Bài giảng không gian Vector

1
BÀI GIẢNG TUẦN 4
KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ KHÔNG GIAN CON

PHẠM XUÂN ĐỒNG

MỞ ĐẦU: Để hiểu được tất cả phương trình Ax = b thì không thể bỏ qua cấu trúc của Ax là gì.










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Ax











3
2
1
x
x
x










+











+










=
33
23
13
3
32
22
12
2
31
21
11
1
a
a
a
x
a

a
a
x
a
a
a
x
Biểu diễn trên đã liên kết từng véc tơ cột riêng rẽ thành toàn bộ “không gian” các véc tơ bởi các số
thực x
i
tùy ý. Mối liên kết đó chính là sự kết hợp 2 phép toán: cộng véc tơ và nhân véc tơ với một số
thực. Từ đây, ta sẽ nhìn thấy những quan hệ giữa các không gian, như chứa nhau, gắn kết nhau hoặc
không gian các phần tử không phải là véc tơ cột nhưng có tính chất tương tự.

4.1 KHÔNG GIAN VECTƠ

I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ n CHIỀU.

Định nghĩa: Không gian véc tơ thực n-chiều

(không gian R
n
) là tập hợp các véc tơ v = (v
1
,...,v
n
)
có n thành phần là số thực cùng hai phép toán cộng véc tơ, nhân véc tơ với một số thực và thỏa
mãn 8 điều kiện.

II. HAI PHÉP TOÁN VÀ 8 ĐIỀU KIỆN CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ.

Cho ∀
∀∀
∀x, y ∈
∈∈
∈V , ∀
∀∀
∀c ∈
∈∈
∈R , phép cộng véc tơ: x + y ∈
∈∈
∈ V, phép nhân véc tơ với một vô hướng cx∈
∈∈
∈V
(1) x + y = y + x (giao hoán)
(2) x + (y + z) = (x + y) + z (kết hợp)
(3) Tồn tại véc tơ không 0 sao cho x + 0 = x
(4) Tồn tại véc tơ đối duy nhất – x thoả mãn x + (– x) = 0
(5) 1. x = x
(6) (c
1
c
2
)x = c
1
(c
2
x) (kết hợp)
(7) c(x + y) = cx + cy (phân phối)

(8) (c
1
+

c
2
)x = c
1
x+ c
2
y (phân phối)

Chú ý :
(1) Ý nghĩa: với ∀
∀∀
∀ x , y ∈
∈∈
∈V , ∀
∀∀
∀ c ∈
∈∈
∈ R mà x + y ∈
∈∈
∈ V , cx ∈
∈∈
∈V ⇒
⇒⇒
⇒ có tính đóng trong không gian V, khi
kết hợp với 8 điều kiện ⇒
⇒⇒

⇒ các véc tơ sẽ lấp đầy không gian.

(2) + Tất cả các tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 2 chiều v
1
, v
2
(không cùng phương) là c
1
v
1
+ c
2
v
2

lấp đầy mặt phẳng Oxy
+ Tất cả các tổ hợp tuyến tính của ba véc tơ 3 chiều v
1
, v
2
, v
3
(không đồng phẳng) là c
1
v
1
+ c
2
v
2

+
c
3
v
3
lấp đầy không gian Oxyz.
Thế nào là lấp đầy? Ta biết một véc tơ 2 chiều tương ứng với 1 điểm trong mặt phẳng Oxy (và
ngược lại), nên nói rằng tất cả véc tơ 2 chiều lấp đầy mặt phẳng. Một cách hình dung khác như chú ý (2).
Cách này thường được diễn tả sự lấp đầy cho không gian R
n
với n > 3.

(3) Ngoài tập các véc tơ cột, ta thấy nhiều tập phần tử như ma trận, hàm số thực,… cũng có 2 phép
toán và thỏa mãn 8 điều kiện, nên các tập đó được gọi chung là không gian véc tơ.
+ R
n
: không gian véc tơ thực n chiều
{ }
niRxxxR
in
n
,1|),...,(
1
=∈=
+ M(2×
××
×2,R): không gian véc tơ ma trận thực vuông cấp 2.







∈






= Rdcba
dc
ba
M ,,,|
2
Ví dụ 1: Tập hợp V = { (x, 1) | x ∈ R} có phải là không gian véc tơ không?
Giải: Cho v = (x, 1) , v’ = (x’, 1) ∈ V ⇒ v+v’ = (x+x’, 2) ∉ V
Kết luận: V không phải là không gian véc tơ

Chú ý: (4) Thường sử dụng điều kiện 3 là sự tồn tại véc tơ-không, để nhận biết nhanh nhất.

Ví dụ 2: Tập hợp W = { (x, y,z) | x+y+z= 0 , x,y,z ∈ R} có phải là không gian véc tơ không?
Giải: Cho w = (x, y,z) , w’ = (x’, y’,z’) ∈ W
⇒ w+w’ = (x+x’, y+y’,z+z’) ∈W , cw = (cx, cy,cz) ∈W và kiểm tra 8 điều kiện thấy thỏa mãn.
Kết luận: W là không gian véc tơ.

Ví dụ 3: Tập hợp







∈=++






== Rcbavàcba
c
ba
MW ,,0,
1
1
có phải là không gian véc tơ không?
Giải: Tập W không có ma trận-không O∈W thỏa mãn M
1
+ O = M
1
nên không phải là không gian véc tơ

4.2 KHÔNG GIAN CON

Ta sẽ gặp nhiều tập hợp các véc tơ n-chiều nhưng không lấp đầy toàn bộ không gian R
n
mà chỉ một
phần của nó. Đó chính là các không gian con.

Ví dụ 4 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x+y+z = 0 đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) . Ký hiệu W là
tập các vectơ nằm trên mặt phẳng này và có gốc là O.
(a) W có phải là không gian véc tơ không? (b) W là không gian véc tơ 2 chiều hay 3 chiều?
Giải: (a) Theo ví dụ 2: W là một không gian vectơ
(b) W không phải là R
2
vì các vectơ có 3 thành phần, cũng không phải R
3
vì không lấp đầy R
3
.

Định nghĩa: Nếu W là một tập con (chứa véc tơ không) của không gian vectơ V và thỏa mãn
hai điều kiện sau, thì W được gọi là một không gian con của V.
(a) w + u ∈
∈∈
∈ W với ∀
∀∀
∀ w, u ∈
∈∈
∈ W (b) cw ∈
∈∈
∈ W với ∀
∀∀
∀w ∈
∈∈
∈W , ∀
∀∀
∀ c∈
∈∈

∈ R

Chú ý:
(5) + Tổ hợp tuyến tính x
1
v
1
của một véc tơ 2 (hoặc 3) chiều thì lấp đầy đường thẳng chứa v
1
⇒
⇒⇒
⇒
đường thẳng là không gian con trong không gian R
2
(hoặc R
3
)
+ Tổ hợp tuyến tính x
1
v
1
+ x
2
v
2
của hai véc tơ 3 chiều lấp đầy mặt phẳng chứa v
1
, v
2
⇒

⇒⇒
⇒ mặt
phẳng là không gian con của không gian R
3
.
(6) Liệt kê toàn bộ những không gian con của R
3
.
+ (L): Đường thẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0).
+ (P): Mặt phẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0).
+ (R
3
): Chính không gian R
3
.
+ (Z): Chứa duy nhất véc tơ không O = (0 , 0 , 0)

Ví dụ 5: Cho W = {(x, y)| y = 2x}. Hỏi W có phải là không gian con của R
2
không?
Giải: Cách 1: Ta thấy W⊂ R
2
. Cho Wyxyx ∈=
′
= )','(),,( ww , Rc ∈

Wyyxx ∈++=
′
+ )','(ww
vì

)'(2' xxyy +=+
,
Wcycxc ∈= ),(w
. Vậy W là không gian con của R
2
.
Cách 2:






==
2
1
),( xyxw
lấp đầy đường thẳng chứa véc tơ (1,2) nên là không gian con của R
2
.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng tập tất cả ma trận thực đường chéo cấp 2 là không gian con của không gian
vectơ ),22( RM × .
Giải: Tập tất cả ma trận đường chéo cấp 2 là MRdd
d
d
wD ∈







∈






==
21
2
1
,|
0
0

3
Với D
d
d
w
d
d
w ∈







=






=
2
1
2
1
'0
0'
',
0
0
thì D
dd
dd
ww ∈






+

+
=+
22
11
'0
0'
' , D
cd
cd
cw ∈






=
2
1
0
0

Kết luận: D là không gian con của M.

4.3 KHÔNG GIAN CỘT CỦA MA TRẬN A

Định nghĩa: Cho A là ma trận m ×
××
× n, có các vectơ cột c
j

(j = 1,..., n).
Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột c
j
gọi là không gian cột của A.
Ký hiệu : C(A) ={ x
1
c
1
+ x
2
c
2
+ ⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅ + x
n
c
n
| x
j
∈
∈∈
∈R }

Chú ý:
(6) Có thể hiểu C(A) là tập hợp tất cả những vectơ m chiều, cùng dạng Ax với x ∈

∈∈
∈R
n
.

(7) Phương trình Ax = b có nghiệm ⇔
⇔⇔
⇔ b ∈
∈∈
∈ C(A).

(8) Nếu A là ma trận m ×
××
× n, thì C(A) là một không gian con của R
m
vì C(A) chỉ là tập con của R
m
Ví dụ 7: Mô tả không gian cột của ma trận










=
32

34
01
A . Hỏi véc tơ










=
1
5
2
b có thuộc C(A) không
Giải: Ta có tổ hợp tuyến tính các cột là

















=
2
1
32
34
01
x
x
Ax










+











=
3
3
0
2
4
1
21
xx

Do đó C(A) là một mặt phẳng trong R
3
với cặp vectơ chỉ phương là c
1
= (1, 4, 2) và c
2
= (0, 3, 3).
Giải phương trình Ax = b , có nghiệm x = (2, − 1) nên b ∈ C(A).

Ví dụ 8: Hãy mô tả các không gian cột của các ma trận sau:
(a)







=
42
21
A
(b)






=
400
321
B

Giải: (a) C(A) gồm tất cả các vectơ có dạng






2
1
1
x
+







4
2
2
x






+=
2
1
)2(
21
xx
.
Do đó C(A) là đường thẳng với vectơ chỉ phương (1, 2).
(b) C(B) gồm tất cả các vectơ có dạng







+






+=






+






+






4

3
0
1
)2(
4
3
0
2
0
1
321321
xxxxxx
.
Do đó C(B) là mặt phẳng, hay C(B) = R
2
.

4.4 KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA A .

Định nghĩa: Tập nghiệm của Ax = 0 được gọi là không gian nghiệm của A . Ký hiệu N(A).

Chú ý: (9) Tự kiểm tra: ∀
∀∀
∀ x
1
, x
2
∈
∈∈
∈ N(A) thì (c

1
x
1
+ c
2
x
2
) ∈
∈∈
∈ N(A) và 8 điều kiện thỏa mãn.
(10) Nếu A là ma trận m ×
××
× n, thì N(A) là một không gian con của R
n
vì nghiệm x∈
∈∈
∈ R
n
.

Ví dụ 9: Tìm không gian nghiệm của






=
63
21

A .
Giải:






→






⇔=
000
021
063
021
0xA nên
2121
202 xxxx −=⇒=+
Vậy các nghiệm của Ax = 0 là )1,2(),(
221
−== xxxx hay N(A) = { cs | s = (−2, 1), c

∈ R }
Hay N(A) là đường thẳng với vectơ chỉ phương là s = (−2, 1).
4

Ví dụ 10: Tìm không gian nghiệm của










−
−−
−
=
963
642
321
A
Giải:
⇔= 0xA
[ ]
=0|A











−
−−
−
0963
0642
0321










−
→
0000
0000
0321
nên
321
32 xxx −=

Vậy :











−
+










=











−
=
1
0
3
0
1
232
32
3
2
32
xx
x
x
xx
x . Hay
{ }
RccccAN ∈−+==
2121
,),1,0,3()0,1,2()( x|x
.
Không gian nghiệm N(A) là mặt phẳng có 2 véc tơ chỉ phương là: (2,1,0) và (−3,0,1)
Ví dụ 11: Tìm không gian nghiệm của







−
=
462
231
A

Giải:






−
→
800
231
A
213
3,0 xxx −==⇒ nên
{ }
)0,1,3(|)(
1
−== cAN xx

Không gian nghiệm là không gian con của R
3
và chứa đường thẳng có véc tơ chỉ phương (−3, 1, 0)

4.5 KHÔNG GIAN HÀNG VÀ KHÔNG GIAN NGHIỆM TRÁI CỦA A

Định nghĩa: Cho A là ma trận thực.
Ta gọi C(A
T
) là không gian hàng của A và N(A
T
) là không gian nghiệm bên trái của A.

Chú ý: (11) Do A
T
y = 0 ⇔
⇔⇔
⇔ y
T
A = 0
T
nên N(A
T
) gọi là không gian nghiệm bên trái của A.

Ví dụ 12: Cho






−

−
=
1263
421
A
. Tìm C(A), N(A), C(A
T
), N(A
T
)
Giải:
*












+−=













+






−
−
+






=
3
1
)42(
12
4
6

2
3
1
)(
321321
xxxxxxAC
hay












=
3
1
)(
1
cAC

*





















−+










−=
12

6
3
4
2
1
)(
21
yyAC
T






















−+=
4
2
1
)2(
21
yy
hay




















−=
4

2
1
)(
2
cAC
T

*






=

















−
−
⇔=
0
0
1263
421
0
3
2
1
x
x
x
Ax






−
−
⇔
01263
0421







−
→
0000
0421
321
42 xxx −=⇔




















−

+










=










−
==⇒
1
0
4
0
1
242

)(
32
3
2
32
xx
x
x
xx
xAN

*










=

















−−⇔=
0
0
0
124
62
31
0
2
1
y
y
yA
T











−−⇔
0124
062
031










→
000
000
031
21
3yy −=⇔













−
==⇒
3
1
)(
2
yyAN
T


CÁC Ý CHÍNH BÀI GIẢNG TUẦN 4
1. Định nghĩa không gian n chiều, không gian vectơ, không gian con.
2. Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận A gồm C(A), N(A), C(A
T
), N(A
T
).
3. Mối quan hệ giữa sự có nghiệm của Ax = b và không gian C(A).