công nghệ cadcam và nguyên lý điều khiển trong công nghiệp phần 1 - nguyễn thế tranh

C1 CAD-CAM> TONGQUAN 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Chương 1.

TỔNG QUAN VỀ CAD/CAM


1.1 VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA CAD/CAM
TRONG NỀN SX HIỆN ĐẠI.

1.1.1 Giới thiệu về CAD/CAM hay CAO/FAO.

Thiết kế và chế tạo có sự tham gia của máy vi tính (CAD/CAM hay
CAO/FAO) thường được trình bày gắn liền với nhau. Thật vậy, hai lĩnh vực ứng
dụng tin học trong ngành cơ khí chế tạo này có nhiều điểm giống nhau bởi
chúng đều dựa trên cùng các chi tiết cơ khí và sử dụng dữ liệu tin h
ọc chung: đó
là các nguồn đồ thị hiển thị và dữ liệu quản lý.

Thực tế, CAD và CAM tương ứng với các hoạt động của hai quá trình hỗ
trợ cho phép biến một ý tưởng trừu tượng thành một vật thể thật. Hai quá trình
này thể hiện rõ trong công việc nghiên cứu (bureau d’étude) và triển khai chế
tạo (bureau des méthodes).

Xuất phát từ nhu cầu cho trước, việc nghiên cứu đảm nhận thi
ết kế một
mô hình mẫu cho đến khi thể hiện trên bản vẽ biễu diễn chi tiết. Từ bản vẽ chi
tiết, việc triển khai chế tạo đảm nhận lập ra quá trình chế tạo các chi tiết cùng
các vấn đề liên quan đến dụng cụ và phương pháp thực hiện.
Hai lĩnh vực hoạt động lớn này trong ngành chế tạo máy được thực hiện
liên tiếp nhau và được phân biệt bở
i kết quả của nó.

* Kết quả của CAD là một bản vẽ xác định, một sự biểu diễn nhiều hình chiếu
khác nhau của một chi tiết cơ khí với các đặc trưng hình học và chức năng. Các
phần mềm CAD là các dụng cụ tin học đặc thù cho việc nghiên cứu và được
chia thành hai loại: Các phần mềm thiết kế và các phần mềm vẽ.

* Kết quả củ
a CAM là cụ thể, đó là chi tiết cơ khí. Trong CAM không truyền đạt
một sự biểu diễn của thực thể mà thực hiện một cách cụ thể công việc. Việc chế
tạo bao gồm các vấn đề liên quan đến vật thể, cắt gọt vật liệu, công suất của
trang thiết bị, các điều kiện sản xuất khác nhau có giá thành nhỏ nhất, với việc
tối ưu hoá
đồ gá và dụng cụ cắt nhằm đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật của chi tiết
cơ khí.

Nhằm khai thác các công cụ hữu ích, những ứng dụng tin học trong chế
tạo không chỉ hạn chế trong các phần mềm đồ hoạ hiển thị và quản lý mà còn sử
dụng việc lập trình và điều khiển các máy công cụ điều khiển số, do vậy đòi hỏi
khi thự
c hiện phải nắm vững các kiến thức về kỹ thuật gia công.

C1 CAD-CAM> TONGQUAN 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Trong chế tạo, việc sử dụng các dữ liệu tin học phải lưu ý đến nhiều mối
quan hệ ràng buộc. Các ràng buộc này nhiều hơn trong thiết kế. Việc cắt gọt vật
liệu trên một máy công cụ điều khiển số hay một máy công cụ vạn năng thông
thường là như nhau, trong hai trường hợp vật liệu không thay đổi về tính chất.

Trong khi đó các dữ liệu tin họ
c có trong môi trường công nghiệp cũng có
trong các xưởng gia công. Các nguồn dữ liệu này cải thiện kỹ thuật chế tạo,

chuyển đổi phương pháp và dẫn đến thay đổi quan trọng trong các công việc
hoàn thành khi lập qui trình công nghệ cũng như trên vị trí làm việc. Ngoài công
việc cho phép điều khiển số các nguyên công gia công, việc thiết lập các dữ liệu
tin học mang lại nhiều sự cải thiện về kết cấu liên quan đến cấ
u trúc máy và đồ
gá, các phương pháp chế tạo và kiểm tra sản phẩm, thiết kế dụng cụ cắt và các
cơ cấu tự động khác. Mặt khác, các ứng dụng tin học này cũng cho phép khai
thác tốt hơn các khả năng mới của máy và dụng cụ.

Ngày nay việc chuyển biến từ một ý tưởng trừu tượng thành một sản
phẩm thực tế có thể theo một quá trình hoàn toàn được chi phối bởi máy tính
điện tử, như sơ đồ hình 1.1 đã chỉ rõ.

BUREAUTIQUE
ET COMMUNICATION
CONCEPTION, MODELISATION,
ANALYSE ET INGENIERIE ASSISTE PAR
ORDINATEUR (CAO - IAO)
DESSIN ASSISTE PAR
ORDINATEUR
(
DAO
)
PROCEDES, SIMULATION, PROGRAMMATION
MOCN ROBOTAUTOMATMOCN
CAO
FA
O

CONTRÔLE DE QUALITÉ
INVENTAIRE ET MANUTENTION
FABRICATION
INTEGREE
SUR

ORDINATEUR
(FIO)
ADMINISTRATION
ET GESTION
BUREAU
D
’ETUDE
BUREAU
DE
METHODES
ADMINISTRATION ET
GESTION
Hình 1.1 - Sơ đồ CAO - FAO - FIO
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Ta phân biệt hai loại dụng cụ tin học trong nghiên cứu thiết kế:

- Các phần mềm vẽ có sự tham gia của máy tính điện tử
(Dessin Assisté par Ordinateur-DAO hay Computer Aided Drawing - CAD).

- Các phần mềm thiết kế có sự tham gia của máy tính điện tử
(Conception Assistée par Ordinateur-CAO hay Computer Aided Design-CAD).

Trong tiếng Anh ta sử dụng từ CAD chung cho cả hai phần mềm này.

Trong triển khai chế tạo ra sản phẩm từ
bản vẽ thiết kế, ngày nay có các phần
mềm ứng dụng đó là các phần mềm chế tạo có sự tham gia của máy tính điện tử

( Fabrication Assistée par Ordinateur - FAO

hay Computer Aided Manufacturing - CAM)

Khi sự tích hợp trên máy tính điện tử cho các hoạt động thiết kế và chế
tạo được thực hiện, tức là khi việc thực hiện có thể trực tiếp dựa vào các dữ liệu
số được t
ạo ra bởi việc thiết kế, tập hợp các hoạt động đặc trưng của CAD/CAM
được mô tả dưới khái niệm chế tạo được tích hợp bởi máy tính điện tử

( Fabrication Intégrée par Ordinateur - FIO
hay Computer integrated Manufacturing - CIM).

Do vậy CIM biểu diễn các hoạt động tương ứng với thiết kế, vẽ, chế tạo
và kiểm tra chất lượng của một sản phẩm cơ khí.

1.1.2 Đối tượng phục vụ của CAD/CAM.

Xu thế phát triển chung của các ngành công nghiệp chế tạo theo công
nghệ tiên tiến là liên kết các thành phần của qui trình sản xuất trong một hệ
thống tích hợp điều khiển bởi máy tính điện tử (Computer Integrated
Manufacturing - CIM).

Các thành phần của hệ thống CIM được quản lý và điều hành dựa trên cơ
sở dữ liệu trung tâm với thành phần quan trọng là các dữ
liệu từ quá trình CAD.

Kết quả của quá trình CAD không chỉ là cơ sở dữ liệu để thực hiện phân
tích kỹ thuật, lập qui trình chế tạo, gia công điều khiển số mà chính là dữ liệu
điều khiển thiết bị sản xuất điều khiển số như các loại máy công cụ, người máy,
tay máy công nghiệp và các thiết bị phụ trợ khác.

Công việc chuẩn bị sả
n xuất có vai trò quan trọng trong việc hình thành
bất kỳ một sản phẩm cơ khí nào.
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Công việc này bao gồm:
- Chuẩn bị thiết kế ( thiết kế kết cấu sản phẩm, các bản vẽ lắp chung
của sản phẩm, các cụm máy.v.v )
- Chuẩn bị công nghệ (đảm bảo tính năng công nghệ của kết cấu,
thiết lập qui trình công nghệ)
- Thiết kế và chế tạo các trang bị công nghệ và dụng cụ phụ v.v
- Kế hoạch hoá quá trình s
ản xuất và chế tạo sản phẩm trong thời
gian yêu cầu.

Hiện nay, qua phân tích tình hình thiết kế ta thấy rằng 90% thời lượng
thiết kế là để tra cứu số liệu cần thiết mà chỉ có 10% thời gian dành cho lao động
sáng tạo và quyết định phương án, do vậy các công việc trên có thể thực hiện
bằng máy tính điện tử để vừa tiết kiệm thời gian vừa đảm bảo độ
chính xác và
chất lượng.

CAD/CAM là lĩnh vực nghiên cứu nhằm tạo ra các hệ thống tự động thiết
kế và chế tạo trong đó máy tính điện tử được sử dụng để thực hiện một số
chức năng nhất định.

CAD/CAM tạo ra mối quan hệ mật thiết giữa hai dạng hoạt động: Thiết
kế và Chế tạo.

Tự
động hoá thiết kế là dùng các hệ thống và phương tiện tính toán giúp

người kỹ sư thiết kế, mô phỏng, phân tích và tối ưu hoá các giải pháp thiết kế.

Tự động hoá chế tạo là dùng máy tính điện tử để kế hoạch hoá, điều
khiển và kiểm tra các nguyên công gia công.

1.1.3 Vai trò của CAD/CAM trong chu kỳ sản xuất.
















Khái niệm
SP mới
Vẽ
chi tiết
Lập
biểu đồ SX
Sản xuất
sản phẩm

Kiểm tra
chất lượng
Nhu cầu
thị trường
Thiết kế
sản phẩm
Nhu cầu
TTB mới
Kế hoạch hoá
QTSX
Hình 1.2- Sơ đồ chu kỳ sản xuất
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Rõ ràng rằng CAD/CAM chi phối hầu hết các dạng hoạt động và chức
năng của chu kỳ sản xuất. Ở các nhà máy hiện đại, trong công đoạn thiết kế và
chế tạo, kỹ thuật tính toán ngày càng phát huy tác dụng và là nhu cầu không thể
thiếu được.

1.1.4 Chức năng của CAD.

Khác biệt cơ bản với qui trình thiế
t kế theo công nghệ truyền thống, CAD
cho phép quản lý đối tượng thiết kế dưới dạng mô hình hình học số trong cơ sở
dữ liệu trung tâm, do vậy CAD có khả năng hỗ trợ các chức năng kỹ thuật ngay
từ giai đoạn phát triển sản phẩm cho đến giai đoạn cuối của quá trình sản xuất,
tức là hỗ trợ điều khiển các thiết bị
sản xuất bằng điều khiển số.

Hệ thống CAD được đánh giá có đủ khả năng để thực hiện chức năng yêu
cầu hay không, phụ thuộc chủ yếu vào chức năng xử lý của các phần mềm thiết
kế. Ngày nay những bộ phần mềm CAD/CAM chuyên nghiệp phục vụ thiết kế
và gia công khuôn mẫu có khả năng thực hiện được các chứ
c năng cơ bản sau:

TĐH
thiết kế
Vẽ bằng
MTĐT
Nhu cầu
TTB mới
Nhu cầu
thị trường
Vẽ chi tiết Thiết kế
SP
Khái niệm
SP mới
Sản xuất
sản phẩm
Kiểm tra
chất lượng
TĐH KHH
QTSX
KHH
QTSX
TB ĐK bằng
MTĐT
TĐH
KTCL
Lập biểu đồ
SX
Vẽ BĐ, lập nhu cầu
NVL KT
Hình 1.3 - Sơ đồ chu kỳ sản xuất khi dùng CAD/CAM
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

- Thiết kế mô phỏng hình học 3 chiều (3D) những hình dạng phức tạp.
- Giao tiếp với các thiết bị đo, quét toạ độ 3D thực hiện nhanh chóng các
chức năng mô phỏng hình học từ dữ liệu số.
- Phân tích và liên kết dữ liệu: tạo mặt phân khuôn, tách khuôn, quản lý
kết cấu lắp ghép
- Tạo bản vẽ và ghi kích thước tự động: có khả năng liên k
ết các bản vẽ
2D với mô hình 3D và ngược lại.
- Liên kết với các chương trình tính toán thực hiện các chức năng phân
tích kỹ thuật: tính biến dạng khuôn, mô phỏng dòng chảy vật liệu,
trường áp suất, trường nhiệt độ, độ co rút vật liệu,
- Nội suy hình học, biên dịch các kiểu đường chạy dao chính xác cho
công nghệ gia công điều khiển số.
- Giao tiếp dữ liệu theo các định d
ạng đồ hoạ chuẩn.
- Xuất dữ liệu đồ hoạ 3D dưới dạng tập tin STL để giao tiếp với các
thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể.
Những ứng dụng của CAD trong ngành chế tạo máy:
• Tạo mẫu nhanh thông qua giao tiếp dữ liệu với thiết bị tạo mẫu
nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể (đo quét toạ độ)
• Giảm đáng kể thời gian mô phỏng hình học bằng cách tạo mô
hình hình học theo cấu trúc mặt cong từ dữ liệu số.
• Chức năng mô phỏng hình học mạnh, có khả năng mô tả những
hình dáng phức tạp nhất.
• Khả năng mô hình hoá cao cho các phương pháp phân tích, cho
phép lựa chọn giải pháp kỹ thuật tối ưu.

1.2 THIẾT KẾ VÀ GIA CÔNG TẠO HÌNH.

Theo lịch sử hình thành và phát triể
n ta có thể phân biệt công nghệ thiết kế và
gia công tạo hình như sau:
- Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống.
- Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM
- Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp CIM

1.2.1 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống.

Trong công nghệ truyền thống, các mặt cong 3D phức tạp được gia công trên
máy vạn năng theo phương pháp chép hình sử dụng mẫu hoặc dưỡ
ng. Do vậy
qui trình thiết kế và gia công bao gồm có 4 giai đoan phân biệt (Hình 1.4):
1. Tạo mẫu sản phẩm,
2. Lập bản vẽ kỹ thuật,
3. Tạo mẫu chép hình,
4. Gia công chép hình.

Qui trình này có những hạn chế:
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
- Khó đạt được độ chính xác gia công, chủ yếu do quá trình chép hình,
- Dễ dàng làm sai do nhầm lẫn hay hiểu sai vì phải xử lý một số lớn dữ
liệu,
- Năng suất thấp do mẫu được thiết kế theo phương pháp thủ công và
qui trình được thực hiện tuần tự: tạo mẫu sản phẩm - lập bản vẽ chi tiết
- tạo mẫu chép hình - phay chép hình.

1.2.2 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM.

Sự phát triển của phương pháp mô hình hoá hình học cùng với thanh tựu
của công nghệ thông tin, công nghệ điện tử, kỹ thuật điều khiển số đã có những
ảnh hưởng trực tiếp đến công nghệ thiết kế và gia công tạo hình (Hình 1.5):
- Bản vẽ kỹ thuật được tạo từ hệ thống vẽ và tạ
o bản vẽ với sự trợ giúp
của máy vi tính.
- Tạo mẫu thủ công được thay thế bằng mô hình hoá hình học trực tiếp
từ giá trị lấy mẫu 3D.
- Mẫu chép hình được thay thế bằng mô hình toán học - mô hình hình
học lưu trữ trong bộ nhớ máy vi tính và ánh xạ trên màn hình dưới

dạng mô hình khung lưới.
- Gia công chép hình được thay thế bằng gia công điều khiển số (CAM).

Về công nghệ, khác biệ
t cơ bản giữa gia công tạo hình theo công nghệ
truyền thống và công nghệ CAD/CAM là thay thế tạo hình theo mẫu bằng mô
hình hoá hình học.
Ý TƯỞNG
VẼ & THIẾT KẾ
BẢN VẼ KỸ THUẬT
TẠO MẪU CHÉP HÌNH
GIA CÔNG CHÉP HÌNH
MẪU
CHÉP HÌNH
MẪU
S
ẢNPHẨM
Hình 1.4 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình
theo công nghệ truyền thống
Hiệu chỉnh
Lấy mẫu
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Kết quả là mẫu chép hình và công nghệ gia công chép hình được thay thế
bằng mô hình hình học số (Computational Geometric Model - CGM) và gia
công điều khiển số. Mặt khác khả năng kiểm tra kích thước trực tiếp và khả
năng lựa chọn chế độ gia công thích hợp (gia công thô, bán tinh và tinh).
Theo công nghệ CAD/CAM phần lớn các khó khăn của quá trình thiết kế
và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống được khắc phục vì rằng:
• Bề mặ
t gia công đạt được chính xác và tinh xảo hơn.

• Khả năng nhầm lẫn do chủ quan bị hạn chế đáng kể.
• Giảm được nhiều tổng thời gian thực hiện qui trình thiết kế và gia
công tạo hình.






















1.2.3 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp (CIM).

Từ công nghệ CAD/CAM ta dễ dàng thực hiện ý tưởng liên kết mọi thành
ph
ần trong một hệ thống tích hợp (Hình 1.6). Theo công nghệ tích hợp, công

việc mô hình hoá hình học - vẽ - tạo bản vẽ được tích hợp trong CAD; kết quả
mọi thông tin về hình dáng được lưu lại dưới dạng CGM, lưu trữ trong cơ sở dữ
liệu trung tâm. Công nghệ tiên tiến nhất có khả năng hỗ trợ thực hiện toàn bộ qui
trình thiết kế và chế tạo theo công nghệ tích hợp:
• Cho phép thiết l
ập mô hình hình học số CGM trực tiếp từ ý tưởng
về hình dáng.
• Được trợ giúp bởi thiết bị đồ hoạ mạnh và công nghệ tô màu, tạo
bóng hiện đại.
Ý TƯỞNG
VẼ & TẠO BẢN VẼ
(CADD)
BẢN VẼ KỸ THUẬT
MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC
GIA CÔNG ĐIỀU KHIỂN SỐ
(CAM)
MÔ HÌNH
HÌNH HỌC SỐ (CGM)

MẪU
S
ẢNPHẨM
Hình 1.5 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình
theo công nghệ CAD/CAM
Lấy mẫu, số hoá
Hiệu chỉnh
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
• Có khả năng thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật; liên kết
với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể; lập
trình chế tạo; điều khiển quá trình gia công điều khiển số; lập qui

trình lắp ráp; tạo phôi,

























1.3 MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC.

Mô hình hoá hình học là mô tả đối tượng hình học bởi
mô hình toán học - mô hình hình học số.

Khái niệm mô hình hình học được sử dụng cho thực thể hình học có
thể mô tả được, đó là những thực thể hình học cơ sở, được sử dụng trên bản vẽ
kỹ thuật hay trên màn hình, đó là:
- Điểm,
- Đường cong, bao gồm cả đoạn thẳng,
- Mặt cong, bao gồm cả mặt phẳng,
- Khối (cấu trúc đặc).

Mô hình hình h
ọc được diễn giải bởi con người nhưng hình thức mô tả
chúng phải thích hợp, rõ ràng sao cho có thể chuyển đổi thành mô hình hình
học số duy nhất. Tức là yêu cầu mô hình hình học phải được mô tả bởi các giá
trị số chính xác:
BẢN VẼ
KỸ THUẬT
Ý TƯỞNG
CAD
CAPP
Computer Aided Process Planning
MÔ HÌNH
HÌNH HỌC SỐ (CGM)
MÔ HÌNH
FEM
MÀN HÌNH
ĐỒ HOẠ
MẪU
SẢN PHẨM
CAM
Hình 1. 6 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình

theo công nghê tích hợp
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
- Điểm có thể mô tả bởi giá trị toạ độ,
- Đường cong có thể được mô tả bởi chuỗi điểm hoặc phương trình,
- Mặt cong có thể được mô tả bởi tập hợp điểm hoặc lưới đường cong,
hoặc phương trình,
- Khối có thể được định nghĩa bởi các mặt cong bao quanh nó.

1.3.1 Phương pháp mô tả đường cong.

1. Đườ
ng cong 2D được mô tả bởi 2 phương pháp:
a. Sử dụng các đường cong 2D cơ sở.
b. Như là chuỗi điểm trên mặt phẳng.

2. Đường cong 3D được mô tả bởi một trong các cách sau:
a. Chuỗi điểm 3D
b. Giao tuyến giữa 2 mặt cong.
c. Hình chiếu của đường cong 2D lên mặt cong 3D.
d. Tập đường cong 2D trên các mặt phẳng hình chiếu trục đo.

3. Phương pháp đơn giản mô tả đường cong 2D.
Ng
ười ta sử dụng họ đường cong bậc hai conic, bao gồm: đoạn thẳng,
đường tròn, đường êlip, đường Parabol, đường Hyperbol. Chúng được xác định
rõ ràng bởi thông số của chúng như: toạ độ tâm, bán kính, tiêu điểm.
Ta có thể gọi họ đường cong conic là đường cong cơ sở tạo nên đường
cong đa hợp bằng cách nối kết liên tục theo chuỗi, có thể sử dụng góc lượn tại vị
trí yêu cầu để đạ
t độ trơn láng.

4. Phương pháp phổ biến nhất để mô tả đường cong tự do 2D và 3D.
Đây là phương pháp xác định chuỗi điểm đường cong đi qua, phương
pháp gián tiếp để mô tả đường cong 3D là xác định giao tuyến giữa 2 mặt cong.
Trong trường hợp này ta không thể xác định đường cong một cách chính
xác. Phương pháp phổ biến xác định dường cong 3D trong vẽ kỹ thuật là xác
định hình chiếu 2D của chúng, sau đó xác định hình chiếu trên m
ặt cong, đây
chính là phép chiếu ngược.

1.3.2 Phương pháp mô tả mặt cong.
Ta không thể vẽ mặt cong hình học, nhưng có thể mô tả chúng trên bản vẽ
dưới dạng mô hình:
- Mặt hình học cơ sở,
- Mặt nội suy lưới đường cong,
- Mặt quét hình đường mặt cắt,
- Mặt nội suy điểm,
- Mặt kết nối hình.
Tương ứng
đó là:
• Sử dụng các mặt cong cơ sở.
• Mô tả mặt cong bởi mô hình lưới đường cong.
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
• Mô tả mặt cong bởi phép quét hình.
• Mặt cong nội suy điểm.
• Mô hình mặt cong kết nối.

1.3.3 Phương pháp mô tả khối hình học.

Khác biệt cơ bản với mô hình mặt cong, ngoài dữ liệu hình học thuộc mặt

bao, phương pháp mô hình hoá theo cấu trúc khối, cho phép quản lý dữ liệu
thuộc miền không gian bên trong thực thể hình học.

Về phương pháp tạo hình, phương pháp mô hình hoá hình học theo cấu
trúc khố
i sử dụng thuật toán BOOL (phép toán về tập hợp) trên các khối hình
học cơ sở. Khối hình học cơ sở có thể là:

- Khối cơ sở bậc hai.
- Khối quét hình: hình thành trên cơ sở quét hình mặt giới hạn bởi
đường viền 2D khép kín theo đường định hình.

1.3.4 Phương pháp mô hình hoá hình học.

Theo phương pháp mô tả điểm, đường cong, mặt cong, khối hình học đã
đề cập ở
trên, ta có thể xây dựng giải thuật mô hình hoá hình học theo cấu trúc
mặt cong và cấu trúc khối theo qui tắc chung như sau:

• Thực thể hình học được mô tả như cấu trúc thể hiện mối
tương quan giữa các thực thể hình học cơ sở cùng loại hoặc
khác loại.
• Mặt cong được mô tả bởi phép nội suy điểm; nội suy lưới
đường cong; phép quét hình đường mặt cắt; mặt cong c
ơ sở
bậc hai.
• Khối hình học được mô tả bởi phép quét hình mặt cắt; khối
cơ sở bậc 2.

Trong trường hợp tổng quát, thực thể hình học được xác dịnh từ những

thực thể cơ sở cấp thấp hơn. Ví dụ như đường cong được thiết lập từ điểm, mặt
cong từ điểm và đường cong, khối t
ừ các bề mặt bao,

Các thực thể hình học cấp thấp và tham số thiết kế được gọi là yếu tố điều
khiển hình học, có thể hiệu chỉnh được để thay đổi hình dáng và kích thước.



C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Chương 2

CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC

Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và
phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học.

2.1 HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG.
Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn
một số điều kiện.

2.1.1 Biểu diễn đường cong.
Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dướ
i các dạng:

- Phương trình ẩn.
- Phương trình tường minh.
- Phương trình tham số.

Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ

trên hình 2.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình:

01),(
22
=−+= yxyxf : Phương trình ẩn (2.1)
Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là:

2/1
)1()( xxgy −== : Phương trình tường minh (2.2)
Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn, ta có:

θ
θ
cos)( == xx ;
θ
θ
sin)(
=
=
yy : Phương trình tham số (2.3)

Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì
)1/(
+
== xytgt
α

Kết hợp với phương trình (2.1) ta có:

)1/()1()(
22
tttxx +−== ; )1/(2)(
2
tttyy +== (2.4)

Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình
tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường
cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá.
Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số:

)(txx =
;
)(tyy
=
;
)(tzz
=

hay dưới dạng vectơ:
)](),(),([)( tztytxtr
=

y
x
y
P(x,y)
o
θ

o
y
x

y
P(x,y)
o
α

Q
Hình 2.1 :
Tham số hoá đường tròn đơn vị
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ
dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường cong
3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn
mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D. Trong trường hợp
này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong.

2.1.2 Đặc tính của
đường cong.
Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số
chuẩn tắc:
)](),(),([)( tztytxtrr
=
=


Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm:
a. Độ chảy của đường cong.
b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.

1. Độ chảy:
Độ lớn của vectơ đạo hàm
)(tr
&
được gọi là độ chảy của đường cong:

)()( trts
&&
=
(2.5)
Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời
gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này
được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình.

Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s)

trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chả
y của đường cong
không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá.

2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị:
Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho:

dttrs
∫
=
θ
0
)(
&

Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau:

dsdrT /=
(2.6)
hay dưới dạng vi phân:
)(/)( trtrT
&&
=
(2.7)

3. Vectơ pháp tuyến chính:
Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta có
vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong:

dsdTdsdTdtdtdtdTN //)/(//)/( ≡= (2.8)

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó
vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 2.2).
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T
và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ
B vuông góc với vectơ N và T được gọi là
vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ:
B = TxN

T
N
Đườn
g
t
r
òn
m
ậ
t ti
ếp
Hình 2.2 : Vectơ pháp tuyến chính
và đường tròn mật tiếp
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

4. Độ cong và bán kính cong:
Hãy cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong
r(t). Độ cong được định nghĩa như sau:

dsdTk /=
(2.9)
hay dưới dạng vi phân:

3
r
rr
k
&
&&&
×
= (2.10)
trong đó:
dtrdrdttdrr /;/)(
&&&&
≡≡ . Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường
minh y = y(x), phương trình trên có dạng:

2/32
)1/( yyk
&&&
+=

trong đó:
dxdyy /≡
&

; dxydy /
&&&
≡

Hãy xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 2.2), đi qua điểm hiện thời
r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn
này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán
kính cong và được xác định bởi:

k/1
=
ρ
(2.11)

5. Độ xoắn của đường cong:
Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau:

NdsdB )./(−=
τ

trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ bản
mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet:

;/ Tdsdr =

kNdsdT
=
/

kTBdsdN
−
=
τ
/ ;
1
/
−
−= NdsdB
τ
(2.12)

2.2 HÌNH HỌC MẶT CONG.

2.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong:

1. Mô hình mặt cong cong dạng phương trình ẩn.
Hãy xét mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt
cầu thoả bất đẳng thức:
01
222
<−++ zyx
và phương trình:
01
222
=−++ zyx (2.13)
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.
Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới
hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0.

2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số.
Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ
chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi
phương trình:

)],(),,(),,([),( vuzvuyvuxvur = (2.14)
trong đó: u và v là tham số của mặt cong.

Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (2.13)
bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu:

)sin,sincos,cos(cos),( vuvuvvur = (2.15)
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
với:
π
20 ≤
≤
u và 2/2/
π
π
≤
≤
−
v
Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới
hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.

3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số.
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte
),( yvxu ≡≡ , mô hình tham số (2.14) trở thành phi tham số:

)),(,,(),( vuzvuvur =
hay
),( yxzz
=
(2.16)
Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (2.13) được biểu
diễn dưới dạng tường minh:

2/122
)1( yxz −−= với 1)(
22
≤+ yx (2.17)
















2.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong.

Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v)
(Hình 2.4):

T
tvtutq )](),([)( = (2.18)

Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong
r(u,v), sao cho:
r(t) = r(u(t), v(t))
= (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (2.19)














Hình học mặt cong
được minh hoạ trên hình
2.3. Ta thường gọi phần
mặt cong trong miền tham
số giới hạn là mặt lưới. Các
mặt lưới liên kết theo điều

kiện kết nối liên tục tạo
thành mặt cong phức hợp.
u
(u=0,v=0)
v
điểm gốc
đường
biên
(u=1,v=1)
đường sinh phương v
đường sinh
phương u
mặt lưới
·
·
·
Hình 2.3 : Hình học mặt cong
q(t)
v
u
r
u
r(u,v)
r(t)
r
v
r
&
u
v

Hình 2.4 - Đường cong trên mặt cong
và mặt phẳng tiếp tuyến
Trường hợp đặc
biệt của (2.19) là đường
cong đẳng tham số:

ttvuu
ttuvv
==
==
)(,
)(,
*
*

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Vectơ tiếp tuyến.
Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau:

urr
u
∂∂= / ; vrr
v
∂
∂= / ; vurr
uv
∂∂∂= /
2
(2.20)
Lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo t, ta có:

vrur
dt
dv
v
r
dt
du
u
r
dt
dr
r
vu
&&&
+=
∂
∂
+
∂
∂
==
(2.21)
trong đó:
r
&
là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); r
u
và r
v

là vectơ tiếp tuyến của
đường cong đẳng tham số u = u
*
, v = v
*
. Ba vectơ tiếp tuyến
r
&
, r
u
, r
v
xác định mặt
phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 2.4).

Vectơ pháp tuyến.
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp
tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi:

vuvu
rrrrn ××= /)( (2.22)
Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.

Ma trận cơ sở thứ nhất.
Vectơ tiếp tuyến (2.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận:

qvrurr
vu
&&&&
Λ=+= (2.23)

trong đó:
vu
rr ,=Λ ;
T
vudtdvdtdudttdqq ][)/,/(/)(
&&&
=== . Giá trị vectơ tiếp tuyến
được tính như sau:

qGqqqrrr
TTTT
&&&&&&&
=ΛΛ== )()(
2
(2.24)
trong đó:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=ΛΛ=
vvvu
vuuu
T
rrrr
rrrr
G

: Ma trận cơ sở thứ nhất. (2.25)
Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau:

2/1
)/()(/ qGqqrrT
T
&&&&&
Λ== (2.26)
Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích
mặt cắt theo công thức đơn giản sau:

dudvGdudvrrS
vu
2/1
∫
∫∫∫
=×= (2.27)

2.2.3 Độ cong.

Ma trận cơ sở thứ hai.
Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 2.4). từ (2.21), đạo hàm bậc hai
của r(t) theo t có giá trị như sau:

vuvvvuuvuu
rvrurvvrurvruur
&&&&&&&&&&&&
+
+

+
+
+
=
)()( (2.28)

Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với
chú ý rằng r
u
.n = r
v
.n = 0, ta có:


qDqnrvnrvunrunr
T
vvuvuu
&&&&&&&&
=++= .)(.2.)(.
22
(2.29a)
trong đó:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
v

u
q
&
&
&
; và
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
nrnr
nrnr
D
vvuv
uvuu


: ma trận cơ sở thứ hai.


C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Độ cong pháp tuyến.

Từ phương trình (2.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau:


)(

)(
kNssTsTsTs
dt
Tsd
dt
rd
r
&&&&
&
&&&
&&
&&
+=+===


Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ya rằng:T.n = 0:

nkNsnr .)(.
2
&&&
= (2.29b)

Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến k
n
. Từ các công
thức (2.29) và (2.25), chú ý rằng
rs
&&
= , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi công
thức sau:

qGq
qDq
s
qDq
s
nr
nkNk
T
TT
n
&&
&&
&
&&
&
&&
===≡
22
)()(
.
.
(2.30)

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:
Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng
π
đi qua
vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của

đường cong với mặt phẳng
π
là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo
phương vectơ
q
&
.

Độ cong chính.

Độ cong pháp tuyến (2.30) là hàm của
q
&
:


qGq
qDq
qk
T
T
n
&&
&&
&
=)(
Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức:

022 =−=
∂

∂
qGkqD
q
k
n
n
&&
&
(2.31)

Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được xxác
định từ (2.30) như sau:


a
acbb
k
n
2/12
1
)( −+
=
;
a
acbb
k
n
2/12
2
)( −−

=
(2.32)

trong đó:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
2
1
gh
hg
Ga
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
2
1
de
ed
Dc
; eh

dgdg
b −
+
=
2
1221


Với: g
1
, g
2
, h, d
1
, d
2
, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D.

Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu
diễn độ trơn láng của mặt cong.
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ.

Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa
trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay.

2.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D.

Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ độ

(x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (t
x
,t
y
) (Hình 2.5a); hệ số tỷ lệ s
(s
x
,s
y
) (Hình 2.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 2.5c) được xác
định như sau:
x’ = x + t
x
;

y’ = y + t
y
(2.33)
x’ = s
x
.x ; y’ = s
y
.y (2.34)
x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (2.35)

Phép biến đổi đồng nhất.

Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống
nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận.
Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không
gian (n+1) chiều.
Thí dụ điểm P(x,y) trong h
ệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ
độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ:

x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h (2.36)

trong đó: h
≠ 0: hệ số vô hướng.

Môi quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được nhân
với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với
hệ số h.
Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (2.33), (2.34), (2.35)
dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhấ
t (chuẩn tắc) P
h
, P’
h
và ma trận biến đổi

đồng nhất M:
P’
h
= P
h
M (2.37)
trong đó: P
h
= (x y 1) ; P’
h
= (x’ y’ 1)

x
t
y
P(x,y)
y
P’(x’,y’)
t
x
o
a)
x
P(x,y)
y
P’(x’,y’)
o
b)
x
r

P(x,y)
y
P’(x’,y’)
α

o
c)
r

θ

Hình 2.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ
(S) và phép quay (R) có giá trị như sau:

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
010

001
yx
tt
T
;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
00
00
y
x
s
s
S
;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0cossin
0sincos
θθ
θθ
R


2.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D.

Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ
(x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển
t (t
x
, t
y
, t
x
); hệ số tỷ lệ s (s
x
, s
y
, s
z

) được xác định như sau:

x’ = x + t
x
; y’ = y + t
y
; z’ = z + t
z
(2.38)
x’ = s
x
.x ; y’ = s
y
.y ; z’ = s
z
.z (2.39)
Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch
chuyển 3D (2.38) và phép lấy tỷ lệ (2.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ
đồng nhất P
h
, P’
h
, ma trận biến đổi T(S):

P’
h
= P
h
T (2.40a)
P’

h
= P
h
S (2.40b)
trong đó: P
h
= (x y z 1) ; P’
h
= (x’ y’ z’ 1)

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0100
0010
0001
zyx

ttt
T
;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
000
000
000
z
y
x
s
s
s
S


Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép

quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ
độ, về cơ bản là phép quya 2D (bảng 2.1).

Bảng 2.1
Phép quay cơ bản
X’ Y’ Z’
quanh trục x
x’ = x
y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ
quanh trục y
x’ = zsinθ + xcosθ
y’ = y
z’ = zcosθ + xsinθ
quanh trục z
ĩn’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ
z’ = z

Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 2.1) có
giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ):
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
−
=
1000
00
00
0001
),(
CS
SC
xR
θ
;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1000
00
0010

00
),(
CS
SC
yR
θ
;
S00
00
(, )
00 0
0001
C
SC
Rz
C
θ
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣

⎦
(2.41)

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép
dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau:

(x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H (2.42)

trong đó:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
0
1
0
0
0
333231
232221
131211
t
R
ttt
rrr
rrr
rrr
H
zyx


hay biểu diễn dưới dạng khác:

(x’ y’ z’) = (x y z)R + t (2.43)

Ta thấy rằng ma trận xoay R (2.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định nghĩa
các vectơ hàng của R:
n = (r
11
r
12
r
13
); o = (r
21
r
22
r
23
); a = (r
31
r
32
r
33
) (2.44)

thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j, k và thoả
điều kiện:
n x o = a; o x a = n; a x n = o và
1=== aon
(2.45)

2.3.3 Phép ánh xạ.

Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn
không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều.

Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ
khác nhau.

Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ th
ứ hai được
định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ
độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình
học so với cả 2 hệ toạ độ.

Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ to
ạ
độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế.

Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi
là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn
giản hoá việc thiết lập và nhập dữ
liệu hình học.

Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm
việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống.

Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối
tượng ( chi tiết hay bộ ph
ận) được định nghĩa theo hệ toạ độ hệ thống riêng và chúng
cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống chủ.

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai
như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác định
toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện:
P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H
trong đó:
P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ
toạ độ (X, Y, Z)
P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)
H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z)
so với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’).

2.3.4 Khung toạ độ.

Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học
từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ
thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự
thay đổi hệ toạ độ.
Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (2.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động
(Hình 2.6). Cho i
h
, j
h
và k
h
là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ tham chiếu:
i
h
= (1 0 0 1) ; j

h
= (0 1 0 1) ; k
h
= (0 0 1 1) (2.46)

Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất:
i’
h
= i
h
H = (1 0 0 1) H = (n 1) (2.47a)
j’
h
= j
h
H = (0 1 0 1) H = (o 1) (2.47b)
k’
h
= k
h
H = (0 0 1 1) H = (a 1) (2.47c)

Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng
nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6) biến đổi theo (2.42).
Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự:
P’
h
= (0 0 0 1) H = (t
x
t

y
t
z
1) = (t 1) (2.48)

Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ.
Như vậy, phép biến đổi (2.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ
toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ cố
định).
















r’ = rH
i
z
y
n

a
o
H
t
j
k
Hình 2.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức
hệ toạ độ chuyển động

r’
P
r
Viết lại biểu thức (2.42)
ta có:
P’
h
= P
h
H
hay:
P
h
= P’
h
H
-1

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

trong đó:

P
h
= (r 1) = (x y z 1)
P’
h
= (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1)
r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc.
r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ
toạ độ hệ thống).


⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
0

zyx
zyx
zyx
zx
ttt
aaa
ooo
nnn
H
y
;
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−−
=
−
1
0

0
0
1
tatotn
aon
aon
aon
H
zyz
yyy
xxx

n = (n
x
n
y
n
z
) ; o = (o
x
o
y
o
z
) ; a = (a
x
a
y
a
z

) ; t = (t
x
t
y
t
z
)

Tóm lại:
Biểu diễn đường cong và mặt cong dưới dạng phương trình tham số thực chất
là biểu diễn dưới dạng phương trình vectơ. Hình thức biểu diễn này đảm bảo phương
thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phương thức truy nhập thống nhất đối với cả 2 dạng
đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản, thích hợ
p cho
lập trình.

Từ các kết quả trên ta có thể rút ra kết luận:

Các đặc tính cơ bản của mặt cong tham số đều được biểu diễn bởi đạo hàm
riêng r
u
, r
v
của mặt cong. Tức là có thể quản lý hình học mặt cong - được coi là đối
tượng hình học phức tạp- bằng phương thức đơn giản là quản lý hai lưới đường
cong đẳng tham số của mặt cong.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Chương 3.

MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC

3.1. MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG

Về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để định nghĩa
đường cong. Tuy nhiên, mô hình toán học dưới dạng phương trình đa thức được sử
dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các
loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật.

3.1.1. PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC.

Mô hình toán học bi
ểu diễn đường cong có thể dưới dạng phương trình ẩn,
phương trình tường minh hoặc phương trình tham số. Phương trình ẩn và phương trình
tường minh chỉ được sử dụng cho đường cong 2D. Đường cong đa thức tương ứng với
các dạng phương trình toán học được trình bày dưới dạng tổng quát sau:

Phương trình đa thức ẩn.

0),(
00
==
∑∑
==
m
i
n
j
ji
ij
yxcyxg

Phương trình đa thức tường minh.

)(
2
+
+
+
== cxbxaxfy (theo toạ độ Đề các)

)(
2
+
+
+
==
γθ
βθ
α
θ
hr (theo toạ độ cực)

Phương trình đa thức tham số.

))(),(),(()(
2
+
+
+
=

≡ ctbtatztytxtr

Các dạng đường cong đa thức tham số được sử dụng phổ biến nhất bao gồm:

1, Đường cong đa thức chuẩn tắc,
2, Đường cong Ferguson,
3, Đường cong Bezier,
4, Đường cong B-spline đều,
5, Đường cong B-spline không đều.

3.1.2. ĐƯỜNG CONG 2D.

Đường cong 2D được sử dụng như các đối tượng hình học cơ sở trên các bản vẽ
kỹ thuật truyền thống để mô tả hình thể 3D.

1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức ẩn.

Phương trình ẩn g(x,y) = 0 biểu diễn đường cong trên mặt phẳng x-y, ví dụ như
đường tròn và đường thẳng được biểu diễn bởi phương trình:
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH


0)()(
222
=
−
−+− rbyax ; 0
=
+
+

cb
y
ax

Mô hình này có ưu điểm:
- Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến,
- Dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa điểm với đường cong.

Phương trình đa thức bậc 2 g(x,y) = 0 biểu diễn họ đường cong conic là giao
tuyến giữa mặt cắt phẳng và mặt nón trụ. Tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng cắt
và mặt nón, đường cong conic có th
ể là:

1, Elip :
01
2
2
2
2
=−+
b
y
a
x

2, Parabôn :
04
2
=
− axy

3, Hyperbôn :
01
2
2
2
2
=−−
b
y
a
x


Nhược điểm chính của mô hình đường cong dưới dạng phương trình ẩn là khó
thực hiện đồ hình tuần tự, đây là chức năng quan trọng trong đồ hoạ điện toán. Do vậy
trong mô hình hoá hình học, đường cong conic dưới dạng phương trình tham số được
sử dụng phổ biến hơn cả. Thực tế mô hình dạng phương trình đa thức ẩn có bậc cao
hơn 2 rất ít được s
ử dụng.

2. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức tường minh.

Phương trình tường minh dạng :
y = f(x) = a + bx + cx
2
+ mô tả đường
cong trên mặt phẳng x-y. Nếu f(x) là đa thức bậc 2, đường cong là Parabol.

Đặc tính tiêu biểu của đa thức tường minh là có thể chuyển đổi thành phương
trình ẩn hoặc phương trình tham số. Nếu

y = f(x), trong đó f(x) là đa thức của x, tức
là:
0)(),(
=
−≡
x
f
yy
x
g
hoặc x(t) = t ; y(t) = f(t) (3.1)

Do vậy phương trình đa thức tường minh có ưu điểm của phương trình ẩn và
phương trình tham số, đó là:

- Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến.
- Dễ dàng xác định vị trí tương quan giữa điểm với đường cong.
- Dễ dàng thực hiện đồ hình tuần tự.

Nhược điểm chính của dạng phương trình tường minh là không thể đ
iều khiển
đường cong khép kín hoặc đường thẳng đứng. Dạng phương trình (3.1) còn được gọi
là dạng phi tham số.



C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
3.1.3. ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC THAM SỐ.

Khảo sát việc thiết lập đường cong với điều kiện biên cho trước bao gồm toạ độ

và tiếp tuyến tại 2 điểm đầu và cuối: P
0
, P
1
, t
0
, t
1
. Vì rằng đường cong được định nghĩa
bởi 2 vectơ vị trí và 2 vectơ tiếp tuyến có thể biểu diễn chúng dưới dạng phương trình
đa thức vectơ bậc 3. Đa thức bậc 3 được sử dụng rất phổ biến, bởi vì đó là bậc tối
thiểu, đủ để dựng các loại đường cong trong không gian 3D.

1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức chuẩn tắc.

Đặc tính của mô hình đa thức chuẩn tắc là dễ dàng xác định.
Xét phương trình đa thức vectơ bậc 3:

r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = a + bu + cu
2
+ du
3

Có thể biểu diễn phương trình đa thức này dưới dạng ma trận theo vectơ cơ sở
U và vectơ hệ số A như sau:
[]
UA
d
c
b

a
uuuur =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
32
1)(
với
10
≤
≤
u
(3.2)

Phương trình đa thức bậc 3 (3.2) không thể hiện được ý nghĩa hình học, nhưng
có thể được sử dụng để thiết lập đường cong trơn láng đi qua 4 điểm dữ liệu { P
i
: i =
1, ,4} theo phương pháp sau:
Đặt d

i
là chiều dài cát tuyến giữa điểm P
i
và P
i+1
:

iii
PPd
−
=
+1
với i = 0, 1, 2
Từ đó giá trị tham số u
i
tại các điểm P
i
được xác định như sau:

0
0
=u
;
∑
=
i
ddu /
01
;
∑

+
=
i
dddu /)(
102
;
1
3
=
u

Đường cong bậc 3 (3.2) đi qua các điểm dữ liệu phải thoả điều kiện:

ii
Pur =)( ; với i = 1, ,4
Tổng quát, đường cong đa thức bậc n đi qua (n+1) điểm dữ liệu được biểu diễn
bởi phương trình đa thức:

∑
=
=
n
i
i
i
uaur
0
)(

2. Đường cong Ferguson.

Ferguson giới thiệu một
phương pháp khác sử dụng phương
trình (3.2). Theo đó đường cong
được thiết lập bởi (Hình 3.1):

a. Hai điểm đầu cuối P
0
và P
1.

b. Tiếp tuyến đầu cuối t
0
và t
1
.
r(u)
t
0
t
1
P

0
P
1
Hình 3.1 - Đường cong Ferguson