Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Toán 2013 - Phần 1 - Đề 22 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (106.7 KB, 6 trang )
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1.Cho hàm số:
y=x
3
-(m+1)x
2
-(2m
2
-3m+2)x+2m(2m-1). (m-tham số)
a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+
) .
Bài 2.
a.Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau :
x
2
- 2mx + 2 mx +5 < 0. Có ít nhất một nghiệm.
b.Tìm a để phương trình sau có nghiệm và tìm nghiệm:
ax
x
a
LogLogLogLogLog
xaaax
.4
2
.
22
2
(1)
Bài 3.Cho tứ diện ABCD.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
và CD.Hai điểm R,S lần lượt lấy trên các cạnh AC và BD sao cho
k
BS
BD
AR
AC
(k > 0).
Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng.
Bài 4.
Cho tứ diện ABCD có BAD =90
0
và chân đường vuông góc hạ từ D xuống
mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng : (AB +BC +CA)
2
6(AD
2
+BD
2
+CD
2
).
Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện :
2y
x
2
; y
-2x
2
+ 3x .
Chứng minh rằng : x
2
+ y
2
2.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
HƯỚNG DẪN CHẤM.
Bài 1.(4điểm).
a.(2điểm)
Điểm A(x
0
;y
0
) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m.
0.5đ
0
2
02
023
02
.,0)2()23()2(2
.),12(2)232()1(
0
0
00
2
0
3
0
0
2
0
0
00
2
0
3
00
2
0
2
0
0
22
0
3
0
y
x
yxxx
xx
x
myxxxmxxmx
mmmxmmxmx
0.5đ
0.5đ
Vậy điểm A(2;0) là điểm mà đồ thị đi qua
m
0.5đ
b.(2điểm) Ta có:
)232()1(23)(
22,
mmxmxxgy
0.5đ
∆
’
=7m
2
–7m +7 = 7(m
2
-m+1) > 0 ,
m
0.5đ
y
,
0, );2(
x
02
2
0)2(
S
g
0.5đ
23
05
062
2
m
m
mm
0.5đ
Bài 2.(6điểm)
a.(3điểm) Bất phương trình đã cho tương đương với :
(*)052)(
22
mmxmx
0.5đ
đặt: t = mx điều kiện : t
,
0
0.5đ
(*)trở thành
0
)1(052
22
t
mtt
0.5đ
Hệ có nghiệm
0
0
2
'
t
(t
2
là nghiệm lớn)
0.5đ
0.5d 5
0.5d
041
04
2
2
m
m
m
b.(3điểm)
Đ/k : x>0 , x
1
, a>0 , a
1
0.5đ
(1)
x
x
x
x
a
aaa
a
log
logloglog
log
1
.2
22
1
.
1
2
x
xx
x
a
a
aaa
a
log
log
logloglog
log
22
2.
2
0.5đ
Đặt : t = x
a
log
, b= 2
log
a
.Ta được phương trình:
)2(022
22
2
btbt
t
b
tbt
t
0.5đ
-Nếu bt
thì )3(042)2(
2
btt
(3) có nghiệm
4
1
0' b
Lúc đó (3) có hai nghiệm btbt 411;411
21
Rõ ràng t
1
<-1 < b nên bị loại.
200)2(141
2
bbbbbbt
Vậy
20
b
2220
2
log
a
a
Vì a>0 nên a
2
0.5đ
-Nếu t< b thì (2) 02
2
tt
Vì t )1(0
x nên t=2
Theo điều kiện t< b, ta phải có: b>2 212122
2
log
aa
a
0.5đ
Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm khi a > 1
Khi 1<a<
2
thì nghiệm là x = a
2
Khi a
2
thì nghiệm là x = a
1241
log
a
0.5đ
Bài 3.(4điểm)
,,
22
0.5d )0BPAP (vi )(
2
0.5d )(
2
0.5d )(
2
1
0.5d )0BPAP (vi )(
2
1
0.5d )()(
2
1
0.5d )()(
2
1
0.5d )(
2
1
PSPRPQtovecbaPS
k
PR
k
PQ
PSPR
k
PSBPPRAP
k
BSARk
BDAC
BPAPBDAC
BPBDAPAC
PDPCPQ
Đồng phẳng hay bốn điểm P,Q,R,S cùng thuộc một mặt phẳng.
0.5đ
Bài 4.(4điểm)
Trước hết ta chứng minh CDA =90
0
Thật vậy:
Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC), giả sử CH cắt AB tại E
Do :AB
DH
và AB
CE
nên AB )(DEC
Suy ra : AB
DC
(1)
1đ
Mặt khác :theo giả thiết BDC =90
0
BDDC
(2)
Từ (1)và (2)
DADCABDDC )( CDA =90
0
0.5đ
Hoàn toàn tương tự :
ADB =90
0
0.5đ
Từ đó ta có :
AB
2
+ BC
2
+ CA
2
=2(AD
2
+BD
2
+CD
2
) (1)
0.5đ
Sử dụng bất đẳng thức Co-si , ta có:
(AB+BC+CA)
2
= AB
2
+BC
2
+CA
2
+2AB.BC+2BC.CA+2CA.AB
(AB
2
+BC
2
+CA
2
) (2)
Kết hợp (1),(2) ta được : (AB+BC+CA)
2
6(AD
2
+BD
2
+CD
2
)
1đ
Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA.
0.5đ
Bài 5.(2điểm)
Từ giả thiết suy ra :
xxy
x
32
2
2
2
(1)
0.5đ
(Các điểm thoả mãn (1)là phần
hình phẳng
được tô đậm ở hình bên).
Hoành độ giao điểm của hai
Parabol:
0
4
3
5
6
y
1
=
2
2
x
và y
2
=-2x
2
+3x
là nghiệm phương trình:
5
6
,032
2
2
2
xxxx
x
Với điều kiện (1) ,ta có :
x
2
+y
2
222
)32( xxx =
232
10124 xxx với
5
6
0 x 0.5đ
Ta xét hàm số :
f(x)=4x
4
–12x
3
+10x
2
trên
5
6
;0
f’(x)=16x
3
-36x
2
+20x
=4x(4x
2
-9x+5)
f’(x)=0
x=0 , x=1, x=
4
5
0.5đ
Bảng biến thiên
x 0 1 6\5
f’(x) + 0 -
2
f(x)
0
625
1224
Từ bảng biến thiên :
)(
5
6
;0
xMaxf
= 2.
Vì vậy : .2
22
yx Dấu bằng xẩy ra khi :x = y =1.
0.5
