Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán 2013 doc

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp
Bµi 1. a) Giải phương trình (1 + x)
4
= 2(1 + x
4
).
b) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
7
28
7
x xy y
y yz z
z xz x

+ + =

+ + =


+ + =

Bµi 2. a) Phân tích đa thức x
5
– 5x – 4 thành tích của một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba
với hệ số nguyên.
b) áp dụng kết quả trên để rút gọn biểu thức
4 4
2

4 3 5 2 5 125
P
=
− + −
.
Bµi 3. Cho ∆ ABC đều. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có MA ≤ MB + MC.
Bµi 4. Cho ∠ xOy cố định. Hai điểm A, B khác O lần lượt chạy trên Ox và Oy tương ứng sao
cho OA.OB = 3.OA – 2.OB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đI qua một điểm cố
định.
Bµi 5. Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m > n và m không chia hết cho n. Biết rằng số
dư khi chia m cho n bằng số dư khi chia m + n cho m – n. Hãy tính tỷ số
m
n
.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên.
Bµi 1. Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
6 6
6
3 3
3
1 1
2
1 1
( ) ( )
( )
x x
x x
P
x x
x x

+ − + −
=
+ + +
.
Bµi 2. Giải hệ phương trình
1 1
2 2
1 1
2 2
y
x
x
y

+ − =




+ − =


Bµi 3. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có : n
3
+ 5n
M
6.
Bµi 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
3 3 3
a b c

ab bc ca
b c a
+ + ≥ + +
.
Bµi 5. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q là các điểm bất kỳ lần lượt nằm trên
các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh rằng 2a
2
≤ MN
2
+ NP
2
+PQ
2
+ QM
2
≤ 4a
2
.
b) Giả sử M là một điểm cố định trên cạnh AB. Hãy xác định vị trí các điểm N, P, Q lần
lượt trên các cạnh BC, CD, DA sao cho MNPQ là một hình vuông.
D
C
B
A
E
F
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên
Bµi 1. a) Tính
1 1 1

1 2 2 3 1999 2000

. . .
S
= + + +
.
b) GiảI hệ phương trình :
2
2
1
3
1
3
x
x
y y
x
x
y y

+ + =




+ + =


Bµi 2. a) Giải phương trình
3 2 4

4 1 1 1x x x x x− + + + + = + −
b) Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình
2 2
11
2 4 4 7 0
2
( )x a x a− + + + =
có ít nhất một nghiệm nguyên.
Bµi 3. Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc với cạnh AB
tại E và với cạnh CD tại F như hình
a) Chứng minh rằng
BE DF
AE CF
=
.
b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE. Tính diện tích hình thang ABCD.
Bµi 4. Cho x, y là hai số thực bất kì khác không.
Chứng minh rằng
2 2 2 2
2 2 8 2 2
4
3( )
( )
x y x y
x y y x
+ + ≥
+
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?