bài giảng trị riêng véc tơ riêng

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 1 / 75
Bài toán thực tế
Lĩnh vực đồ họa hoạt hình trên máy tính
PQR → P

Q

R

bằng cách lấy đối xứng qua trục Ox.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 2 / 75
Bài toán thực tế
A =

1 0
0 −1

là ma trận của phép biến đổi.
Như vậy, với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng có
tọa độ (x
1
, x
2
) qua phép biến đổi này ta sẽ thu

được một điểm mới có tọa độ (y
1
, y
2
)

y
1
y
2

=

1 0
0 −1

.

x
1
x
2

=

x
1
−x
2


Câu hỏi: Nếu thực hiện phép biến đổi này liên
tiếp đối với điểm (x
1
, x
2
) có nghĩa là A
k
.

x
1
x
2

thì tọa độ của điểm mới được tính như thế nào?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 3 / 75
Bài toán thực tế
Nội dung
1
Trị riêng, véc-tơ riêng của ma trận
2
Chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao ma trận
đối xứng thực
3
Trị riêng, véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính
4
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 4 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận
A =


1 0
0 −1

, u =

−1
−1

, v =

0
1

.
Ta thấy A

−1
−1

=

−1
1

và
A

0
1


=

0
−1

= −1.

0
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 5 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận
Định nghĩa
Cho ma trận vuông A ∈ M
n ×n
(K ). Nếu tồn tại
X ∈ K
n
, X = 0 sao cho AX = λ.X , λ ∈ K thì λ
được gọi là trị riêng của ma trận A và X được gọi
là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ.
Ví dụ
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận
A =

1 4
2 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 6 / 75

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận
Biểu thức AX = λX có dạng

1 4
2 3

x
1
x
2

=

λx
1
λx
2

⇔

1 − λ 4
2 3 − λ

x
1
x
2

=


0
0

. Hệ phương
trình thuần nhất này phải có nghiệm X = 0 nên




1 − λ 4
2 3 − λ




= 0 ⇔ λ
2
− 4λ − 5 = 0
⇔ λ
1
= −1, λ
2
= 5.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 7 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận
Ứng với λ
1
= −1. Ta có

2x

1
+ 4x
2
= 0
2x
1
+ 4x
2
= 0
⇔ x
1
= −2α, x
2
= α.
Vậy véctơ riêng có dạng α(−2, 1), α = 0.
Ứng với λ
2
= 5. Ta có

−4x
1
+ 4x
2
= 0
2x
1
− 2x
2
= 0
⇔ x

1
= β, x
2
= β.
Vậy véctơ riêng có dạng β(1, 1), β = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 8 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận
Ví dụ
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận
A =

1 2
−2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 9 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận
Biểu thức AX = λX có dạng

1 2
−2 1

x
1
x
2

=

λx
1

λx
2

⇔

1 − λ 2
−2 1 − λ

x
1
x
2

=

0
0

. Hệ phương
trình thuần nhất này phải có nghiệm X = 0 nên




1 − λ 2
−2 1 − λ





= 0 ⇔ (1 − λ)
2
+ 4 = 0
⇔ λ
1,2
= 1 ± 2i.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 10 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận
Ứng với λ
1
= 1 + 2i. Ta có

−2ix
1
+ 2x
2
= 0
−2x
1
− 2ix
2
= 0
⇔ x
1
= α, x
2
= αi.
Vậy véctơ riêng có dạng α(1, i), α = 0.
Ứng với λ
2

= 1 − 2i. Ta có

2ix
1
+ 2x
2
= 0
−2x
1
+ 2ix
2
= 0
⇔ x
1
= β, x
2
= −βi.
Vậy véctơ riêng có dạng β(1, −i), β = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 11 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Đa thức đặc trưng
Giả sử λ là trị riêng của ma trận vuông A
⇔ ∃X = 0 : AX = λ.X
⇔ AX − λX = 0 ⇔ (A − λI ).X = 0. Hệ thuần
nhất này có nghiệm không tầm thường
X = 0 ⇒ det(A − λI ) = 0
Định nghĩa
Cho A ∈ M
n ×n
(K ), I là ma trận đơn vị cấp n. Khi
đó χ

A
(λ) = det(A − λI ) được gọi là đa thức đặc
trưng của ma trận A.Phương trình
det(A − λI ) = 0 được gọi là phương trình đặc
trưng của ma trận A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 12 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Đa thức đặc trưng
Tìm trị riêng-véc tơ riêng của ma trận vuông
Bước 1. Lập phương trình đặc trưng
det(A − λI ) = 0.
Bước 2. Giải phương trình đặc trưng tìm trị riêng.
Bước 3. Với mỗi trị riêng λ
i
, giải hệ
(A − λ
i
I )X = 0:
Tìm véc tơ riêng X ứng với trị riêng λ
i
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 13 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Đa thức đặc trưng
Định lý
Cho A =


a
11
a
12

a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


∈ M
3
(K ), khi đó
χ
A
(λ) = |A − λI | = −λ
3
+ tr (A)λ
2
−
−






a
11
a
12
a
21
a
22




+




a
22
a
23
a
32
a
33





+




a
11
a
13
a
31
a
33





λ+det(A)
ở đây tr(A) = a
11
+ a
22
+ a
33
−vết của ma trận A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 14 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng
Định nghĩa

Các véctơ riêng ứng với trị riêng λ cùng với véctơ
0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không
gian con riêng ứng với λ. Kí hiệu E
λ
Định nghĩa
Số chiều của không gian con riêng ứng với trị
riêng λ được gọi là bội hình học của trị riêng λ.
Còn bội đại số của λ là bội của nghiệm của
phương trình đặc trưng χ
A
(λ) = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 15 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng
Ví dụ
Cho A =


3 1 1
2 4 2
1 1 3


1
Lập đa thức đặc trưng của A
2
Tính det(A − 2013.I )
3
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 16 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng

1. Đa thức đặc trưng của ma trận A
χ
A
(λ) = |A − λI | =






3 − λ 1 1
2 4 − λ 2
1 1 3 − λ






=
= −(λ − 2)
2
(λ − 6)
2. det(A − 2013.I ) = −(2013 − 2)
2
(2013 − 6)
3. Phương trình đặc trưng của A
χ
A
(λ) = |A − λI | =







3 − λ 1 1
2 4 − λ 2
1 1 3 − λ






= 0
⇔ −(λ − 2)
2
(λ − 6) = 0 ⇔ λ
1
= 2, λ
2
= 6.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 17 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng
Ứng với λ
1
= 2 ta xét hệ




x
1
+ x
2
+ x
3
= 0
2x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
= 0
x
1
+ x
2
+ x
3
= 0
⇒ X
1
= α


−1
1
0



+ β


−1
0
1


, α
2
+ β
2
= 0.
Bội đại số của λ
1
= 2 là 2. Bội hình học của
λ
1
= 2 cũng là 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 18 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng
Ứng với λ
2
= 6 ta xét hệ



−3x

1
+ x
2
+ x
3
= 0
2x
1
− 2x
2
+ 2x
3
= 0
x
1
+ x
2
− 3x
3
= 0
⇒ X
2
= γ


1
2
1



, γ = 0. Bội đại số của λ
2
= 6
là 1. Bội hình học của λ
2
= 6 cũng là 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 19 / 75
Chéo hóa ma trận Định nghĩa chéo hóa
Chéo hóa ma trận
Định nghĩa
Cho A ∈ M
n
(K ). Ta nói A chéo hóa được nếu nó
đồng dạng với một ma trận chéo D, tức là
∃S ∈ M
n
(K ) không suy biến sao cho S
−1
AS = D.
Khi đó S được gọi là ma trận làm chéo hóa.
Chú ý. Không phải ma trận vuông nào cũng chéo
hóa được. Chéo hóa ma trận A là đi tìm ma trận
không suy biến S và ma trận chéo D.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 20 / 75
Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa
Ta có S
−1
AS = D = dig(λ
1
, λ

2
, . . . , λ
n
). Từ đó
suy ra AS = SD
A =




a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn





, D =




λ
1
0 . . . 0
0 λ
2
. . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λ
n




S =




s
11
s
12

. . . s
1n
s
21
s
22
. . . s
2n
. . . . . . . . . . . .
s
n1
s
n2
. . . s
nn




=

S
∗1
S
∗2
. . . S
∗n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 21 / 75
Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa

AS =




a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn




.





s
11
s
12
. . . s
1n
s
21
s
22
. . . s
2n
. . . . . . . . . . . .
s
n1
s
n2
. . . s
nn




= A

S
∗1

S
∗2
. . . S
∗n

=

AS
∗1
AS
∗2
. . . AS
∗n

SD =




s
11
s
12
. . . s
1n
s
21
s
22
. . . s

2n
. . . . . . . . . . . .
s
n1
s
n2
. . . s
nn








λ
1
0 . . . 0
0 λ
2
. . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λ
n




=


λ
1
S
∗1
λ
2
S
∗2
. . . λ
n
S
∗n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 22 / 75
Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa
Vậy (AS)
∗i
= AS
∗i
= (SD)
∗i
= λ
i
S
∗i
, (i =
1, 2, . . . , n). Vậy S
∗i
là véctơ riêng ứng với trị

riêng λ
i
(i = 1, 2, . . . , n) của ma trận A.
Ma trận làm chéo hóa S có cấu trúc là: các cột
của nó chính là các véctơ riêng của ma trận A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 23 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ví dụ
Cho ma trận A =


15 −18 −16
9 −12 −8
4 −4 −6


. Hãy chéo
hóa ma trận A.
Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.
χ
A
(λ) = |A − λI | =






15 −λ −18 −16
9 −12 −λ −8

4 −4 −6 −λ






= 0
⇔ −(λ + 3)(λ + 2)(λ − 2) = 0
⇔ λ
1
= −3, λ
2
= −2, λ
3
= 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 24 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ứng với λ
1
= −3 ta xét hệ



18x
1
− 18x
2
− 16x
3

= 0
9x
1
− 9x
2
− 8x
3
= 0
4x
1
− 4x
2
− 3x
3
= 0
⇒ X
1
= α


1
1
0


, α = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 25 / 75