Luận văn thạc sĩ toán học về tính chẵn lẻ của số nhân tử bất khả quy modulo p của đa thức hệ số nguyên

„I HÅC THI NGUY–N

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC
o0o

€M THÀ NGÅC T…M

V— TNH CHŽN L” CÕA SÈ NH…N TÛ B‡T
KHƒ QUY MODULO P CÕA A THÙC H›
SÈ NGUY–N

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

THI NGUY–N, 5/2019


„I HÅC THI NGUY–N

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC
o0o

€M THÀ NGÅC T…M

V— TNH CHŽN L” CÕA SÈ NH…N TÛ B‡T
KHƒ QUY MODULO P CếA A THC H
Sẩ NGUYN
Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp
MÂ số: 8 46 01 13

LUN VN THC S TON HC
GIO VIN HìẻNG DN

TS. NGUYN DUY TN

THI NGUYN, 5/2019


iii

Mửc lửc
M Ưu
Chữỡng 1. Mởt số kián thực chuân b
1.1
1.2
1.3

Kát thùc cõa hai a thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Bi»t thùc cõa a thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Tỹ ỗng cĐu Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chữỡng 2. nh lỵ Stickelberger
2.1
2.2
2.3
2.4

1
3

Nghiằm cừa a thùc b§t kh£ quy trong Fp [x] . . . .
nh lỵ Stickelberger . . . . . . . . . . . . . . . . .

a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguy¶n tố
Tữỡng tỹ cừa nh lỵ Stickelberger cho a thực thỹc

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

12

12
14
17
19

Chữỡng 3. nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai 21
3.1
3.2
3.3

Kỵ hiằu Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
nh lỵ Stickelberger v luªt thuªn nghàch bªc hai . . . . . 22
nh lỵ Stickelberger modulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kát luên
Ti liằu tham khÊo

32
33


1

Mð ¦u
Cho f (x) ∈ Z[x] l  mët a thùc chuân (monic) hằ số nguyản bêc n
v khổng cõ nghiằm phùc k²p. Gåi D(f ) l  bi»t thùc cõa f . Cho p l 
mët sè nguy¶n tè l´ v  gåi Fp = Z/pZ l trữớng hỳu hÔn cõ p phƯn tỷ.
Gồi f(x) Fp [x] l a thực nhên ữủc tø f b¬ng c¡ch thu gån h» sè
modulo p. Gåi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa f. Khi õ mởt nh lỵ cừa
Stickelberger khng nh rơng r v n cõ cũng tẵnh chđn l, tực l r ≡ n
(mod 2), khi v  ch¿ khi D(f ) l  bẳnh phữỡng modulo p.
Mửc tiảu cừa luên vôn l tẳm hiu và chựng minh cừa nh lỵ Stickelberger ny cụng nhữ ựng dửng cừa nõ trong chựng minh luêt thuên nghch
bêc hai.
Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, bố cửc cừa luên
vôn ữủc chia lm ba chữỡng.

Chữỡng 1. Mởt số kián thực chuân b

Chữỡng ny trẳnh b y mët sè ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thực,
biằt thực cừa a thực v ỗng cĐu Frobenius.

Chữỡng 2. nh lỵ Stickelberger

Chữỡng ny trẳnh by và nh lỵ Stickelberger, mởt số vẵ dử minh hồa,
v mởt tữỡng tỹ cừa nh lỵ ny cho a thực thỹc.

Chữỡng 3. nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai

Chữỡng ny trẳnh by và kỵ hiằu Legendre, luêt thuên nghch bêc hai
v mởt chựng minh cừa luêt ny sỷ dửng nh lỵ Stickelberger.
Luên vôn ny ữủc thỹc hiằn v hon thnh vo thĂng 5 nôm 2019 tÔi
trữớng Ôi hồc Khoa hồc- Ôi hồc ThĂi Nguyản. Qua Ơy, tĂc giÊ xin by
tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS Nguyạn Duy TƠn, ngữới  tên tẳnh hữợng
dăn trong suốt quĂ trẳnh lm viằc  hon thnh luên vôn ny. TĂc giÊ
xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh án Khoa ToĂn-Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa
hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Â tÔo mồi iÃu ki»n º gióp t¡c gi£ håc tªp
v  ho n th nh luªn vôn cụng nhữ chữỡng trẳnh thÔc sắ. TĂc giÊ cụng xin
gỷi lới cÊm ỡn tợi têp th lợp cao hồc K11D, khõa 05/2017 - 05/2019 Â
ởng viản giúp ù tĂc giÊ trong quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên v«n


2
ny. ỗng thới tĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn tợi Ban giĂm hiằu v cĂc ỗng
nghiằp tÔi trữớng THCS Hững Ôo, ổng TriÃu, QuÊng Ninh  tÔo iÃu
kiằn cho tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn.

Xin chƠn thnh cÊm ỡn.
XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn

TS. Nguyạn Duy TƠn

ThĂi Nguyản, thĂng 5 nôm 2019
Ngữới viát luên vôn

m Th Ngồc TƠm


3

Chữỡng 1. Mởt số kián
thực chuân b
Chữỡng ny trẳnh by mët sè ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thực,
biằt thực cừa a thực v ỗng cĐu Frobenius. Ti li»u tham kh£o sû dưng
cho ch÷ìng n y l  t i li»u [2, Section 6.6] v  [3, Chapter 15].

1.1 K¸t thùc cõa hai a thùc
Gi£ sû f, g l  hai a thùc bián x vợi cĂc hằ số trong mởt trữớng F .
GiÊ sỷ K l mởt trữớng õng Ôi số chựa F . Gåi α1 , . . . , αn l  t§t c£ c¡c
nghi»m (kº c£ bëi) cõa f trong K , tùc l 

f (x) = a(x − α1 )(x − α2 )...(x − αn ), vỵi a ∈ K n o â.
T÷ìng tü, gåi β1 , . . . , βm l  t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa g trong K ,
tùc l 

g(x) = b(x − β1 )(x − β2 )...(x − βm ), vỵi b ∈ K no õ.
Ta nh nghắa kát thực cừa f v g , R(f, g) l 

n Y
m
Y
R(f, g) = a b
(αi − βj ) (n = deg f, m = deg g).
m n

i=1 j=1

Ta liằt kả dữợi Ơy mởt số tẵnh chĐt cừa kát thực.

Tẵnh chĐt 1.1.1. R(g, f ) = (1)mnR(f, g).


4
Chùng minh. Ta câ
m Y
n
n Y
m
Y
Y
m n
R(g, f ) = a b
(βj − αi ) = a b
(αi − βj ) = (−1)mn R(f, g).
m n

j=1 i=1

i=1 j=1

Ta câ i·u phÊi chựng minh

Tẵnh chĐt 1.1.2. R(f, g) = 0 náu f

v g cõ mởt nhƠn tỷ chung bêc

dữỡng.

Chựng minh. Náu f v  g câ mët nh¥n tû chung l  h(x) ∈ F [x]. Khi â gåi
α ∈ K mët nghi»m cừa h trong K . Nhữ vêy tỗn tÔi i, j sao cho αi = α v 
βj = α. Ta suy ra trong tẵch nh nghắa R(f, g) cõ nhƠn tû αi − βj = 0
v  do vªy R(f, g) = 0.

Tẵnh chĐt 1.1.3. R(f, g) = a

m

n
Y

mn n

g(i ) = (−1)

i=1

b

m
Y

f (βj ).

j=1

Q
Q
Chùng minh. V¼ g(x) = b nj=1 (x − βi ), n¶n ta câ g(αi ) = b nj=1 (αi − βj ),
vỵi måi i = 1, . . . , n. Do vªy

a

m

n
Y

n Y
n
Y
g(αi ) = a b
(αi − βj ) = R(f, g).
m n

i=1

i=1 j=1

T÷ìng tỹ (hoc sỷ dửng Tẵnh chĐt 1.1.1) ta suy ra

R(f, g) = (1)

mn n

b

m
Y

f (j ).

j=1

Tẵnh chĐt 1.1.4. Náu g(x) = f q + r, th¼ R(f, g) = am−deg r R(f, r).
Chựng minh. Tứ Tẵnh chĐt 1.1.3, ta cõ

R(f, g) = a

deg g

n
Y
i

g(αi ) = a

deg g

n
Y
[f (αi )q(αi ) + r(αi )].
i=1


5
Vẳ i l nghiằm cừa cừa f , nản f (αi ) = 0 v  do vªy f (αi )q(αi ) + r(αi ) =
r(α). Do â ta câ

R(f, g) = a

deg g

n
Y

r(i ).

i=1

Mt khĂc, cụng theo Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, r) = adeg r

R(f, g) = a

deg g

n
Y

Qn

i=1 r(αi ).

Do vêy

r(i ) = adeg gdeg r R(f, r).

i=1

Tẵnh chĐt 1.1.5. R(f, b) = bdeg f n¸u b l  vỉ hữợng.
Chựng minh. t g(x) = b. Theo Tẵnh chĐt 1.1.3

R(f, g) = a

0

n
Y

g(i ) = bn .

i=1

CĂc Tẵnh chĐt 1.1.1,1.1.4, 1.1.5 cho php ta tẵnh toĂn kát thực cừa bĐt
kẳ hai a thực no bơng thuêt toĂn chia cừa Euclid. CĂc tẵnh chĐt ny
cụng cho php ta chựng minh ữủc rơng kát thực R(f, g) l mởt phƯn
tỷ cừa trữớng F mc dũ nõ ữủc nh nghắa dỹa theo cĂc phƯn tỷ trong
trữớng lợn hỡn K .

Tẵnh chĐt 1.1.6. Ta câ R(f, g) n¬m trong F .

Chùng minh. Ta chùng minh bơng quy nÔp theo deg f . Náu g = b l
hơng số thuởc F . Thẳ theo Tẵnh ch§t 1.1.1 v  1.1.5, R(f, g) = R(b, f ) =
R(f, b) = bn thuëc F.
Gi£ sû kh¯ng ành ¢ óng vỵi måi måi a thùc f v  g vỵi f cõ bêc nhọ
hỡn hoc bơng n 1. Xt f v g l hai a thực tũy ỵ vợi deg f = n ≥ 1.
Khi â theo thuªt to¡n chia a thực, tỗn tÔi hai a thực q v r trong F [x]
sao cho
g = f q + r,
vỵi r = 0 ho°c deg r < deg f = n. Theo Tẵnh chĐt 1.1.4, Tẵnh chĐt 1.1.1
v theo giÊ thiát quy nÔp ta cõ R(f, g) = R(f, r) = ±R(r, f ) thuëc F . Ta
câ i·u ph£i chùng minh.


6

Tẵnh chĐt 1.1.7. Ta cõ
1. Náu f = f1 f2 thẳ R(f, g) = R(f1 , g)R(f2 , g).
2. Náu g = g1 g2 th¼ R(f, g) = R(f, g1 )R(f, g2 ).
Chựng minh. Suy ra tứ Tẵnh chĐt 1.1.3.

1.2 Bi»t thùc cõa a thùc
Cho f = f (x) ∈ F [x] l a thực vợi hằ số trong trữớng F v K l mởt
trữớng õng Ôi số chựa F .
Biằt thực cừa f ữủc nh nghắa l

D(f ) = (1)n(n1)/2 R(f, f 0 ),
Ơy f 0 l Ôo h m cõa f v  n = deg f .
Theo T½nh chĐt 1.1.2, ta cõ D(f ) 6= 0 náu v ch¿ n¸u f v  f 0 khỉng câ

thøa sè chung.
Chóng ta cõ th tẵnh toĂn D(f ) bơng cĂch sỷ dửng thuêt toĂn Euclid
trản f v f 0 . Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử.

Vẵ dử 1.2.1. Xt f (x) = x − a. Khi â f 0(x) = 1, vẳ vêy
D(f ) = (1)(1.0)/2 R(f, 1) = R(f, 1) = 1deg f = 1.

V½ dư 1.2.2.
X²t f (x) = x2 + ax + b. Khi â f 0 (x) = 2x + a v  D(f ) =
0
−R(f, f ). Ta câ

a
a2
x + ax + b = (2x + a)
+
+ (b − ).
2 4
4
2

x

a2
°t r = b − . Ta câ
4
D(f ) = −R(f, f 0 )
= −R(f 0 , f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1)
= 2deg f deg r (1)R(f 0 , r) ( theo Tẵnh chĐt 1.1.4)
= −22−0 R(f 0 , r)

= −4r = a2 − 4b.


7

V½ dư 1.2.3. Cho f (x) = x3 + qx + r. Th¼ f 0(x) = 3x2 + q v  thüc hi»n
thuªt to¡n Euclid, ta câ




2q
x3 + qx + r = (3x2 + q)
+
x+r ,
3
3


 

2q
9x 27r
27r2
2
3x + q =
x+r
− 2 + q+
.
3

2q
4q
4q 2
x

Do â

D(f ) = (−1)3·2/2 R(f, f 0 ) = −R(f, f 0 )
= −R(f 0 , f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1)
2qx
= 3deg f 1 R(f 0 ,
+ r) (theo Tẵnh chĐt 1.1.4)
3
2qx
= 9R(
+ r, f 0 ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1)
3
 2
2q
2qx
27r2
R(
= 9
+ r, q +
)
3
3
4q 2
27r2
) = −4q 3 − 27r2 .

= −4q 2 (q +
2
4q

V½ dư 1.2.4. X²t f (x) = xn − 1 ∈ F [x]. Ta i t½nh bi»t thùc cõa f (x).

Gåi α1 , . . . , αn l  n nghiằm trong K (mởt trữớng õng Ôi số chựa F ) cõa
a thùc f (x) = xn − 1. Ta câ f 0 (x) = nxn−1 . Do vªy

D(f ) = (−1)

n(n−1)/2

0

R(f, f ) = (−1)

n(n−1)/2

n
Y

f 0 (αk )

k=1

= (−1)

n(n−1)/2 n

n

n
Y

!n−1

αk

k=1
n(n−1)

= (−1)n(n−1)/2 nn (−1)
= (−1)n(n−1)/2 nn .

V¼ theo ành lỵ Vite 1 Ã Ã Ã n = (1)n .
a thùc f (x) ∈ F [x] ÷đc gåi l  mët a thực chuân (monic) náu hằ số
ựng vợi số mụ cao nhĐt cừa nõ bơng 1.

Mằnh à 1.2.5. Cho f l  mët a thùc monic v  α1, . . . , αn l  c¡c nghi»m