Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh đưa một bài toán về bài toán đã chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (516.78 KB, 16 trang )
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Tốn học là mơn học phát triển trí tuệ, địi hỏi sự tìm tịi và sáng tạo
khơng ngừng. Trong q trình giảng dạy mơn tốn và hướng dẫn học sinh giải
tốn, đặc biệt là khi hướng dẫn học sinh giỏi giải các bài tốn khó tơi vẫn
thường thấy một thực trạng học sinh tìm tịi lời giải theo thói quen là: Tìm cách
phân tích để đưa bài tốn về các tính chất tốn học đã học như định nghĩa, định
lý hoặc là các hệ quả. Việc giải như vậy là một phương pháp suy luận mà giáo
viên thường hướng dẫn học sinh suy luận theo một lối mịn nhất định, tơi thiết
nghĩ nếu chỉ để học sinh tìm tịi lời giải theo những phương pháp thơng thường
theo lối mịn sẽ làm học sinh mất đi tính sáng tạo của các em. Theo tơi ngồi các
định nghĩa, định lý và hệ quả ra chúng ta cịn vơ số các bài tốn có thể xem là bài
tốn mẫu trong q trình suy luận, tìm tịi phương pháp giải.
Trên thực tế thì các định lý hay hệ quả cũng chính là các bài tốn đã được
chứng minh trọn vẹn để cho chúng ta áp dụng trong q trình suy luận, phân tích
và tìm tịi lời giải. Vậy tại sao ta khơng thử đặt câu hỏi với những bài tốn mà
mình đã chứng minh ta xem như là một định lý hay hệ quả của bản thân mình
trong q trình suy luận và tìm tịi lời giải, đó là một thành quả riêng của bản
thân mà có thể sử dụng khi cần thiết. Việc phân tích bài tốn để đưa nó về bài
tốn quen thuộc đơi khi sẽ dể dàng hơn là cố gắng đưa bài tốn về sử dụng định
lý hay hệ quả mà ta đã biết. Ngồi ra việc sử dụng được bài tốn đã giải chúng
ta khơng những có thể giải quyết nhanh vấn đề mà cịn có thể tìm được lời giải
hay và ngắn gọn. Bên cạnh đó khi hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải theo
hướng này các thầy cơ lại hình thành cho hoc sinh một thói quen trong việc tìm
tịi lời giải khơng những xuất phát từ những định lý hay hệ quả mà cách phân
tích tìm tịi lời giải cũng có thể bắt đầu từ một bài tốn quen thuộc mà các em đã
từng giải, hình thành cho học sinh thói quen tự tìm tịi và sáng tạo lời giải của
mình
Với những lý do trên tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh đưa một bài
tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS” nhằm giới
thiệu cách tận dụng một bài tốn đã giải để đưa vào vận dụng khi giải một số
bài tốn khó để có được lời giải hay và ngắn gọn.
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 1
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
Trong đề tài này tơi chỉ trình bày cách phân tích và tìm tịi lời giải của các
bài tốn thơng qua một bài tốn đã được giải mà khơng có ý đi giải hay trình bày
lời giải của từng bài tốn cụ thể.
2. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu chủ yếu là hướng dẫn học sinh phương pháp phân tích và đưa
một bài tốn về bài tốn gốc đã được chứng minh. Từ đó tập cho học sinh có
thói quen xâu chuỗi, hệ thống các dạng bài tập đã được học, biến những bài tập
mới đọc tưởng chừng là lạ thành những bài tập quen thuộc. Tìm hiểu những
hạn chế và những khó khăn của học sinh trong q trình giải các bài tốn lớn,
bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 8,9 để có những biện pháp giúp đỡ học sinh
khắc phục dần những khó khăn mà học sinh thường mắc phải.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng là học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 của trường;
Phạm vi nghiên cứu: + Chương trình tốn 8,9;
+ Sách giáo khoa tốn 8,9;
+ Sách giáo viên tốn 8,9;
+ Sách tham khảo, nâng cao tốn 8,9;
+ Tuyển tập luyện thi vào lớp 10THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Thực hiện tốt các phương pháp và cách hướng dẫn của sáng kiến kinh
nghiệm này chắc chắn sẽ góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn, nâng cao điểm
tuyển sinh vào các trường THPT của đơn vị và học sinh sẽ u thích học mơn Tốn
hơn.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp giải và cách định hướng cho học sinh giải các bài
tốn về quỹ tích hình học. Tổng kết thực tiễn việc thực hiện trong q trình giảng
dạy chun đề này.
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp điều tra, khảo sát;
Phương pháp thể nghiệm;
Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, đặc biệt hóa.
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 2
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
7. Phạm vi nghiên cứu
Một số cách giải bài tốn quỹ tích trong chương trình THCS.
8. Dự báo được sự đóng góp của đề tài
Đề tài sẽ tác động đến việc tạo hứng thú và tính tích cực cho học sinh khi
gặp dạng tốn này.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận
Trong thực tế đối với một bài tốn lớn bao giờ cũng được xây dựng trên
nền tảng của một bài tốn cơ bản mà học sinh đã được học, được làm trên lớp
hoặc đã được làm trong sách giáo khoa. Bài tốn mới có thể là bài tốn hồn tồn
mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu những bài tốn đã biết. Thực chất khó
có thể tạo ra một bài tốn hồn tồn khơng có quan hệ gì về nội dung hoặc về
phương pháp với những bài tốn đã có. Vì vậy để tạo ra một bài Tốn mới từ
bài tốn ban đầu thì phải tn theo các con đường sau:
1. Lập bài tốn tương tự.
2. Lập bài tốn đảo.
3. Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hóa.
4. Bớt một số yếu tố rồi khái qt hóa.
5. Thay đổi một số yếu tố và kết hợp giữa các kiến thức liên quan.
II. Cơ sở thực tiễn
Thơng thường khi đứng trước một bài tốn lớn học sinh thường hay lúng
túng khơng biết bắt đầu từ đâu, khơng biết vận dụng những kiến thức đã học và
kết quả của những bài tốn nào; chính vì thế học sinh khó tìm được cách giải
bài tốn. Vì vậy để có những bài tập phù hợp với u cầu của từng tiết dạy,
phù hợp với từng đối tượng học sinh của mình, phù hợp với hồn cảnh thực tế
địa phương mình, ngồi việc khai thác triệt để các bài tập trong SGK, SBT giáo
viên phải tự mình biên soạn thêm những câu hỏi và bài tập mới khai thác từ
những bài tốn quen thuộc.
III. Giải pháp thực hiện
Trong q trình dạy học giải bài tập giáo viên cần phải hướng dẫn học
sinh phân tích bài tốn để học sinh định hướng được cách đi tìm lời giải.
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 3
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
Trong q trình dạy học giải bài tập giáo viên cần phải xâu chuỗi được
các bài tập, mở rộng các bài tập hoặc cũng có thể chia nhỏ các bài tốn, tổng
hợp các bài tốn nhỏ thành bài tốn lớn. Một vấn đề quan trọng nữa là hướng
dẫn học sinh biết cách đưa bài tốn mới về bài tốn đã gặp.
IV. Ví dụ áp dụng
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tơi xin được trình bài bài tốn mở đầu
(gọi là bài tốn gốc) một cách cụ thể. Để tránh tình trạng lặp đi lặp lại nhiều
lần một cách giải, những bài tốn khác khi đưa về bài tốn gốc xin khơng giải
tiếp
1. Kiến thức cần nhớ:
Các kiến thức về bài tốn qũy tích.
Các kiến thức về hình bình hành.
Các kiến thức về tam giác đồng dạng
2. Bài tốn mở đầu (bài tốn gốc)
Cho tam giác ABC, M là một điểm di động trên BC. Tìm qũy tích trung
điểm I của AM.
A
2.1. Phân tích bài tốn. Khi M trùng với B
thì I trùng với trung điểm của AB. Khi M trùng
I
Q
P
với C thì I trùng với trung điểm của AC. Khi đó
ta dự đốn qũy tích trung điểm I của AM là
C
B
M
đường trung bình của tam giác ABC.
M
2.2. Giải
a. Phần thuận.
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Ta có: PI // BC (T/c đường trung bình)
P,I,Q thẳng hàng
QI // BC (T/c đường trung
bình)
Khi M B thi I P; khi M C thì I Q
b.Giới hạn qũy tích
Qũy tích trung điểm I của AM là đường trung bình PQ của tam giác ABC
c.Phần đảo:
Với I thuộc vào PQ ta cần chứng minh I là trung điểm của AM
Do PI//BC ( I PQ)
AI = IM
PA = PB (gt)
Vậy I là trung điểm của AM.
d. Kết luận:
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 4
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
Vây Qũy tích trung điểm I của AM là đường trung bình của tam giác ABC
(PQ//BC).
2.3. Nhận xét
Bài tốn gốc là một bài tốn tương đối dễ chỉ cần học sinh nắm được
kiến thức về đường trung bình là ta có thể phân tích và tìm tịi được lời giải một
cách dễ dàng. Mặc dù đây là một bài tốn tương đối dễ tuy vậy nếu ta biết vận
dụng nó trong q trình suy luận để tìm tịi lời giải thì thật là thú vị.
Dưới đây là một số bài tốn được giải nhờ vận dung bài tốn nói trên
3. Những bài tốn vận dụng
Bài tốn 1: “Trích bài tốn 164, trang 77, sách bài tập Tốn 8”
Cho đoạn thẩng AB = a. Trên AB lấy điểm M. Vẽ về một phía của AB
các hình vng AMNP; BMLK có tâm theo thứ tự là C và D gọi I là trung điểm
của CD. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I chuyển động trên
đường thẳng nào?
Giải:
L
K
Phân tích tìm tịi lời giải:
E
Làm thế nào để đưa bài tốn đang
giải về bài tốn gốc? Làm thế nào để I
N
D
lại là trung điểm của một đoạn thẳng nối P
I
Q
P
từ đỉnh tới một điểm trên cạnh đối điện
của tam giác đó.
C
Kéo dài AN cắt BL tại E, khi đó
B
A
M
tam giác AEB là tam giác vng cân
tại E có AB khơng đổi.
Ta có: ECM = CED = EDM = 90o => tư giác CEDM là hình chữ nhật vây
trung điểm của CD chính là trung điểm của EM.
Vậy bài tốn của chúng ta đã được đưa về bài tốn gốc và ta tiếp tục giải
như bài tốn gốc.
Kết luận:
Qũy tích trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của tam giác AEB.
Bài tốn 2:
Cho đoạn thẳng AB = a. Trên AB lấy điểm M, Vẽ tam giác ACM và tam
giác BDM trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB sao cho tam giác ACM đồng
dạng với tam giác MBD và CAM = ; DBM = khơng đổi
Tìm qũy tích trung điểm của CD khi M di chuyển trên AB
Giải
Phân tícht tìm tịi lEời giải.
Với cách đặt vấn đề như ở bài
D
tốn 1 ta thấy điểm M ở bài toán này
P
Q
I
C
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
A
M
B
Trang 5
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
có vai trị như điểm M ở bài tốn gốc
vì vậy ta có lời giải như sau.
Kéo dài AC và BD cắt nhau tại E.
Do CAM = ; DBM =
=> AEB cố định
Mặt khác ta có: ACM MDB => CAM = DMC = => CM // ED (1)
Mà CAM = DMC ở vị trí đồng
vị
Chứng minh tương tự ta có: EC // DM (2)
Từ (1) và (2) => CEDM là hình bình hành => I là trung điểm của CD đồng
thời là trung điểm của EM.
Vậy bài tốn đã được đưa về bài tốn gốc.
Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của
tam giác EAB.
Bài tốn 3:
Cho đoạn thẳng AB trên AB lấy điểm M. Trên cùng một nữa mặt phẳng
có bờ AB vẽ các nữa đường trịn đường kính AM và BM. Trên nữa đường trịn
đường kính AM và BM lần lượt lấy các điểm C và D sao cho
sđ CM = sđ DB và ln khơng đổi. Tìm qũy tích trung điểm I của CD khi M di
chuyển trên AB.
Giải:
K
Phân tích tìm tịi lời giải.
Với cách đặt vấn đề như bài
tốn 1 và 2. Trong bài tốn này tuy
D
I
P
cách phát biểu có khác nhưng nếu
Q
C
ta nối CM và DM thì ta nhận ra
ngay là: ACM MDB. Qua
cách phân tích ta thấy bài tốn 3 A
B
M
chính là bài tốn 2 nhưng được
phát biểu dưới một dạng khác. Ta
dễ dàng đưa bài tốn 3 về bài tốn
gốc
Ta có cách giải như sau:
Kéo dài AC và BD cắt nhau tại K dễ dàng chứng minh được CKDM là
hình chữ nhật vì vậy I là trung điểm của CD đồng thời là trung điểm của KM.
Bài tốn trở về bài tồn gốc. Tiếp tục giải như bài tốn gốc.
Kết luận:
Qũy tích trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của tam giác AKB.
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 6
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
Bài tốn 4: “Trích bài 177 trang 57 sách một số vấn đề phát triển hình học
8. tác giả Vũ Hữu Bình”
Cho tam giác ABC vng cân cố định. Điểm M chuyển động trên cạnh
huyền BC, đường thẳng qua M vng góc với BC căt đường thẳng AB và AC
lần lượt tại D và E. Gọi I là trung điểm của CE, K là trung điểm của BD.
Tìm qũy tích trung điểm của IK
D
Giải:
Phân tích tìm tịi lời giải:
A
Do tam giác ABC vuông
cân tại A => B = C + 45o (1)
Từ (1) => BMD và
K
E
O
CME vng cân tại M
Q
P
I, K lần lượt là trung điểm
I
của CE và BD nên dễ dàng suy
ra AKM = AIM = BAC = 90o
B
C
=> AKMI là hình chữ nhật
M
vì vậy O là trung điểm của IK
đồng thời là trung điểm của AM
như vậy ta đã đưa được bài tốn
về bài tốn gốc.
Tiếp tục giải như bài tốn gốc.
Kết luận:
Quỹ tích trung điểm O của IK là đường trung bình PQ của tam giác ABC.
Bài tốn 5: “ Trích bài 5 trang 23 sách 100 bài quỹ tích dựng hình của tác
giả Bùi Văn Thơng”
Cho đường trịn (O) với AB và CD là hai đường kính vng góc. Gọi M là
di động trên cung nhỏ AC, BM căt CD tại N. Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại
tiếp tứ giác AMNO.
Giải:
Phân tích tìm tịi lời giải:
C
o
Ta thấy: AMN = 90 (góc nội tiếp chắn
nữa đường trịn)
P
M
o
AON = 90 (gt)
N
I
Vậy tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác
A
B
Q
O
AMNO là trung điểm của đoạn thẳng AN.
Khi M di chuyển trên cung AC thì N di
chuyển trên đoạn thẳng OC
Vậy bài tốn đã đưa được về bài tốn
D
gốc. khi N di chuyển trên đoạn thẳng OC tìm
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 7
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
quỹ tích trung điểm của AN.
Ta tiếp tục giải như bài tốn gốc.
Kết luận: Quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ANMO là đường
trung bình PQ của tam giác AOC.
Bài tốn 6: “ Trích bài 97 trang 176 sách 100 bài tốn quỹ tích và dựng
hình của tác giả Bùi Văn Thơng”
(để bạn đọc tiện theo dỏi tơi xin trích ngun cả bài tốn nhưng chỉ giải phần
quỹ tích)
Bái tốn: Trên cạnh BC, CA và AB của tam giác đều ABC lần lượt lấy
các điểm M, N, P sao cho BM = CN = AP.
1. Chứng minh đường trịn ngoại tiếp của tam giác ABC và của tam giác
MNP có chung tâm O.
2. Tìm tập hợp trung điểm I của MN khi M di động trên BC.
Giải:
Phân tích tìm tịi lời giải:
Để đưa được bài tốn trên về
bài tốn gốc ta cần tìm được hai
A
điểm có vai trị như hai điểm A và M
ở bài tốn gốc.
P
Ở bài tốn này nếu qua M vễ
đường thẳng song song với BC cắt
H
AB tại K.ta dễ dàng chứng minh
được AKN và KBM là hai tam
K
N
giác đều khi đó ta thấy M,N có vai trị
I
giống với C,D ở bài tốn 2. Ta cần
chứng minh được C,K có vai trị B
C
M
Q
giống với A,M ở bài tốn gốc.
Ta có: NK // CM (vẽ) (1)
KBM và AKN là tam giác đều => NCM = KMB = 60o => CN // KM (2)
Từ (1) và (2) => CMKN là hình bình hành, => I là trung điêm của MN đồng thời
là trung điểm của CK. Bài tốn đã được đưa về bài tốn gốc, ta tiếp tục giải như
bài tốn gốc.
Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của MN là đường trung bình QH của
tam giác ABC.
Bài tốn 7: “Trích bài 30 trang 270 luyện thi vào lớp 10. tác giả Lương
Xuân Tiến”
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 8
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
Bài tốn: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, E, F lần lượt
là các điểm di động trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE =
DF.
Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.
Giải:
Phân tích tìm tịi lời giải;
Để đưa được bài tốn về bài tốn gốc ta cần tạo ra một tam giác như
ở bài tốn gốc.
Do điểm M và N nằm trên hai cạnh AB và BC
nên ta nghỉ đến việc kẻ đường chéo AC.
D
E
C
Từ N kẻ đường thẳng vng góc
với BC cắt AC tại K nối KM.
Ta dễ dàng chứng minh được
K
N
BNKM là hình chữ nhật.
Khi đó I là trung điểm của MN
Q
F
đồng thời là trung điểm của BK. Khi M,N
I
dịch chuyển trên AB và BC thì K dịch
chuyển trên AC.
Bài tốn đả đưa được về bài tốn gốc,
A
B
P
M
ta tiếp tục giải theo bài tốn gốc.
Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của MN là đường trung bình PQ của
tam giác ABC.
Bài tốn 8: “ Tích bài tốn 10 trang 229 luyện thi vào lớp 10 mơn tốn tác
giả Lương Xn Tiến; đề thi vào trường Amsterdam và Chu Văn An – Hà Nội
năm học 1996 1997” (Để tiện theo giỏi tơi xin trích ngun văn cả bài tốn)
Bài tốn: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O) đường phân
giác của góc A cắt đường trịn O ở điểm D một đường trịn (L) căt hai đường
thẳng AB và AC lần lượt tại M và N(có thể trùng A)
a) Chứng minh rằn BM = CN.
b) Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
c) Xác định vị trí đường trịng (L) sao cho đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ
nhất.
A
Giải:
N
B
P
I
M
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
E
Q
C
D
Trang 9
H
F
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
Phân tích tìm tịi lời giải
Theo câu a ta có BM = CN khi N về
đến A thì M về tới E ( E tia đối của
tia BA và BE = CA). N về đến A thì N
về đến F (F thuộc tia đối của tia CA và
CF = AB)
Từ cách phân tích trên cho ta
thấy tam giác AEF cân tại A và ln cố
định. Để đưa bài tốn về bài tốn gốc
ta cần có điểm H có vai trị như điểm
M ở bài tốn gốc.
Qua phân tích ta có thể giải bài tốn như sau.
Từ M kẻ MH // AC sao cho H EF. (*)
Do AEF cân tại A => MEH cân tại M => ME = MH (1)
Ta lại có BE = AC
=>ME = AN (2)
MB = NC (cm câu a)
Từ (1) và (2) => MH = AN (**)
Từ (*) và (**) => tứ giác AMHN là hình bình hành.
Vậy I là trung điểm của MN củng là trung điểm AH. Như vậy bài tốn đã
được đưa về bài tốn gốc.Ta tiếp tục giải như bài tốn gốc.
Kết luận: Vậy quỹ tích trung điểm I của MN là đường trung bình PQ
của tam giác AEF.
Bài tốn 9: Cho đường trịn (O) và dây cung BC cố định.Gọi A là điểm di
động trên cung lớn BC của đường trịn (O), (A khác B, C). Tia phân giác của góc
ACB cắt đường trịn (O) tại điểm D khác C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho
DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường trong (O) tại điểm K khác điểm B.
1. CMR: Tam giác KAC cân.
2. CMR: Đường thẳng AI ln đi qua điểm cố định J.Từ đó tìm vị trí của
A sao cho AI có độ dài lớn nhất.
3. Trên tia đối AB lấy điểm M sao cho AM = AC.Tìm tập hợp các điểm M
khi A di động trên cung lớn BC của (O).
Giải:
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 10
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
1.Ta có: DBI cân tại D nên: DBI=
DIB. Mà: DIB = IBC + ICB (1).
Và: DBI = KCI = KCA + ACD =
KBA + ICB (2).
A
K
D
O
Từ (1) và (2) suy ra ABI = CBI. Suy
ra I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC
ABC
I
C
J
BI là phân giác góc B của tam giác
K là trung điểm cung AC.
B
Tam giác KAC cân.
2. Vì I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC nên AI ln đi qua trung
điểm J của cung nhỏ BC.
Ta dễ dàng chứng minh được tam giác BIJ cân ở J
JI = JB = const.
Suy ra AI = AJ IJ = AJ const lớn nhất khi và chỉ khi AJ lớn nhất tức là
AJ là đường kính của (O) A phải nằm tại trung điểm của cung lớn BC.
3.Ta dễ dàng tính được:
1
2
1
4
BMC = . BAC = số đo cung nhỏ BC = const.
1
Suy ra quĩ tích điểm M là cung chứa góc nhìn BC dưới một góc bằng số
4
đo cung nhỏ BC.
Bài tốn 10: Cho đường trịn tâm O cố định. Một đường thẳng d cố định
cắt (O) tại A, B; M là điểm chuyển động trên d (ở ngồi đoạn AB). Từ M kẻ hai
tiếp tuyến MP và MN với đường trịn.
1. CMR: Đường trịn đi qua ba điểm M, N, P ln đi qua một điểm cố định
khác O.
2. Tìm tập hợp các tâm I của đường trịn đi qua M, N, P.
3. Tìm trên d một điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều.
Giải:
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 11
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
1. Gọi K là trung điểm của
AB. Dễ thấy M, N, P, O, K đều
nằm trên đường trịn đường kính
OM. Vậy K là điểm cố định cần
tìm.
2. Tâm I của đường tròn đi
qua M,N, P là trung điểm của OM.
P
O
I
A
Từ I hạ IJ vng góc với
AB. Dễ thấy IJ = (1/2).OK=const.
Y
X
M
B
K
J
N
Vậy có thể phán đốn quĩ
tích của I là đường thẳng song song
với AB cách AB một khoảng bằng
một nửa đoạn OK trừ đoạn XY với
X,Y lần lượt là trung điểm của OA
và OB.
3.Giả sử tam giác MNP đều thế thì: OM = 2.OP = 2R: MK2 = MO2 OK2
= 4R2 OK2 = const.
Từ đó có hai điểm M thảo mãn bài ra.
Chú ý: Trong kinh nghiệm này để tiện theo dõi có một số bài tốn tơi trích
cả bài nhưng chỉ giải phần quỹ tích và cơng nhận kết quả của những câu trước.
4. Bài tập tham khảo
Với bài tốn nói trên ta có thể vận dụng để giải được rất nhiếu bài tốn
về qũy tich là trung điểm của một đoạn thẳng. Sau đây tơi xin nêu thêm một số
ví vụ để bạn đồng nghiệp cùng tham khảo.
Bài tập 1: cho đoạn thẳng AB = a. M là điểm di động trên AB. Trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB dựng các tam giác đều ACM và BDM. Tìm quỹ tích
trung điểm I của đoạn thẳng CD.
“ trích bài 178 trang 57 – Một số vấn đề phát triển hình học 8 – tác giả Vũ Hữu
Bình”
Bài tập 2: Cho tam giác ABC cố định. Hai điểm D và E thứ tự chuyển
động trên hai cạnh AB và AC sao cho
AD CE
=
. Tìm tập hợp quỹ tích trung
DB EA
điểm M của DE.
Bài tập 3: Cho đoạn thẳng AB = a. M, N là hai điểm di động trên AB sao
cho MN = m khơng đổi. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vễ các nữa
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 12
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
đường trịn đường kính AM và BN. Trên nửa đường trịn đường kính AM lấy
điểm D và trên nửa đường trịn đường kính BN lấy điểm E sao cho
sd DM = sd EB khơng đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE.
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm này tơi chỉ trình bày cách vận
dụng bài tốn gốc để giải quyết một số bài tốn phức tạp bằng cách đưa bài
tốn đó về bài tốn gốc. Cũng để bạn đồng nghiệp thấy được những ưu điểm
khi ta sử dụng phương pháp này.
Với những ưu điểm như tơi đã trình bày trong kinh nghiệm này, tơi thấy
nếu bạn đồng nghiệp biết vận dụng một bài tốn làm bài tốn gốc như một định
lý hay hệ quả của riêng mình trong việc phân tích tìm tịi lời giải hay hướng dẩn
học sinh suy luận dễ tìm tịi lời giải thì cơng việc sẻ bớt khó khăn hơn. Hơn thế
nữa nếu biết cách vận dụng bài tốn trong khi tìm tịi lời giải sẽ làm phong phú
hơn các phương pháp suy luận có nhiều định hướng trong q trình giải tốn và
đối với phương pháp này lời giải cũng hết sức ngắn gọn.
2. Kiến nghị
Chúng ta đã biết hệ thống câu hỏi và bài tập trong sách giáo khoa và sách
bài tập đã được biên soạn và chọn lọc, sắp xếp một cách cơng phu và có dụng ý
rất sư phạm, rất phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của học sinh, phản
ảnh phần nào thực tiễn đời sống xã hội và học tập gần gũi với học sinh, phù hợp
với tâm lý lứa tuổi học sinh. Tuy nhiên, SGK và SBT là tài liệu dành cho tất cả
học sinh thành thị cũng như nơng thơn, miền núi cũng như miền xi, vùng kinh
tế phát triển cũng như vùng gặp khó khăn, với các đặc trưng khác nhau.
Trên đây là một kinh nghiệm mà tơi đã vận dụng giãi và hướng dẩn học
sinh giải một số bài tốn quỹ tích nhanh và ngắn gọn nhất trong q trình giảng
dạy. Tơi xin được trình bày để các bạn đơng nghiệp tham khảo sử dụng và đóng
góp ý kiến.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 13
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
MỤC LỤC
Mục
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục tiêu của đề tài
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phương pháp nghiên cứu
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận
II. Cơ sở thực tiễn
III. Giải pháp thực hiện
IV. Ví dụ áp dụng
1. Kiến thức cần nhớ
2. Bài tốn mở đầu
3. Những bài tốn vận dụng
4. Bài tập tham khảo
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Kiến nghị
MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
9
9
9
10
11
12
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 14
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Phương pháp dạy học Tốn – Trần Bá Kim
Sách giáo khoa Tốn 9, NXB Giáo dục năm 2011
Sách giáo viên Tốn 9 NXB Giáo dục năm 2011
Sách giáo khoa Tốn 8 NXB Giáo dục năm 2011
Sách giáo viên Tốn 8 NXB Giáo dục năm 2011
Tuyển tập nâng cao Tốn 9
Tuyển tập nâng cao Tốn 8
Một số vấn đề phát triển hình học 8 – Tác giả Vũ Hữu Bình
Luyện thi vào lớp 10 mơn Tốn Tác giả Lương Xn Tiến
100 bài tốn quỹ tích và dựng hình Tác giả Bùi Văn Thơng
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 15
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp
THCS
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022
Trang 16
