Bài giảng SKKN Toan - Phuong Thao

Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng
thức đáng nhớ
I. Đặt vấn đề:
Trong môn toán chúng ta không cần tìm ra những bài toán gốc, mà chỉ cần nhìn ra các
dạng toán cơ bản bổ trợ cho mảng kiến thức trọng tâm.
Qua thời gian giảng dạy -Bồi dỡng -Phụ đạo-Ôn thi vào 10 tôi phát hiện rất nhiều vấn đề
về hằng đẳng thức đáng nhớ, Thiết nghĩ đây là một khối kiến thức khổng lồ, là nề tảng cho học
sinh từ khi tiếp cận cho tới những chặng đờng tiếp theo.
Tôi đã khai thác, vận dụng một phần nhỏ vào công tác giảng dạy, ôn cho học sinh trong
đơn vị. Tôi thấy có hiệu quả rõ rệt và đặc biệt là khơi dậy trong tâm hồn học sinh niềm đam mê
tìm tòi, khám phá trong lĩnh vực toán học.
Với thời lợng truyền thụ tìm hiểu đối với mảng kiến thức này trên lớp quá ít cho nên tôi
đã mạnh dạn viết lại các vấn đề ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ Để học sinh và
giáo viên,đồng nghiệp tham khảo, áp dụng vào công tác học tập, ôn tập, bồi dỡng học sinh trong
đơn vị...
II. Giải quyết vấn đề:
A. Lý thuyết:
I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (A + B)
2
= A
2
+ B
2
+ 2AB
2. (A - B)
2
= A
2
+ B
2

- 2AB
3. A
2
B
2
= (A + B) (A B)
4. (A
3
+ B
3
) = (A + B) (A
2
AB + B
2
)
5. (A
3
- B
3
) = (A - B) (A
2
+ AB + B
2
)
6. (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2

B + 3AB
2
+ B
2
7. (A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
2
II. Một số dạng hằng đẳng thức tổng quát:
1. (a
1
+ a
1
+ a
3
+ ...+ a
n
) = a
1
2
+ a
2
2
+ ... + 2(a

1
a
2
+ a
1
a
3
+ ...+ a
n-1
a
n
)
2. a
n
b
n
= (a b) (a
n-1
+ a
n- 2
b + ... + ab
n-2
+ b
n-1
)
3. a
n
+ b
n
= (a + b) (a

n-1
- a
n- 2
b + ... - ab
n-2
+ b
n-1
) (n: lẽ)
4. (a + b)
2
= a
n
+ c
1
n
a
n-1
b + ... + c
n-2
n
a
n-3
b
n-1
+ b
n

B. Các dạng bài toán vận dụng ứng dụng của hằng đẳng thức:
Dạng 1:Phân tích đa thức thành nhân tử:
Ví dụ 1: (a

2
+ 4ab 5)
2
16 (ab + 1)
2
Ta có: (a
2
+ 4ab 5)
2
16 (ab + 1)
2
= (a
2
+ 4ab 5)
2
(4(ab + 1)
2
) = ((a
2
+ 4ab 5)
2

4( ab+1))
(a
2
+ 4ab 5)
2
+ 4 (ab + 1) = (a- 2b 3) (a 2b + 3) (a+ 2b + 1) (a + 2b + 1)
Ví dụ 2: 4x
2

y
2
(x
2
+ y
2
)
2
Ta có: 4x
2
y
2
(x
2
+ y
2
)
2
= (2xy x
2
y
2
) (2xy + x
2
+ y
2
) = - (x y)
2
(x + y)
2

Năm học: 2007 - 2008
1
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng
thức đáng nhớ
Ví dụ 3:
(x + y + z )
2
+ (x + y - z )
2
4z.
Ta có: (x + y + z )
2
+ (x + y - z )
2
4z = (x + y + z )
2
+ ((x + y z) 2z) ((x + y z)
+ 2z) = (x + y + z )
2
(x + y 3z) ( x + y + z) = 2( x + y + z) ( x + y - z)
Ví dụ 4: x
2
25 + 2xy + y
3
= (x
2
+ 2xy + y
2
) 5
2

= ( x + y 5) (x + y + 5)
Dạng 2:Chứng minh bất đẳng thức
ví dụ 1:
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2

z) y x(
++

ab + cd + ca (1)
Ta có: a
2
+ b
2
+ c
2

z) y x(
++

ab + cd + ca = a
2
+ b
2
+ c
2

(ab + bc + ca)

0 <=> 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2(ab + cd + ca)

0 <=> (a b)
2
+ (b c)
2
+ (c a)
2


0 ( đúng) => Ta có đpcm.
Ví dụ 2:
Cho x > 0, y > 0, x > 0 ( x, y, x: Là ba cạnh của tam giác)
Chứng minh rằng: (x + y z) (x + z y) (y + z x)

xyz.
Ta có: x
2
(y z)
2

x
2
(1)
Do đó (x - y + z) (x + y z)

x
2
Tơng tự ta có: (x + y z) (x - y + z)

y
2
(2)
(x + y z) (y + z - x)

z
2
(3)
Nhân vế với vế ta có: ((x + y z) (x + z y) (y + z x))
2


(xyz)
2
.
Do x. y. z: Là ba cạnh của tam giác nên ta có: x + y z > 0; y + z x > 0; z + x y > 0. Vậy
ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Cho a b = 1. Chứng minh rằng: a
2
+ b
2

2
1
Thật vậy ta có: a = b + 1
Nên a
2
+ b
2
= (1+ b)
2
+ b
2
= 2b
2
+ 2b + 1 = 2(b
2
+ b +
4
1
) +
2
1


2
1
do đó ta có điều phải
chứng minh.
Dạng 3:Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số:

Ví dụ 1: Cho A = 2009
6
- 2007
6
Chứng minh A chia hết cho 8024
Ta có: A = 2009
6
- 2007
6
= (2009
2
)
3
- (2007
2
)
3
A = (2009
2
- 2007
2
) (2009
4
+ 2009
2
. 2007
2
+ 2007
4
)

A = (2009 + 2007). (2009 2007). B
A = 8032 . B
Vậy A chia hết cho 8023.
Ví dụ 2:
Cho A = 25
12
+ 25
6
Chứng minh rằng: A chia hết cho 16250
Năm học: 2007 - 2008
2
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng
thức đáng nhớ
Ta có: A = (25
4
)
3
+ (25
2
)
3
= (25
4
+ 25
2
) (25
8
25
4
. 25

2
+ 25
4
)
A = 16250
.
B
Vậy A chia hết cho 16250.
Ví dụ 3:
Cho hai số nguyên tố lớn hơn ba. Chứng minh rằng hiệu bình phơng của hai số nguyên tố
đó chia hết cho 24.
Giải:
Gọi hai số nguyên tố đó là: p, q (p > 3, q > 3) (p > q)
Theo bài ra ta có: p
2
q
2


24
Thật vậy: p
2
q
2
= (p
2
1) (q
2
1) = (p 1 ) (p + 1) (q 1) (q + 1)
Xét: (p 1) (p + 1)

Ta có (p 1) p (P + 1)

3 do p > 3. p: nguyên tố nên ta có (p 1) (P + 1)

3 (1)
Đặt p 1 = 2k, p + 1 = 2k + 2 khi đó (P 1) (P + 1) = 4k (k + 1)

8 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra (p 1) (q + 1)

24 ( vì (3, 8 = 1)
Tơng tự ta có: (q 1) (q + 1)

24 ( q nguyên tố lớn hơn 3)
Vậy ta có: p
2
q
2


24.
Dạng 4: Giải ph ơng trình bậc cao
Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x + 5)
4
+ (x + 7)
4
= 16.
Ta thấy đây là một dạng toán khó, học sinh thờng bế tắc về phơng pháp giải nhng ta đơn giản bài
toán một tý ta sẽ thấy rõ đợc vấn đề.
Ta thấy: x + 5 và x + 7 có mối quan hệ với x + 6.

Đặt x + 6 = T
Ta có phơng trình trở thành (T 1)
4
+ (T + 1)
4
= 16.
<=> 2T
2
+ 12T
2
+ 2 = 16.
<=> T
4
+ 6T
2
7 = 0 <=> T
2
= 1
T
2
= - 7
Ta có T
2
= 1 thoả mãn vậy ta có nghiệm của phơng trình là S = (- 5; -7)
Ví dụ 2: Giải phơng trình
y
3
+ y
2
+ y + 1 = 0

Do 1 + 1 + 1

0
Nên phơng trình không có nghiệm là - 1
Do đó ta nhân hai vế của phơng trình với y 1 ta có (y - 1) (y
3
+ y
2
+ y + 1) = 0
<=> y
4
= 1 <=> y = - 1.
Ví dụ 3:
Giải phơng trình: y
4
+ 3y
3
+ 4y
2
+ 3y + 1 = 0
Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của phơng trình đã cho
Năm học: 2007 - 2008
3
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng
thức đáng nhớ
Do đó ta chia cả hai vế của phơng trình cho y
2
ta có (y
2
+

2
1
y
) + 3(y +
y
1
) + 4 = 0
Đặt y +
y
1
= T
Khi đó ta có phơng trình: T
2
+ 3T + 2 = o
<=> T = -1
T = - 2
Với T = -1 phơng trình vô nghiệm
Với T = -2 ta có y +
y
1
= - 2 <=> (y- 1)
2
= 0 <=> y = -1
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là: - 1
Dạng 5:Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Cho A = (x + 1) (x + 4) (x + 5) (x + 8)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Ta có: 1 + 8 = 4 + 5
Do đó A = (x + 1) (x + 4) (x + 5) (x + 8) = (x
2

+ 9x + 14 6) (x
2
+ 9x + 14 + 6) = (T 6) (T +
6)
A
2
= T
2
36

- 36
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là - 36 đạt đợc khi x = - 7 hoặc x = 2.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
2
+ xy + y
2
-3x 3y + 2007
Ta có: A = (x
2
2x + 1) + (y
2
2y + 1) + ( x - 1) (y - 1) + 2004
A=
2
2
1
)1(

+
y
x
+
4
3
(y - 1)
2
+ 2004

2004
Vậy A nhỏ nhất là 2004 đạt đợc khi x = 1 và y = 1.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của C = 2007 x
2
+ 2x 4y
2
4y
Ta có: C = -(x
2
2x + 1) (4y
4
- 4y + 1) + 2005
Do đó C

2005
Vậy giá trị nhỏ nhất là: 2005 đạt đợc khi x = 1 và y =

2
1
Dạng 6:Rút gọn biểu thức, chứng minh đẵng thức, giá trị biểu thức, so sánh
Ví dụ 1: Rút gọn A =
88
2
44
3
22
84211
ba
a
ba
a
ba
a
baba
+
+
+
+
+
+
+
+

Năm học: 2007 - 2008
4
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng
thức đáng nhớ

Ta có:
222222
22
,
211
ba
a
ba
a
ba
a
baba

+

=
+
+

=
44
3
4
ba
a

,
44
3
4

ba
a

+
44
3
4
ba
a
+
=
88
3
8
ba
a

1616
15
88
7
88
7
1688
ba
a
ba
a
ba
a

=

+
+
Vậy A =
1616
15
16
ba
a

Ví dụ 2: Cho a + b = c
Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab ac bc) = 0
Ta có: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab ac bc) = (a
2
+ 2ab + b
2

) (2ac + bc) + c
2
= (a+b)
2
2(a + b). c
+ c
2
= (a+b+c)
2
= (c c)
2
= 0. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Cho a + b + c = 0, a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
Tìm S = a
4
+ b
4
+ c
4
Từ giải thiết ta suy ra:
a
2
+ b
2

+ c
2
= (a + b+ c) 2(ab + bc + ca) = 1.
Suy ra ab + bc + ca = - 1/2
Do đó S = (a
2
+ b
2
) 2(ab)
2
+ c
4
= (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
2(ab)
2
2(cb)
2
2(ac)
2
= (a
2
+ b
2

+ c
2
)
2
2((ac + cd + ac)
2
2abc (a+b+c)= 1 2/4 = -1/2
Ví dụ 4: So sánh A =
2007
+
2009
với B = 2
2008
Ta có: A
2
= 2007 + 2009 + 2
2009.2007
B
2
= 2008 + 2008 + 2
2008.2008
Do đó ta có A < B
Dạng 7: Tìm nghiệm nguyên, giải hệ ph ơng trình
ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
x(x + 1) (x + 7) (x + 8) = y
2
Ta có: x(x + 1) (x + 7) (x + 8) = (x
2
+ 8x) (x
2

+ 8x + 7) = t
2
+ 7t (t = x
2
+ 8x)
Ta có nếu t > 9 thì (t + 3)
2
= t
2
+ 6t + 9 < t
2
+ 7t = y
2
< t
2
+ 8t + 16 = (t + 4)
2
Vậy y
2
gồm giữa hai bình phơng hai số tự nhiên liên tiếp đó là điều vô lý cho nên t

9 hay 9
1

x
, (y = x
2
+ 8x 9 có cực tiểu là: -
5/
=

a
cắt ox tại x= - 9 và x = 1 do đó y = x
2
+ 8x
9

0 <=> - 9
1

x
)
Do x, y thuộc z nên ta có x = - 9, - 8, - 7, - 6, ...1
Vậy nghiệm (x, y) =
}{
)12,1)(12,1)(0,0)(0,1)(12,4)(12,4)(10,7)(10,8)(12,9)(12,9(

Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình
Năm học: 2007 - 2008
5