ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 23 docx

Chuyờn ụn thi hsg toỏn THPT.
1
CHUYấN : PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN
Phần I:
M
ột số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên
A. Tóm tắt lý thuyết.
1.Số 2 là số nghuyên tố chẵn duy nhất.
2.Ph- ơng trình đ- ợc đ- a về dạng
f(x).g(x) = k
với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số nguyên.
Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ ph- ơng trình.
()
()
f x m
g x n





với
m.n = k
.
3.Ph- ơng trình đối xứng các ẩn của x, y, z Khi tìm nghiệm nguyên d- ơng ta có thể giả sử
1 x y z
4.Không tồn tại số chính ph- ơng nằm giữa hai số chính ph- ơng liên tiếp.
B. các dạng toán Th-ờng gặp.
Dạng 1: Sử dụng phép chia hết và chia có d

Hai vế của ph-ơng trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số d- khác
nhau thì ph-ơng trình đó không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình sau.
22
2xy
(1)
Giải:
Rõ ràng x = y = 0 là nghiệm của (1).
Nếu
00
,0xy
và
00
( , )xy
là nghiệm của (1). Gọi
00
( , )d x y
, suy ra
00
, 1.
xy
dd





Ta có:
22
22

0 0 0
00
22
x y x
xy
d d d




chẵn
2
00
24
yx
dd




chẵn, vô lý.
Vậy ph- ơng trình (1) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0,0).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình sau.
22
25xy
(1)
Giải:
1)Nếu
5x
thì

2 2 2 2
2 5 5 5 2 25y x y x y
vô lý.
2)Nếu
5x

thì từ
5y

ta có
2
1(mod5)x
và
2
1(mod5)y
suy ra
22
2 1, 3(mod5)xy

. Vậy
ph- ơng trình không có nghiệm nguyên.


Chuyờn ụn thi hsg toỏn THPT.
2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình ph-ơng của ba số nguyên trong phép chia cho 8
không thể có d- là 7 từ đó suy ra ph-ơng trình
2 2 2
4 25 144 2007x y z

không có nghiệm
nguyên.
Giải:
Giả sử:
2 2 2
7(mod8)x y z
mà
0, 1, 2, 3 ,4(mod8)x
nên
2
0,1,4(mod8)x
suy ra
22
7,6,3(mod8)yz
nh- ng
22
0,1,2,4,5,(mod8)yz
vô lý. Vậy
2 2 2
7(mod8)x y z



Ph- ơng trình đã cho có thể viết:
2 2 2
(2 ) (5 ) (12 ) 6 125 7x y z
Từ đó suy ra ph- ơng trình
không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình sau trên tập số nguyên:
4 4 4

1 2 7
2008.x x x

Giải:
1)Nếu x = 2k thì
16x
.
2)Nếu x = 2k + 1 thì
42
1 ( 1)( 1)( 1) 16,x x x x
vì
( 1)( 1) 8xx
và
2
( 1) 2x
.
Vậy
4
0;1(mod16)x

Do đó khi chia tổng
4 4 4
1 2 7
x x x
cho 16 có số d- không v- ợt quá 7,
trong khi đó
2008 8(mod16)
. Suy ra ph- ơng trình không có nghiệm nguyên.
Dạng 2: Ph-ơng pháp phân tích.
Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình: a( x+ y ) + b = cxy ( với a, b, c

Z ) (1)
Ta có: (1)
2
( ) ( )
aa
cxy ay b y cx a cx a b
cc


2
( )( ) .cx a cy a a bc

Phân tích
2
.a bc mn
với m, n

Z, sau đó lần l-ợt giải các hệ:
cx a m
cy a n






Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên d-ơng của ph-ơng trình:
2( ) 16 3x y xy

Giải:
Ta có:
2( ) 16 3 3 2 2 16x y xy xy x y

24
(3 2) (3 2) 16 (3 2)(3 2) 52
33
y x x x y

Giả sử:
xy
khi đó
1 3 2 3 2xy
và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các hệ sau:
3 2 1
;
3 2 52
x
y






3 2 2
;
3 2 26
x
y

3 2 4
;
3 2 13
x
y






Giải các hệ trên ta đ- ợc các nghiệm nguyên d- ơng của ph- ơng trình là: ( 1, 18);


Chuyờn ụn thi hsg toỏn THPT.
3
( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
2
(2 5 1)(2 ) 105.
x
x y y x x

Giải:

Vì 105 là số lẻ nên
2 5 1xy
lẻ suy ra y chẵn mà
2
( 1)x x x x
chẵn nên
2
x
lẻ x = 0.
Với x = 0 ta có ph- ơng trình ( 5y + 1 ) ( y + 1 ) = 21.5 Do ( 5y + 1, 5 ) =1 nên
5 1 21
15
y
y





hoặc
5 1 21
4
15
y
y
y

Thử lại ta thấy x = 0, y = - 4 là nghiệm nguyên của
ph- ơng trình.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và có diện tích bằng
chu vi.
Giải:
Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông :
1 x y z
. Ta có:
2 2 2
(1)
2( )(2)
x y z
xy x y z






Từ (1) ta có:
2 2 2
( ) 2 ( ) 4( )z x y xy x y x y z

22
22
( ) 4( ) 4 4 4
( 2) ( 2)
x y x y z z

x y z



22x y z
do
( 2)xy
Thay
4z x y
vào (2) ta đ- ợc:
4 1 5
4 8 12
( 4)( 4) 8
4 2 6
4 4 8
xx
yy
xy
xx
yy

vậy các cặp:
( , , ) (5,12,13);(6,8,10);x y z

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
( ) .p x y xy
với p là số nguyên tố.
Giải:
Ta có:

2 2 2
()p x y xy xy px py p p x p y p p

Mà
2 2 2
. ( ).( ) 1. ( ).( 1)p p p p p p p
.Từ đó ph- ơng trình đã cho có các nghiệm nguyên
là:
2 2 2 2
( , ) (0,0);(2 ,2 );( 1, );( , 1);( , 1);( 1, );x y p p p p p p p p p p p p p p

Dạng 3: Ph-ơng trình đối xứng.
Để tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình đối xứng ta giả sử 1

x

y

z

rồi chặn
trên một ẩn.


Chuyờn ụn thi hsg toỏn THPT.
4
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
(1).x y z xyz

Giải:
Vì x, y ,z có vai trò nh- nhau nên ta giả sử 1 x y z . Từ (1) suy ra:
2
1 1 1 3
1 1.x
xy yz zx x


Với x = 1 ta có
1 1 2
1 ( 1)( 1) 2
1 2 3
yy
y z yz y z
zz

.
Vậy (1) có nghiệm nguyên d- ơng ( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) và các hoán vị của nó.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
5( ) 10 2 (1).x y z t xyzt

Giải:
Vì x, y ,z có vai trò nh- nhau nên ta giả sử x y z t 1 . Từ (1) suy ra:

3
1
5 5 5 10 30
2.
2
t
t
xyz xzt xyt xyzt t







*)Với

1t
ta có:
2
2
1
5 5 5 15 30
5( ) 15 2 2 15 2.
3
z
x y z xyz z z
xy yz xz xyz
z
z









1)Với z = 1 ta có:
2 5 65 35
2 5 1 3
5( ) 20 2 (2 5)(2 5) 65
2 5 13 9
2 5 5 5
xx
yy

x y xy x y
xx
yy


















Ta có các nghiệm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, 1 ),( 9, 5, 1, 1 ) và các hoán vị của chúng,
2) Với z = 2, z= 3, ph- ơng trình không có nghiệm nguyên d- ơng.
*) Với
2t
, ta có:
2
2
5 5 5 20 35 35
5( ) 20 4 4 9

4
x y z xyz z
xy yz xz xyz
z



2.z
vì
( 2)zt
.
Khi đó:
5( ) 30 8 (8 5)(8 5) 265.x y xy x y

Do
2x y z t
nên
8 5 8 5 11xy
, mà 265 = 53.5 Tr- ờng hợp này ph- ơng trình
không có nghiệm nguyên d- ơng.
Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài của đ-ờng cao là mhững số nguyên d-ơng và
đ-ờng tròn nội tiếp tam giác có bán kính bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác
đều.
Giải:


Chuyờn ụn thi hsg toỏn THPT.
5
Đặt a = BC, b = CA, c = AB. Gọi độ dài các đ- ờng cao ứng với các cạnh a, b, c của tam
giác.

Bán kính đ- ờng tròn nội tiếp bằng 1 nên x, y, z > 2. Giả sử x y z > 2.
Diện tích tam giác ABC:
1 1 1
. . . (1)
2 2 2
S a x b y c z

Mặt khác:
1
( )(2)
2
AOB BOC AOC
S S S S a b c

Từ (1) và (2) Suy ra:
. . .
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
a x b y c z a b c a b c
x y z x y z




1 1 1 3
1 3 3.zz
x y z z

Thay z = 3 vào
1 1 1

1.
x y z

ta đ- ợc:
2 3 9 6
()
2 3 1 2
1 1 2
3( ) 2 (2 3)(2 3) 9
3
2 3 3 3
2 3 3 3
xx
Loai
yy
x y xy x y
xy
xx
yy

Vậy x = y = z = 3, khi đó a = b = c. Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Dạng 4: Ph-ơng pháp loại trừ.
Tính chất: Nếu có số nguyên m sao cho
22
( 1)m n m
thì n không thể là số chính
ph-ơng.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
2
1! 2! 3! 4! ! .xy

Giải:
Với x 5 thì x! có chữ số tận cùng là 0 nên:
1! 2! 3! 4! 5! ! 33 5! !.xx

Có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chinh, Vậy x 5 thì ph- ơng trình đã cho
không có nghiện nguyên d- ơng.
Với 1 x < 5, bằng cách thử trực tiếp x = 1, 2, 3, 4 ph- ơng trình có nghiệm (1,1) và
(3,3).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
6 3 4
3 1 .x x y

Giải:
Rõ ràng x = 0, y = 1 là nghiệm nguyên của ph- ơng trình.
+)Với x > 0 ta có:
3 2 6 3 6 3 4 3 2 3 2 3
( 1) 2 1 3 1 ( 2) 1 2x x x x x y x x y x
( vô lý ).


Chuyờn ụn thi hsg toỏn THPT.
6
+)Với x - 2 thì :
3 2 4 3 2 3 2 3
( 2) ( 1) 2 1x y x x y x
( vô lý ).
+)Với x = - 1 thì :
4
1y
, ( vô lý ).
Vậy ph- ơng trình đã cho có hai cặp nghiệm ( 0; 1 ); ( 0; -1 ).
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
2 2 4 4
( 1) ( 1) .x x y y

Giải:
Khai triển và rút gọn hai vế ta đ- ợc:
4 3 2 2 2 2
2 2 2
( 1) 2 3 2 ( 1) 2 ( 1).
1 ( 1) (1)
x x y y y y x x y y y y

x x y y



+)Nếu x > 0 thì từ
2 2 2
1 ( 1) .x x x x
suy ra
2
1 xx
không là số chính ph- ơng nên (1)
không có nghiệm nguyên.
+)Nếu x < - 1 thì từ
2 2 2
( 1) 1x x x x
suy ra (1) không có nghiệm nguyên.
+)Nếu x = 0 hoặc x = - 1 thì từ (1) suy ra
2
0
11
1
y
yy
y

.
Vậy ph- ơng trình có 4 nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 0; 0 ); ( 0; -1 ); ( -1; 0 ); (-1; -1 );
Dạng 5: Ph-ơng pháp xuống thang.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
3 3 3
3 9 0.xyz

Giải:
Giả sử

0 0 0
,,x y z
là nghiệm nguyên của ph- ơng trình khi đó
0
3x
đặt
01
3.xx
thay
01
3.xx
vào (1) ta đ- ợc:
3 3 3
1 0 0 0
9 9 0 3.x y z y
đặt
0 1 0
3 3,y y z
khi đó:
3 3 3 3 3 3

1 1 0 1 1 0 0
9 27 3 0 3 9 0 3.x y z x y z z
đặt
01
3zz
khi đó:
3 3 3
1 1 1
3 9 0xyz
.
Vậy
0 0 0
,,
3 3 3
x y z



cũng là nghiệm của ph- ơng trình.
Quá trình này tiếp tục thì đ- ợc:
0 0 0
,,
333
kkk
x y z



là các nghiệm nguyên của (1) với mọi k điều
này chỉ xảy ra khi

0 0 0
0.x y z
Vậy ( 0, 0, 0 ) là nghiệm duy nhất của
ph- ơng trình đã cho.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
2 2 2 2
2 (1).x y z t xyzt

Giải:
Giả sử

0 0 0 0
, , ,x y z t
là nghiệm nguyên của ph- ơng trình khi đó:
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 (1).x y z t x y z t
là số chẵn nên trong các số
0 0 0 0
, , ,x y z t
phải có số


Chuyờn ụn thi hsg toỏn THPT.
7
chẵn số lẻ (0; 2 hoặc 4 ).
+)Nếu
0 0 0 0
, , ,x y z t
đều lẻ thì

2 2 2 2
0 0 0 0
( ) 4x y z t
, trong khi đó
0 0 0 0
24x y z t

.
+)Nếu trong các số
0 0 0 0
, , ,x y z t
có hai số lẻ thì
2 2 2 2
0 0 0 0
( ) 2(mod4)x y z t
, trong khi đó
0 0 0 0
24x y z t
. Vậy
0 0 0 0
, , ,x y z t
phải là các số chẵn,
đặt
01
2.xx
,
01
2.yy
,
01

2.zz
,
01
2.tt
ph- ơng trình trở thành:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
8 (1).x y z t x y zt

Lý luận t- ơng tự ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
8 (1).x y z t x y z t

Với
1 1 1 1
2 2 2 2
, , , ,
2 2 2 2
x y z t
x y z t
tiếp tục ta có:
0 0 0 0
, , , ,
2 2 2 2
n n n n
n n n n
x y z t
x y z t

Là số nguyên vơi mọi n, điều này chỉ xảy ra khi
0 0 0 0
0.x y z t
Vậy ( 0, 0, 0, 0 ) là
nghiệm duy nhất của ph- ơng trình đã cho.
Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện của các ẩn.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên d-ơng của ph-ơng trình:
50.xy

Giải:
Ta thấy
0 , 50xy
từ
50 .yx
ta có
50 2 50 50 10 2 .y x x x x

Vì y nguyên nên
22
2 4 2 .( )x k x k k Z
với
22
2 50 25.( )k k k Z k
chỉ có thể
nhận các giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Lựa chọn k trong các số trên để thoả mãn ph- ơng trình ta
đ- ợc các nghiệm:
( ; ) (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32;2);(50;0)xy
.
Dạng 7: Một số dạng khác.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:

22
3 5 12(1).xy

Giải:
Ta có: (1)
22
3( 1) 5(3 ).xy
Do (3, 5) = 1 nên
2
( 1) 5.x
và
2
(3 ) 3.y

Đặt
2
1 5 .xk
,
2
3 3 .yl
Ta có:
3.5 5.3 ( , )k l k l k l Z
.
Do đó:
2
2
1
5 1 0
1
5

3 3 0
1
xk
k
kl
yl
l













. Vậy x = 2, y = 0.
Ph- ơng trình có hai nghiệm nguyên ( 2, 0 ); ( -2, 0 ).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
22
4 5 16.x xy y

Giải:
Tac có:
2 2 2 2
4 5 16 ( 2 ) 16x xy y x y y

.


Chuyờn ụn thi hsg toỏn THPT.
8
Vì:
22
16 4 0
nên
24
0
xy
y





hoặc
20
4
xy
y






Giải các hệ ph- ơng trình trên ta đ- ợc các nghiệm nguyên của ph- ơng trình là:

( ; ) (4;0);( 4;0);(8;4);( 8; 4);xy

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
22
3( ) 8 .x xy y x y

Giải:
Ph- ơng trình đã cho đ- ợc viết lại là:
22
3 (3 1) 3 8 0(1)x y x y y
.
Ph- ơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
2 2 2
(3 1) 12(3 8 ) 0 27 90 1 0.y y y y y

Do y nguyên nên


0 3 0;1;2;3yy
.
+)Với y = 0 ta có x = 0.
+)Với y = 1 ta có x = 1.
+)Với y = 2 và y = 2 ta có không tìm đ- ợc x nguyên.
Vậy ph- ơng trình có hai nghiệm nguyên là ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ); ( 1 ; 1 );
P
hần II: Bài tập
Dạng 1: Sử dụng phép chia hết và chia có d
Giải ph-ơng trình trên tập số nguyên.
a)
22

3 17xy

. b)
22
5 17xy

. c)
22
21xy

.
d)
2 2 2
2 12 3
x
y
. e)
22
15 7 9xy
. f)
22
2 4 37x x y
.
Dạng 2: Ph-ơng pháp phân tích.
Giải ph-ơng trình trên tập số nguyên.
a)
5( ) 2 3x y xy
. b)
2( ) 3x y xy
. c)

22
91xy
.
d)
22
6x x y
. e)
22
169xy

. e)
22
1999xy
.
Dạng 3: Ph-ơng trình đối xứng.
Tìm nghiệm nguyên d-ơng của các ph-ơng trình sau.
a)
1x y xyz
. b)
9x y z xyz
. c)
x y z t xyzt
.
d)
11
2
xy

. e)
1 1 1 1

1
x y z t

. f)
2 2 2 2
1 1 1 1
1
x y z t

.
Dạng 4: Ph-ơng pháp loại trừ.
Giải ph-ơng trình trên tập số nguyên.


Chuyờn ụn thi hsg toỏn THPT.
9
a)
22
6 13 100x xy y
. b)
2 3 3
1 x x x y
. c)
2 3 4 2
1 x x x x y
.
d)
2
( 1)( 2)( 3)x y y y y
. e)

4 4 3
( 2)x x y
. f)
2
( 1)( 7)( 8)x x x x y
. Dạng
5: Ph-ơng pháp xuống thang.
Giải ph-ơng trình trên tập số nguyên.
a)
3 3 2
2 4 0x y z
. b)
4 4 4 4
8 4 2x y z u

. c)
2 2 2
2x y z xyz
.
Dạng 6 và Dạng 7.
Giải ph-ơng trình trên tập số nguyên.
a)
2 2 2
( 1) 3( 1)x y x y
. b)
2 2 2
2 2 2 2 2 4x y z xy yz z
.
c)

1
12
2
x y z x y z
.