TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN KHỐI B - MÃ SỐ B6 pdf

1


TRUONGHOCSO.COM
MÃ SỐ B6
Hướng dẫn giải gồm 06 trang

TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số




3 2 2 3 2
3 3 3 6 2 3 2
y x m x m m x m m m
         (1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1
m

.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3
, ,
x x x


3 2 1
x x x
 
thỏa mãn điều
kiện
2
1 1 2 3 3
2 1 10
x x x x x
    
.
Hướng dẫn:
1. Khảo sát hàm số
3
y x x
 
, bài toán cơ bản – học sinh tự giải.
2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là




   
3 2 2 3 2
3 3 3 6 2 3 2 0

1 2 0 ; 1; 2
x m x m m x m m m
x m x m x m x m x m x m
        
            

Vì


3 2 1
x x x
 
nên
1 2 3
; 1; 2
x m x m x m
    
.
  
  
 
 
 
2 2
1 1 2 3 3
2 2 2
2 2
2 1 10 2 1 2 1 2 10
2 1 2 10 1 2 10
2

2 2
3
3 4
11 2 12 2 1
2 1
2
3
4 2 1 1
x x x x x m m m m m
m m m m m m m
m
m m
m
m m
m m m m m m
m
m
m
m m
             
            


 
 
  
  

  
  

        
 
 

 











    





Dễ thấy với
2
m

thì phương trình (*) vô nghiệm. Vậy giá trị cần tìm là
3
m


.


Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
 
3 3
3
2 3 2 2
;
2 3 2 5 8
x y x y
x y
x y x y

   



   



.
Hướng dẫn:
Đặt
3 3
3 3
2 ; 3 2 2 ; 3 2
x y a x y b x y a x y b
        

. Ta có


3 3 3 3 3 3
3 2 2 2 ; 4 3
x x a b x a b y a b
        .
Hệ đã cho tương đương với
 
 
 
3 3 3 3
3 3 3 2
2
2
2 2
2 5 2 4 3 8
7 4 4 11 42 83 52 0
2
1 2 1 1
1 11 31 52 0
1 3 2 1 1
a b
a b a b
b a b a b
a b b b b b
a b
a x y x
b b b
b x y y

 

   
 

 
  
    
      
 

 

   
  

   
   
   
   
  



Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất




; 1;1

x y 
.







2

Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình




2
3 4 3 2
cotx cot x cos x
  
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
3 0
sin x

.
Phương trình đã cho tương đương với
   
 

 
2 2
3
2
3 cos 3 3
4 3 2 4 3 2
3 3
2 4 3 3
4 3 2 1 1 3 1
3 3 3 12
cosx cos x xsin x cos xsinx
cos x cos x
sinx sin x sinx sin x
sin x cos x cosx cos x
cos x cot x x k k
sinx sin x sin x sin x

 
     
 
 
 
             



Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
 
 
1

3
0
2 1 ln 1
I x x dx
  

.
Hướng dẫn:
 
 
 
 
   
 
2 2
3
3
2
2
1 1
2
1
2 3
0
0 0
1
2
0
3 3
ln 1

1
1 1
2 1 1
1
1 ln 1 3 ln 2 3 1
1 1
1 3
ln 2 3 ln 1 2ln 2
2 2
x x
u x du dx dx
x
x x x
dv x dx v x x
x
I x x x dx x dx
x x
I x x x
    

  
     
 
        
 
 
 
 
      
 

 
 


Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng
a
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các đoạn AB, CC’, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng DP, MN và thể tích khối tứ diện DMNP theo
a
.
Hướng dẫn:
Ta có
2 2 2
6 6
;
2 2
a a
MN MB BC CN MP PN      .
Mặt khác
5
2
a
DM DP DN  
. Suy ra DMNP là tam giác đều cạnh đáy
6
2
a
d 
và cạnh bên
5

2
a
b 
.
Do đó DP vuông góc với MN hay góc giữa DP và MN là
90

. Gọi H là trực tâm tam giác đều MNP ta có
2 3
.
3 2
3 2
d d a
HM    ;
2 2
5 2 3
4 4 2
a a a
h HD    .
Diện tích tam giác MNP là
2 2
3
3 3 3 1 3
4 8 3 16
MNP DMNP
d a
S V Sh a

     .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn
x y z xy yz xz
    
. Chứng minh
2 2 2
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
  
     .
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức
AM GM

ta có
 
 
2
2 2
1 2
1 1 1 1 1 1 3
1
2 2 2 1 2 2 1 4 1
x x
x x x x x
x

x x x
 
 
 
   
       
 
 
  
 
 
.
Hoàn toàn tương tự suy ra
 
2 2 2
1 1 1 3
3
2 2 2 4 1 1 1
x y z x y z
x y z
x y z
 
  
        
 
  
 
.

3

Chỉ cần chứng minh
 
3 1
3 2
4 1 1 1 1 1 1 4
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
 
  
             
 
     
 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarzt ta có
 
 
   
 
   
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2

1 1 1
1 1 1 4 4 4
1 1
2 4 4
1 1 1 1
1 2
1 4 1 4
x y z
x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x x y y z z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z xy yz xz x y z
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z x y
 
        
        
          
   
     
   
       
    
       
     
       
1
. 1 2

1 4
x y z
z
  
 


Đẳng thức xảy ra khi
1
x y z
  
.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm


1;2;1
H
. Lập phương trình mặt phẳng


P
cắt các
trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Mặt phẳng (P) cần tìm cắt các trục tọa độ có phương trình

1
x y z
a b c
  

Tọa độ giao điểm với 3 trục tọa độ






;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c

   
2 1 1
1;2;1 0
H P
a b c
    

H là trực tâm tam giác ABC khi
. 0 0
2 3
2 0
. 0
AH BC b c
c b a a
a c

BH AC

   


     
 
  




 
 

Mặt phẳng cần tìm


:2 6 0
P x y z
   
.

Câu 8.a (1,0 điểm). Tìm giá trị thực của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất







2
1 2
2
log 6 log 3 2 0x m x x x     

.
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho tương đương với
 
 
2
2
2 2
2
2
3 1
3 2 0
log 6 log 3 2 0
8 3
6 3 2
x
x x
x m x x
m x x
x m x x
  

  



      
 
   
   




Xét hàm số




2
8 3, 3;1
f x x x x     
. Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh


4;19
I 
và bề lõm hướng xuống dưới.
Hàm số nghịch biến trên khoảng


3;1
 . Hơn nữa





3 18; 1 6
f f
    
nên giá trị cần tìm của m là
6 18
m
  
.

Câu 9.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai đường tròn có phương trình lần lượt là:
         
2 2 2
2
1 2
:2 1 2 1; : 2 2 4
C x y C x y
      
. Lập phương trình đường thẳng
d
tiếp xúc với đường tròn


1
C
và cắt
đường tròn



2
C
tại hai điểm
,
M N
sao cho
2 2
MN 
.
Hướng dẫn:
Đường tròn


1
C
có tâm


1
1;0
I
, bán kính
1
1
2
R  .
Đường tròn



2
C
có tâm


2
2;2
I
, bán kính
2
2
R

.



4

Phương trình đường thẳng
d
có dạng:


2 2
0 0
Ax By C A B
    
. Đường thẳng
d

tiếp xúc với


1
C
khi:
   
2
2 2
1 1
2 2
1
; 2
2
A C
d I R A C A B
A B

       


 
 
 
 
   
  
2
2
2

2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
; 2 2 2 2 2
4
2
2 2 4
4 2
3
* 2 8 7 0 7 0
7
; 1 1; 2 : 2 0
7 ; 7; 1; 2 :7 2 0
4 2
* 7 8
3
A B C
MN
d I R A B C A B
A B
C B
A B C A C
A B
C
A B
C B A AB B A B A B

A B
A B A B C d x y
A B A B C d x y
A B
C A AB
 
          




     


 

 

         

 

            
           

   
2
0
7
; 1 1; 2 : 2 0

7 ; 1 7; 6 : 7 6 0
B A
B
B A
A B A B C d x y
B A A B C d x y


  



          
          

Có 4 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Tính giới hạn
sin
0
cos
lim
x
x
e x
I
x



 .
2
sin sin sin
0 0 0 0 0
sin
0 0 0 0 0
2sin
cos 1 1 cos 1 sin
2
lim lim lim lim . lim
sin
sin sin
1 sin
2 2
lim .lim lim .sin 1 lim .limsin 1
sin 2 2
2 2
x x x
x x x x x
x
x x x x x
x
e x e x e x
I
x x x x x x
x x
e x x x
I
x x
x x

    
    
 
   
    
 
 

    


Câu 8.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho ellipse


2 2
:4 9 36
E x y
 
. Lập phương trình tiếp tuyến của
ellipse hợp với đường thẳng
: 3
l y x

một góc
60




.
Hướng dẫn:
Phương trình đường thẳng


2 2
: 0 0
d Ax By C A B
    
.
Đường thẳng này tiếp xúc với ellipse khi
2 2 2
9 4
A B C
 
. Theo yêu cầu bài toán
 
 
2 2
3
0
1
os , os60 3 0
2
3
2
A B
A
c d l c A A B
A B

A B



      






Xét hai trường hợp
1
2
3
4
2 : 2
2
* 0 ; 1
2 2 : 2
: 3 31 0
31
* 3 ; 1
31
: 3 31 0
C d y
C B
A B
C B C d y
d x y

C B
A B B
C B d x y
   



   


     




  

   


 
  





Có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán.

5


Câu 9.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm






1;3;1 , 0;1; 1 , 1; 1;1
A B C 
. Xác định tọa độ
điểm
M
trên mặt phẳng
:2 2 0
P x y z
   
sao cho biểu thức
2 3 4
F MA MB MC
  
  
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Gọi

E
là điểm thỏa mãn


2 3 4 0 2;13; 5
EA MB MC E
     
   
. Với mọi điểm M ta có :


2 3 4 2 3 4
MA MB MC ME EA EB EC ME
      
       
. Suy ra
2 3 4
F MA MB MC
  
  
nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất, khi và
chỉ khi M là hình chiếu của E trên mặt phẳng
:2 2 0
P x y z
   
. Tọa độ của M thỏa mãn hệ:
 
6
2 2 0
11 6;11; 3

2 13 5
3
2 1 1
x
x y z
y M
x y z
z
 

   

 
    
   
 
 
 
 

.


HẾT