Đề Thi Thử Đại Học Toán 2013 - Đề 41 docx

Trường THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP NĂM 2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian
giao đề
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:
4 2
4 3
y x x
= - + -

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số đã cho.
2) Dựa vào đồ thị (C),hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x
4
-
4x
2
+2m + 3=0
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải bất phương trình:
1
4 16.4 12
x x+ -
- =

2) Tính tích phân:
2
1
2 ln
e
x x
I dx
x
-
=
ò

3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
6 1
y x x
= - +
tại
các giao điểm của nó với đường thẳng
3 1
y x
= - -
.
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh
bằng 2a,
3
SA a=
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường
thẳng
D
và mặt phẳng
( )
a
lần lượt có phương trình
3 2 3
:
1 1 2
x y z
- - +
D = =
- -
;
( ) : 1 0
x y za
+ + + =

1) Chứng minh rằng đường thẳng  song song với mặt phẳng (α).
Tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng (α).
2) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng  với mặt phẳng
( )
Oyz
.
Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (α).
Câu Va (1,0 điểm): Cho

2
(1 2 )(2 )
z i i
= - + . Tính môđun của số phức
z

2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường
thẳng (d) có phương trình
2 1
1 2 3
x y z
+ -
= =
-
và điểm
(1; 2;3)
A -
1) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên đường thẳng (d)
2) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d.
Câu Vb (1,0 điểm): Viết số phức sau dưới dạng lượng giác
1
2 2
z
i
=
-


Hết

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
Câu

Ý
Nội dung Điểm


.
300
1

.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
4 2
4 3
y x x
= - + -

2,00
+Tập xác định : D = R.
0,25
+Sự biến thiên
 Đạo hàm:
3
4 8
y x x
¢
= - +
 Cho

3 2
2 2
4 0 0
0 4 8 0 4 ( 2) 0
2 0 2
x x
y x x x x
x x
é
é é
= =
ê
ê ê
¢
= Û - + = Û - + = Û Û Û
ê
ê ê
- + = =
ê
ê ê
ë ë
ë


0,5
 Giới hạn: lim lim
x x
y y
® - ¥ ® + ¥
= - ¥ = - ¥

;

0,25
I

 Bảng biến thiên
x
–
2
-
0
2
+

y
¢

+ 0 – 0 + 0 –
y
1 1

– –3 –

 Hàm số ĐB trên các khoảng
( ; 2),(0; 2)
- ¥ - , NB trên
các khoảng
( 2;0),( 2; )
- + ¥

Hàm số đạt cực đại y
CĐ
= 1 tại x
CĐ
2
= ±
, đạt cực tiểu y
CT

= –3 tại
0
x
=
CT
.
0,5

 Giao điểm với trục hoành: cho
2
4 2
2
1
1
0 4 3 0
3
3
x
x
y x x
x

x
é
é
= ±
=
ê
ê
= Û - + - = Û Û
ê
ê
= ±
=
ê
ê
ë
ë

Giao điểm với trục tung: cho
0 3
x y
= Þ = -

 Bảng giá trị: x
3
-

2
-
0
2

3

y 0 1 –3 1 0
 Đồ thị hàm số:

x
y
y
= 2m
2
- 2
- 3
3
1
2m
-3
-1
O
1

0,5
2


1,00

4 2 4 2
4 3 2 0 4 3 2
x x m x x m

- + + = Û - + - =
(*)
 Số nghiệm pt(*) bằng với số giao điểm của
4 2
( ) : 4 3
C y x x
= - + -
và d: y = 2m.
0.5



 Ta có bảng kết quả:
M 2m
Số giao điểm
của (C) và d
Số nghiệm
của pt(*)
m > 0,5 2m > 1 0 0
m = 0,5 2m = 1 2 2
–1,5< m < 0,5 –3< 2m < 1 4 4
m = –1,5 2m = –3 3 3
m < –1,5 2m < –3 2 2

0,25


0,25
II

3,00
1


1,00


1
16
4 16.4 12 4.4 12
4
x x x
x
+ -
- = Û - = (*)
 Đặt
4
x
t
=
(ĐK : t > 0), phương trình (*) trở thành:
0,25

0,25

2
16
4 12 4 12 16 0
t t t

t
- = - - =


1( )
t loai
= - hoc
4
t
=

Vi
4
t
=
ta cú
4 4 1
x
x
= =

Vy phng trỡnh cú nghim duy nht: x = 1.

0,25

0,25

2

1,00
2
1 1 1
1
2 ln ln ln
2 2
e
e e e
x x x x
I dx x dx xdx dx
x x x
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
= = - = -
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ ũ ũ ũ

0,25
Xột
2 2
1
1
1
2 1

e
e
I xdx x e
= = = -
ũ

0,25
Xột
2
1
ln
e
x
I dx
x
=
ũ
. t t=lnx
1
dt dx
x
ị = .
i cn
1
1 0
x e t
x t
ộ
= ị =
ờ

ờ
= ị =
ờ
ở

2
1
2
0
1
1
0
2 2
t
I tdt
= = =
ũ


0,25



Vy,
2 2
1 2
1 3
1
2 2
I I I e e

= - = - - = -

0,25
3


1,00
Vit pttt ca
3
6 1
y x x
= - +
ti cỏc giao im ca nú vi
ng thng
3 1
y x
= - -


Cho
3 3
6 1 3 1 3 2 1, 2
x x x x x x x
- + = - - - + = = -


0,5

2
3 6

y x
Â
= -

Vi
3
0 0
1 1 6 1 4
x y
= ị = - + = -
v
2
(1) 3.1 6 3
f
Â
= - = -

pttt ti
0
1
x
=
l:
4 3( 1) 3 1
y x y x
+ = - - = - -

0,25

Vi
3
0 0
2 ( 2) 6( 2) 1 3
x y
= - ị = - - - + = -
v
2
( 2) 3.( 2) 6 6
f
Â
- = - - =

pttt ti
0
1
x
=
l:
3 6( 2) 6 9
y x y x
+ = + = +

Vy, cú 2 tip tuyn cn tỡm l:
3 1
y x
= - -
v
6 9

y x
= +

0,25
III


1,00
O
M
A
C
B
S












 Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm
đoạn AM.
 Do ABC và SBC đều có cạnh bằng 2a nên
2 3

3
2
a
SM AM a SA SAM
= = = = Þ D đều
SO AM
^
(1)
 Ta có,
BC SM
BC SO
BC OM
ì
ï
^
ï
Þ ^
í
ï
^
ï
î
(2)
 Từ (1) và (2) ta suy ra
( )
SO ABC
^ (do
, ( )
AM BC ABC
Ì )

 Thể tích khối chóp S.ABC
1 1 1 1 3. 3 3
3 2
3 3 2 6 2 2
a a
V B h AM BC SO a a
= × × = × × × × = × × × =











0,25


0,25



0,25

0,25
1

1,00
IVa

 Đường thẳng
D
đi qua điểm
(3;2; 3)
M
-
, có vtcp
( 1; 1;2)
u = - -
r
nên có ptts:
3
2
3 2
x t
y t
z t
ì
ï
= -
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï

= - +
ï
ï
î
(1)
 Thay (1) vào pttq của mp(α) ta được:

(3 ) 2 ( 3 2 ) 1 0 0 3
t t t t
- + - + - + + = Û = -
(vn)
 Vậy, đường thẳng
D
song song với mp(
a
)
 Khoảng cách từ
D
đến mp(
a
) bằng khoảng cách từ
điểm M đến
( )
a
, bằng:



0,25

0,25




0,
5

2 2 2
1.3 2 ( 3) 1
3
( ,( )) ( ,( )) 3
3
1 1 1
d d Ma a
+ + - +
D = = = =
+ +

2 1,00
Mt phng
( )
Oyz
cú phng trỡnh x= 0
Thay ptts (1) ca
D
vo phng trỡnh x = 0 ta
c:

3 0 3
t t
- = =

Suy ra giao im ca ng thng
D
v mp(Oyz)
l:
(0; 1;3)
A -
Mt cu tõm A, tip xỳc vi
( )
a
cú bỏn kớnh
1 3 1
( ,( )) 3
3
R d A a
- + +
= = =
phng trỡnh:
2 2 2
( 1) ( 3) 3
x y z
+ + + - =
.
0,25

0,25

0,25

0,25


1,00 Va


2 2 2
(1 2 )(2 ) (1 2 )(4 4 ) (1 2 )(3 4 ) 3 4 6 8 11 2
z i i i i i i i i i i i
= - + = - + + = - + = + - - = -

Vy,
2 2
11 2
11 2
11 2 5 5
z i
z i
z
= -
ị = +
ị = + =


0,5

0,25

0,25
IVb



2,00
1


1,00

d i qua im
0
( 2;0;1)
M - cú vtcp
(1;2; 3)
u
= -
r
v
PTTS ca d l:

2
2
1 3
x t
y t
z t
ỡ
ù

= - +
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
= -
ù
ù
ợ
nờn nu
H d
ẻ
thỡ to
ca H cú dng
( 2 ;2 ;1 3 )
H t t t
- + -
( 3 ;2 2 ; 2 3 )
AH t t t
ị = - + + - -
uuur

Do
A d
ẽ
nờn H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn
d

. 0
AH d AH u
^ =
uuur
r



1
( 3 )1 (2 2 ).2 ( 2 3 ).( 3) 0
2
t t t t
- + + + + - - - = = -

Vy, hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn d l
5 5
; 1;
2 2
H
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- -
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

0,25

0,25



0,25


0,25
2


1,00

 Gọi
( )
S
là mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d
 Tâm của mặt cầu:
(1; 2;3)
A -
 Bán kính của mặt cầu:
( ) ( )
2 2
2
7
1

2 2
27
1
2
R AH= = - + + - =
 Vậy, phương trình mặt cầu cần tìm là:

2 2 2
27
( 1) ( 2) ( 3)
2
x y z- + + + - =

0,25

0,5



0,25
1,00 Vb



2
2 2
1 2 2 2 2 2 2 1 1
2 2 (2 2 )(2 2 ) 8 4 4
4 4
1 1 2

4 4 4
i i i
z i
i i i
i
z
+ + +
= = = = = +
- + -
-
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
Þ = + =
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

 Vậy,
1 1 2 2 2 2
cos sin
4 4 4 2 2 4 4 4
z i i i
p p
æ ö
æ ö
÷
ç

÷
ç
÷
ç
÷
= + = + = +
ç
÷
ç
÷
÷
ç ç
è ø è ø

0,25
0,25

0,5