Bài giảng Vi tích phân 1C: Chương 4 - Cao Nghi Thục

VI TÍCH PHÂN 1C
GV:  CAO  NGHI  THỤC
EMAIL:  


Chương  4
Phép  tính  tích  phân  hàm  một  biến

I. Tích phân bất định
II. Tích phân xác định
III. Tích phân suy rộng


1.  Tích  phân  bất  định
Định  nghĩa  
Cho  hàm  f(x)  liên  tục  trên  (a,b).  Hàm  F(x)  được  gọi  là  
1  nguyên  hàm  của  f(x)  nếu                                    .  Khi  đó  F(x)+c  
F ʹ′( x) = f ( x)
được  gọi  là  họ  nguyên  hàm  của  f(x)  và  ký  hiệu  

F ( x) + c = ∫ f ( x).dx

Page  § 3


1.  Tích  phân  bất  định
Các  tính  chất  của  TPBĐ  

∫ k. f ( x).dx = k ∫ f ( x)
∫ { f ( x) + g ( x)}.dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
∫ F ʹ′( x).dx = F ( x)

ʹ′

( ∫ f ( x)dx ) = f ( x)
Page  § 4


1.  Tích  phân  bất  định
Bảng  tích  phân  cơ  bản  

∫ x dx
α

xα +1
=
+c
α +1

1
∫ x dx = ln x + c
x
a
x
x
x
a
dx
=
+
c
,

e
dx
=
e
+c
∫
∫
ln a

∫ sin xdx = − cos x + c
∫ cos xdx = sin x + c

Page  § 5


1.  Tích  phân  bất  định
Bảng  tích  phân  cơ  bản  

1
∫ cos 2 x dx = tan x + c
1
∫ sin 2 x dx = − cot x + c
1
∫ 1 + x 2 dx = arc tan x + c
1
∫ 1 − x 2 dx = arcsin x + c

Page  § 6

1.  Tích  phân  bất  định
Phương  pháp  tính  tích  phân
PP  Đổi  biến
VD1:  Tính    

3

I = ∫ sin x.cos x.dx

t = sin x ⇒ dt = cos x.dx
4

4

t
sin x
I = ∫ t .dt = + c =
+c
4
4
3

Page  § 7


1.  Tích  phân  bất  định
Phương  pháp  tính  tích  phân
PP  Đổi  biến
VD2:    Tính    

Page  § 8

5

I = ∫ sin xdx


1.  Tích  phân  bất  định
Phương  pháp  tính  tích  phân
PP  Tích  phân  từng  phần

∫ udv = uv − ∫ vdu
2
x
VD3:    Tính   ∫ ln xdx

Page  § 9


1.  Tích  phân  bất  định
Phương  pháp  tính  tích  phân
PP  Tích  phân  từng  phần
2 x
VD4:    Tính                                          
x e dx

∫

VD5:    Tính

Page  § 10

∫ x sin xdx


2.  Tích  phân  xác  định
Định  nghĩa

Page  § 11


2.  Tích  phân  xác  định
Định  nghĩa

Page  § 12


2.  Tích  phân  xác  định
Định  nghĩa

Page  § 13


2.  Tích  phân  xác  định
Định  nghĩa

Page  § 14


2.  Tích  phân  xác  định

Định  nghĩa

Page  § 15


2.  Tích  phân  xác  định
Định  nghĩa

Page  § 16


2.  Tích  phân  xác  định
Định  nghĩa

Page  § 17


2.  Tích  phân  xác  định
Định  nghĩa

Page  § 18


2.  Tích  phân  xác  định
Định  nghĩa

Page  § 19


2.  Tích  phân  xác  định

Page  § 20


2.  Tích  phân  xác  định
Cơng  thức  Newton  -­ Leibnitz
Cho  hàm  số  f(x)  liên  tục  trên  [a,b].  F(x)  +c  là  họ  
nguyên  hàm  của  f(x).  Khi  đó  TPXĐ  của  f(x)  từ  a  đến  
b    là
b

b

∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a)
a

Page  § 21


2.  Tích  phân  xác  định
Ý  nghĩa  hình  học

b

Cho  f(x)  liên  tục  [a,b]  và                          .  Khi  đó                                          
f ( x) ≥ 0
∫ f ( x)dx = S
a

Chính  là  diện  tích  hình  thang  cong  giới  hạn  bởi  

x=a,x=b,y=0,y=f(x)    

Page  § 22


2.  Tích  phân  xác  định
Các  tính  chất  của  TPXĐ
b

b

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a

a

b

b

b

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a

b

a

a

a

a

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx = 0
a

b

a

b

f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [a, b] ⇒

∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx
a

Page  § 23

b

a


2.  Tích  phân  xác  định
Các  tính  chất  của  TPXĐ
b

∫
a

c

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, ∀c ∈ [a, b]
a

c

b

M ≤ f ( x) ≤ N , ∀x ∈ [a, b] ⇒ M (b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ N (b − a)
a

Page  § 24


2.  Tích  phân  xác  định
Phương  pháp  tính  TPXĐ
Phương  pháp  đổi  biến
2

VD6: Tính   I = ∫ 4 − x 2 dx

x = 2sin t ⇒ dx = 2cos tdt

0

π
x = 0 ⇒ t = 0, x = 2 ⇒ t =
2
π
2

2

π
2

π
2

0

0

I = ∫ 4(1 − sin t ).2cos tdt = 4 ∫ cos t cos tdt = 4 ∫ cos 2 tdt
0

Page  § 25