CHUỖI SỐ DƯƠNG potx

∑
∞
=1n
n
u
nu
n
∀> ,0

1.Định nghĩa:
với
II. CHUỖI SỐ DƯƠNG
II. CHUỖI SỐ DƯƠNG
)(xf
∗
∈+∞ Nkk ),,[
2. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương
liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên
a) Tiêu chuẩn tích phân
Cho hàm số
∑
∞
=1
)(
n
nf
∫
+∞
⇔
k
dxxf )(

Khi đó
hội tụ
hội tụ
Chuỗi số dương là chuỗi
Chuỗi
∑
∞
=1
1
n
n
α
VD1: Xét chuỗi
0<
α
∞→
n
u
∗
Nếu
thì
nên chuỗi phân kỳ.
0=
α
1=
n
u
thì nên chuỗi phân kỳ.
∗
Nếu

0>
α
α
x
xf
1
)( =
∗
Nếu
khi đó xét hàm
a) Tiêu chuẩn tích phân: (tt)
phân kỳ nếu





∑
∞
=1
1
n
n
α
Vậy chuỗi
1>
α
1≤
α
hội tụ nếu

VD 1(tt)
phân kỳ nếu
Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên
Mà





∫
∞+
dx
x
1
1
α
1>
α
1≤
α
hội tụ nếu
),1[ +∞
Vậy tích phân
∫
∞+
2
ln xx
dx
phân kỳ.
Theo tiêu chuẩn tích phân

∑
∞
=2
ln
1
n
nn
phân kỳ.
∑
∞
=2
ln
1
n
nn
xx
xf
ln.
1
)( =
VD2: Xét chuỗi
Xét hàm
Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm
trên
Mà
( )
∞+===
∞+
∞+∞+
∫∫

2
22
|lnln
ln
)(ln
ln
x
x
xd
xx
dx
),2[ +∞
∑
∞
=1n
n
v
∑
∞
=1n
n
u
∑
∞
=1n
n
u
∑
∞
=1n

n
v
Nếu chuỗi
hội tụ thì chuỗi
Hoặc nếu chuỗi phân kỳ thì chuỗi
phân kỳ.
Khi đó:
hội tụ
∑
∞
=1n
n
u
∑
∞
=1n
n
v
b)Tiêu chuẩn so sánh 1:
và
thoả điều kiện ∃N: 0< u
n
≤ v
n,
∀n ≥ N
Cho hai chuỗi số dương
∑
∞
=
+

1
5
2
n
n
n
n
n
n
n
n






≤
+
<
5
2
5
2
0
∑
∞
=







1
5
2
n
n
)1
5
2
( <=q
VD1: Cho chuỗi số
Ta có:
Mà chuỗi
hội tụ
∑
∞
=
+
1
5
2
n
n
n
n
Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi
hội tụ

b)Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)
∑
∞
=2
ln
n
n
n
3;0
1
ln
≥∀>>= n
nn
n
u
n
∑
∞
=2
2
1
1
n
n
VD2: Cho chuỗi số
Ta có:
Mà chuỗi
phân kỳ (VD1 trong phần tiêu chuẩn
Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi
∑

∞
=2
ln
n
n
n
phân kỳ.
tích phân)
b)Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)
∑∑
∞
=
∞
= 11
,
n
n
n
n
vu
k
v
u
n
n
n
=
∞→
lim
∑

∞
=1n
n
v
∑
∞
=1n
n
u
∑
∞
=1n
n
u
∑
∞
=1n
n
v
∑
∞
=1n
n
u
∑
∞
=1n
n
v
c) Tiêu chuẩn so sánh 2:

Giả sử tồn tại
hội tụ thì chuỗi
•
k = +∝ nếu chuỗi
hội tụ thì chuỗi
và
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
•
k = 0 nếu chuỗi
•
0 < k < +∝ hai chuỗi
hội tụ.
hội tụ.
Cho hai chuỗi số dương
∑
∞
=
+
++
1
4
2
1
1
n
n
nn
24
2
1

~
1
1
nn
nn
+
++
∞→n
∑
∞
=1
2
1
n
n
∑
∞
=
+
++
1
4
2
1
1
n
n
nn
VD1: Xét chuỗi số
Ta có:

khi
Mà chuỗi
Nên
chuỗi
có cùng tính chất là hội tụ.
hội tụ.
c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
∑
∞
=
−−+
1
4
3
11
n
n
nn
4
5
4
3
4
3
2
~
)11(
2
11
nnnnn

nn
u
n
−++
=
−−+
=
∞→n
∑
∞
=1
4
5
1
n
n
∑
∞
=
−−+
1
4
3
11
n
n
nn
VD2:
Ta có
khi

Mà chuỗi
Nên
chuỗi
có cùng tính chất hội tụ
c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
Xét chuỗi số
hội tụ.
∑
∞
=1
1
n
n
nn
n
n
nn
u
1
=
n
v
n
1
=
1
1
limlim ==
∞→∞→
n

n
n
n
n
n
v
u
∑
∞
=1
1
n
n
∑
∞
=1
1
n
n
nn
VD3: Xét chuỗi số
Ta có
.
Xét

Lúc
này
Mà chuỗi
Nên
chuỗi

cũng phân kỳ
c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
phân kỳ
)
1
1
ln(
1
1
−
+
⋅
∑
∞
=
n
n
n
n
1
21
~)
1
2
1ln(
1
−
⋅
−
+⋅=

n
n
n
n
u
n
∞→n
2
3
1
n
v
n
=
2lim =
∞→
n
n
n
v
u
∑
∞
=1
2
3
1
n
n
)

1
1
ln(
1
1
−
+
⋅
∑
∞
=
n
n
n
n
VD4: Xét chuỗi số
Ta
có
khi
Xét

Lúc
này
mà chuỗi
Nên
chuỗi
cũng hội tụ.
c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)
hội
tụ

2
1
3
2
1
arctg.
n
n
n
∑
∞
=
3
4
11
~
1
arctg.
2
3
2
2
3
2
n
n
n
n
nu
n

=⋅=
∞→n
∑
∞
=1
3
4
1
n
n
2
1
3
2
1
arctg.
n
n
n
∑
∞
=
VD5: Xét chuỗi số
Ta
có
khi
Mà
chuỗi
Nên
chuỗi

cũng hội tụ.
c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)

hội tụ
∑
∞
=1n
n
u
D
u
u
n
n
n
=
+
∞→
1
lim
∑
∞
=1n
n
u
∑
∞
=1n
n
u

d)Tiêu chuẩn D’Alembert:
Giả sử tồn tại giới hạn
∗
Nếu D>1 thì
Cho chuỗi số
dương
∗
Nếu D<1 thì
phân kỳ.
∗
Nếu D=1 thì chưa có kết luận.
hội tụ.
Nn
u
u
n
n
≥∀>
+
1
1
∑
∞
=1n
n
u
Tuy nhiên nếu ta chứng minh được
thì lúc này ta kết luận
phân kỳ.
d)Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)

∑
∞
=1
!.3
n
n
n
n
n
( )
n
n
n
n
u
u
1
1
1
3
+
=
+
VD1: Xét chuỗi số
Ta có
1
3
>→
e
∑

∞
=1
!.3
n
n
n
n
n
Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi
phân kỳ.
∑
∞
=
+
+
1
2
ln!
52
n
n
nn
n
nn
n
u
n
n
ln!
52

2
+
+
=
∑
∞
=1n
n
v
∑
∞
=1n
n
u
VD2: Xét chuỗi số
Ta có
Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi
cũng hội tụ.
d)Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)
chuỗi
Mà
0
2
1
→=
+
nV
V
n
n

!
2
n
v
n
n
=
~
hội tụ nên
khi
∞→n
∑
∞
=1
!.
n
n
n
n
ne
( )
1
1
1
1
→
+
=
+
n

n
n
n
e
u
u
( )
e
n
n
<+
1
1
1
1
>
+
n
n
u
u
∑
∞
=1
!.
n
n
n
n
ne

VD3: Xét chuỗi số
Ta có
Tuy nhiên ta có
nên
Vậy chuỗi
phân kỳ.
d)Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)
∑
∞
=1n
n
u
cu
n
n
n
=
∞→
lim
∑
∞
=1n
n
u
∑
∞
=1n
n
u
e) Tiêu chuẩn Cauchy:

giả sử tồn tại
∗
Nếu c < 1 thì
∗
Nếu c = 1 thì chưa có kết luận.
Cho chuỗi số dương
hội tụ.
∗
Nếu c > 1 thì
phân kỳ.
∑
∞
=2
)(ln
3
n
n
n
n
0
ln
3
→=
n
u
n
n
∑
∞
=2

)(ln
3
n
n
n
n
VD1: Xét chuỗi số
Ta có:
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy
hội tụ.
e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)
Tuy nhiên nếu ta chứng minh được
Nnu
n
n
≥∀> ,1
thì ta kết luận chuỗi phân kỳ.
∑
∞
=
+
1
2
2
)1(
2.
n
n
nn
n

n
1
2
)1(
2
1
<→
+
=
e
u
n
n
n
n
∑
∞
=1n
n
u
VD2: Xét chuỗi số
Ta có:
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy
hội tụ.
e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)
n
n
n
n
∑

∞
=






+
+
1
12
32
1
12
32
→
+
+
=
n
n
u
n
n
1
12
32
>
+

+
n
n
∑
∞
=1n
n
u
VD3: Xét chuỗi số
Ta có:
Tuy nhiên
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy
phân kỳ.
e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)