Bài giảng Vi tích phân 1C: Chương 2 - Cao Nghi Thục

VI TÍCH PHÂN 1C
GV:  CAO  NGHI  THỤC
EMAIL:  


Chương  2
Giới  hạn  và  sự  liên  tục  của  hàm  số  
một  biến
I. Hàm số và cách biểu diễn hàm số
II. Hàm đơn ánh, toàn ánh, song ánh
III. Hàm hợp, hàm ngược
IV. Giới hạn của hàm số -­ khử dạng vô định
V. Hàm số liên tục
VI. Định lý giá trị trung gian
VII. Bài tập


Biểu  diễn  hàm  số
Định nghĩa
Cho Y,X ⊂ R . Hàm số f từ X vào Y là 1 quy
tắc cho tương ứng với mỗi số thực x thuộc X
một số thực y thuộc Y
KH:
Hoặc

Page  § 3

f : X →Y
y = f ( x)

Biểu  diễn  hàm  số
Biểu diễn hàm số
Có 4 cách
1)Hàm số cho bằng bảng
2)Hàm số cho bằng biểu đồ
3)Hàm số cho bằng cơng thức
4)Hàm số được mơ tả bằng lời

Page  § 4


Biểu  diễn  hàm  số
Định nghĩa
Miền xác định: D(f) = X
Miền giá trị của hàm f

R(Y ) = Y = { y ∈ R | y = f ( x), x ∈ D( f )}

Page  § 5


Hàm  số  đơn  ánh,  toán  ánh,  song  ánh  
f : X →Y

Page  § 6


Hàm  số  đơn  ánh,  tốn  ánh,  song  ánh  
Tồn ánh
Ánh xạ f : X → Y được gọi là toàn ánh nếu

f ( X ) = Y hay ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f ( x) = y
Ý nghĩa: một phần tử của Y là ảnh của ít nhất
một phần tử của X
VD2:

f : N → N , y = f ( x) = 3 x

không là tồn ánh
Page  § 7


Hàm  số  đơn  ánh,  toán  ánh,  song  ánh  

f : X →Y

Page  § 8


Hàm  hợp  – hàm  ngược

Hàm hợp
Cho các ánh xạ f : X → Y , g : Y → Z . Hàm
hợp của chúng là h = gof : X → Z được
xác định bởi

h( x) = g[ f ( x)]
VD4: Cho f : R → R, g : R → R, f ( x) = 2 x + 1, g ( x) = x 2 − 2
Xác định
Page  § 9

( gof )(4),( fog )(2)


Hàm  hợp  – hàm  ngược  

Hàm ngược
Cho ánh xạ f : X → Y
là song ánh. Ánh xạ
x → y = f ( x)
ngược của f là

f

−1

:Y → X
−1

y = f ( x) → x = f ( y )
Page  § 10


Hàm  hợp  – hàm  ngược
Hàm ngược

⎛ π π ⎞
f : ⎜ − , ⎟ → R, f ( x) = tan x
⎝ 2 2 ⎠

VD5 :

−1

f ??
VD6 :

f : ( 0, π ) → R, f ( x) = cot x
−1

f ??
Page  § 11


Hàm  hợp  – hàm  ngược
Hàm ngược

⎡ −π π ⎤
f : ⎢ , ⎥ → [−1,1] , f ( x) = sin x
⎣ 2 2 ⎦

VD7 :
−1

f ??
f : [0, π ] → [−1,1], f ( x) = cos x

VD8 :
−1

f ??
Page  § 12

Giới  hạn  của  hàm  số
Giới  hạn  của  hàm  số
Định  nghĩa  1

—
—

Cho  hàm  số  y=f(x)  xác  định  trên  miền  D.  Ta  nói    L  
là  giới  hạn  của  hàm  f  khi  x  tiến  tới  x  0 nếu  với  bất  
kỳ  dãy  xn trong  D\{x  0}  mà                                                                            
xn → x0
thì  

lim f ( xn ) = L
n→∞

Page  § 13


Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 14


Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 15

Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 16


Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 17


Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 18


Giới  hạn  của  hàm  số
— Các  tính  chất  của  giới  hạn
◦ Định  lý  1  
lim f ( x) = A, lim g ( x) = B
Cho                                                                          .  Khi  đó
x → x0

x → x0

lim c. f ( x) = c. A
x → x0
i.                                                                                    với  c  là  hằng  số
ii.
iii.

iv.
Page  § 19

lim[ f ( x) + g ( x)] = A + B

x → x0

lim[ f ( x).g ( x)] = A.B

x → x0

f ( x) A
lim
= ,B ≠ 0
x → x0 g ( x)
B


Giới  hạn  của  hàm  số
§Nhận  xét
§Cho
Khi  đó    

2

Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x

n

lim Pn ( x) = Pn ( x0 )

x → x0

§VD9:

Page  § 20

lim(2 x3 + x2 − x + 1) = lim(2.13 + 12 −1 + 1) = 3
x →1

x →1

Pn ( x )
R( x) =
§Cho
Qm ( x )
Khi  đó      
Pn ( x0 )
lim R ( x) =
x → x0
Qm ( x0 )


Giới  hạn  của  hàm  số
§Khi                                                                thì
A = +∞, B = −∞

lim[ f ( x) + g ( x)] → ∞ −∞

dạng  vơ  định  thứ  nhất

x → x0

§VD10: Tính  
§VD11:Tính

2

lim[ x + 4 x − x]

x →+∞

lim

x →+∞

§VD12:Tính

x+ x − x

(

3

3

)
3

lim x 2 x + 4 x + 1 + 4 − x − 2 x

x →+∞
Page  § 21

(

3

)


Giới  hạn  của  hàm  số
§Khi                                            hoặc                                                            
A = ∞, B = 0
A = 0, B = ∞

lim[ f ( x).g ( x)] → 0.∞
thì                                                          dạng  
vơ  định  thứ  hai
x→ x
0

Page  § 22


Giới  hạn  của  hàm  số
§Khi                                            hoặc                                                            
A = ∞, B = ∞
A = 0, B = 0

f ( x) 0 ⎛ ∞ ⎞
lim
→ ⎜ ⎟
thì                                                          dạng  
vô  định  thứ  ba(tư)
x → x0 g ( x )
0 ⎝ ∞ ⎠

§VD13: Tính                                                
1 + x −1
lim
x →0
x

x+ x
x +1

§VD14: Tính lim

x →+∞

§VD15: Tính        

3

x −1
lim 2
x →1 x − 1

Page  § 23

Giới  hạn  của  hàm  số
§Định  lý  2    Cho  3  hàm  số  f(x),  g(x),  h(x)  thỏa

f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x), ∀x ∈ (a, b)
Nếu                                                                thì
lim f ( x) = lim h( x) = A
x→ x0

x→ x0

lim g ( x) = A

x → x0

§Áp  dụng  ĐL2,  ta  CM  được  

sin x
lim
=1
x →0
x
Page  § 24


Giới  hạn  của  hàm  số

Page  § 25