bài giảng dạng toàn phương

DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 1 / 43
Nội dung
1
Định nghĩa dạng toàn phương. Phương pháp
biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi
Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính
tắc
2
Dạng toàn phương xác định dấu: Luật quán
tính, tiêu chuẩn Sylvester
3
Nhận dạng đường và mặt bậc hai
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 2 / 43
Những khái niệm cơ bản Định nghĩa
Định nghĩa
Dạng toàn phương trong R
n
là một hàm thực
f : R
n
→ R, ∀x = (x
1
, x
2

, . . . , x
n
)
T
∈ R
n
:
f (x) = x
T
.M.x, trong đó M là ma trận đối xứng
thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương
(trong cơ sở chính tắc).
Ví dụ
f (x) = f (x
1
, x
2
) = 2x
2
1
+ 3x
2
2
−6x
1
x
2
là dạng toàn
phương. Ma trận M có dạng M =


2 −3
−3 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 3 / 43
Những khái niệm cơ bản Định nghĩa
Dạng toàn phương trong R
3
thường được ghi ở
dạng f (x) = f (x
1
, x
2
, x
3
) =
Ax
2
1
+ Bx
2
2
+ Cx
2
3
+ 2Dx
1
x
2
+ 2Ex
1

x
3
+ 2Fx
2
x
3
.
Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận
đối xứng
M =


A D E
D B F
E F C


f (x
1
, x
2
, x
3
) = x
T
.M.x = (x
1
x
2
x

3
).M.


x
1
x
2
x
3


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 4 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Ví dụ
f (x) = f (x
1
, x
2
, x
3
) =
x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 4x

1
x
3
+ 2x
2
x
3
− x
2
3
là 1 dạng toàn
phương. Ma trận của dạng toàn phương là
M =


1 −1 2
−1 0 1
2 1 −1


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 5 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
Cho dạng toàn phương f (x) = x
T
.M.x, với
x = (x
1
, x
2
, x

3
)
T
. Vì M là ma trận đối xứng thực
nên M chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và
ma trận chéo D : D = P
T
MP ⇒ M = PDP
T
.
Khi đó
f (x) = x
T
.P.D.P
T
.x = (P
T
.x)
T
.D.(P
T
.x). Đặt
y = P
T
.x = P
−1
x ⇔ x = Py. Ta có g(y) =
y
T
Dy = (y

1
, y
2
, y
3
)


λ
1
0 0
0 λ
2
0
0 0 λ
3




y
1
y
2
y
3


. Vậy
f (x) = g(y) = λ

1
y
2
1
+ λ
2
y
2
2
+ λ
3
y
2
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 6 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
Định nghĩa
Dạng toàn phương g(y) = y
T
Dy được gọi là dạng
chính tắc của dạng toàn phương f (x) = x
T
Mx.
Định lý
Dạng toàn phương f (x) = x
T
Mx luôn luôn có thể
đưa về dạng chính tắc g(y) = y
T

Dy bằng cách
chéo hóa trực giao ma trận M của dạng toàn
phương.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 7 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao
Bước 1. Viết ma trận M của dạng toàn phương
(trong cơ sở chính tắc)
Bước 2. Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P và
ma trận chéo D.
Bước 3. Kết luận: dạng chính tắc cần tìm là
g(y) = y
T
Dy. Phép biến đổi cần tìm x = Py.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 8 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Ví dụ
Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
bằng phép biến đổi trực giao
f (x
1
, x
2
, x
3
) = −4x
1
x
2

−4x
1
x
3
+ 3x
2
2
−2x
2
x
3
+ 3x
2
3
Ma trận của dạng toàn phương
M =


0 −2 −2
−2 3 −1
−2 −1 3


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 9 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
det(M − λI ) =







−λ −2 −2
−2 3 − λ −1
−2 −1 3 − λ






= 0
⇔ −λ
3
+ 6λ
2
−32 = 0 ⇔ λ
1
= −2, λ
2
= λ
3
= 4.
Xác định ma trận trực giao. Với λ
1
= −2, ta có
P
∗1
=




2
√
6
1
√
6
1
√
6



. Với λ
2
= λ
3
= 4, ta có
P
∗2
=



−
1
√
5
2

√
5
0



, P
∗3
=



−
2
√
30
−
1
√
30
5
√
30



.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 10 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Do đó ma trận trực giao

P =



2
√
6
−
1
√
5
−
2
√
30
1
√
6
2
√
5
−
1
√
30
1
√
6
0
5

√
30



.
Phép biến đổi (x
1
, x
2
, x
3
)
T
= P(y
1
, y
2
, y
3
)
T
sẽ đưa
dạng toàn phương f về dạng chính tắc
f = −2y
2
1
+ 4y
2
2

+ 4y
2
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 11 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange
Định nghĩa
Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi
không suy biến nếu P là ma trận không suy biến.
Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng
các phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn
phương về dạng chính tắc.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 12 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi
Lagrange
Bước 1. Chọn 1 thừa số khác 0 của hệ số của x
2
k
,
lập thành 2 nhóm: 1 nhóm gồm tất cả các hệ số
chứa x
k
, nhóm còn lại không chứa x
k
.
Bước 2. Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng
bình phương. Như vậy, ta sẽ được 1 tổng bình
phương và 1 dạng toàn phương không chứa x
k
.

Bước 3. Sử dụng bước 1, 2 cho dạng toàn
phương không chứa x
k
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 13 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange
Chú ý. Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất
cả các hệ số x
2
k
đều bằng 0, thì ta chọn thừa số
khác 0 của hệ số x
i
x
j
. Đổi biến ∀k = i, j :



x
k
= y
k
,
x
i
= y
i
+ y
j

,
x
j
= y
i
− y
j
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 14 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Ví dụ
Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn
phương sau về dạng chính tắc
f (x
1
, x
2
, x
3
) = x
2
1
+ 2x
2
2
− 7x
2
3
− 4x
1
x

2
+ 8x
1
x
3
.
Ta có
f (x
1
, x
2
, x
3
) = x
2
1
− 4x
1
(x
2
− 2x
3
) + 2x
2
2
− 7x
2
3
=
[x

2
1
− 4x
1
(x
2
− 2x
3
) + 4(x
2
− 2x
3
)
2
] +
2x
2
2
− 7x
2
3
− 4(x
2
− 2x
3
)
2
=
(x
1

− 2x
2
+ 4x
3
)
2
−2(x
2
2
− 8x
2
x
3
) − 23x
2
3
=
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 15 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
= (x
1
−2x
2
+ 4x
3
)
2
−2(x
2
2

− 8x
2
x
3
+ 16x
2
3
)+9x
2
3
=
= (x
1
− 2x
2
+ 4x
3
)
2
− 2(x
2
− 4x
3
)
2
+ 9x
2
3
.
Vậy dùng phép biến đổi




y
1
= x
1
− 2x
2
+ 4x
3
y
2
= x
2
− 4x
3
y
3
= x
3
→



x
1
= y
1
+ 2y

2
+ 4y
3
x
2
= y
2
+ 4y
3
x
3
= y
3
Ta đưa f về dạng chính tắc
f (x) = g(y) = y
2
1
− 2y
2
2
+ 9y
2
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 16 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn
phương sau về dạng chính tắc f (x
1
, x

2
, x
3
) =
x
2
1
+ 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 4x
2
2
+ 16x
2
x
3
+ 4x
2
3
.
Hệ số của x
2
1
khác 0 nên f được đưa về dạng

f = (x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
)
2
+ 8x
2
x
3
. Dùng phép biến đổi
y
1
= x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
, y
2
= x
2
, y
3
= x
3
hay

x
1
= y
1
− 2y
2
− 2y
3
, x
2
= y
2
, x
3
= y
3


x
1
x
2
x
3


=


1 −2 −2

0 1 0
0 0 1




y
1
y
2
y
3


ta đưa f về dạng f = y
2
1
+ 8y
2
y
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 17 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Đối với dạng 8y
2
y
3
vì hệ số của các bình phương
đều bằng 0 nên ta đặt
y

1
= z
1
, y
2
= z
2
+ z
3
, y
3
= z
2
− z
3


y
1
y
2
y
3


=


1 0 0
0 1 1

0 1 −1




z
1
z
2
z
3


ta đưa f về dạng f = z
2
1
+ 8z
2
2
− 8z
2
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 18 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Như vậy với phép biến đổi


x
1

x
2
x
3


=


1 −2 −2
0 1 0
0 0 1




y
1
y
2
y
3


=


1 −2 −2
0 1 0
0 0 1





1 0 0
0 1 1
0 1 −1




z
1
z
2
z
3


=


1 −4 0
0 1 1
0 1 −1




z

1
z
2
z
3


ta đưa f về dạng chính
tắc f = z
2
1
+ 8z
2
2
− 8z
2
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 19 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Định nghĩa
Định nghĩa
Dạng toàn phương f (x) = x
T
Mx được gọi là
xác định dương, nếu ∀x = 0 : f (x) > 0
xác định âm, nếu ∀x = 0 : f (x) < 0
nửa xác định dương, nếu
∀x : f (x)  0, ∃x
0
= 0 : f (x

0
) = 0.
nửa xác định âm, nếu
∀x : f (x)  0, ∃x
0
= 0 : f (x
0
) = 0.
không xác định dấu, nếu
∃x
1
, x
2
: f (x
1
) < 0, f (x
2
) > 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 20 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ
Ví dụ
Khảo sát tính chất xác định của dạng toàn phương
f = x
2
1
+ 5x
2
2
+ 4x
2

3
− 4x
1
x
2
− 2x
2
x
3
f có thể đưa về dạng
f = (x
1
− 2x
2
)
2
+ (x
2
− x
3
)
2
+ 3x
2
3
. Rõ ràng
f  0, f = 0 khi và chỉ khi




x
1
− 2x
2
= 0
x
2
− x
3
= 0
x
3
= 0
⇔ x
1
= x
2
= x
3
= 0 nên dạng
toàn phương này xác định dương.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 21 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ
Giả sử dạng toàn phương đưa về dạng chính tắc
g(y) = λ
1
y
2
1
+ λ

2
y
2
2
+ . . . + λ
n
y
2
n
Nếu λ
k
> 0, ∀k thì DTP xác định dương
Nếu λ
k
< 0, ∀k thì DTP xác định âm
Nếu λ
k
 0, ∀k, ∃λ
i
= 0 thì DTP nửa xác định
dương
Nếu λ
k
 0, ∀k, ∃λ
i
= 0 thì DTP nửa xác định
âm
Nếu ∃λ
i
> 0, λ

j
< 0, i = j thì DTP không xác
định dấu
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 22 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Luật quán tính
Giả sử dạng toàn phương đưa về dạng chính tắc
g(y) = λ
1
y
2
1
+ λ
2
y
2
2
+ . . . + λ
n
y
2
n
Định nghĩa
Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán
tính. Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán
tính
Có nhiều phương pháp khác nhau để đưa dạng
toàn phương về dạng chính tắc. Đặc điểm chung
của các phương pháp này là: số lượng các hệ số
âm và số lượng các hệ số dương là không đổi.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 23 / 43

Dạng toàn phương xác định dấu Luật quán tính
Luật quán tính
Định lý
Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của
dạng toàn phương là những đại lượng bất biến
không phụ thuộc vào cách đưa dạng toàn phương
về dạng chính tắc.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 24 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn Sylvester
Định nghĩa
Cho ma trận M vuông cấp n. Tất cả các định thức
con tạo nên dọc theo đường chéo chính được gọi
là định thức con chính cấp 1, 2, . . . , n. Kí hiệu
∆
1
, ∆
2
, . . . , ∆
n
.
M =







a
11

a
12
a
13
. . . a
1n
a
21
a
22
a
23
. . . a
2n
a
31
a
32
a
33
. . . a
3n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
a
n 2
a
n 3
. . . a

nn







TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 25 / 43