

và

, ta có

mà

vậy

. Đáp án C.
*Nhận xét: Cho điểm A cố định và điểm M di động trên đường mặt cầu tâm I
bán kính R, thì
.
Bài tập tự luyện
Bài 1. (KSCL lần 3, THPT Kim Liên Hà Nội 2019):
Trong không gian
, cho 2 điểm
và đường thẳng
. Gọi
thời cách điểm

là đường thẳng đi qua

, vng góc với d, đồng

một khoảng bé nhất, khoảng cách bé nhất đó là:

.

.

.

.

Bài 2. (Tốn học tuổi trẻ 2018-2019):
Trong không gian
, cho 3 điểm
điểm

trên

, tọa độ

sao cho để biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất

là:
.

.

.

.

Bài 3. (Sở GD &ĐT Hà Tĩnh 2018-2019):

skkn

13


Trong không gian

, cho 3 điểm
, gọi điểm

và mặt cầu
giá trị nhỏ nhất của tổng

bằng:
.

.

.

.

Bài 4. (Đề tham khảo Bộ GD& ĐT 2016 -2017):

Trong không gian
, cho mặt cầu
. Giả sử
và
sao cho
và khoảng cách

và

và
cùng phương với

lớn nhất. Tính

.
.
.
Bài 5. (KSCL lần 1, chuyên ngoại ngữ Hà Nội 2018):
Trong không gian
, cho mặt cầu
2 điểm
, gọi điểm
sao cho
lớn nhất, phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu
tại
.
Bài 6. (2H3-2.8-4):
Trong không gian

, cho

và, gọi

.
và
đạt giá trị
là:

và 3 điểm
là điểm thuộc đường thẳng

.

Tọa độ điểm trên
sao cho để biểu thức
đạt giá
trị nhỏ nhất. Tổng
bằng:
.
.
.
.
Bài 7. (GHK2, THPT Hàm Rồng Thanh Hóa, 2019):
Trong không gian
cho
và cho 3 điểm
,
. Gọi
là mặt phẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách
từ và

đến
lớn nhất, biết rằng
không cắt đoạn
. Khi đó pháp
tuyến của
là
.
.
.
.
Bài 8. (KSCL Chuyên Lê Quý Đôn, Điện Biên 2019):
Trong không gian
, cho 2 điểm
. Biết
đi qua
điểm và cách một khoảng lớn nhất. Phương trình của
là:
.
.
.
.
Bài 9. (Đề chính thức THPTQG 2019, Mã đề 103):
Trong khơng gian
, cho điểm
. Xét đường thẳng thay đổi và

skkn

14

song song với trục
và cách trục
một khoảng bằng 2. Khi đó khoảng cách
từ đến nhỏ nhất, đi qua điểm nào dưới đây?
.
.
.
.
Bài 10. (Đề KSCL lần 4, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ, năm 2018):
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Điểm
thuộc
sao cho
nhỏ
nhất. Giá trị của
bằng:
.
.
.
.
2.3.3.2. Dạng tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian liên quan đến góc
Bài tốn 7:
Trong khơng gian
, cho đường thẳng
và
cắt nhau. Viết phương
trình của

chứa và tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Gọi
, và
. Lấy điểm
d
. Gọi
lần lượt là hình chiếu
M
của
trên
và . Đặt
. Vậy đẳng
thức xảy ra khi

I

P

, vậy

K
H

Q
Ví dụ 7.1. (Trích từ đề tập huấn sở GD & ĐT Lai châu, 2019):
Trong không gian

, cho

là mặt phẳng chứa
có dạng
bằng:
.
Phân tích, hướng dẫn:

và

và tạo với

.

. Gọi

một góc nhỏ nhất. Phương trình
. Khi đó tích
.

.

vậy
. Đáp án D.
Bài tốn 8:
Trong không gian
mặt phẳng
chứa
Phương pháp giải:

, cho đường thẳng và chéo nhau. Viết phương trình

và tạo với một góc lớn nhất.

skkn

15


Lấy
, vẽ đường thẳng
đi qua
điểm
và song song với , lấy
.
Gọi
lần lượt là hình chiếu của trên
và đường thẳng

, đẳng thức xảy ra khi

A
Δ

.
K
Q

d'

H
I

d

Bài 8.1. (Trích từ tạp chí Epsilon):
Trong khơng gian

, cho

và

là mặt phẳng chứa và góc giữa
độ giao điểm của
và trục
là:
.
.
Phân tích, hướng dẫn:

. Gọi

và đường thẳng

lớn nhất. Tọa

.

.

Ta có
Đáp án C.

Bài tốn 9:
và đường thẳng
cắt
Cho mặt phẳng
và điểm
( khơng
vng góc với
). Viết phương trình đường thẳng
đi qua , nằm trong
và tạo với một góc nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
vn Từ vẽ đường thẳng // . Lấy
B
, gọi
lần lượt là hình chiếu
Δ
d
g góc của trên
và

H

Δ'

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
Vậy
đi qua và
hay
đi qua

và song song với hình chiếu
vng góc của

α

A

K

trên

skkn

16


Ví dụ 9.1.
Đường thẳng

thuộc

và đi qua gốc toạ độ

đường thẳng

tạo với

một góc nhỏ nhất. Có một véc tơ chỉ phương là:

.

Phân tích, hướng dẫn:

.

.

.

Áp dụng phương pháp giải trên ta có

.

Đáp án A.
* Nhận xét: Thơng qua việc giải một lớp các bài tốn cực trị khơng gian ta nhận
thấy, để giải nhanh bài tốn cực trị trong hình học khơng gian bằng phương pháp
sử dụng các yếu tố hình học, ta cần có kỹ năng thuộc tính hình học từ đó tìm
được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị (khoảng cách, số đo góc hay độ
dài) xảy ra. Khi xác định vị trí đó, thì việc tính tốn để đưa ra kết quả lại vơ
cùng đơn giản.
Bài tập tự luyện
Bài 11. ( Sở GD&ĐT Vĩnh phúc năm 2018-2019 lần 2):
Trong không gian
, gọi
là đường thẳng đi qua điểm
, song
song với mặt phẳng
đồng thời tạo với đường thẳng
một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng

Bài 12. (2H3-3.8-4):

Trong khơng gian
thẳng

là:

.

.

.

.

cho 3 điểm
, gọi

Khi góc giữa đường thẳng
đúng ?

và đường

lần lượt là hình chiếu của

và

.

,

lên

.

là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây
.

.

.

Bài 13. ( KSCL lần 4 THPT Thanh Miện 2, Hải Dương 2018):
Trong không gian
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng
đi qua
tạo với mặt phẳng
góc có số đo nhỏ nhất.
Điểm
cách mặt phẳng
một khoảng là:
.

.

.

.

Bài 14. (KSCL lần 3 THPT Minh Châu Hưng Yên 2018):

skkn

17


Trong không gian

, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng đi qua hai điểm
và α là
góc nhỏ nhất giữa hai mặt phẳng
và
. Giá trị của
là:
.

.

.

.

2.3.3.3. Bài toán cực trị hình học tọa độ khơng gian dạng khác giải bằng phương
pháp sử dụng các yếu tố hình học.
Ví dụ 1. (Sở GD& ĐT Hà nam năm 2018-2019):
Trong không gian
, cho mặt cầu

và
điểm
. Gọi
là giao tuyến
với
. Lấy hai điểm
trên
sao cho
khi tứ diện
có thể tích lớn nhất thì đường thẳng
đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây?
.

.

.

.

Phân tích, hướng dẫn:
Mặt cầu

,

nằm ngồi

( là trung điểm của
xảy ra khi

. Khi đó

,

), đẳng thức

là trung điểm của

và

Vậy MN đi qua điểm
. Đáp án C.
Ví dụ 2. (Đề tham khảo Bộ GD& ĐT 2016-2017):
Trong không gian
, cho
. Giả sử
cùng phương với
và khoảng cách
là:
.
.
Phân tích, hướng dẫn:

skkn

va

và

và mặt cầu
sao cho

lớn nhất. Độ dài đoạn
.

.

18


Ta có

. Mặt cầu
. Do

trên

, bán kính

nên

vậy

lớn nhất khi đó
vng góc với

có tâm

. Gọi

và

với
và

và

là hình chiếu của

.Vậy

là giao điểm của đường thẳng
. Vây
là hình chiếu của

đi qua
trên

, ta có

. Đáp án C.
Bài tập tự luyện
Bài 15. (KSCL, Sở GD& ĐT Bà Rịa Vũng Tàu, 2018-2019):
Trong không gian
, cho tứ diện
. Trên các cạnh
lấy các điểm

sao cho

và tứ diện

nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng

có

tọa độ
lần lượt
có thể tích

là:
.

Bài 16. (Đề học sinh giỏi Bắc Ninh 2018-2019):
Trong không gian
đường thẳng

, cho mặt cầu

và

. Gọi

là điểm nằm trên

đường thẳng d sao cho từ
kẻ được 3 tiếp tuyến đến mặt cầu
có các tiếp
điểm
sao cho
là tứ diện đều. Giá trị biểu thức
.

.
.
.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Qua nhiều năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhân thấy rằng để học
sinh học tốt được chủ đề cực trị hình học tọa độ khơng gian thì trước tiên phải
giúp hoc sinh nắm vững hệ thống lý thuyết gồm định nghĩa, định lý, hệ quả
và các phương pháp giải. Học sinh làm tốt các nội dung trên thì giúp cho việc
giảng dạy của giáo viên thuận lợi, đồng thời học sinh chủ động được việc tiếp
thu được kiến thức và tích cực làm bài.
Đề tài đã được thực hiện trong các buổi dạy chuyên đề lại hai lớp12E3,
12E7. Bước đầu tiếp cận đề tài thì các em gặp khó khăn và lúng túng chưa biết
bắt đầu từ đâu và giải quyết bài tốn như thế nào nhưng qua một số ví dụ các em
đã hình thành được cách giải cho từ dạng bài. Từ đó tạo cho cho học sinh sự
hứng thú học tập, đam mê và u thích mơn tốn hơn. Đó là tiền đề tốt Cho
việc tự học tự nghiên cứu của học sinh.
Bản thân tơi đã góp phần thành công trong công tác chuyên môn nhà
trường trong những năm qua, cụ thể:
+) Kết quả thi học sinh giỏi:

skkn

19


Năm học 2017-2018 xếp thứ 10 trong tỉnh và xếp thứ nhất trong huyện.
Năm học 2018-2019 xếp thứ 7 trong tỉnh và xếp thứ nhất trong huyện.
+) Kết quả thi THPT Quốc Gia:
Năm học 2017-2018 xếp thứ 7 trong tỉnh và xếp thứ nhất trong huyện.

Năm học 2018-2019 xếp thứ 8 trong tỉnh và xếp thứ nhất trong huyện.
Từ những kết quả trên tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa
ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong q trình dạy học.
3. Kết luận và kiến nghị 
3.1. Kết luận
Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ
đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hồn
thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
- Đề tài đã cung cấp được cho các thầy cô giáo và các em tài liệu tham
khảo, đề tài có thể cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, cũng cố phương pháp
góp phần nâng cao chất lượng day và học.
- Đề tài đã đưa ra một số dạng bài tập áp dụng và hệ thống các bài tập
luyện tập được trích từ các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT,
của Sở giáo dục và Đào tạo ở một số tỉnh, thành phố và đề học sinh giỏi trên cả
nước để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Tốn. Từ đó các em
rất có hứng thú với các dạng bài tốn cực trị trong hình học giải tích, những học
sinh khá giỏi cịn tích cực tìm tịi các phương pháp khác để giải dạng bài tốn
này.
Đề tài là kinh nghiệm của cá nhân tơi đã thực tế giảng dạy tại trường
THPT Triệu Sơn 3 có hiệu quả, xin được chia sẻ tới các thầy cô giáo và các em
học sinh. Tuy nhiên đề tài thể tránh khỏi những thiếu xót cần được bổ sung, rất
mong được sự đóng góp ý kiến của q thầy, cơ để đề tài được hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị
Đối với giáo viên : Tìm tịi những phương pháp giải tốn hiệu quả dể nâng cao
chất lượng dạy học và các em tiếp thu bài hiệu quả và hứng thú trong học tập.
Đối với nhà trường: Trong các buổi họp tổ chuyên môn cần làm tốt hơn nữa
nội dung xây dựng các chuyên đề dạy học, đề xuất các cách giải hay, phương
pháp giải hiệu quả và trao đổi các bài tốn khó.
Tơi xin trân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 6 tháng 7 năm 2020
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

Lê Thị Hằng

skkn

20