Đại Số Tuyến Tính Chương 1: Ma trậnHệ phương trình tuyến tính

Đại Số Tuyến Tính
PhD. DINH VAN HOANG


Application ???
• Network flow
• Electrical Network
• Google PageRank
• Computer Graphics
• Error Correcting Codes
• Check-digit Codes

Advanced Application
1.
2.

Machine learning
Cryptography

• Population Growth
• Input-Output
Economic Models
• Linear Recurrences
• Quadratic forms
• Markov chains
• System of Des
• Fourier Approximation


Tài liệu tham khảo
1. Đại số tuyến tính, Bùi Xuân Hải - Trịnh Thanh Đèo -Thái

Minh Đường -Trần Ngọc Hội, ĐHKHTN.
2. Linear Algebra with Applications, W. Keith Nicholson,
McGraw-Hill.
3. Elementary Linear Algebra (Applications version),
Howard Anton & Chris Rorres, Willey.
4. Linear Algebra and its application, Gilbert Strang.

Linear Programming and Game Theory: Chapter 8, Book 2.


Cách tính điểm trung bình mơn:
Thi cuối kì: 60%
Giữa kì: 20%
Điểm q trình: 20%
Cách tính điểm q trình:
Phát biểu: 5%
Bài tập nhóm: 15%
Vắng 1 buổi khơng phép: – 1%


Contents
Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính
Chương 2: Định thức
Chương 3: Không gian vector
Chương 4: Không gian Euclide
Chương 5: Trị riêng, vector riêng, chéo hóa ma trận
Chương 6: Dạng song tuyến tính - Dạng tồn phương

Chương 1:
Ma trận-Hệ phương trình tuyến tính
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Giới thiệu về ma trận
Các phép toán trên ma trận
Phép biến đổi sơ cấp
Hạng của ma trận
Hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Ma trận khả nghịch


Giới thiệu về
Hệ phương trình tuyến tính và Ma trận
Hệ 2 phương trình 2 ẩn


Hệ 3 phương trình 3 ẩn



1 1 2


2 4  3
 3 6  5

9

1
0 


§1. Ma Trận
Định nghĩa: Ma trận cỡ m × n trên ℝ là một bảng là một bảng
gồm m.n số thực được viết thành m hàng và n cột
như sau:
 a11
a
21

A
 ...

 am1

a12
a22
...
am 2

...

a1n 

... a2 n 
... ... 

... am n 

Kí hiệu: A = [aij]mxn
Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn trên R được ký
hiệu là Mmxn(R)


 a11
a
 21
 ...

 ai1
 ...

 am1

a12
a22
...

... a1 j
... a2 j
... ...

ai 2
...

...
...

aij
...

am 2 ... amj

Hàng thứ nhất

... a1n 
... a2 n 
... ... 

Hàng thứ i
... ain 
... ... 
 mxn: gọi là cấp của ma trận
... am n 

Cột thứ 2 Cột thứ j

aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j


Ví dụ:

1
0

A 
  3 1.5

a21

2

5 

2x3

 2 8  6
B  2 9
0 
 0  7  2 

3x3


Ma trận có số dịng=số cột = n đgl ma trận vuông cấp n.
Mn (ℝ là một bảng): Tập hợp tất cả ma trận vuông cấp n với hệ số
thực.
Mn (ℝ là một bảng): Tập hợp tất cả ma trận vuông cấp n với hệ số
nguyên.
a11 a22 … ann là đường chéo chính

Ví dụ:

Ma trận vng cấp 2 Ma trận vuông cấp 3

 0 7 8
 1 3 

  2 7 ;  4  2 0

 
 5 0 2 

đường chéo chính


Hai ma trận bằng nhau
A  aij 

mn

 bij 

mn

B  aij bij , i, j.


Các ma trận đặc biệt:
1. Ma trận không O:

aij 0, i, j.
(tất cả các phần tử đều = 0)
Ví dụ:

 0 0 0
O 

0
0
0




Các ma trận đặc biệt:
2. Ma trận chéo: là ma trận vng có:

aij 0, i  j.
(các phần tử ngồi đường chéo chính = 0)
Ví dụ:
 2 0 0
 0 4 0


 0 0 9 

 a11
 0

 ...

 0

0

a22
...
0

...

0
... 0 
... ... 

... ann 


Các ma trận đặc biệt:
3. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:

aii 1, i 1, 2,..., n.
Ký hiệu: I, In.
Ví dụ:

1
 1 0 0
0
 1 0
 0 1 0  , I 
I 2 
,
I

 3 

 n  ..
0
1


 0 0 1 

0

0
1
..
0

...
...
...
...

0
0 
.. 

1


Các ma trận đặc biệt:
4. Ma trận tam giác: là ma trận vng có

aij 0, i  j.(tam giác trên)

aij 0, i  j. (tam giác dưới)
Ví dụ:  1 2 5 4
 2 0 0 0
 0 3  1 0


 0 0 2 6


 0 0 0 9

MT tam giác trên

 7 1 0 0


 0 8 2 0


 2 9 1 5

MT tam giác dưới


Các ma trận đặc biệt:
5. Ma trận cột: là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:

 a11 
a 

 21 
 .. 
 
 am1 