Điều khiển số (Digital Control Systems) pot

21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội1
Điềukhiểnsố
(Digital Control Systems)
Các ví dụ: Đánh số thứ tự theo
chương của giáo trình cùng tên
(Version 5, 8/2011)
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội2
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệutrênmiền ảnh z
Ví dụ 1.2.1
Một tín hiệugiánđoạnvề
thờigianđượcmôtả bởi:
()
1
1
1
1
z
Uz
z
z
−
==
−
−
Lờigiải:
Dễ dàng tìm ảnh z củatínhiệukể trên bằng cách tính tổng
Laurent:
()
()
00

k
kk
kk
a
Uz az
z
∞∞
−
==
⎛⎞
⎟
⎜
==
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∑∑
Chuỗitrênchỉ hộitụ khi , tứclàở vùng phía ngoài đường tròn có bán kính a.
1az<
Hãy đi tìm ảnh U(z) và miềnhộitụ củatínhiệu!
Ví dụ 1.2.2
Hãy đi tìm ảnh z của hàm bướcnhẩy đơnvị 1(t) !
() () ( )
()
1
00
1 khi 0 1 khi 0,1, 2,

11 1
0khi 0 0khi 0
k
k
k
kk
tk
ut u U z z z
tk
∞∞
−−
==
⎧⎧
≥=
⎪⎪
⎪⎪
== ⇒ = ⇒ = ⋅=
⎨⎨
⎪⎪
<<
⎪⎪
⎩⎩
∑∑
…
()
0
1
s
s
r

rq
q
∞
=
=
−
∑
()
1
1
1
1
z
Uz
z
z
−
==
−
−
Kếtquả trên đúng vớimọi giá trị trên toàn miền z, trừđiểm z = 1.
Khi thay vào chuỗi: các giá trị q = z
-1
và r = 1 ta thu được:
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội3
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệutrênmiền ảnh z
Ví dụ 1.2.3
Ví dụ 1.2.4
Hãy tìm ảnh z của hàm e mũ (hàm exponent) !

() ( ) ( )
()
1
00
;0 ; 0,1,2,
k
at akT akT k aT
k
kk
ft e t fkT f e k Fz e z e z
∞∞
−−
==
=≥⇒ == = ⇒ = =
∑∑
…
Kếtquả tính tổng củachuỗilà:
()
1
1
11
aT
aT aT
ez
Fz
ez e z
−
−−
==
−−

Hãy tìm ảnh z của hàm dốctuyến tính !
(
)
; 0; constft att a=≥=
Dễ dàng viết được ảnh F(z) dướidạng chuỗinhư sau:
()
0
k
k
F
zakTz
∞
−
=
=
∑
Để tính tổng trên ta phảiáp
dụng nguyên lý tịnh tiếnvà
sử dụng ảnh z củahàmbước
nhẩy1(t) và viếtlại công
thứctrên:
()
()
123
23
3
12 12
1
2
11 1

11
1
Tz Tz Tz
Tz Tz
Fz a
Tz
zz z
aT z z aT z z
zz z
zz aTz
aT z
zz
z
−−−
−−
−
−− −−
−
⎡
⎤
+++
⎢⎥
⎢⎥
++
⎢⎥
=
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥

⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
⎡
⎤
⎢⎥
=++=++
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢⎥
−− −
⎣⎦
==
−−
−





21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội4
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệutrênmiền ảnh z
Ví dụ 1.2.5
Bổ xung lý thuyết:
Tìm hàm gốccủa ảnh z cho trướcbằng phương pháp tách phân thứchữutỷ thành
các phân thứctốigiản. Sau đólầnlượt tìm hàm gốccủa các phân thứctốigiản.
k

z
a
za
⇔
−
()
()
1
;1,2,
1
1
1
km
m
m
km
k
z
am
m
za
k
za a
m
−+
−
−
⎛⎞
⎟
⎜

⎟
⇔=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝⎠
−
⎛⎞
−
⎟
⎜
⎟
−⇔
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝⎠

•Điểmcực đơn:
•Điểmcựclặplại m lần:
Cho trước ảnh z có dạng phân thức:
()

2
0,9
0,5 0, 4
0,1 0, 2
z
zz
Fz
zz
zz
==−
−+
−−
Áp dụng công thức để tìm hàm gốc:
(
)
0,5 0, 4
k
k
k
f =−−
Ví dụ:
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội5
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệutrênmiền ảnh z
()
(
)
(
)
0,9

0,5 0, 4
z
Fz
zz
=
−+
Xét hàm ảnh cho ở ví dụ 1.2.5:
()
()
()()
()
()
()()
()
1
2
1
1
1
0,5
z
1
1
2
0,4
z
0,9 0,5
0,5 Res lim 0,5
0,5 0, 4
0,9 0, 4

0, 4 Res lim 0,4
0,5 0, 4
k
kk
z
k
k
k
z
zz z
zFzz
zz
zz z
zFzz
zz
−
−
→
−
−
→−
⎧
⎡
⎤
⎪
−
⎪
⎢⎥
⎡⎤
⎪

=⇒ = =
⎪
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎪
−+
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎪
⎪
⎨
⎪
⎡⎤
+
⎪
⎢⎥
⎪
⎡⎤
=− ⇒ = =− −
⎪
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎪
−+
⎪
⎢⎥
⎣

⎦
⎪
⎩
⎪
Có hai điểmcực z
1
, z
2
, vậykhi:
Hàm gốccódạng sau:
(
)
0,5 0,4
k
k
k
f =−−
Ví dụ 1.2.6
Bổ xung lý thuyết:
Tìm hàm gốccủa ảnh z cho trướcbằng phương pháp tính
Residuum. Khi z = z
ν
là điểmcực
-lặplại m lần:
- đơn:
Hàm gốccódạng:
()
1
1
Res

n
k
k
f
Fzz
ν
−
=
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
∑
()
()
()( )
() ()( )
1
11
1
z
11
z
1
Res lim
1!
Res lim
m
m
kk

m
zz
kk
zz
d
Fzz Fz z z z
m
dz
Fzz Fz z z z
ν
ν
ν
ν
ν
ν
−
−−
−
→
−−
→
⎡
⎤
⎡⎤
=−
⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣

⎦
−
⎡⎤⎡ ⎤
=−
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội6
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.1 Mô tả khâu có bảnchấtgiánđoạnbằng phương trình sai phân
Hãy tìm giá trị trung bình [x
k
], tính từ 4 giá trị mớinhấtcủadãy[u
k
] !
Chú ý
: Còn gọi là phép tính trung bình trượt.
()
123
1
4
kkkkk
xuuuu
−− −
=+++
Có thể giảm nhu cầutínhtoánbằng cách sử dụng giá trị vừa tính trước đó:
()
11234
1
4

kkkkk
xuuuu
−−−−−
=+++
Vậy:
()
14
1
4
kk kk
xx uu
−−
=+ −
Ví dụ 1.3.2 Mô tả khâu có bảnchấtgiánđoạnbằng hàm truyền đạt
()()()() () ()
4
14
14
1
1111
444
1
kk kk
z
x
xuu XzzXzUzzUz Uz
z
−
−−
−−

−
−
⎡⎤
=+ − ⇒ = + − =
⎢⎥
⎣⎦
−
Tiếpvídụ 1.3.1:
Thuật toán tính giá trung bình trượtcóthểđượcmôtả bởihàmtruyền đạtsau:
()
(
)
(
)
4
1
11
4
1
Xz
z
Gz
Uz
z
−
−
−
==
−
Phép tính trên đượcgọilàthuật toán tính giá trị trung bình trượt, đặctrưng cho mộtkhâucó

bảnchấtgiánđoạn.
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội7
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.3 Mô tả khâu có bảnchất liên tụcvớitínhiệuvàobậcthangbằng hàm
truyền đạt
Hãy tìm hàm truyền đạtcủa khâu tỷ lệ có quán tính bậcnhất(khâuPT1):
()
1
1
1
Gs
s
T
=
+
Cách 1:
() ()
()
() ()
1
11
11
11
11
⎛⎞
⎟
⎜
=⇒= ⇒=−
⎟

⎜
⎟
⎜
⎟
++
⎝⎠
t
T
Gs Hs ht e t
sT s sT
•Từảnh G(s) ta tìm ảnh H(s) để sau đótìmhàmgốc h(t)
•Sau khi gián đoạnhóahàmgốc h(t),
ta tìm ảnh z củatínhiệugiánđoạn h
k
:
()
1
1
1
1
kT
T
kT
k
TT
zz
he Hz
z
ze
−

−
=− ⇒ = −
−
−
•Vậy hàm truyền đạtcódạng:
()
()
()
1
11
1
11
11
TT
TT TT
ze
Gz z Hz
ze ze
−
−
−−
−−
=− =− =
−−
Cách 2:
•Có thể tách ảnh H(s) thành 2
phân thứctốigiản:
()
()
1

1
1
1
11
1
1
T
Hs
s
s
ss
T
T
==−
+
+
•Dễ dàng tìm ảnh z của H(s) bằng
cách tìm ảnh củatừng phân thức
tốigiản:
()
{}
()
()
()
()
1
1
1
1
1

1
1
TT
TT
TT
zz
Hs Hz
z
ze
e
Gz z Hz
ze
−
−
−
−
Ζ==−
−
−
−
⇒=− =
−
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội8
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bảnchất liên tụcvớitínhiệuvàobậcthangbằng hàm
truyền đạt
()
()
()

()()
()
12
12
11 1
S m
m
xs
K
Gs T T T
u s sT sT sT
== ≠≠
++ +
…
…
Hãy tìm hàm truyền đạttrênmiền ảnh z cho đốitượng sau:
•Tách H
S
(s) thành các phân thứctốigiản:
()
()
12 0
12
12
12
0
1; 1;
11 1
11 1
11 1

111
;1,2,,
S
mm
S
m
m
mm
i
jji jji
jij
K
Gs
TT T A A
AA
Hs
ss
ss s
ss s s
TT T
TT T
AKA K i m
TTT
=≠ =≠
== =++++
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
⎟
⎟⎟
⎜

⎜⎜
++ +
⎟
⎟⎟
++ +
⎜
⎜⎜
⎟
⎟⎟
⎜
⎜⎜
⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
==− −+ =
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝ ⎠

∏∏


…
…
•Chuyển H
S
(s) sang miền ảnh z:
() ()
{}
00
1
11
1
1
1
1
i
mm
ii
SS
T
ii
T
i
AA A A
Hs Hs
s
z
s

ze
T
−
−
==
−
⎛⎞
⎟
⎜
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
=+ ⇒Ζ = +
⎟
⎜
⎟
⎜

⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
−
⎜
⎟
⎟
⎜
+
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
⎜
−
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∑∑
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội9
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bảnchất liên tụcvớitínhiệuvàobậcthangbằng hàm
truyền đạt
()
()
()

{}
()
111
0
11;
1
1
1
1
111
1
1
j
i
i
T
T
m
mm
T
T
i
ijji
i
SS
T
m
T
i
Aze zA ze

Gz z Hs
ze
−
−
−−−
==≠
=
−
−
−
=
⎛⎞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
−+− −
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜

⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝⎠
⎝⎠
=− Ζ =
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∑
∏∏
∏
•Quy đồng mẫusố:
•Ví dụ bằng số cụ thể: m = 3; K = 1; T
1
= 10s; T

2
= 7,5s; T
3
= 5s
Bảng: Hệ số của G
S
(z) vớicácchukỳ trích mẫu T khác nhau
0,22608
0,26433
0,01672
-0,59381
0,10645
-0,00552
0,50712
0,15867
0,22570
0,01813
-0,76681
0,18243
-0,01312
0,40250
0,09896
0,17182
0,01746
-0,99538
0,31484
-0,03122
0,28824
0,05108
0,1086

0,01391
-1,2993
0,54723
-0,07427
0,17362
0,0186
0,0486
0,0078
-1,7063
0,958
-0,1767
0,0750
0,00269
0,00926
0,00186
-2,25498
1,68932
-0,42035
0,01399
b
1
b
2
b
3
a
1
a
2
a

3
∑b
i
=1+∑a
i
12108642T [s]
Nhậnxét:Khi tăng dần T
•Giá trị các tham số a
i
nhỏ
dần.
•Giá trị các tham số b
i
tăng
dần.
•Tổng ∑b
i
=1+∑a
i
tăng dần.
•Khi T lớn, ta có:
và vì vậycóthể bỏ qua a
3
,
b
3
. Mô hình ban đầuthực
tế chỉ cònlàmôhìnhbậc2.
33
1;

ii
aabb+
∑∑

21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội10
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.5 Mô tả khâu có bảnchất liên tụcvớitínhiệuvàobậcthangbằng hàm
truyền đạt
Ví dụ xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc2(khâu PT2), được điều khiểnbởitínhiệu vào có dạng
bậcthang. Đâylàkhâuliêntục mang tính điển hình. Để dễ so sánh, ta chọn đốitượng là động
cơ mộtchiều (ĐCMC), được điềukhiểnbởi điện áp nuôi ở phầ
n ứng.
Gọi u
A
(t) là điện áp nuôi và n(t) là tốc độ quay, ĐCMC có mô hình trên miền ảnh Laplace sau:
()
()
()
2
1
A
mech mech el
Ns
K
Gs
Us
sT s T T
==
++

()
1
2
0
0
6111
sec; sec; sec
568
AA
mech el
A
JR L
TTKV
Rc
ck
ψ
ψ
−
== == ==
Với:
J Mômen quán tính của các
khốigắnvàotrục ĐCMC
ψ
0
Từ thông (coi là const)
R
A
Điệntrở mạch phần ứng
L
A

Điệncảmmạch phần ứng
c, k Các hằng số của ĐCMC
•Sau khi thay số cụ thể, ta biếtrằng khâu PT2
trên có thểđượcthaythế bởi 2 khâu PT1, với
T
1
= 1sec và T
2
= 0,2sec:
()
()()
2
12
1
8
61
11
1
55
==
++
++
K
Gs
sT sT
ss
•Ta đãbiết công thức:
() () ()
{}
()

()
()
{}
1
1
SH S
Gz G sGs Gz z Hs
−
=Ζ ⇔ = − Ζ
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội11
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.5 (tiếp)
()
()
()()
1
12
11
1;
11 8
−
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
=−Ζ =
⎨⎬
⎪⎪
++
⎪⎪

⎩⎭
S
Gz K z K
ssT sT
•Thay H(s) vào ta có:
•Sau khi tách phân thức trong ngoặc {…} thành các phân thứctốigiảnvàápdụng công
thức (trang 17, mục 1.3.2b của giáo trình) ta có:
()
()
51 5 62
51 62
51 15
1
1
44 44
;
8
1
TT TTT
S
TT T
eez eeez
Gz K K
eezez
−−− −−−−
−−−−−
⎛⎞⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜
−+ + − +

⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠⎝ ⎠
==
−+ +
•Nếuchọnchukỳ trích mẫulàT = 0,2 sec ta có hàm truyền đạtcủa ĐCMC trên miền
ảnh z sau đây:
()
12
12
0,00857 0,00575
1 1,18661 0,30119
S
zz
Gz
z
z
−−
−−
+
=
−+
Dễ dàng kiểmtrakếtquả trên bằng cách chọn tín hiệuvàoU(z) = z/(z-1) để tìm đáp ứng
ra X(z) = G
S
(z) U(z). Sau đó, chuyển X(z) sang chuỗisố tạicácthời điểm t = 0,2k (với
k = 0, 1, 2, …). Bằng cách đócóthể so sánh vớitínhiệu x(t) trên miềngốc.

21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội12
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 Mô tả khâu có bảnchất liên tụcvớitínhiệuvàobậcthangbằng mô
hình trạng thái gián đoạn
Ví dụ này sử dụng ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 để
minh họaphương thứcmôtả bằng mô hình
trạng thái gián đoạn. Vì ĐCMC là đốitượng
SISO, mô hình có cấutrúcnhư hình bên.
•ĐCMC có thểđượcmôtả bởiphương trình vi phân bậc2 (xuấtphátđiểmcủa khâu PT2 ở
ví dụ 1.3.5) sau đây:
210
A
an an an u
•• •
++=
32
21 00
00
848
sec ; sec ; 8 sec
55
AA
LJ RJ
aVa VacV
kk
ψ
ψψ
== == ==
Với:

•Các biến điềukhiểnvàbiến
trạng thái đượcchọnnhư sau:
1
2
;
A
qnx
uu
qn
•
⎧
==
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎩
•Môhìnhtrạng thái
có dạng bên:
12
0
1
212
22 2
1

1
qq
a
a
qqqu
aa a
xq
•
•
⎧
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=− − +
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎩

⎪
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội13
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 (tiếp)
•Có thể viếtlạimôhìnhtrạng thái dướidạng ma trận:
() () ()
() ()
ttut
xt t
•
⎧
⎪
⎪
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩
T
qAqb
cq
[]
0
1

2
22
01
0
0
01
;;10;0
1
5
56
8
d
a
a
a
aa
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥

======
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−
−−
⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
T
Abc
với:
•Để tìm đượcphương trình chuyểntrạng thái:
ta cầnphải tìm được Φ(t) và h(t):
()
()()
()
()

()
;0,1,2,νν
−
=− + − =
∫
ΦΦ 

k
k
t
kk k
t
tt
tttt tdutk
h
qq b
•Có thể tìm ma trận chuyểntrạng thái
bằng biến đổi Laplace ngược:
(
)
(
)
{}
1
1t
te Ls
−
−
== −
A

IAΦ
() ()
1
2
161
1
56 5
56
ss
ss
ss
ss
−
⎡
⎤⎡⎤
−+
⎢
⎥⎢⎥
−= ⇒ − =
⎢
⎥⎢⎥
+−
++
⎣
⎦⎣⎦
IA IA
•Từ:
ta thu được:
()
55

55
5
1
55 5
4
tt tt
tttt
ee ee
t
ee ee
−− −−
−− −−
⎡
⎤
−−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
−+ −+
⎢
⎥
⎣
⎦
Φ
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội14
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 (tiếp)

•Có thể tính tích phân
theo từng bướcnhư sau:
() ( )
0
ν
ν
νν
=
=
=−
∫
Φ
t
ttdhb
() ( )
55
0
55
0
141
15 5
thay
555
48 32
ϑϑ
ϑϑ
ϑν ϑϑ
−− −−
−− −−
⎡

⎤⎡ ⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
−+ −+
⎢
⎥⎢ ⎥
=− ⇒ =− = =
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
−−
⎣
⎦⎣ ⎦
∫
Φ
t
tt
t
tt
ee ee
tt d
ee ee
hb
•Với T = t
k+1
- t
k
ta có:
()

()
()
()
()
55
5
11
55
5
22
41
5
1
15
55
55 5
1
432
TT TT
TT
TTTT
TT
ee ee
qk qk
ee
uk
ee ee
qk qk
ee
−− −−

−−
−− −−
−−
⎡
⎤
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
−−
⎢⎥
+
−+
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
−+ −+
+
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦
⎢⎥
−
⎣
⎦
Ví dụ 1.3.7 Tìm hàm truyền đạttừ mô hình trạng thái gián đoạnchotrước
()
(

)
(
)
det
−
=
−
Φ
Φ
T
adj z
Gz
z
I
ch
I
•Với mô hình: Theo giáo trình (mục 1.3.2d) ta có:
(
)
(
)
1kkk
T
kk
TTu
x
+
⎧
⎪
=+

⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎩
qqh
cq
Φ
Giả sử, ĐCMC có mô hình trạng thái gián đoạnchotrướcnhư kếtquả củavídụ 1.3.5. Hãy
tìm hàm truyền đạtgiánđoạncủa động cơ !
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội15
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.7 (tiếp)
Bổ sung công thức: Ký hiệu adj(A) đượcgọilàma trậnbùcủama trận A. Ma trậnbùadj(A)
có kích cỡ giống A, với các phầntửđượctínhtheocôngthứcdet(A
ik
) nhân với(-1)
i+k
. Trong
đó, A
ik
là ma trậnthuđượctừ A sau khi bỏ hàng thứ i và cộtthứ k của A.
()
()
()
11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2
12 12
11 12 1
21 22 2
12
1det
+
⎡⎤⎡ ⎤
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
=⇒=
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=− =
⎢
⎥
⎢
⎥

⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦


 





nn
nn
n n nn n n nn
n
ik
n
ik ik ik
nn nn
aa a AA A
aa a AA A
adj
aa a AA A
aa a
aa a
A
aa a

AA
AA
với:
A bỏ hàng thứ i
A bỏ
cộtthứ k
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội16
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.7 (tiếp)
55
55
51 11
44 44
55 15
44 44
TT TT
TT TT
ze e e e
z
ee zee
−− −−
−− −−
⎡
⎤
⎢
⎥
−+ −+
⎢
⎥

⎢
⎥
−=
⎢
⎥
−+−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
I Φ
(
)
(
)
(
)
(
)
()
256 5
55
55
det
15 11
44 44
55 51
44 44

−− − − −
−− −−
−− −−
⎧
⎪
−=− + + =− −
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡⎤
⎪
⎪
⎢⎥
⎪
+− −
⇒
⎨
⎢⎥
⎪
⎢⎥
−=
⎪
⎪
⎢⎥
⎪
−+ −+
⎪
⎢⎥
⎪

⎢⎥
⎪
⎣
⎦
⎪
⎩
Φ
Φ
TT T T T
TT TT
TT TT
zzeeezeze
ze e e e
adj z
eezee
I
I
•Với:
ta tính được:
•Với:
ta tính đathứctử số củahàmtruyền đạt:
[]()
5
5
41
5
10;
55
32
TT

TT
ee
T
ee
−−
−−
⎡
⎤
⎢
⎥
−+
⎢
⎥
==
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
T
ch
(
)
556
15 1 1 5
1
84 4 4 4
−− −−−

⎡⎤
−=
⎣⎦
⎡
⎤
⎛⎞
⎟
⎜
⎢
⎥
−+ +− +
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
Φ
T
TT TTT
adj z
eezeee
cIh
(
)
(
)

det
⎡
⎤
−
⎣
⎦
−
Φ
Φ
T
adj z
z
cIh
I
Dễ dàng kiểm tra sau khi thay vào:
Ta sẽ thu được hàm truyền đạt G
S
(z)
đúng như ví dụ 1.3.5.
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội17
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.8 Mô tả hệ trong khoảng giữa2 thời điểmtríchmẫubằng
phép biến đổiz mở rộng
•ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được nuôi bởi điệnápdạng bậc thang với ảnh Laplace:
() () ()
(
)
(
)

(
)
58
1
15
sT
SH
Gs G sGs e
ss s
−
==−
++
•Tra bảng biến đổi z mở rộng ta có công thức:
(
)
(
)
11
1
aT bT
aT bT
zbze aze
ss a s b ab z a b a b
ze ze
εε−−
−−
⎡
⎤
⎢
⎥

⇔+ −
⎢
⎥
++ − − −
−−
⎣
⎦
•Áp dụng vào trường hợp ĐCMC ta thu đượckếtquả:
()
(
)
(
)
()
(
)
(
)
20,2 0,2
0,2
1 1,25 0,25 1,18661 1,70985 0,45468
0,30119 0, 45985 0,20468
1
,
8 0,81873 0,36788
S
ze ez e e
ee
Gz
zz

εε ε ε
εε
ε
−− − −
−−
⎡⎤
−+−− +
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
+− +
⎢⎥
⎣⎦
=
−−
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội18
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.8 (tiếp)
()
(
)
(
)
0,00857 0,00575
0,81873 0,36788
S
z
Gz
zz

+
=
−−
•Để kiểm tra ta thay giá trị biên ε = 0 vào và thu đượchàmtruyền đạt ở ví dụ 1.3.5
•Với ảnh z mở rộng củahàmtruyền đạttổng quát:
ta có một công cụđểkhảo sát các giá trị nằmtrongkhoảng giữahaithời điểm trích mẫu
(
)
(
)
(
)
,,
S
Xz G z Uzεε=
•Ví dụ: Khi tín hiệu vào có dạng bướcnhẩyvàε = 0,5 (chính giữa k và k+1)
ta có:
() ( )
1Uz z z=−
()
(
)
(
)
2
1
2
0,002573 0,010595 0,001156
,
1 0,81873 0,36788

zz
z
Xz
zz z
⎡
⎤
−+
⎢
⎥
⎣
⎦
=
−− −
•Khi áp dụng phép biến đổi z ngượctathuđược tín hiệusố, chophéptínhgiátrị của
chuỗi[x
k+½
], trùng với các giá trị của x(t) ở chính giữahaithời điểm trích mẫu.
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội19
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.9 Mô tả hệ gián đoạncótrễ khi tín hiệu vào có dạng bậcthang
•Hãy tìm hàm truyền đạt G
d
(z) củahệ có trễởhình dưới đây khi K
S
= 1, T
S
= 1sec:
•Công thứctổng quát tính G
d

(z):
()
()
()
1
1
1
d
sT
sT
d
Gz e e
ss
−
−
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
=Ζ −
⎨⎬
⎪⎪
+
⎪⎪
⎩⎭
a) Khi d = T
d
/T là số nguyên lần:
()
()
(

)
()
()
(
)
13
1
12 12 2
11 1
1
10,6321
11
1
1 1 0,3679
−−
−
−− −− −
−− −
⎧⎫
−
⎪⎪
⎪⎪
=− Ζ =− = =
⎨⎬
⎪⎪
+
−−
⎪⎪
⎩⎭
d

ez
z
Gz z z z zHz z
ss
ez z
b) Khi d = T
d
/T không phảilàsố nguyên lần: Phảisử dụng phép biến đổi z mở rộng. Giả sử ta
có T = 1sec và T
d
= 1,6 sec → Vậy: T
d
= (dT - εT) với d = 2 và ε = 0,4
()
()
()
()( )
0,4 2 0,4 1 3
1
12 2
11 1
1
0,3297 0,3024
1;0,4
1 1 0,3679
d
ez e ez
z
Gz z zHz z
ez z

−− − −−
−
−− −
−− −
−+−
+
=− = =
−−
Chú ý: Việc tìm ảnh z (có hay không có mở rộng) đượctiến hành vớisự trợ giúp củabảng
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội20
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.1 Sử dụng phép biến đổitương đương
11
11
z
w
wz
z
w
−+
=→=
+−
Ví dụ a):
(
)
()
() ( ) ( )( ) ( )
()()()
2

12
2
112
22
212
2
12 2 12
12 2 12
11
11
1111
1211
10;1;10
Nz z az a
ww
Nw a a
ww
Nw w a w w a w
aaw aw aa
aa a aa
=+ +
⎛⎞⎛⎞
++
⎟⎟
⎜⎜
=+ +
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜

⎝⎠⎝⎠
−−
=+ + + − + −
=− + + − ++ +
−+ > < ++ >
•Cho trước đathức đặctínhbên:
•Thay vào N(z) thu được N
1
(w):
1
1
w
z
w
+
=
−
•Nhân N
1
(w) với(1-w)
2
thu được N
2
(w):
Tiêu chuẩn HURWITZ -Điềukiện1:
-Điềukiện2: Cácđịnh thức HURWITZ phảidương
Ví dụ b)
: Dùng phép biến đổi ở trên
để xét ổn định cho vòng ĐC với:
()

(
)
()
()
()
() ()
()( )
()
()()
(
)
(
)
1
12
12
12
1
12
11 2
11 2 2
22
12 21
1221
;
1
00
1
1
1

SR
Bz
bz b z
Gz Gz K
az a z
Az
Nz Az KBz z a bKz a bK
Kab
Kaa bb
Kaabb
−
−−
−−
−
−−
+
===
++
=+ =⇒++++=
⎧
⎪
<−
⎪
⎪
⎪
⎪
>−− −
⎨
⎪
⎪

⎪
>− + + +
⎪
⎪
⎩
•Phương trình đặctính:
•Sau khi tìm được N
2
(w) và
áp dụng cả 2 điềukiện:
Giả sử: b
1
=0,1087; b
2
=0,0729;
a
1
= -1,1197; a
2
=0,3012
Vậy: K<9,58; K<67,62; K>-1
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội21
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.2 Sử dụng quỹđạo điểmcực
Tiếptụcxét ĐCMC vớithamsố cho ở ví dụ 1.3.5.
Hàm truyền đạt G
S
(z) đã tìm được ở trang 9.
•Có thể G

S
(z) viếtlạinhư sau:
()
(
)
(
)
56
5
5
5
54
51
45
1
44
TT T
TT
TT
S
TT
ee e
z
ee
Gz K e e
ze ze
−− −
−−
−−
−−

−+
+
⎛⎞
−+
⎟
⎜
=− +
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
−−
•Với T = 0,2sec và G
R
(z) = r
0
ta có hàm
truyền đạt vòng hở như sau:
()
(
)
(
)
00
0,6714
0,06856
0,8187 0,3679
z

Gz rK
zz
+
=
−−
•Môhìnhtrêncó1 điểm không
z
D
= -0,6714 và 2 điểmcực
z
1
= 0,8187; z
2
= 0,3679
Theo mục 2.1.3, cấu trúc trên sẽ có quỹđạo điểm
cựcdạng hình tròn với bán kính r = 1,244 như bên.
Tâm của đường tròn quỹđạo trùng vớivị trí điểm
không z
D
. Điểmgiớihạncủa ổn định là giao điểm
củaquỹđạovới đường tròn K
0
= r
0
K = 15,18.
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội22
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.3 Dự báo quá trình quá độ trên cơ sở vị trí điểmcực(mục2.1.4a)
•Giả sử, ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được ĐC tốc độ quay như mạch vòng chuẩn(mục 2.3.1). Trong

đó G
R
(z) chỉ là khâu tỷ lệ vớihệ số KĐ là r
0
. Phương trình đặctính(khiT = 0,2 sec) là:
() ( ) ( )
2
00
0,00857 1,18661 0,00575 0,30119 0Nz z z r r=+ − + + =
•Chọn: r
0
= 40; K
0
= 5
•Chọn: r
0
= 80; K
0
= 10
(
)
(
)
(
)
2
0,84381 0,53119
0, 422 0,594 0,422 0,594 0
Nz z z
zjzj

=− +
=− − − + =
(
)
(
)
(
)
2
0,50101 0,76119
0, 251 0,836 0,251 0,836 0
Nz z z
zjzj
=− +
=− − − + =
Nhận xét: Theo biểu đồ ở mục 2.1.4, trường hợp đathức đặctínhlàbậc2 với cặp điểm
cựcphứcliênhợpnằm trong đường tròn đơnvị sẽ có đáp ứng đầuraổn định chứa thành
phần điều hòa (có thành phần hình sin).
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội23
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.4 Dự báo đặctínhcủahệ thống ĐK số (mục2.1.4b)
Hệ thống ĐK số với ĐCMC ở ví dụ 2.1.2, khi áp dụng kiếnthứcthiếtkế ta sẽ thu được
phạmvi chấtlượng như hình dưới (bên trái). Đáp ứng quá độ ổn định (bên phải) là của
trường hợp T = 0,2sec và r
0
= 40 (K
0
= 5), ứng với điểmcực z
1,2

= 0,422 ± j0,594.
(
)
01
1
22 1
5%
0
0
2%
0
0,96 55 4,8sec
0,363
0,73 1,55sec
0,65sec
31,94sec
5, 04sec
42,58sec
0,308 arccos 72
ee
e
ee
T
e
me
e
ee
e
e
T

he
e
T
T
T
DD
δω
δ
ωω
δ
πω
δ
ωδω
δ
δω ϕ
−
−
−
−
−
⎧
⎪
=⇒=
⎪
⎧
⎪
Δ= =
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
=⇒=
==
⎪
⎪⎪
⎪
⇒
⎨⎨
⎪⎪
≈=
⎪⎪
=+=
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
≈=
⎪
⎩
⎪
==⇒= =
⎪
⎪
⎩

21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội24
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.2 Thiếtkế trên miềnthờigianxấpxỉ liên tục

Ví dụ 2.2.1 Khâu ĐC theo luậtPI đãbiếttrước
()
(
)
(
)
(
)
(
)
12
18
11 110,2
S
K
Gs
sT sT s s
==
++ ++
Lấy ĐCMC vớithamsố cho trước ở ví dụ 1.3.5, có ảnh Laplace sau làm xuấtphátđiểm:
Vòng ĐC đã đượcthiếtkế trên miềntầnsố với khâu ĐC (theo Reinisch) theo luậtPI,
tạoquá ĐC
Δh = 20%. Điểm không của khâu ĐC bù điểmcựclớnnhất, hằng số thời
gian lớnnhất T
1
.
()
12%
1
1sec; 48,19; 0,645sec; 1,6sec

C
RR C R m
C
sT
Gs K T T K T T
sT
+
=⇒==== =
Khi áp dụng xấpxỉ thành phần I theo phương pháp hình chữ nhật và thành phần D theo
khai triểnchuỗigần đúng bậcnhất ta có khâu ĐC (gián đoạn) thiếtkế xấpxỉ liên tục sau.
()
1
1
48,19 38,55
1
R
z
Gz
z
−
−
−
=
−
21 August 2011 Hon Prof. Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội25
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.3 Thiếtkế trên miềnthời gian gián đoạn
Ví dụ 2.3.1 Thiếtkế trên cơ sở các tiêu chuẩntíchphân(mục 2.3.1c)
Bổ xung lý thuyết:
•Vì việctínhbộ tham số tối ưu chính xác theo TC tích phân thường khó khăn, ta có thểđơngiản

hóa vấn đề bằng cách đưaramộtsố hạnchế trước. Từđótasẽ dễ dàng thu được bộ tham số cận
tối ưu (suboptimal).
•Cố gắng chọnkhâu ĐC có phương trình sai phân bậc càng thấp càng tốt.
Minh họa:
Ta chọn khâu ĐC có đặc tính PI và chọn p
1
= -1. Vậyta
chỉ phải tìm r
0
và r
1
.
()
(
)
(
)
1
01
1
1
1
R
Uz
rrz
Gz
Ez
p
z
−

−
+
==
+
10 11kk k k
uu rere
−
−
=
++
()
00
1010 01
01 1 0 1
2
1;0,1,2,
kk
ur
urru rr
urru k rkrk
−
=
=++ = +
=++ = + + =


•Hệ có trễ: Sai lệch ĐC có dạng e
k
= 1
k

, các giá trịđầuralà vàtacó:
Vì biên độ đầutiênu
0
do chính r
0
quyết định, ta có thể cho trướcbiênđộ đó để xác định r
0
.
Vậy:
10 1 0
uu r r
≤
⇒≤−