Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm

Lời nói đầu
Luận văn đã trình bày được các khái niệm mới như hệ tam phân mũ đều và
không đều, một số tính chất cơ bản của chúng, tập trung nghiên cứu hệ tam
phân mũ không đều trên đa tạp tâm. Đối xứng thuận nghịch thời gian là một
trong những đối xứng cơ bản được nghiên cứu trong khoa học tự nhiên, nó xuất
hiện trong nhiều hệ vật lý, đặc biệt là cơ học cổ điển và lượng tử. Trong khn
khổ của luận văn này tơi chỉ trình bày tính thuận và tính nghịch của phương
trình vi phân có tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm trong không gian
Banach vô hạn chiều.
Luận văn được chia thành 3 chương:
Chương 1: Giới thiệu sơ lược các khái niệm tam phân mũ đều, tam phân
mũ khơng đều của phương trình vi phân, khái niệm đa tạp tâm.
Chương 2: Trình bày tính thuận nghịch của phương trình vi phân trong
khơng gian Banach vơ hạn chiều.
Chương 3: Trình bày tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân
có tam phân mũ khơng đều trên đa tạp tâm trong không gian Banach vô hạn
chiều.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS. Lê
Huy Tiễn - Giảng viên khoa Tốn-Cơ-Tin học, trường ĐH Khoa học tự nhiên.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học,
những người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi trong suốt khóa
học.
Cuối cùng, tơi gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và đặc biệt là chồng tôi, đã
luôn ở bên tôi, động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Phan Thị Thanh Vân

1

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Hệ tam phân mũ
Hệ tam phân mũ đều

Cho X là không gian Banach, xét một ánh xạ liên tục t 7→ A(t) sao cho A(t)
là toán tử tuyến tính bị chặn trên X với mỗi t ∈ R và phương trình
v 0 = A(t)v

(1.1)

Nghiệm của (1.1) với v (s) = vs có thể được viết dưới dạng v (t) = T (t, s)v (s), với
T (t, s) là tốn tử tiến hóa liên kết. Ta có
T (t, t) = Id

và T (t, s)T (s, r) = T (t, r)

với mọi t, s, r ∈ R, T (t, s) khả nghịch và T (t, s)−1 = T (s, t) với mọi t, s ∈ R. Giả
sử A(t) có dạng chéo khối tương ứng với các thành phần hợp thành E , F1 , F2
(X = E ⊕ F1 ⊕ F2 ), với E , F1 , F2 tương ứng là các không gian con tâm, ổn định
và khơng ổn định. Khi đó nghiệm của (1.1) có thể được viết dưới dạng
v (t) = (U (t, s), V1 (t, s), V2 (t, s))v (s)

trong đó U (t, s), V1 (t, s) và V2 (t, s) là các toán tử tiến hóa liên kết tương ứng với
ba khối của A(t), T (t, s) = (U (t, s), V1 (t, s), V2 (t, s)).

Định nghĩa 1.1. Ta nói phương trình (1.1) có tam phân mũ đều nếu tồn tại
các hằng số b > a ≥ 0, d > c ≥ 0, và D > 0 sao cho
2


1. Với mọi s, t ∈ R, t ≥ s,
−1

||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s) , ||V2 (t, s)

|| ≤ De−b(t−s) ,

2. Với mọi s, t ∈ R, t ≤ s
||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t) , ||V1 (t, s)

1.1.2

−1

|| ≤ De−d(s−t) .

Hệ tam phân mũ không đều

Hệ tam phân mũ không đều là một trường hợp mở rộng của hệ tam phân
mũ đều, chúng ta tìm hiểu sự giống và khác nhau căn bản giữa chúng.
Giả sử X là không gian Banach, và A : R → B (X ) là một hàm liên tục, trong
đó B (X ) là tập hợp các tốn tử tuyến tính bị chặn trên X.
Xét bài toán giá trị ban đầu
v 0 = A(t)v,

v (s) = vs ,

(1.2)

với s ∈ R và vs ∈ X . Giả thiết rằng tất cả các nghiệm của (1.2) là tồn cục.
Ta viết nghiệm duy nhất của bài tốn giá trị ban đầu trong (1.2) dưới dạng
v (t) = T (t, s)v (s), ở đó T (t, s) là tốn tử tiến hóa liên kết.
Xét các hằng số
0 ≤ a < b,

0 ≤ c < d,

(1.3)

a0 , b 0 , c 0 d 0 ≥ 0

(1.4)

Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng phương trình tuyến tính v 0 = A(t)v có một tam
phân mũ khơng đều nếu tồn tại các hàm P, Q1 , Q2 : R → B (X ) sao cho P (t),
Q1 (t) và Q2 (t) là các phép chiếu với
P (t) + Q1 (t) + Q2 (t) = Id,
P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s),

Qi (t)T (t, s) = T (t, s)Qi (s), i = 1, 2

với mọi t, s ∈ R, và tồn tại các hằng số như trong (1.3)-(1.4) và Di > 0, 1 ≤ i ≤ 4
sao cho
1. Với mọi t, s ∈ R, t ≥ s,
0

||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a |s| ,

0

||T (t, s)−1 Q2 (t)|| ≤ D3 e−b(t−s)+b |t| ; (1.5)

3


2. Với mọi t, s ∈ R, t ≤ s,
0

||T (t, s)P (s)|| ≤ D2 ec(s−t)+c |s| ,

0

||T (t, s)−1 Q1 (t)|| ≤ D4 e−d(s−t)+d |t| . (1.6)

Các hằng số trong a, b, c, d được coi như các số mũ Lyapunov, trong khi tính
khơng đều của dáng điệu mũ được quyết định bởi các hằng số trong a0 , b0 , c0 , d0 .
Khi ba thành phần của nghiệm tương ứng với các thành phần tâm, ổn định và
khơng ổn định của A(t) ta có thể lấy a = c = 0 (do đó b > 0 và d > 0).
Nhận xét 1.1. So sánh hai định nghĩa về tam phân mũ đều và tam phân
mũ không đều ta thấy hệ tam phân mũ khơng đều có thêm một lượng mũ
a0 |s|, b0 |t|, c0 |s|, d0 |t|. Khi a0 = b0 = c0 = d0 = 0 thì khái niệm tam phân mũ khơng
đều trùng với khái niệm tam phân mũ đều.
Ví dụ 1.1. Cho ω > ε > 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R3
x0 = 0 ,

y 0 = (−ω − εt sin t)y,

z 0 = (ω + εt sin t)z.

(1.7)

Hệ phương trình vi phân (1.7) có tam phân mũ không đều.
Chứng minh. Ta thấy nghiệm của hệ (1.7) được viết dưới dạng
x(t) = U (t, s)x(s), y (t) = V1 (t, s)y (s), z (t) = V2 (t, s)z (s),

trong đó
U (t, s) = 1,
V1 (t, s) = e−ωt+ωs+εt cos t−εs cos s−ε sin t+ε sin s ,
V2 (t, s) = eωt−ωs−εt cos t+εs cos s+ε sin t−ε sin s .

Tốn tử tiến hóa T (t, s) của hệ (1.7) được cho bởi
T (t, s)(x, y, z ) = (U (t, s)x, V1 (t, s)y, V2 (t, s)z ).

Giả sử P (t), Q1 (t), Q2 (t) : R3 → R3 là các phép chiếu được xác định bởi
P (t)(x, y, z ) = x, Q1 (t)(x, y, z ) = y, Q2 (t)(x, y, z ) = z

Rõ ràng các phép chiếu này thỏa mãn các điều kiện về phép chiếu trong định
nghĩa của hệ tam phân mũ không đều. Chọn b = d = ω − ε, b0 = d0 = 2ε
4


và các hằng số a, a0 , c, c0 > 0, a < ω − ε, c < ω − ε. Ta chỉ ra rằng tồn tại
D1 = D2 = D3 = D4 = D > 1 sao cho
0

||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s

0

||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s

||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| ,
||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| ,

Vì ||U (t, s)|| = 1 nên ta có
0

||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| với t ≥ s
0

||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| với t ≤ s

với mọi a, a0 , c, c0 > 0, a < ω − ε, c < ω − ε; D > 1. Ta chứng minh
||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s

(1.8)

||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s

(1.9)

và
Ta viết lại V1 (t, s) như sau:
V1 (t, s) = e(−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t) ,

suy ra
V1 (s, t) = e(−ω+ε)(s−t)−εt(cos t−1)+εs(cos s−1)−ε(sin s−sin t) .

(1.10)

Với 0 ≤ t ≤ s, từ (1.10) ta có
V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t)+2εt ,

với t ≤ 0 ≤ s ta có
V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t) ,

với t ≤ s ≤ 0 ta có
V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t)+2ε|s| ≤ e2ε e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|

mà V1 (s, t) = V1 (t, s)−1 suy ra V1 (t, s)−1 ≤ e2ε e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| .
Điều này cho ta (1.8). Để thu được (1.9) ta chứng minh tương tự. Từ
V2 (s, t) = e(−ω+ε)(t−s)−εs(cos s−1)+εt(cos t−1)+ε(sin s−sin t)

ta có
V2 (t, s)−1 ≤ e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|

Từ việc thỏa mãn (1.9) và (1.8) ta có hệ (1.7) có một tam phân mũ không
đều.
5


1.1.3

Không gian con tâm, ổn định và không ổn định

Giả sử rằng phương trình v 0 = A(t)v có một tam phân mũ không đều. Ta xét
ba không gian con tuyến tính
E (t) = P (t)X, Fi (t) = Qi (t)X, i = 1, 2

với mỗi t ∈ R. Ta gọi E (t), F1 (t) và F2 (t) tương ứng là không gian con tâm, ổn
định và không ổn định tại thời điểm t. Ta có:
X = E (t) ⊕ F1 (t) ⊕ F2 (t) với mọi t ∈ R

và dim E (t), dim F1 (t), dim F2 (t) không phụ thuộc vào thời điểm t. Nghiệm của (1.2)
có thể được viết dưới dạng
v (t) = (U (t, s)ξ, V1 (t, s)η1 , V2 (t, s)η2 ) với t ∈ R

(1.11)

với vs = (ξ, η1 , η2 ) ∈ E (s) × F1 (s) × F2 (s), trong đó
U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s)
Vi (t, s) := T (t, s)Qi (s) = T (t, s)Qi (s)2 = Qi (t)T (t, s)Qi (s),

i = 1, 2.

Trong trường hợp đặc biệt, nếu không gian con tâm, ổn định và không ổn định
không phụ thuộc vào t, tức là E (t) = E , Fi (t) = Fi , i = 1, 2 với mọi t, thì tốn
tử T (t, s) phải có dạng tương ứng với tổng trực tiếp E ⊕ F1 ⊕ F2 , hay T (t, s) có
thể được biểu diễn dưới dạng


U (t, s)
0
0





T (t, s) =  0
V1 (t, s)
0 


0
0
V2 (t, s)
Ngoài ra, các toán tử
U (t, s) : E (s) → E (t) và Vi (t, s) = Fi (s) → Fi (t), i = 1, 2

là khả nghịch. Kí hiệu tốn tử nghịch đảo tương ứng là U (t, s)−1 và Vi (t, s)−1 , i =
1, 2 ta có:
U (t, s)−1 = U (s, t) và Vi (t, s)−1 = Vi (s, t)

với mọi t, s ∈ R. Chú ý rằng các bất đẳng thức ở (1.5)-(1.6) có thể viết lại thành:
0

||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| ,

0

||V2 (t, s)−1 || ≤ De−b(t−s)+b |t|

6

0

||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| ,

0

||V1 (t, s)−1 || ≤ De−d(s−t)+d |t| .

Tiếp theo ta định nghĩa góc giữa hai không gian con F1 và F2 , E và F1 , E và F2
tương ứng như sau
α(t) = inf {||y − z|| : y ∈ F1 (t); z ∈ F2 (t); ||y|| = ||z|| = 1}

(1.12)

β1 (t) = inf {||x − y|| : x ∈ E (t); y ∈ F1 (t); ||x|| = ||y|| = 1}
β2 (t) = inf {||x − z|| : x ∈ E (t); z ∈ F2 (t); ||x|| = ||z|| = 1}

Mệnh đề 1.1. Với mọi t ∈ R ta có:
2
1
≤ α(t) ≤
,
||Q1 (t)||
||Q1 (t)||

1
2
≤ α(t) ≤
,
||Q2 (t)||

||Q2 (t)||

1
2
≤ β1 (t) ≤
,
||P (t)||
||P (t)||
1
2
≤ β2 (t) ≤
,
||P (t)||
||P (t)||

2
1
≤ β1 (t) ≤
,
||Q1 (t)||
||Q1 (t)||
1
2
≤ β2 (t) ≤
.
||Q2 (t)||
||Q2 (t)||

Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp của góc giữa khơng gian con ổn
định và khơng ổn định α(t). Các bất đẳng thức khác được chứng minh tương

tự. Chú ý rằng Q1 (t)(y − z ) = y với y, z được cho bởi (1.12). Do đó,
1 = ||Q1 (t)(y − z )|| ≤ ||Q1 (t)||.||y − z||,
suy ra

1
≤ α(t).
||Q1 (t)||
2
Tiếp theo ta chứng minh α(t) ≤
.
||Q1 (t)||
Thật vậy, với mỗi v, ω ∈ X mà v¯ = Q1 (t)v 6= 0 và ω
¯ = Q2 (t)ω 6= 0 thì















v¯
|(¯

v−ω
¯ )||ω|| + ω
¯ (||ω
¯ || − ||v¯||)
| 2||v¯ − ω
ω
¯
¯ ||






≤
.


||v|| − ||ω||