Chuyên đề 1 - LTĐH Toán Phần khảo sát hàm số - biên soạn theo chương trình chuẩn

CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~1~
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ
Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau:
1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x  0, với x < 0 hàm số có tính đối xứng.
Nếu hàm tuần hoàn thì chỉ cần xét trên một chu kì.
2) Tính y’, y”
Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu.
Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn.
3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn
Tìm các đường tiệm cận.
Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục.
4) Lập bảng biến thiên.
5) Vẽ đồ thị.
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu, điểm uốn, các giao điểm
của đồ thị với các trục tọa độ).
Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn nếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ
thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
a) Hàm bậc hai : y = ax
2
+ bx + c (a  0)
Ta có
2
2
b 4ac b
y a x
2a 4a


 
  
 
 
Đồ thị đường parabol được suy từ đồ thị hàm y = ax
2
bằng phép tịnh tiến song song theo véctơ
2
b 4ac b
r ,
2a 4a
 

 
 
 
 

.
Với a > 0, min
2
4ac b
y
4a


đạt được tại
b
x
2a

 
. Hàm tăng trên
b
,
2a
 
 
 
 
, giảm trên
b
,
2a
 
 
 
 
.
Với a < 0, max
2
4ac b
y
4a


, đạt được tại
b
x
2a
 

. Hàm tăng trên
 
, b / 2a 
, giảm trên
 
b / 2a, 
.
b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a  0)
 Tập xác định ( , + ), - D = R
 Ta có : y’ = 3 ax
2
+ 2bx + c, ’y’ = b
2
 3ac
y” = 6ax + 2b
Nếu a > 0 thì
+ Với b
2
 3ac < 0, y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn đồng biến.
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~2~
+ Với b
2
 3ac > 0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1

< x
2
và y’ > 0  x  [x
1
, x
2
].
Hàm số tăng (giảm) trên (, x
1
) và (x
2
, + ) (tương ứng, trên (x
1
, x
2
)). Điểm cực đại (cực tiểu) là
(x
1
, y(x
1
)) (tương ứng (x
2
, f(x
2
)).
Nếu a < 0 thì
+ Với b
2
 3ac < 0, y’ < 0 với x, hàm y luôn nghịch biến.
+ Với b

2
 3ac > 0, tương tự ta cũng có
Hàm y luôn nghịch biến trên (, x
1
) và (x
2
, + ) y đồng biến trên (x
1
, x
2
). Điểm cực tiểu (cực đại)
(x
1
, f(x
1
)) (tương ứng (x
2
, f(x
2
)).
 Điểm uốn: y” = 0  x =  b/3a, điểm uốn là (b/3a, f(b/3a)).
 Tâm đối xứng (b/3a, f(b/3a)) cũng là điểm uốn.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx
3
+ 3mx
2
 (m  1)x  1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
Giải. Với m = 1, y = x
3
+ 3x

2
 1
Tập xác định R.
y’ = 3x
2
+ 6x, y’ = 0  x = 0 và x =  2
y’ = 3(x + 2) x > 0  x <  2 hoặc x > 0
y’ < 0   2 < x < 0. Vậy
y tăng (giảm) thực sự trên ( ,  2) và (0, +) (tương ứng (2, 0)). Hàm có điểm cực đại ( 2, 3) và
cực tiểu (0,  1).
y” = 6x + 6, y” = 0  x =  1, y” đổi dấu qua x =  1 vậy y = f(x) có điểm uốn (1, 1).
Ta có bảng biến thiên
X
- 2
0
y’
+
0 -
-
0
+
Y
3
- 1
Đồ thị y
3
x
-2 0
-1
c) Hàm phân thức:

ax b
y
cx d



, (c  0)
Ta có:
2
a bc ad 1
y
c d
c
x
c

 

 Nếu bc  ad = 0 thì
a
y
c

, x   d/c.
 Nếu bc  ad  0 thì đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~3~
k
y

x

với
2
bc ad
k
c


bằng phép tịnh tiến theo véctơ
r =

(d/c, a/c).
Đồ thị có hai tiệm cận x =  d/c và y = a/c.
d) Hàm phân thức:
 
2
ax bx c
y f x
x d
 
 

, (a  0)
Ta có:
 
2
ad bd c
f(x) ax b ad
x d

 
   

Tập xác định R\
 
d
 
 
2
2
a x d m
y '
x d
 


, m = ad
2
 bd + c
 Nếu m = 0 thì y = ax + (b  ad), x   d
 Nếu am < 0 thì
+ Với a > 0, y’ > 0 ( x  d), hàm đồng biến trên (, d), (d, +).
+ Với a < 0, y’ < 0 (x  d), hàm nghịch biến trên ( , d), (d, +).
 Nếu am > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
1,2
m
x d
a
  
+ Nếu a > 0 thì hàm tăng trên (, x

1
), (x
2
, +) giảm trên (x
1
,  d), (d, x
2
) các điểm cực đại (cực
tiểu) là (x
1
, 2ax
1
+ b), (tương ứng, (x
2
, 2ax
2
+ b)
+ Nếu a < 0 thì hàm tăng trên (x
1
,  d
1
), (d
1
, x
2
) và giảm trên (, x
1
), (x
2
, +).

Điểm cực tiểu là (x
1
, 2ax
1
+ b)
Điểm cực đại: (x
2
, 2ax
2
+ b).
Ví dụ 2. Cho hàm số
 
2
x 3x 6
y
2 x 1
 


. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Giải. Ta có
1 4
y x 2
2 x 1
 
  
 

 
. Tập xác định R\

 
1
.
 
2
1 4
y ' 1
2
x 1
 
 
 
 

 
, y’ = 0  x = 1 và x = 3.
y’(x) < 0 với  1 < x < 1 hoặc 1 < x < 3/2 điểm cực đại
5
1,
2
 
 
 
 
y’(x) > 0 với x <  1 hoặc x > 3/2 điểm cực tiểu
3
3,
2
 
 

 
X
-1
1
3
y’
+
0
-
||

0
+
Y
5
2

3
2
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~4~
y
3/2
-1 0 1 3 x
-5/2
-3
Tiệm cận xiên :
 
1

y x 2
2
 
~ x  2y  2 = 0
Tiệm cận đứng: x = 1
x = 0, y = 3
e, Hàm trùng phương : y = f(x) = ax
4
+ bx
2
+ c (a  0)
- Là hàm số chẳn nên nhận trục tung làm trục đối xứng.
- TXĐ: D = R
- Một số tính chất khác tt hàm bậc 3.
Ví dụ 3. Cho hàm số
y = f(x) = x
4
 mx
3
 (2m + 1)x
2
+ mx + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 0.
Giải. Với m = 0, hàm số có dạng
y = x
4
 x
2
+ 1
T.X.Đ. R
y’ = 2x(2x

2
 1), y’ = 0  x = 0 và x =
2 /2
y” = 2(6x
2
 1), y” = 0  x = 
6 /6
y” đổi dấu qua x = 
6 /6
nên hàm số có hai điểm uốn
   
6 /6,31/36 , 6 /6,31/36
.
Bảng biến thiên
X
2 /2
0
2 /2
Y’
-
0
+
0
+
0

Y
3
4
1

3
4
y
1
3/4
-
2
/2 0
2
/2 x
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~5~
CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số
 
xfy 
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
 
 
0 0
;M x y C
.
 Tính đạo hàm và giá trị
 
0
'f x

.
 Phương trình tiếp tuyến có dạng:
   
0 0 0
'y f x x x y  
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
 
 
0 0
;M x y C
có hệ số góc
 
0
'k f x
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
k
.
 Giải phương trình:
 
'f x k
, tìm nghiệm
0 0
x y
.
 Phương trình tiếp tuyến dạng:
 
0 0
y k x x y  
.

Chú ý: Cho đường thẳng
: 0Ax By C   
, khi đó:
 Nếu
 
// :d d y ax b   
 hệ số góc k = a.
 Nếu
 
:d d y ax b    
 hệ số góc
1
k
a
 
.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
   
;
A A
A x y C
.
 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
   
:
A A
d y k x x y  
 Điều kiện tiếp xúc của
   
àd v C

là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
   
 
'
A A
f x k x x y
f x k

  





Tổng quát: Cho hai đường cong
   
:C y f x
và
   
' :C y g x
. Điều kiện để hai đường cong tiếp
xúc với nhau là hệ sau có nghiệm.
   
   
' '
f x g x
f x g x








.
1. Cho hàm số
4 2
2y x x 
a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):
i. Tại điểm có hoành độ
2x 
.
ii. Tại điểm có tung độ y = 3.
iii.Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
1
: 24 2009d x y 
.
iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
2
: 24 2009d x y 
.
2. Cho hàm số
2
3
1
x x
y
x
  



có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~6~
i. Tại giao điểm của (C) với trục tung.
ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1).
iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 13.
3. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
 


có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
4. Cho hàm số y = x
3
+ mx

2
+ 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt
A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
) là: x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1

x(x
2
+ mx + 1) = 0
(*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt

g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
khác 0.

 
2
4 0
2
2
0 1 0
g m
m
m
g

   



 


 
 



.
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0
1

B C
B C
S x x m
P x x
   



 

.
Tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có:
 
 
1
C B
f x f x
 
 
 
 
3 2 3 2 1
B C B C
x x x m x m    
 
2
9 6 4 1
B C B C B C

x x x x m x x m
 
     
 
 
2
1 9 6 4 1m m m
 
     
 
2
2 10m 
5m  
(nhận so với điều kiện)
5. Cho hàm số
2
1x
y
x


. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai
tiếp tuyến vuông góc.
Lời giải:
Gọi M(x
0
;y
0
). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x
0

) + y
0
.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
 
 
2
0 0
1
, 0
x
k x x y kx
x

   
 
 
 
2
0 0
1 1 0 *k x y kx x     
d tiếp xúc với (C):
 
 
2
0 0
1
4 1 0
k
y kx k






     


 
 
2 2 2
0 0 0 0
0 0
1
2 2 4 0 I
k
x k x y k y
y kx



     




CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~7~
Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

1 2
1 2
, 1
1
k k
k k



 

 
0
2
0
2
0
2
0 0
0
4
1
0
x
y
x
y x







  



 


0
2 2
0 0
0 0
0
4
x
x y
y x



  




.
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn:
2 2

4x y 
loại bỏ bốn giao
điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.
6. Cho hàm số
2
1
x
y
x


. (ĐH KhốiD 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam
giác OAB bằng
1
4
ĐS:
1
; 2
2
M
 
 
 
 
và
 
1;1M
.

7. Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
 


. (ĐH KhốiB 2006)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.
ĐS: b.
2 5 5y x   
.
8. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x  
(*) (m là tham số). (ĐH KhốiD 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
b. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m

) tại M song
song với đường thẳng
5 0x y 
ĐS: m=4.
9. Cho hàm số
 
3 2
3 3
m
y x mx x m C   
. Định m để
 
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
10. Cho hàm số
 
 
4 3 2
1
m
y x x m x x m C     
. Định m để
 
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
11. Cho đồ thị hàm số
 
2

4
:
1
x
C y
x



. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được
một tiếp tuyến đến (C).
12. Cho đồ thị hàm số
 
3 2
: 3 4C y x x  
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể
kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
13. Cho đồ thị hàm số
 
4 2
: 2 1C y x x  
. Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp
tuyến đến (C).
14. Cho đồ thị hàm số
 
3
: 3 2C y x x  
. Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể
kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
15. Cho hàm số y = 4x

3
– 6x
2
+ 1 (1) (ĐH KhốiB 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
a. D=R, y’ = 12x
2
– 12x; y’ = 0  x = 0 hay x = 1.
BBT
:
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~8~
b. Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x
3
– 6x
2
+ 1 = (12x
2
– 12x)(x + 1) – 9.
 4x
3
– 6x
2
+ 10 = (12x
2

– 12x)(x + 1)  2x
3
– 3x
2
+ 5 = 6(x
2
– x)(x + 1).
 x = –1 hay 2x
2
– 5x + 5 = 6x
2
– 6x  x = –1 hay 4x
2
– x – 5 = 0.
 x = –1 hay x =
5
4
; y’(1) = 24;
5 15
'
4 4
y
 

 
 
.
Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
15
4

x
21
4

.
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô
 
xfy 
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
 Nghiệm của phương trình
 
' 0f x 
là hoành độ của điểm cực trị.
 Nếu
 
 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x








thì hàm số đạt cực đại tại
0
x x
.
 Nếu
 
 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x







thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x
.
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
 Để hàm số
 
y f x
có 2 cực trị
'

0
0
y
a 




 


.
 Để hàm số
 
y f x
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
C
Đ CT
y y 
.
 Để hàm số
 
y f x
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
C
Đ CT
x x 
.

 Để hàm số
 
y f x
có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
0
. 0
C
Đ CT
C
Đ CT
y y
y y
 





.
 Để hàm số
 
y f x
có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
0
. 0
C
Đ CT
C
Đ CT
y y

y y
 





.
 Để hàm số
 
y f x
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
C
Đ CT
y y 
.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d   
x
 0 1 +
y'
+ 0  0 +
y
1 -1 +

CĐ
CT

f(x )=4x ^3 -6 x^2 +1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-6
-4
-2
2
x
y
3 2
4 6 1
y x x
  
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~9~
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực
trị.
Dạng 2: Hàm số
2
ax bx c
y
dx e
 


Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng
 
 
2
'

2
'
ax bx c
a b
y x
dx e d d
 
  

1. Chứng minh rằng hàm số y =
 
2 2 4
1 1x m m x m
x m
   

luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho
hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
2. Cho hàm số
 
3 2
1
2 1
3
y x mx m x    
. Định m để:
a.Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng
 
0;

.
c.Có hai cực trị trong khoảng
 
0;
.
3. Định m để hàm số
 
3 2 2 2
3 1 2 4y x mx m x b ac     
đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+3mx+3m+4.
a.Khảo sát hàm số khi m = 0.
b. Định m để hàm số không có cực trị.
c.Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
5. Cho hàm số
3 2
3 9 3 5y x mx x m    
. Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
6. Cho hàm số
 
2
1 1x m x m
y
x m
   



. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với
mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số
   
3 2
1 2 2 2y x m x m x m      
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
8. Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
  


. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với
trục tung.
9. Cho hàm số
 
 
3 2
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C     
. Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng

dương.
10. Cho hàm số
 
2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x
   


(1). (ĐH KhốiA năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với
gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6m   
.
11. Cho hàm số
 
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m      
(1), m là tham số. (ĐH KhốiB năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều
gốc tọa độ.
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~10~

ĐS : b
1
2
m  
.
12. Cho hàm số
 
4 2 2
9 10y mx m x   
(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐH KhốiB năm 2002)
a.
f(x)=x^4-8x^2+10
-30 -25 -20 -15 -10 -5 5
-20
-15
-10
-5
5
10
x
y
b. ĐS :
3
0 3
m
m
 



 

13. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
 
2
1 1
1
x m x m
y
x
   


(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng
cách giữa hai điểm đó bằng
20
.
a.
f(x)=x+1+1/(x+1)
f(x)=x+1
x(t)=-1 , y(t)=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10

-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
b. CĐ(2;m3), CT(0;m+1)
20MN  
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô
 
xfy 
có tập xác định là miền D.
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~11~
 f(x) đồng biến trên D
 
Dxxf  ,0'
.
 f(x) nghịch biến trên D
 
Dxxf  ,0'
.
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:
 
2

f x ax bx c  
.
1. Nếu
0 
thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2. Nếu
0 
thì f(x) có nghiệm
2
b
x
a
 
và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2
b
x
a
 
.
3. Nếu
0 
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm
f(x) cùng dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
*
1 2
0
0 0
0

x x P
S
 


   




*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
 


   




*
1 2
0 0x x P   
1. Cho hàm số
   

3 2
3 1 3 1 1y x m x m x     
. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng
 
2;
.
2. Xác định m để hàm số
3 2
2 1
3 2
x mx
y x   
.
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên
 
1;
.
3. Cho hàm số
   
3 2
3 2 1 12 5 2y x m x m x     
.
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng
 
2;
.
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng

 
; 1 
.
4. Cho hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
 


. Định m để hàm số nghịch biến trên


;1
.
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C
1
) và y=g(x) có đồ thị (C
2
). Khảo sát sự tương giao giữa hai
đồ thị (C
1
) và (C
2
) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm

của (C
1
) và (C
2
) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm  (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung.
(1) có n nghiệm  (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x
1
 (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại N(x
1
;y
1
).
(1) có nghiệm kép x
0
 (C
1

) tiếp xúc (C
2
) tại M(x
0
;y
0
).
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~12~
1. Cho hàm số
 
2
1
1
x
y
x



có đồ thị là (C).
a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
 
2
2 1 0x m x m    
.
2. Cho hàm số
   

2 2
1 1y x x  
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
 
2
2
1 2 1 0x m   
.
3. Cho hàm số
3 2
4y x kx  
.
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình
3 2
4 0x kx  
có nghiệm duy nhất.
4. Cho hàm số
3
3 2y x x  
. (ĐH KhốiD 2006)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại
ba điểm phân biệt. ĐS: b.
15
, 24
4
m m 

.
5. Cho hàm số
 
2
3 3
2 1
x x
y
x
  


(1) (ĐH KhốiA 2004)
a. Khảo sát hàm số (1).
b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1. ĐS: b.
1 5
2
m


.
6. Cho hàm số
2
1
mx x m
y
x
 



(*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2003)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.
ĐS: b.
1
0
2
m  
.
7. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
2 4
2
x x
y
x
 


(1). (ĐH KhốiD 2003)
b. Tìm m để đường thẳng
: 2 2
m
d y mx m  
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
ĐS: m>1.
8. Cho hàm số y =  x
3
+ 3mx
2

+ 3(1  m
2
)x + m
3
 m
2
(1) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2002)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để phương trình  x
3
+ 3x
2
+ k
3
 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS: b.
1 3
0 2
k
k k
  


  

, c.
2

2y x m m  
.
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~13~
Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
   
2 2
B A B A
AB x x y y   
.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
: 0Ax By C   
và điểm
M(x
0
;y
0
) khi đó
 
0 0
2 2
,.
Ax By C
d M
A B
 
 


.
1. Cho hàm số
 
3 2
3 3 3 2
m
y x mx x m C    
. Định m để
 
m
C
có cực đại cực tiểu đồng thời
khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
2. Cho hàm số
 
2 2
:
1
x
C y
x



. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai
tiệm cận là nhỏ nhất.
3. Cho hàm số
 
2

1
:
1
x x
C y
x
 


. Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là
nhỏ nhất.
4. Cho hàm số
 
2 2
:
1
x
C y
x



. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn
MN nhỏ nhất.
5. Cho hàm số
 
2
1
:
1

x x
C y
x
 


. Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn
MN nhỏ nhất.
6. Cho hàm số
 
2
2 1
:
1
x x
C y
x
 


.
a.Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
b, Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
7. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
1
y mx
x
 

(*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =
1
4
.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận
xiên bằng
1
2
. ĐS: m=1.
Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp:
Từ hàm số
 
,y f x m
ta đưa về dạng
   
, ,F x y mG x y
. Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có
là nghiệm của hệ phương trình
 
 
, 0
, 0
F x y
G x y








.
1. Cho hàm số
 
 
3 2
3 1 3 2
m
y x m x mx C    
. Chứng minh rằng
 
m
C
luôn đi qua hai điểm cố
định khi m thay đổi.
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~14~
2. Cho hàm số
 
 
2
2 6 4
:
2
m

x m x
C y
mx
  


. Chứng minh rằng đồ thị
 
m
C
luôn đi qua một điểm cố
định khi m thay đổi.
3. Cho hàm số
 
   
4 2
: 1 2 3 1
m
C y m x mx m    
. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
     
 
3 2
3 3 3 6 1 1
m
y m x m x m x m C       
luôn đi qua
ba điểm cố định.
Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f(x) có đồ thị (C)
 
y f x
có đồ thị (C’)
 
y f x
có đồ thị (C “)
 
0,y f x x D   
. Do đó ta phải
giữ nguyên phần phía trên trục Ox và
lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox
lên trên.
 
y f x
có
   
f x f x 
,
x D 
nên đây là hàm số chẵn
do đó có đồ thị đối xứng qua
trục tung Oy.
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C)
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x

y
(C')
f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C'')
Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ
1. Cho hàm số
 
2
:
2 2
x x
C y
x



.
a, Khảo sát hàm số.
b, Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.
2
2 2
x x
k
x




.
f(x )=(x ^2 +x )/(2 x-2 )
x (t ) =1 , y (t )=t
f(x )=x /2 +1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
2
2 2
x x
y
x



f(x)=(x^2+x )/(2x-2)
x(t )=1 , y(t )=t
f(x)=x /2+1
f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2)
f(x)=-x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-8
-6

-4
-2
2
4
x
y
2
2 2
x x
y
x



CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~15~
2. Cho hàm số
 
2
3 3
:
1
x x
C y
x
 


.

a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
3 3
1
x x
m
x
 


.
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2
3 3
1
x x
y

x
 


f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1)
f(x)=-x-2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2
3 3
1
x x
y
x
 


3. Cho hàm số
 

2
4
:
1
x x
C y
x



.
a.Khảo sát hàm số.
b. Định m để phương trình
 
2
4 0x m x m   
có bốn nghiệm phân biệt.
c.
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x

y
2
4
1
x x
y
x



f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1)
f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2
4
1
x x
y
x




4. Cho hàm số
 
2
1
:
2
x x
C y
x
 


.
1. Khảo sát hàm số.
2. Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
 
2
1 2 1 0x m x m    
.
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x   
.
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m  

. (ĐH Khối A2006)
ĐS: b. 4<m<5.
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~16~
Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
Điểm
 
0 0
;I x y
là tâm đối xứng của đồ thị
   
:C y f x

Tồn tại hai điểm M(x;y) và
M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:
   
0
0
' 2
' 2
x x x
f x f x y
 



 



 
 
0
0 0
' 2
2 2
x x x
f x f x x y
 




  


Vậy
 
0 0
;I x y
là tâm đối xứng của (C)

 
 
0 0
2 2f x y f x x  
.
1. Cho hàm số
2
2 2 2

2 3
x x m
y
x
  


có đồ thị
 
m
C
.
Tìm giá trị của m để
 
m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
2. Cho hàm số
 
2 2 2
2
:
1
m
x m x m
C y
x
 



.
Định m để
 
m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
3. Cho hàm số
 
3 2
3 1y x x m  
(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B2003)
ĐS: a.
   
0 0 0
, 0f x f x x    
 … m>0.
4. Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x    
có đồ thị
 
C
. Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua

trục tung.
5. Cho hàm số
 
3 2
1y x ax bx c   
. Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1)
và đi qua điểm M(1;1).
6. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4 (1) (ĐH Khối D2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị
của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải: a. D = R.
y' = 3x
2
 6x = 3x(x  2), y' = 0  x = 0, x = 2.
y" = 6x  6, y" = 0  x = 1.
x   0 1 2 +
y' + 0  |  0 +
y"   0 + +
y 4 + 
CĐ 2 CT
  U 0
2. d : y  2 = k(x  1)  y = kx  k + 2.
Phương trình hoành độ giao điểm: x
3
 3x

2
+ 4 = kx  k + 2  x
3
 3x
2
 kx + k + 2 = 0.
 (x  1)(x
2
 2x  k  2) = 0  x = 1  g(x) = x
2
 2x  k  2 = 0.
Vì ' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k >  3) và x
1
+ x
2
= 2x
I
nên có đpcm!.
Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN
1. Định nghĩa:
f(x)=x^3-3x^2+4
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x

y
O
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~17~
(d) là tiệm cận của (C)
  
0lim 


CM
M
MH
2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng:
   
0
:lim
0
xxdxf
xx


.
b. Tiệm cận ngang:
   
00
:lim yydyxf
x



.
c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=

x+

trong đó:
 
 
 
xxf
x
xf
xx



lim;lim
.
Các trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
nmx
bax
y



+TXĐ: D= R\








m
n
+TCĐ:
 
m
n
xdy
m
n
x


:lim
+TCN:
 
m
a
yd
m
a
y
x


:lim

f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t)=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
m
a
y 
m
n
x 
I
* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)
 

nmx
A
x
nmx
cbxax
y






2
+TXĐ: D= R\







m
n
+TCĐ:
 
m
n
xdy
m
n

x


:lim
+TCX:
0lim 


nmx
A
x
 TCX: y=

x+

f(x)=x^2/(2(x-1))
f(x)=x/2+1/2
x(t)=1 , y(t)=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2

-1
1
2
3
x
y

 xy
m
n
x 
I
1. Cho hàm số
 
 
2 2
3 2 2
1
3
mx m x
y
x m
  


, với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45
0
.

(ĐH Khối A2008)
Lời giải:
a. Khi m =1:
2
2 4
2
3 3
x x
y x
x x
 
   
 
.
TXĐ:
D R
 
3
 
2
2
6 5
3
x x
y
x
 




.
0y


 
 
1 1 1
5 5 9
x y
x y

     


     


6
4
2
-2
-4
-6
-1 0 -5 5
y
x
( d)
( C)
h y
 

= 0
g x
 
= 0
f x
 
= 1.7
x
H
M
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~18~
Tiệm cận:
3
lim
x
y

  
tiệm cận đứng: x = 3.
4
lim 0
3
x
x

 

tiệm cận xiên: y = x – 2.

lim , lim
x x
y y
 
   
,
3 3
lim , lim
x x
y y
 
 
   
.
Bảng biến thiên Đồ thị:
x -5 -1
y ' 0 0
y -9 CT
CĐ -1
-3
 



 
 
b.
 
2 2
3 2 2

6 2
2
3 3
mx m x
m
y mx
x m x m
  

   
 
Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số. (C
m
) có tiệm cận đứng
1
: 3 0d x m 
và tiệm cận xiên
2
:d
2 0mx y  
1
0
3
m m
 
  
 
 

.
Theo giả thuyết ta có:
0
2
cos 45
1
m
m


2
2
2
1
m
m
 

2
1m 
1m  
(nhận).
2. Cho hàm số
 
 
2 2
1 1mx m x m
y f x
x
   

 
. Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên
đi qua gốc tọa độ.
3. Cho hàm số
 
2
(2 1). 3
1, 0
2
ax a x a
y a a
x
   
   

có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của
hàm số này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định.
4. Cho hàm số
2
2 3 2
( )
1
x x
y f x
x
 
 

có đồ thị (C).
a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận

là một số không đổi.
b. Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất.
5. Cho hàm số
2
2 2
( )
1
x mx
y f x
x
 
 

có đồ thị (C
m
). Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
Dạng 10: DIỆN TÍCHTHỂ TÍCH
Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghệp)
a. Diện tích
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C
1
), (C
2
). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
1
), (C
2
) và
hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:

f(x)=(x^2+x-2)/(x+3)
f(x)=x-2
x(t)=-3 , y(t)=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
x
y
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~19~
   
b
a
S f x g x dx 

Chú ý:
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
b. Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
được tính bởi công thức:
 
 



b
a
dxxfV
2

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy
được tính bởi công thức:
 
 


d
c
dyyV
2

Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox
(f(x)g(x), x[a;b]) được tính bởi công thức:
 
 
 
 
 


b
a

dxxgxfV
22

.
1. Cho hàm số
 
2
2 1
1
m x m
y
x
 


(1) (m là tham số). (ĐH KhốiD 2002)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=1.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
c. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x.
ĐS: b.
4
1 4ln
3
S   
, c
1m 
.
DẠNG 11. BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
y = f(x) và y = g(x)
PHƯƠNG PHÁP:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
Số giao điểm của 2 đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình (*)
BÀI 1. Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số sau.
1.
2
2
2



x
xx
y
và
12
2
 xxy
ĐS: A(0; 1) và B(1; 2)
2.
222
23
 xxxy
và
xy  1
BÀI 2. Tìm m để đồ thị hàm số
13
23
 mxxxy
cắt đường thẳng y = 1 – 2x
tại ba điểm phân biệt.

ĐS:
}0{\
2
3
;
2
3






m
BÀI 3*. Cho hàm số
323
43 aaxxy 
(C
a
) với a là tham số
1.
Tìm a để các điểm CĐ, CT của đồ thị (C
a
) đối xứng nhau
qua đường thẳng y = x
ĐS: a =
2
2

x

y
O
f(x)
g(x)
b
a
x
y
O
f(x)
(x)
b
a
y
x
c
d
O
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~20~
2.
Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị (C
a
) tại ba
điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
ĐS: a= 0; a =
2
2


BÀI 4. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số
2
36
2



x
mxx
y
và
đường thẳng y =mx
KL: nếu m = 1 hoặc m = -16/3 thì có 1 giao điểm
Nếu m

1 và m

-16/3 thì có 2 giao điểm pb
BÀI 5. Cho hàm số
1
1
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.
Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho AB =
12
ĐS: m=-3 hoặc
m = 5
BÀI 6. Cho hàm số
2
92
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = k tại hai điểm phân biệt với
hoành độ dương.
ĐS: k > 8
2.
Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = kx + 10 – 5k tại hai
điểm phân biệt nhận I(5; 10) làm trung điểm.
ĐS:
3
2
k
BÀI 7. Cho hàm số

2
12



x
x
y
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2.
Xác định m để đường thẳng y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB
ngắn nhất
ĐS: m = 0
DẠNG 12. BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
f(x) = m (*)
PHƯƠNG PHÁP:
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường
thẳng y = m.
Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận số giao điểm với đường thẳng y = m
BÀI 1. Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

mxx  23
23
ĐS: m>2 hoặc m<-2: pt có 1 n
0
m=2 hoặc m=-2: pt có 2 n
0
.
-2<m<2: pt có 3 n
0
phân biệt
3.
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình
03
23
 xxa
ĐS: a>4 hoặc a<-4: pt có 1 n
0
a=4 hoặc a=-4: pt có 2 n
0
.
-4<a<4: pt có 3 n
0
phân biệt
4.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
2323
33 kkxx 
DẠNG 13. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
PHƯƠNG PHÁP:
Giả sử cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).

CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~21~
1.
Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
)(xfy 
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox
+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox
(Đồ thị hàm số
)(xfy 
luôn nằm trên trục hoành )
2.
Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
 
xfy 
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy
(Đồ thị hàm số chẵn
 
xfy 
luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng )
3.
Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
)(xfy 
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox

(Đồ thị hàm số
)(xfy 
luôn nhận trục Ox làm trục đối xứng
vì M(x
0
; y
0
) và M’(x
0
; y
0
) cùng thuộc đồ thị h/s )
4.
Từ đồ thị hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị hàm số y =
)()( xvxu
như sau:
Ta viết:






0u(x)khi)().(
0u(x)khi)().(
)()(
xvxu
xvxu
xvxuy
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x)


0)
+ Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0)
BÀI 1. Cho hàm số
23
3xxy 
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
mxx 
23
3
ĐS: m<0: vô n
0
; m=0: có 3 n
0
; 0<m<2: có 6 n
0
; m=2:có 4 n
0
; m>2: có 2 n
0
3.
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2
3
33 xxa 
BÀI 2. Cho hàm số

3
2
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
m
x
xx



3
2
2
3.
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
a
x
xx
3
3

2
2



4.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
23
2
2
k
x
xx



5.
Biện luận theo t số nghiệm của phương trình:
t
x
xx



3
2
2
BÀI 3. Cho hàm số
2
)2)(1(




x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~22~
2.
Tìm k để đường thẳng y = kx – 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương
3.
Tìm m để phương trình:
m
x
xx



2
)2(1
có đúng 3 nghiệm phân biệt
BÀI 4. Cho hàm số
1
32
2




x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
)1(
2
1
32
2


 x
k
xx
3.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3142
2
 xmxx
BÀI 5. [ĐH.2006.A] Cho hàm số
41292
23
 xxxy
có đồ thị là (C).

1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Tìm m để phương trình:
mxxx  1292
2
3
có 6 nghiệm phân biệt.
ĐS:4<m<5
BÀI 6. Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
1
22
2


x
m
xx
BÀI 7. Cho hàm số
45
24
 xxy

có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2)1(4
22
 axx
BÀI 8. Cho hàm số
1
1
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
k
x
xx



1

1
2
3.
Tìm tất cả các giá trị của m để trên đồ thị (C) có hai điểm A(x
A
; y
A
) , B(x
B
; y
B
) khác nhau
thỏa mãn điều kiện:





myx
myx
BB
AA
BÀI 9. Cho hàm số
2
54
2



x

xx
y
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
025)4(
2
 mxmx
ĐS: m<-5/2 hay m=

2: có 2 n
0
. -
5/2<m<-2hay m>2: có 4 n
0
.
m=-5/2: có 3 n
0
. -2<m<2: vô n
0
.
DẠNG 14. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x)
PHƯƠNG PHÁP:
Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
) ta
có:

))(('
000
xxxfyy 
hay
))(('
000
xxxyyy 
Trong đó: M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm; y
0
= f(x
0
) ; k = f’(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~23~
1.
Nếu cho hoành độ x
0
thì tính y
0
= f(x
0
) và hệ số góc k = f’(x
0

)
2.
Nếu cho tung độ y
0
thì giải pt: f(x) = y
0
suy ra hoành độ x = x
0
từ đó tính k = f’(x
0
)
3.
Nếu cho hệ số góc k = k
0
thì có 2 cách:
Cách 1. Giải pt: f’(x) = k
0

x = x
0

y
0
= f(x
0
)
Cách 2. Pt tiếp tuyến có dạng: y = k
0
x + m (


) (cần tìm m)
(

) tiếp xúc với (C)

hệ pt sau có nghiệm:





0
0
)('
)(
kxf
mxkxf

x ?

m ?
4.
Nếu cho một điểm N(a; b) thuộc tiếp tuyến thì
Cách 1. Gọi tiếp điểm
);(
00
yxM
. Ta có
)(
00

xfy 
và
))(('
000
xxxfyy 

))((')(
000
xaxfxfb 

0
x

PT tiếp tuyến
Cách 2. Đường thẳng đi qua N(a; b) với hệ số góc k có phương tình dạng:
)( axkby 

bkakxy 
)(

)(

tiếp xúc với (C)

hệ pt sau có nghiệm:






kxf
bkakxxf
)('
)(

x?

k?
BÀI 1. Cho hàm số
34
24
 xxy
có đồ thị là (C)
1.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1.
2.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành
3.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng - 8
BÀI 2. Cho hàm số
243
23
 xxxy
có đồ thị là (C)
1.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng -1
2.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với đường thẳng y=
3
4

1
x
BÀI 3. Cho hàm số
xxy 2
2

có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết nó đi qua điểm N(1; -2)?
ĐS: y = 2x; y = 2x -4
BÀI 4. Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị là (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(
2;
9
23

)
ĐS: y = -2; y= 9x-25
y=
27
61
3
5


x
BÀI 5. Cho hàm số

2
1
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) vuông góc
với tiệm cận xiên
ĐS:
522  xy
và
522  xy
2.
Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều không đi qua điểm I(-2; -3)
BÀI 6. Cho hàm số
2
45
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).

1.
Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song
với đường thẳng y = 3x + 2008.
ĐS:
33  xy
và
113  xy
2.
Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên.
BÀI 7. [HVBCVT. 2000] Cho hàm số
23
23
 xxy
(*)
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~24~
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô (*)
2.
Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ
được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*)
ĐS: A(1; 0)
BÀI 8. [ĐHGTVT.00] Cho hàm số
ax
xax
y




3)1(2
2
có đồ thị là (C
a
).
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi a = 2
2.
Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị (C
a
) tiếp xúc với parabol y
= x
2
+ 5.
ĐS: a = -3
BÀI 9. [ĐHKT.00] Cho hàm số
kxkkxy 21)1(
24

với k là tham số
1.
Xác định k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị
ĐS:
);1[]0;( k
2.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi k =
2
1
. Gọi đồ thị khi đó là (C)
3.

Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm O.
ĐS: y=0;
xy
33
1

BÀI 10. Cho hàm số
2
2
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C)
qua đường thẳng y = 2.
ĐS:
2
63
2



x
xx
y

2.
Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua điểm I(1; -2)
BÀI 11. Cho hàm số
xxy 3
3

có đồ thị là (C)
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.
Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị
(C).
BÀI 12. [ĐHVinh.00] Cho hàm số
1)12()1(
3
 mxmxmy
có đồ thị (C
m
).
1.
CMR: với mọi m đồ thị (C
m
) luôn có 3 điểm cố
định thẳng hàng
ĐS: A
0
(-1;1), A
1,2
(
2

55
,
2
51 
)
2.
Với giá trị nào của m thì trên (C
m
) có tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng đi qua 3 điểm cố định
ĐS: m < -1 hoặc m > 0
BÀI 13. Cho hàm số
)1(
24
 mmxxy
có đồ thị (C
m
).
1.
Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
m
)
ĐS: A
1,2
(

1;0)
2.
Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (C
m

). Hãy tìm
các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với
đường thẳng y = 2x.
ĐS: m =1
BÀI 14. Cho hàm số
mxmmxxy  )1(33
223
có đồ thị (C
m
).
1.
Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2
ĐS: m=1
2.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
3.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi
qua A(0; 6)
ĐS: y = 9x + 6
BÀI 15. Cho hàm số
13
23
 mxxxy
có đồ thị (C
m
).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
2.
Chứng minh với mọi m đồ thị (C

m
) luôn cắt đồ thị hàm số
Quỹ tích:
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~25~
y = x
3
+2x
2
+7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích
trung điểm I của đoạn AB.
191844
23
 xxxy
3.
Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm
phân biệt C(0; 1) D và E sao cho các tiếp tuyến tại D và
E vuông góc với nhau.
ĐS:
8
659 
m
BÀI 16. Cho hàm số
1
2




x
mxx
y
có đồ thị là (C
m
) (m là tham số khác 0)
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
2.
Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại A, B
vuông góc với nhau
3.
Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (C
m
) và hai đường tiệm cận có
diện tích nhỏ hơn 2 (đvdt)
BÀI 17. Cho hàm số
2
2
2



x
xx
y
có đồ thị là (C)

1.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0
3.
Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến hai nhánh của (C)
BÀI 18. Cho hàm số
13
23
 xxy
có đồ thị là (C)
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
 
axx  1131
2
3
Luyện tập:
1. Cho hàm số y = f(x) = mx
3
+ 3mx
2
 (m  1)x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị
2. Cho hàm số y = x
3
+ mx

2
 m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
c) Xác định m sao cho x  1  y  1.
3. Cho hàm số y = (m  2)x
3
 mx + 2 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =  1
b) Chứng minh rằng khi m  (0, 2) hàm không có cực đại và cực tiểu.
c) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn qua ba điểm cố định.
4. Cho hàm số
y = f(x) = 2x
3
 3(2m + 1)x
2
+ 6m (m + 1)x + 1 (1)
a) Tìm quĩ tích điểm uốn
b) Tìm quĩ tích điểm cực đại
c) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
5. Cho hàm số
y = f(x) = x
4
 mx
3
 (2m + 1)x
2
+ mx + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 0.
b) Tìm các điểm trên trục tung sao cho qua đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị của y = f(x) với

m = 0.