Bài 3: Tích của véc tơ với một số(2010)

a
r
c
r
d
r
b
r
Hãy nhận xét về phương,
hướng, độ dài của các véc
tơ trong hình vẽ bên với
véc tơ
a
r
và :
b 2
a b
a



=


r r
r r
cùng hướng
và :
3
c

2
a c
a



=


r r
r r
ngược hướng
Dựng véc tơ tổng
a a+
r r
A
B
C
2b a a a
= + =
r r r r
3
2
c a
⇒ = −
r r

1. Định nghĩa:
VÍ DỤ 1: Cho tam giác ABC, D và E lần lượt là trung điểm của BC và
AC. Điền các số thích hợp vào ô trống ở các câu sau:

Cho số k ≠ 0 và vec tơ .Tích của vec tơ với số k là một véc tơ,
kí hiệu là:
a 0≠
r r
ka
r
a
r
c) d)
a) b)
1
CD CB
2
=
uuur uuur
AC 2 CE= −
uuur uuur
1
BD CB
2
= −
uuur uuur
AC 2 AE=
uuur uuur
0k k a a> ⇒
r r
cùng hướng với
0k k a a
< ⇒
r r

ngược hướng với
k a
r
ka
r
VÐc t¬ cã ®é dµi b»ng
0a 0,k0 0= =
r r r r
Quy ­íc:
D
A
B
C
E

VÍ DỤ 2:
Cho hai điểm A, B. Tìm điểm I sao cho

2 0IA IB+ =
uur uur r
GIẢI:
( )
2 0 2 *IA IB IA IB+ = ⇔ = −
uur uur r uur uur
A
B
I
Từ (*) có nhận xét về hướng
và độ dài của véc tơ
với

IA IB
uur uur
:IA



uur
ngược hướng với
IB
uur
có độ dài bằng
2 2.IA IB IB
= − =
uur

2.Tính chất:
Với hai véc tơ và bất kì, với mọi số h và k ta có:

a
r
b
r
( )
( )
( )
( )
( )
k a b ka kb
h k a ha ka
h ka hk a

1.a a, 1 a a
+ = +
+ = +
=
= − = −
r r r r
r r r
r r
r r r r
Tích của véc tơ với
một số có tính chất
giống tính chất
phép nhân các số
VÍ DỤ:
Tìm véc tơ đối của các véc tơ
2 à 2 5k v a b−
r r r
Giải:
2k−
r
Véc tơ đối của là
2k
r
Véc tơ đối của là
2 5a b−
r r
2 5a b
− +
r r
Véc tơ đối của là:

na mb
+
r r
na mb− −
r r

( ) ( ) ( )
0GM MA GM MB GM MC
⇔ + + + + + =
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur r
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
2MA MB MI
⇔ + =
uuur uuur uuur
a. I là trung điểm AB
3MA MB MC MG
⇔ + + =
uuur uuur uuuur uuuur
b.G là trọng tâm của tam giác ABC
CHỨNG MINH:
( ) ( )
0IM MA IM MB⇔ + + + =
uuur uuur uuur uuur r
I là trung điểm của AB
0IA IB⇔ + =
uur uur r
2 2MA MB IM MI⇔ + = − =
uuur uuur uuur uuur
G là trọng điểm của tam giác ABC

0GA GB GC
⇔ + + =
uuur uuur uuur r
3MA MB MC MG
⇔ + + =
uuur uuur uuuur uuuur