Tài liệu TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN KHỐI D - MÃ SỐ D3 pdf

1



TRUONGHOCSO.COM
MÃ SỐ D3
Hướng dẫn giải gồm 05 trang

TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
3
y x x m
  
, m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
0
m

.
2. Tìm m để tiếp tuyến tại tại điểm có hoành độ bằng 1 của đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục tọa độ một tam giác OAB có
diện tích bằng
3
2

(O là gốc tọa độ).
Hướng dẫn:
1. Bài toán cơ bản, học sinh tự giải.
2. Tọa độ điểm M có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị hàm số


1; 2
M m

. Đạo hàm
2
3 6
y x x

 
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm


1; 2
M m

là




1 . 1 2 : 3 2
y y x m d y x m


        
.
Giao điểm của d với trục hoành :
2
;0
3
m
A

 
 
 
và với trục tung


0; 2
B m

.
Tam giác OAB vuông tại O nên
 
2
1 1 2 1
2 2
2 2 3 6
OAB
m
S OA OB m m

     .

 
2
1
3
2 9 2 3
5
2
OAB
m
S m m
m



       

 



Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình




 
4 2 2 2
1 1 1
;

2 9 2 5 0
x x y
x y
x x y y x
    



   



.
Hướng dẫn:
Hệ phương trình đã cho tương đương với


 
 
2
2
2 2
2 0
2 5 2 0
x y x y
x y x y

   



   



Đặt
2
; 2
x y a y b
   
thu được
 
2
2 2 2 2 2
0
2 5 0
2 5 0 2 5 0
xb a
a xb xb a
x b b
a x b x b x b
 
   

 

 
  
 
   


 


Xét các trường hợp
 
   
 
2
0 0
0 0 ; 2;2 , 2;2
2 0
5 9 5 97 9 5 97 9
; ; , ;
2 2 4 2 4 2
x y
x y
b a x y
y
b y x y
   


       

 

   
 
      
   

   
   

Hệ đã cho có 5 nghiệm.










2

Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình


2 2
sin tan os os2 2 tan
x x c x c x x
  
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
cos 0
x

.

Phương trình đã cho tương đương với
 
 
    
   
2 2 3 3 2 2
sin sin
sin os os2 2 sin os os sin 2cos sin
cos cos
cos sin 1 sin cos cos sin 2cos sin 0
cos sin cos 2sin cos 0
tan 1
4
1
tan tan
2
x x
x c x c x x c x c x x x x
x x
x x x x x x x x
x x x x x
x
x k
x
x k
 
       
 
 
       

 
   
 
 
  
 
 
 
  
   
 


Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
 
2
1
2 1
0
2 1
x x
I x x e dx
 
  

.
Hướng dẫn:
   
 
 

2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 1 2 1 1
0 0 0
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1 3
0 0
0 0
2 1 2
2 1 ;
2 1
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
I x x e dx x x e dx e dx
e u du x e dx dx dv v x
e dx xe x x e dx I xe e
     
   
       
     
      
      
  
 

Câu 5 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
2 2 ; ' 2 5; 120
AC AB a A A a BAC    

. Gọi M là trung điểm của
cạnh CC’, chứng minh MB vuông góc với MA’ và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng A’BM.
Hướng dẫn:
Áp dụng định lý cosin ta có
2 2 2 2
2 3 ; ' 3 ; ' ' 21 '
MB a MA a MB MA BA a MA MB
      
.
Lại có
 
 
 
 
 
 
' ' '
1 1
, ' . . ; , ' , ' 3
3 3
ABA M ABA MBA
V d M ABA S d S d M ABA d C ABA a
 
    .
2 2

' ' 1
1 1 5
. ' 5; . 3 3
2 2 3
ABA MBA
a
S AB A A a S MB MA a d

      .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực
,
x y
thỏa mãn đồng thời
2 2
2 ; 2 3
y x y x x
   
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
6 6 7
N x y
  
.
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có
0
y

, suy ra



2
2 2 4 3 2
2 3 4 12 9
y x x x x x
     
. Hơn nữa
2
2 2
6
2 3 5 6 0 0
2 5
x
x x x x x
        

Do đó


2 2 2 4 3 2 4 3 2
6 6 7 6 6 4 12 9 7 24 72 60 7
N x y x x x x x x x
           
.
Xét hàm số
 
4 3 2
6
24 72 60 7 ; 0;

5
f x x x x x
 
    
 
 
.








     
6
0;
5
24 1 5 ; 0 0; 1; 5
6 11719 1
0 7; 1 19; 19 19 1;
5 625 2
x
f x x x x f x x x x
f f f Max f x MaxN x y
 

 
 

 
       
 
         
 
 






3

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình đường thẳng

đi qua điểm


8;0; 23
A 
,
nằm trong mặt phẳng


:2 2 7 0

P x y z
   
và tiếp xúc với mặt cầu
       
2 2 2
: 1 2 3 17
S x y z
     
.
Hướng dẫn:
Mặt cầu đã cho có tâm


1; 2; 3
I
  
, bán kính
17
R 
.
Gọi




2 2 2
; ; 0
u a b c a b c
   


là vector chỉ phương của đường thẳng

cần tìm.
Đường thẳng cần tìm nằm trong mặt phẳng (P) nên
. 0 2 2 0 2 2
d P
u n a b c c a b
        
 
.
Ta có


9;2;20
AI  

,
 
, 2 20 ;20 9 ; 9 2
d
AI u c b a c b a
 
    
 
 
.
Đường thẳng cần tìm tiếp xúc với mặt cầu (S) khi
       
 
 

2 2 2
2 2 2
2 2 2
,
, 2 20 20 9 9 2 17.
896 61 20 0 61 20 896 0
224 326 8 23
; 1;
224 326
61 61
61 61
0 0; 0
8 23
4; 1; 10
4 10
d
d
AI u
d I R R c b c c b a a b c
u
b a ab b a a
x z
a b c y
b a c L
x z
a b c y
 
 
            
        

 

      





    

 

      




 



Câu 8.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho ba điểm







1; 1 , 0;2 , 0;1
A B C  . Lập phương trình đường
thẳng d đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn:
Đường thẳng d đi qua


1; 1
A
 
và có vector pháp tuyến là




2 2
; 0
d
n a b a b
  

.
Phương trình d có dạng:




1 1 0
a x b y
   

.
Khoảng cách từ B và C đến đường thẳng d lần lượt là
   
2 2 2 2
3 2
, ; ,
a b a b
d B d d C d
a b a b
 
 
 
.
Tổng khoảng cách
   
 
2 2 2 2 2 2
3 2
1
, , 3 2
a b a b
d d B d d C d a b a b
a b a b a b
 
       
  
.
Sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
x y x y
  

, đẳng thức xảy ra khi
0
xy

, ta có




2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 5
3 2 2 5
29
a b
a b a b a b
d
a b a b a b
 
   
   
  
.
Đẳng thức xảy ra khi
0
2; 5 : 2 5 7 0
2
5
ab
a a b d x y

b



      




.






4

Câu 9.a (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
 
2 2 2 2
2
2 2 3 1 0
;
4 2 2
x y x y
x xy x y
x y
 


    



 



.
Hướng dẫn:
Hệ phương trình đã cho tương đương với










  
     
2 2 2 2
2 2
2 1 1 2 1 0
2 1 1 0
1 3 1 3
; ; , ; , 0;1 , 1;0
2 2 2 2

2 1 2 2 0
1
x y x y
x x y x
x x y
x y
x y
 
    
    
   
 
   
   
 
   
  
 

   



.
Hệ đã cho có 4 nghiệm.

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm





3;5;4 , 3;1;4
A B
, tìm tọa độ điểm C nằm trong
mặt phẳng


: 1 0
P x y z
   
sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng
2 17
.
Hướng dẫn:
Tọa độ điểm C :


; ; 1
C a b a b
 
.
Tam giác ABC cân tại C khi
           
2 2 2 2 2 2
2 2
3 5 5 3 1 5 3
AC BC a b a b a b a b b

                
.
Hơn nữa


4, 3;3;4
AB I
(I là trung điểm của AB).
   
2 2
4
1
2 17 . 2 17 17 3 8 17
7
2
ABC
a
S CI AB CI a a
a



          




Suy ra có hai điểm C thỏa mãn bài toán :





4;3;0 7;3;3
C C
.

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho ellipse
 
2 2
: 1
10 5
x y
E
 
. Lập phương trình đường thẳng
vuông góc với đường thẳng
: 2013 0
d x y
  
và cắt ellipse đã cho tại hai điểm M, N sao cho
4 6
3
MN  .
Hướng dẫn:
Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng
y x b
 
.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng trên và ellipse là nghiệm của hệ
 
2 2
2 2
3 4 2 10 0
1
10 5
y x b
y x b
x y
x bx b
 

 

 

 
    
 





Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M,N thỏa mãn bài toán khi (*) có 2 nghiệm phân biệt
2 2
120 20 0 6
b b
      

.
Tọa độ hai điểm M, N là




1 1 2 2
; , ;
M x x b N x x b
 
, với
1 2
,
x x
là hai nghiệm phân biệt của (*).
Áp dụng định lý Viete ta có
1 2
2
1 2
4
3
2 10
3
b
x x
b
x x

  










   


2
2
2 2
2
1 2 1 2 1 2
4 2 10
4 6 32 16 16 16
2 4 9 3
3 3 3 9 3 3
b
b
MN x x x x x x b b

               
.
Có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán :
3; 3
y x y x
   

.









5

Câu 9.b (1,0 điểm). Một hộp đựng 40 viên bi, trong đó có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng và 4 viên bi trắng.
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi, tính xác suất để hai viên bi lấy ra có cùng màu.
Hướng dẫn:
Lấy 2 viên bi bất kỳ có
2
40
C
cách.
Xét các trường hợp sau;
Hai viên bi lấy ra có cùng màu đỏ :
2
20
C
cách
Hai viên bi lấy ra có cùng màu xanh :
2
10
C

cách
Hai viên bi lấy ra có cùng màu vàng :
2
6
C
cách
Hai viên bi lấy ra có cùng màu trắng :
2
4
C
cách.
Như vậy, tổng số cách lấy ra hai viên bi cùng màu là
2 2 2 2
20 10 6 4
256
C C C C   
, xác suất cần tính là
2
40
256 64
195
P
C
 
.