bài giảng không gian véc tơ

KHÔNG GIAN VÉCTƠ
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 1 / 111
Nội dung
1
Định nghĩa không gian véc-tơ
2
Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính
3
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ
4
Tọa độ của véctơ, ma trận chuyển cơ sở
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 2 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ
Số thực
1
+ : R × R → R
(x, y) → x + y
2
• : R → R
(λ, x) → λ.x
Số phức
1
+ : C × C → C
(x, y) → x + y
2

• : C → C
(λ, x) → λ.x
Đa thức có bậc không lớn hơn n
1
+ : P
n
(x) × P
n
(x) → P
n
(x)
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)
2
• : R × P
n
(x) → P
n
(x)
(λ, p(x)) → λ.p(x)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 3 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ
Véc-tơ trong mặt phẳng
1
+ : R
2
× R
2
→ R
2

(
−→
x ,
−→
y ) →
−→
x +
−→
y
(
−−→
OM,
−−→
ON) →
−−→
OM +
−−→
ON
2
• : R × R
2
→ R
2
(λ,
−→
x ) → λ.
−→
x
(λ,
−−→

OM) → λ.
−−→
OM
Véc-tơ trong không gian
1
+ : R
3
× R
3
→ R
3
(
−→
x ,
−→
y ) →
−→
x +
−→
y
(
−−→
OM,
−−→
ON) →
−−→
OM +
−−→
ON
2

• : R × R
3
→ R
3
(λ,
−→
x ) → λ.
−→
x
(λ,
−−→
OM) → λ.
−−→
OM
KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 4 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (R hoặc C) với 2 phép toán
1
+ : E × E → E
(x, y) −→ x + y
2
• : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: ∀x, y, z ∈ E , ∀λ, µ ∈ K
1
x + y = y + x
2
x+(y +z) = (x+y)+z
3

∃0 ∈ E : x + 0 = x
4
∃(−x) ∈ E :
x + (−x) = 0
5
(λ + µ)x = λx + µx
6
λ(x + y ) = λx + λy
7
λ(µx) = (λ.µ)x
8
1.x = x
thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu
K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta
có không gian véctơ phức.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 5 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ
Ví dụ không gian véctơ
R
n
= {x = (x
1
, . . . , x
n
), x
i
∈ R, i = 1, n}
+ : R
n
× R

n
→ R
n
,
(x, y) → x + y = (x
1
+ y
1
, . . . , x
n
+ y
n
)
• : R × R
n
→ R
n
(λ, x) → (λx
1
, . . . , λx
n
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 6 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ
C
n
= {x = (x
1
, . . . , x
n

), x
i
∈ C, i = 1, n}
+ : C
n
× C
n
→ C
n
,
(x, y) → x + y = (x
1
+ y
1
, . . . , x
n
+ y
n
)
• : C × C
n
→ C
n
(λ, x) → (λx
1
, . . . , λx
n
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 7 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ

X = ∅, E − K − kgv , E
X
= {f : X → E }
+ : E
X
× E
X
→ E
X
,
(f , g) → (f + g )(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X
• : K × E
X
→ E
X
(λ, f ) → (λf )(x) = λf (x), ∀x ∈ X
M
m ×n
(K )
+ : M
m ×n
(K ) × M
m ×n
(K ) → M
m ×n
(K ),
(A, B) → A + B = (a
ij
+ b
ij

)
• : K × M
m ×n
(K ) → M
m ×n
(K )
(λ, A) → λA = (λa
ij
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 8 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ
C
[a,b]
những hàm số liên tục trên đoạn [a, b]
+ : C
[a,b]
× C
[a,b]
→ C
[a,b]
,
(f , g) → f + g = f (x) + g(x)
• : K × C
[a,b]
→ C
[a,b]
(λ, f ) → λf = λf (x)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 9 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ
E = R

2
, + : E × E → E , • : R × E → E
((x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
)) → (x
1
y
1
, x
2
y
2
) λ(x
1
, x
2
) → (x
λ
1
, x
λ
2
).
Chứng minh. Rõ ràng,

∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề
1
x + y = (x
1
y
1
, x
2
y
2
) = y + x, ∀x, y ∈ E.
2
x + (y + z) = (x
1
y
1
z
1
, x
2
y
2
z
2
) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E.
3
∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x
1
, x
2

) = x, ∀x ∈ E
4
∀x ∈ E , ∃(−x) = (
1
x
1
,
1
x
2
) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)
5
(λ + µ)x = (x
λ+µ
1
, x
λ+µ
2
) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E.
6
λ(x + y ) = ((x
1
y
1
)
λ
, (x
2
y
2

)
λ
) = λx + λy, ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E.
7
λ(µx) = (x
λµ
1
, x
λµ
2
) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E.
8
1.x = (x
1
1
, x
1
2
) = x, ∀x ∈ E
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 10 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ
VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT
Đa thức có bậc đúng bằng n > 0
+ :

P
n
(x) ×

P

n
(x) →

P
n
(x),
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)
• : R ×

P
n
(x) →

P
n
(x)
(λ, p(x)) → λ.p(x).
Tuy nhiên, ∀p(x) ∈

P
n
(x) thì
0.p(x) = 0 /∈

P
n
(x).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 11 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ
E = R

2
, + : E × E → E ,
((x
1
, x
2
), (y
1
, y
2
)) → (x
1
y
1
, x
2
y
2
)
• : R × E → E
λ(x
1
, x
2
) → (λx
1
, λx
2
).
Tuy nhiên, λ(x + y ) = λ(x

1
y
1
, x
2
y
2
) =
(λx
1
y
1
, λx
2
y
2
) = (λx
1
.λy
1
, λx
2
.λ.y
2
) = λx + λy
với λ = 0 và λ = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 12 / 111
Cấu trúc không gian véctơ Định lý
Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ
Định lý

Giả sử E làm một K − kgv, ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ E
ta có
1
λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0.
2
(λ − µ)x = λx − µx.
3
λ(x − y ) = λx − λy
4
phần tử 0 ∈ E là duy nhất.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 13 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính
Tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa
Cho E là 1 K -kgv, n ∈ N
∗
, x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ E ,
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
∈ K . Ta gọi

x =
n

i=1
λ
i
x
i
= λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
+ . . . + λ
n
x
n
là tổ hợp
tuyến tính của x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 14 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính

Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x
1
, x
2
, . . . , x
n
hay không?
Giải hệ x = λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
+ . . . + λ
n
x
n
với ẩn
λ
1
, . . . , λ
n
∈ R.
Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x
là tổ hợp tuyến tính của x
1
, x
2

, . . . , x
n
.
Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp
tuyến tính của x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 15 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến
tính của các véctơ
x
1
= (2, 1, 1), x
2
= (−1, 1, −1), x
3
= (1, 1, −2)
hay không?
Giải.
λ
1
x
1
+ λ

2
x
2
+ λ
3
x
3
= x ⇔ (2λ
1
, λ
1
, λ
1
) +
(−λ
2
, λ
2
, −λ
2
) + (λ
3
, λ
3
, −2λ
3
) = (1, 4, −3)
⇔




2λ
1
− λ
2
+ λ
3
= 1
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
= 4
λ
1
− λ
2
− 2λ
3
= −3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 16 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
⇔


2 −1 1
1 1 1
1 −1 −2





λ
1
λ
2
λ
3


=


1
4
−3


⇔



λ
1
= 1
λ
2
= 2

λ
3
= 1
Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của
các véctơ
x
1
= (2, 1, 1), x
2
= (−1, 1, −1), x
3
= (1, 1, −2) và
x = x
1
+ 2x
2
+ x
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 17 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến
tính của các véctơ
x
1
= (1, 2, 5), x
2
= (1, 3, 7), x
3

= (−2, 3, 4) hay
không?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 18 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Giải.


1 1 −2
2 3 3
5 7 4






4
3
5


h
2
→h
2
−2h
1
h
3
→h

3
−5h
1
−−−−−−→


1 1 −2
0 1 7
0 2 14






4
−5
−15


h
3
→h
3
−2h
1
−−−−−−→


1 1 −2

0 1 7
0 0 0






4
−5
−5


Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy
véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các
véctơ x
1
= (1, 2, 5), x
2
= (1, 3, 7), x
3
= (−2, 3, 4)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 19 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến
tính của các véctơ
x
1
= (1, 2, 5), x

2
= (1, 3, 7), x
3
= (−2, 3, 4) hay
không?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 20 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Giải.


1 1 −2
2 3 3
5 7 4






4
3
10


h
2
→h
2
−2h
1

h
3
→h
3
−5h
1
−−−−−−→


1 1 −2
0 1 7
0 2 14






4
−5
−10


h
3
→h
3
−2h
1
h

1
→h
1
−h
2
−−−−−−→


1 0 −9
0 1 7
0 0 0






9
−5
0


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 21 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Hệ tương ứng có vô số nghiệm
(λ
1
, λ
2
, λ

3
) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R. Vậy
véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các
véctơ x
1
= (1, 2, 5), x
2
= (1, 3, 7), x
3
= (−2, 3, 4)
và
x = (9 + 9t)x
1
+ (−5 − 7t)x
2
+ tx
3
, t ∈ R.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 22 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính
{x
1
, x
2
, . . . , x
m
}
là phụ thuộc
tuyến tính
∃λ

1
, λ
2
, . . . , λ
m
∈ K
không đồng thời bằng 0
sao cho
m

i=1
λ
i
x
i
= λ
1
x
1
+
λ
2
x
2
+ . . . + λ
m
x
m
= 0
m


i=1
λ
i
x
i
=
λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
+ . . . +
λ
m
x
m
= 0 ⇒ λ
1
=
λ
2
= . . . = λ
m
= 0
{x
1

, x
2
, . . . , x
m
}
là độc lập tuyến
tính
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 23 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ
Véctơ ĐLTT, PTTT trong mặt phẳng, trong không gian
Trong R
2
, cho 2 véc tơ x, y cùng phương:
x = k.y ⇐⇒ 1.x − k.y = 0.
Suy ra x, y PTTT. Ngược lại x, y ĐLTT khi
và chỉ khi x, y không cùng phương.
Tương tự trong R
3
, 3 véctơ x, y, z PTTT khi
và chỉ khi chúng đồng phẳng. Ngược lại, 3
véctơ ĐLTT khi và chỉ khi chúng không
đồng phẳng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 24 / 111
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Thuật toán
Kiểm tra các véctơ x
1
, x
2
, . . . , x
m

độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải phương trình λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
+ . . . + λ
m
x
m
= 0
với những ẩn số λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
∈ R (Phương trình
này tương đương với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó
Nếu hệ này có nghiệm duy nhất
λ
1
= λ
2
= . . . = λ

m
= 0 thì các véctơ
x
1
, x
2
, . . . , x
m
độc lập tuyến tính.
Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ
x
1
, x
2
, . . . , x
m
phụ thuộc tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 25 / 111